第十章第二节排列与组合
第2节排列与组合课件
训练2 (1)(202X·安徽省五校联盟质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，
其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发
言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( B )
A.15
B.30
C.35
D.42
解析 甲企业有 2 人，其余 5 家企业各有 1 人，共有 7 人，所以从 7 人中任 选 3 人共有 C37种情况，发言的 3 人来自 2 家企业的情况有 C22C15种，所以发言 的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况共有 C37－C22C15＝30(种).
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人； 解 分两步完成，先选 3 人站前排，有 A37种方法，余下 4 人站后排， 有 A44种方法，共有 A37·A44＝5一起； 解 (捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A44种方法，
再将女生全排列，有 A44种方法，共有 A44·A44＝576(种).
训练 1 (1)从 3，5，7，11 这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为 a，
b，则共可得到ba的不同值的个数为( C )
A.6
B.8
C.12
D.16
解析 ab的值的个数即为从 3，5，7，11 这四个数中任选 2 个数的排列数，A24
＝4×3＝12.
(2)用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3
排方法共有C( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
解析 先从 6 名同学中选 1 名安排到甲场馆，有 C16种选法；
再从剩余的 5 名同学中选 2 名安排到乙场馆，有 C25种选法；
排列与组合ppt课件
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
10.2排列组合
,其分子的组成与
排列数A������ ������ 相同,分母是 m 个元素的全排列数.当 m,n 较小时,可利用该公式计
������ 数;组合数公式还可以表示成C������ =
������! ������!(������-������)!
,它有两个作用:一是当 m,n 较
大时,可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的组合数式子进行变形和论 证.
第十章
10.2
排列与组合
3 【解】( 1) 第一步: 选 3 名男运动员, 有C6 种选法.
2 第二步: 选 2名女运动员, 有C4 种选法.
3 2 共有C6 ·C4 =120 种选法.
第十章
10.2
排列与组合
(2)方法一: 至少 1 名女运动员包括以下几种情况: 1女 4男 , 2女 3 男 , 3 女 2男 , 4女 1男 . 由分类加法计数原理可得总选法数为
第十章
10.2
排列与组合
(3 ) 方法一: 可分类求解:
4 4 “ 只有男队长” 的选法数为C8 ; “ 只有女队长” 的选法数为C8 ; “ 男、 女队长 3 4 3 都入选” 的选法数为C8 , 所以共有 2C8 + C8 =196 种选法.
方法二: 间接法 :
5 5 从 10 人中任选 5 人有C10 种选法, 其中不选队长的方法有C8 种, 所以“ 至
【例 1】 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排 法种数:
解 :(1) ①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情 (1) 甲不在排头、乙不在排尾 ; 况. (2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位; 3 若甲排在排尾共有A1 1 A3 =6 种排法. (3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)1 . 2 若甲既不在排头也不在排尾共有A1 A 2 2 A2 =8 种排法,由分类计数原理知满 3 1 1 2 足条件的排法共有A1 1 A3 + A2 A2 A2 =14(种). 3 2 ②也可间接计算:A4 4 -2A3 + A2 =14(种). (2)可考虑直接排法:甲有 3 种排法;若甲排在第二位,则乙有 3 种排法;甲、 乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有 3×3×1=9(种). (3)可先排丙、丁有A2 4 种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足
课件4：10.2 排列与组合
(5)无序部分均匀分组问题．共有C46AC1222C11＝15(种)． (6)有序部分均匀分组问题． 在(5)的基础上再分配给 3 个人， 共有分配方式C26AC1222C11·A33＝90(种)． (7)直接分配问题． 甲选 1 本，有 C16种方法；乙从余下的 5 本中选 1 本，有 C15种方法，余下 4 本留给丙，有 C44种方法，故共有分配方式 C16C15C44＝30(种)．
❖ 拓展提高 组合问题常有以下两类题型： ❖ (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则
先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将 这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． ❖ (2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须 十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重 复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分 类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． ❖ 提醒：区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键在于是 否与顺序有关．
件下，求不同的排列方法总数． ❖ (1)选5人排成一排； ❖ (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； ❖ (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； ❖ (4)全体排成一排，女生必须站在一起； ❖ (5)全体排成一排，男生互不相邻．
❖ 思路点拨 本题是排队问题，以人或以位置分析其特殊性、 优先考虑，选取合适的方法：捆绑法、插空法、间接法等．
❖ 【失误与防范】
1．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分 类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗 漏．
2．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰 好”等词的含义．
3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺 序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或 遗漏．
新高考数学一轮复习教师用书：第10章 2 第2讲 排列与组合
第2讲 排列与组合1．排列、组合的定义 排列的定义 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！C m n＝A mnA m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！性质A n n ＝n ！,0！＝1C mn ＝C n －mn ,C mn ＋C m －1n ＝C mn ＋1[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (4)若组合式C xn ＝C mn ,则x ＝m 成立．( ) (5)A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修23P27A 组T7改编)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24解析：选D.“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34＝4×3×2＝24.2．(选修23P19例4改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为( ) A ．8 B ．24 C ．48D ．120解析：选C.末位数字排法有A 12种,其他位置排法有A 34种,共有A 12A 34＝48(种)排法,所以偶数的个数为48.3．(选修23P28A组T17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( )A．18 B．24C．30 D．36解析：选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种,选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种,故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.[易错纠偏](1)分类不清导致出错；(2)相邻元素看成一个整体,不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法．1．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装计算机和组装计算机各2台,则不同的取法有________种．解析：分两类：第一类,取2台原装计算机与3台组装计算机,有C26C35种方法；第二类,取3台原装计算机与2台组装计算机,有C36C25种方法．所以满足条件的不同取法有C26C35＋C36C25＝350(种)．答案：3502．把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种．解析：设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E,先把产品A与产品B捆绑有A22种摆法,再与产品D,E全排列有A33种摆法,最后把产品C插空有C13种摆法,所以共有A22A33C13＝36(种)不同的摆法．答案：36排列应用题3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排,前排3人,后排4人；(3)全体站成一排,男、女各站在一起；(4)全体站成一排,男生不能站在一起．【解】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列,有A57＝2 520种排法．(2)前排3人,后排4人,相当于排成一排,共有A77＝5 040 种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起,是男生的全排列,有A33种排法；女生必须站在一起,是女生的全排列,有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素,有A22种排法,由分步乘法计数原理知,共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法,男生在4个女生隔成的五个空隙中安排共有A35种排法,故N＝A44·A35＝1 440(种)．(变问法)在本例条件下,求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．解：(1)先排甲有4种,其余有A66种,故共有4·A66＝2 880种排法．(2)先排甲、乙,再排其余5人,共有A22·A55＝240种排法．求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙中间接法对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法[提醒] (1)插空时要数清插空的个数,捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．(2)用间接法求解时,事件的反面数情况要准确．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数,则含有2,3但它们不相邻的五位数有________个．解析：不考虑0在首位,0,1,4,5先排三个位置,则有A34个,2,3去排四个空当,有A24个,即有A34A24个；而0在首位时,有A23A23个,即含有2,3,但它们不相邻的五位数有A34A24－A23A23＝252个．答案：252组合应用题要从5名女生,7名男生中选出5名代表,按下列要求,分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”,可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法,其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选,即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可,共有C22C310＝120种选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”,即从其余10人中任选5人有C510种选法,所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．(变问法)在本例条件下,求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男,1女4男,2女3男,由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解．甲、乙两人从4门课程中各选修2门,求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24,又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种,因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．排列、组合的综合应用(高频考点)排列与组合是高考命题的一个热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为中档题．主要命题角度有：(1)相邻、相间问题；(2)分组、分配问题；(3)特殊元素(位置)问题．角度一相邻、相间问题(2020·杭州八校联考)有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A．34种B．48种C．96种D．144种【解析】特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有C12种选法,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余三个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有C12A44A22＝96(种),故选C.【答案】 C角度二分组、分配问题从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法．(用数字作答)【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．【答案】660角度三特殊元素(位置)问题(2020·台州市书生中学高三期中)在某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生．如果2位男生不能连着出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为________．【解析】①若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,方法有C12C13A33＝36种．②若第一个出场的是女生(不是女生甲),则将剩余的2个女生排列好,2个男生插空,方法有C12A22A23＝24种．故所有的出场顺序的排法种数为36＋24＝60.【答案】60解排列、组合综合应用问题的思路1．安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组,即2,1,1,有C 24C 12C 11A 22＝6种,再分配给3个人,有A 33＝6种,所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．2．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C 23种分法,再分给4人有C 23A 24种分法,所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.答案：603．(2020·浙江东阳中学高三期中检测)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,则组成的偶数的个数是________；恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数是________．解析：由五个数组成五位偶数,可分类个位数放0,2,4；当个位是0时,有A 44＝24种,当个位是2时,有3A 33＝18种,当个位是4时与个位是2时相同,则共有24＋36＝60种．当1和3两个奇数夹着0时,把这三个元素看做一个整体,和另外两个偶数全排列,其中1和3之间还有一个排列,共有2A 33＝12种,1和3两个奇数夹着2时,同前面类似,只是注意0不能放在首位,共有2C 12A 22＝8种,当1和3两个奇数夹着4时,也有同样多的结果．根据分类加法计数原理得到共有12＋16＝28种结果．答案：60 28核心素养系列21 逻辑推理、数学运算——分组分配问题中的易错点分组问题是同学们学习中的难点问题,在考试中不容易得分,在解题过程中容易掉入陷阱．解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配．关于分组问题,有整体均分、部分均分和不等分组三种,无论分成几组,应注意的是只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象．下面结合一些典型问题谈谈如何避免掉进分组问题中的陷阱．一、整体均分问题国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教．现有6名免费培养的教育专业师范毕业生,将其平均分到3所学校去任教,有________种不同的分配方法．【解析】 先把6个毕业生平均分成3组,有C 26C 24C 22A 33种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A 33＝6种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有C 26C 24C 22A 33A 33＝90种分配方法．【答案】 90对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数),避免重复计数．二、部分均分问题将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．【解析】 先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式),再将这三组人安排到3个房间,然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可,故安排方式共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 15C 14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22·A 33·C 24＝900种．【答案】 900本题属于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以m ！,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．三、不等分组问题将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生,其中一人得1本,一人得2本,一人得3本,则有________种不同的分法．【解析】 先把书分成三组,把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本,有C 16种选法；再从余下的5本中选2本,有C 25种选法；最后余下3本全选,有C 33种选法．故共有C 16·C 25·C 33＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人,还应考虑再分配,故共有60A 33＝360种分配方法．【答案】 360对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时,任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数．总之,在解答分组问题时,一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别,均匀分组不要重复计数．对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏,抓住了以上关键点,就能避免掉进陷阱．[基础题组练]1．不等式A x8＜6×A x－28的解集为( )A．[2,8] B．[2,6]C．(7,12) D．{8}解析：选D.由题意得8！（8－x）！＜6×8！（10－x）！,所以x2－19x＋84＜0,解得7＜x＜12.又x≤8,x－2≥0,所以7＜x≤8,x∈N*,即x＝8.2．(2020·金华等三市部分学校高三期中)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )A．96 B．84C．60 D．48解析：选B.法一：分三类：种两种花有A24种种法；种三种花有2A34种种法；种四种花有A44种种法．共有A24＋2A34＋A44＝84.法二：按A－B－C－D顺序种花,可分A,C同色与不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84.3．(2020·温州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数,②所有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是( )A．540 B．480C．360 D．200解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶,有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数,则百位数字是奇数,有C14＝4种满足题意的选法,故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．4．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层,则同类书不相邻的放法种数为( ) A．36 B．72C．108 D．144解析：选B.3本数学书的放法有A33种,将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A33种,故同类书不相邻的放法有2A33A33＝2×6×6＝72(种),故选B.5．(2020·金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动,现有5个红包,每人各摸一个,5个红包中有2个8元,1个18元,1个28元,1个0元,(红包中金额相同视为相同红包),则A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有( )A．18种B．24种C．36种D．48种解析：选C.A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD,ABCE,ABDE,在每类情况中,获奖的情况有C24·A22＝12种,所以由分步乘法原理得：A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有3×12＝36种．6．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现从中任选3人,要求这三人不能全是同一个班的学生,且在三班至多选1人,则不同选法的种数为( ) A．484 B．472C．252 D．232解析：选B.若三班有1人入选,则另两人从三班以外的12人中选取,共有C14C212＝264种选法．若三班没有人入选,则要从三班以外的12人中选3人,又这3人不能全来自同一个班,故有C312－3C34＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．7．如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3中三点为顶点的三角形的个数为( )A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点,有C38种取法,再减去三点共线的情形即可,即C38－C35－C34＝42.8．(2019·宁波高考模拟)从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数位上必须是奇数的三位数的个数为( )A．12 B．18C．24 D．30解析：选B.根据题意,要求奇数位上必须是奇数的三位数,则这个三位数的百位、个位为奇数,分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个,安排在三位数的个位和百位,有C23A22＝6种情况,②在剩余的3个数字中任选1个,将其安排在三位数的十位,有C13＝3种情况,则奇数位上必须是奇数的三位数有6×3＝18个．9．(2020·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有( )A．12 B．14C．16 D．18解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1,2,3,4,5.要求1,4不相邻．分四类：①先排4,5时,则1只有1种排法,2,3在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；②先排3,5时,则4只有1种排法,2,1在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；③先排1,2时,则4只有1种排法,3,5在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；④先排1,3时,则这样的数只有两个,即21534,43512,只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14种排法,故选B.10．设集合A＝{(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{－1,0,1},i＝1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素的个数为( )A．60 B．90C．120 D．130解析：选D.设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|,t＝1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为－1或1,其他为0,所以有2×C15＝10个元素满足t＝1；t＝2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为－1或1,其他为0,所以有C25×2×2＝40个元素满足t＝2；t＝3说明x1,x2,x3,x4,x5中有三个为－1或1,其他为0,所以有C35×2×2×2＝80个元素满足t＝3,从而,共有10＋40＋80＝130个元素满足1≤t≤3.11．(2020·温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数,要求数字1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是________(用数字作答)．解析：先把2,5捆挷有2种方法,再把它与4排列有2种排法,此时共有3个空隙供数字1、3插入有A23＝6种方法,故这样的五位数的个数是2×2×6＝24个．答案：2412．(2020·嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．解析：先排7个空座位,由于空座位是相同的,则只有1种情况,其中有6个空位符合条件,考虑三人的顺序,将3人插入6个空位中,则共有1×A36＝120种情况,由于甲必须坐在三人中间,则有符合要求的坐法有1×120＝40(种)．3答案：4013．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对,两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．答案：4814．如图A,B,C,D为海上4个小岛,要建立3座大桥,将4个小岛连接起来,则不同的建桥方案有________种．解析：法一：任2个岛之间建立1座桥,则共需C24＝6座桥,现只建其中3座,有C36种建法,但如图(1)这样的建桥方式是不合题意的,类似这样的情况有C34种,则共有C36－C34＝16种建桥方案．法二：依题意,满足条件的建桥方案分两类．第一类,如图(2),此时有C 14种方法．第二类,如图(3),此时有12A 44＝12种方法． 由分类加法计数原理得,共有4＋12＝16种建桥方案．答案：1615．现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么有男生________人、女生________人．解析：设男、女同学的人数分别为m 和n,则有,⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ·A 33＝90，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ＝15. 由于m,n ∈N ＋,则m ＝3,n ＝5.答案：3 516．在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A 只能出现在第一或最后一步,程序B 和C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有________种．解析：程序A 有A 12＝2种结果,将程序B 和C 看作元素集团与除A 外的元素排列有A 22A 44＝48(种),所以由分步乘法计数原理得,实验顺序的编排共有2×48＝96种方法．答案：9617．规定C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！,其中x∈R ,m 是正整数,且C 0x ＝1,这是组合数C m n (n,m 是正整数,且m≤n)的一种推广,则C3－15＝________；若x>0,则x ＝________时,C 3x （C 1x ）2取到最小值,该最小值为________．解析：由规定：C 3－15＝（－15）×（－16）×（－17）3×2×1＝－680,由C 3x （C 1x ）2＝x （x －1）（x －2）6x 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －3. 因为x>0,x ＋2x≥22,当且仅当x ＝2时,等号成立, 所以当x ＝2时,得最小值22－36. 答案：－680 2 22－36[综合题组练]1．已知10件不同的产品中有4件是次品,现对它们进行测试,直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试,只能取正品,有A 46种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试,有C 24·A 22＝A 24种测试方法,再排余下4件的测试位置,有A 44种测试方法．所以共有A 46·A 24·A 44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有C 14·C 16·A 44＝576种不同的测试方法．2．现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名,女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长,又要有女运动员．解：(1)任选3名男运动员,方法数为C 36,再选2名女运动员,方法数为C 24,共有C 36·C 24＝120种方法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,由分类加法计数原理可得总选法数为C 14C 46＋C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”,因此用间接法求解,不同选法有C 510－C 56＝246(种)．(3)当有女队长时,其他人任意选,共有C 49种选法,不选女队长时,必选男队长,其他人任意选,共有C 48种选法,其中不含女运动员的选法有C 45种,所以不选女队长时共有(C 48－C 45)种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C 49＋C 48－C 45＝191(种)．3．证明下列各题：(1)A k n ＋kA k －1n ＝A k n ＋1(k≤n ,n ≥0)；(2)C k n C m －k n －k ＝C m n C k m (k≤m≤n ,n ≥0)．证明：(1)左边＝n ！（n －k ）！＋k·n ！（n －k ＋1）！＝n ！[（n －k ＋1）＋k]（n －k ＋1）！＝（n ＋1）！（n ＋1－k ）！＝A k n ＋1＝右边．(2)左边＝n ！k ！（n －k ）！·（n －k ）！（m －k ）！（n －m ）！＝n ！k ！（m －k ）！（n －m ）！, 右边＝n ！m ！（n －m ）！·m ！k ！（m －k ）！＝n ！（n －m ）！k ！（m －k ）！, 所以左边＝右边．4．集合A ＝{x∈Z|x≥10},集合B 是集合A 的子集,且B 中的元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.(1)集合B 中两位数和三位数各有多少个？(2)集合B 中是否有五位数？是否有六位数？(3)将集合B 中的元素从小到大排列,求第1 081个元素．解：将0,1,…,9这10个数字按照和为9进行配对,(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成．(1)两位数有C 25×22×A 22－C 14×2＝72(个)；三位数有C 35×23×A 33－C 24×22×A 22＝432(个)．(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数；不存在六位数,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾,因此不存在六位数．(3)四位数共有C 45×24×A 44－C 34×23×A 33＝1 728(个),因此第1 081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3×C 34×23×A 33＝576(个),因此第1 081个元素是4 012.。
第二节 排列与组合
第二节排列与组合【最新考纲】 1.理解排列、组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题．1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为()A．6B．18C．20 D．24解析：由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.答案：B3．(2015·广东卷改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言() A．1 560条B．780条C．1 600条D．800条解析：由题意，得毕业留言共A240＝1 560(条)．答案：A4．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有() A．18个B．15个C．12个D．9个解析：根据“六合数”的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组(0，0，4)，(0，1，3)，(0，2，2)，(1，1，2)的所有排列，即共有3＋A33＋3＋3＝15(个)．答案：B5．(2016·唐山调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28解析：法一(直接法)甲、乙两人均入选，有C17C22种方法．甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，∴由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．法二(间接法)从9人中选3人有C39种方法．其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法是C39－C37＝84－35＝49(种)．答案：C一个区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．两个公式1．排列数公式：A m n＝n！（n－m）！2．组合数公式：C m n＝n！m！（n－m）！三点提醒1．特殊元素、特殊位置优先原则．2．解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一．3．解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配．四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”一、选择题1．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72 D．24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A34＝24(种)放法．答案：D2．(2014·安徽卷)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析：正方体六个面的对角线共有12条，则有C212＝66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°，则共有3×C24＝18对，而其余的都符合题意．因此满足条件的对角线共有66－18＝48(对)．答案：C3．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为()A．360 B．520C．600 D．720解析：当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C35 A44＝480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A25A23＝120，则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600.答案：C4．(2016·青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18种B．24种C．36种D．72种解析：1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C13C22A33种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C23C22A33种．∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种)．答案：C5．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有() A．16种B．36种C．42种D．60种解析：法一(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．法二(间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60(种)．答案：D6．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是() A．72 B．120C．144 D．168解析：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A34＝144种，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A33·A22·A22＝24种，于是符合题意的排法共有144－24＝120种．答案：B二、填空题7．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法．解析：先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C36＝20(种)．答案：208．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有________种．解析：把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种)．答案：119．四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．解析：分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C24种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A33种．依分步乘法计数原理，共有N＝C24A33＝36(种)．答案：3610．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：分两步：①任意选3个空排A、B、C，共有C36·C12·A22种排法．②排其余的3个字母，有A33种排法，所以由分步乘法计数原理，共有C36·C12·A22·A33＝480(种)排法．答案：480三、解答题11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法有多少种？解：分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．12．由1，2，3，4，5五个数字组成的没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 354，…直到末项(第120项)是54 321.问：43 251是第几项？解：比43 251大的数有下列几类：①万位数是5的有A44＝24(个)；②万位数是4、千位数是5的有A33＝6(个)；③万位数是4、千位数是3、百位数是5的有A22＝2个；所以比43 251大的数共有A44＋A33＋A22＝32(个)，所以43 251是第120－32＝88(项)．。
新课标理科数学第十章第二节排列与组合
04
组合的应用
组合在日常生活中的应用
购物选择
在购物时，消费者常常面临多种 选择，如品牌、型号、颜色等， 选择不同的组合可以满足不同的
需求和预算。
旅游计划
制定旅游计划时，人们需要考虑景 点、交通、住宿等多种因素，不同 的组合可以形成不同的旅游方案。
进阶练习题3
求排列数和组合数的公式的推 导过程是什么？
进阶练习题4
计算从5个不同元素中取出3个 元素，其中某两个元素必须同
时被取出的排列数。
思考题与探究题
思考题1
排列与组合在实际生活中有哪些应用？
探究题1
排列与组合的原理是什么？如何理解它们的 本质？
思考题2
排列数和组合数的公式在数学中有哪些应用？
几何问题
在几何问题中，排列组合 可用于计算空间中点、线、 面的数量和性质。
排列在计算机科学中的应用
数据压缩与加密
排列组合在数据压缩和加密算法中具有重要应用，如哈希函数、 加密算法等。
算法设计与优化
在算法设计和优化中，排列组合可用于解决图论、动态规划等问题， 提高算法效率和正确性。
机器学习与数据挖掘
社交活动
在组织社交活动时，人们需要考虑 参与者、活动内容、时间和地点等 因素，不同的组合可以满足不同的 社交需求。
组合在数学问题中的应用
概率论
在概率论中，组合用于计 算事件发生的可能性，如 计算组合数、排列数等。
统计学
在统计学中，组合用于样 本选择、数据分组等，以 分析和描述数据。
几何学
在几何学中，组合用于计 算几何形状的面积、体积 等。
2022年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第10章 第2讲 排列与组合 Word版含解析
第2讲 排列与组合最新考纲 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简洁的实际问题.知 识 梳 理 1.排列与组合的概念名称 定义排列 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同元素依据肯定的挨次排成一列组合合成一组2.(1)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的全部不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.(2)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的全部不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！(2)C m n ＝A m n A m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！＝n ！m ！（n －m ）！(n ，m ∈N *，且m ≤n ).特殊地C 0n ＝1 性质(1)0！＝1；A n n ＝n ！(2)C m n ＝C n －m n ；C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n诊 1.推断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)全部元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )(3)若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立.( ) (4)k C k n ＝n C k －1n －1.( )解析 元素相同但挨次不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若C x n ＝C mn ，则x ＝m 或n －m ，故(3)不正确.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( ) A.12B.24C.64D.81解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的安排方法为A 34＝24.答案 B3.(选修2－3P28A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参与某项活动，则男女生都有的选法种数是( ) A.18B.24C.30D.36解析 法一 选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C 24C 13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C 14C 23＝12种，故3名同学中男女生都有的选法有C 24C 13＋C 14C 23＝30种.法二 从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C 37－C 34－C 33＝30.答案 C4.(2021·浙江三市十二校联考)用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有________个；其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有________个.解析 用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字六位数共有A 66＝720个；将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有A 33A 34＝144个.答案 720 1445.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________(用数字作答).解析 末位数字排法有A 12，其他位置排法有A 34种，共有A 12A 34＝48种.答案 486.(2021·绍兴调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担当驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________(用数字作答).解析法一(直接法)甲、乙两人均入选，有C17C22种.甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，∴由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49(种)选法.法二(间接法)从9人中选3人有C39种方法.其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法是C39－C37＝84－35＝49(种).答案49考点一排列问题【例1】(2021·河南校级月考)3名女生和5名男生排成一排.(1)假如女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)假如女生都不相邻，有多少种排法？(3)假如女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必需排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同排法.(2)(插空法)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同排法.(3)法一(位置分析法)由于两端不排女生，只能从5个男生中选2人，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400(种)不同排法.法二(元素分析法)从中间6个位置选3个支配女生，有A36种排法，其余位置无限制，有A55种排法，因此共有A36·A55＝14 400(种)不同排法.(4)8名同学的全部排列共A88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中12，∴符合要求的排法种数为12A88＝20 160(种).(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A77种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A16种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A16种；其余人6个人进行全排列，有A66种.共有A16·A16·A66种.由分类加法计数原理，共有A77＋A16·A16·A66＝30 960(种).法二(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有A17种，余下7个位置全排，有A77种，但应剔除乙在最右边时的排法A16·A66种，因此共有A17·A77－A16·A66＝30 960(种).法三(间接法)8个人全排，共A88种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A77种，乙在最右边时，有A77种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A66种.因此共有A88－2A77＋A66＝30 960(种).规律方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般接受特殊元素优先原则，即先支配有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以接受间接法.(2)对相邻问题接受捆绑法、不相邻问题接受插空法、定序问题接受倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】(1)(2021·新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()A.120B.240C.360D.480(2)(2021·抚顺模拟)某班预备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参与，那么不同的发言挨次有()A.30B.600C.720D.840解析(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，其次步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，依据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.(2)若只有甲乙其中一人参与，有C12C35A44＝480种方法；若甲乙两人都参与，有C22C25A44＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法，故选C.答案(1)C(2)C考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必需在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种，∴某一种假货必需在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100种.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090种.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必需格外重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类简单时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】(1)(2021·邯郸一模)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是()A.90B.115C.210D.385(2)(2021·湖州市质检)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种解析(1)分三类，取2个黑球有C24C26＝90种，取3个黑球有C34C16＝24种，取4个黑球有C44＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种).答案(1)B(2)D考点三排列、组合的综合应用【例3】4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；其次类有序均匀分组有C24C22A22·A22种方法.故共有C24(C34C11A22＋C24C22A22·A22)＝84(种).规律方法(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)不同元素的安排问题，往往是先分组再安排.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，留意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“安排”问题，常用的方法是接受“隔板法”.【训练3】(1)某校高二班级共有6个班级，现从外地转入4名同学，要支配到该班级的两个班级且每班支配2名，则不同的支配方案种数为()A.A26C24B.12A26C24C.A26A24D.2A26(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券安排给4个人，每人2张，不同的获奖状况有________种(用数字作答).解析(1)法一将4人平均分成两组有12C24种方法，将此两组安排到6个班级中的2个班有A26(种).所以不同的支配方法有12C 24A 26(种).法二先从6个班级中选2个班级有C26种不同方法，然后支配同学有C24C22种，故有C26C24C22＝1 2A26C24(种).(2)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖状况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.答案(1)B(2)60 [思想方法]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先支配；(2)合理分类与精确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排解法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.[易错防范]1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与挨次有关.2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排解法).分类时标准应统一，避开消灭重复或遗漏.3.解组合应用题时，应留意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.4.对于安排问题，一般先分组，再安排，留意平均分组与不平均分组的区分，避开重复或遗漏.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2022·四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72解析由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D.答案 D2.(2021·东阳调研)某外商方案在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A.16种B.36种C.42种D.60种解析法一(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法.由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60(种)方法.法二(间接法)先任意支配3个项目，每个项目各有4种支配方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60(种).答案 D3.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对挨次不变，则不同调整方法的种数为()A.C27A55B.C27A22C.C27A25D.C27A35解析首先从后排的7人中抽2人，有C27种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A25种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25.答案 C4.(2021·金华调研)甲、乙两人从4门课程中各选修两门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有________种()A.30B.36C.60D.72解析甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：当甲、乙所选的课程中2门均不相同时，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C24C22＝6种方法；当甲、乙所选的课程中有且只有1门相同时，分为2步：①从4门中选1门作为相同的课程，有C14＝4种选法，②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最终剩余的2门中任选1门有C13C12＝6种选法，由分步乘法计数原理此时共有C14C13C12＝24种方法.综上，共有6＋24＝30种方法.答案 A5.某台小型晚会由6个节目组成，演出挨次有如下要求：节目甲必需排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必需排在最终一位.该台晚会节目演出挨次的编排方案共有()A.36种B.42种C.48种D.54种解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最终一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；其次类：甲排在其次位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法.依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42种编排方案.答案 B6.(2022·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法()A.10B.16C.20D.24解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A25＝20种坐法.答案 C7.(2021·浙江五校联考)某次联欢会要支配3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出挨次，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168解析法一先支配小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.支配小品节目和相声节目的挨次有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种状况，形式为“□小品1歌舞1小品中2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)支配方法；同理，第三种状况也有36种支配方法，对于其次种状况，三个节目形成4个人，其形式为“□小品1□相声□小品2□”.有A22A34＝48种支配方法，故共有36＋36＋48＝120种支配方法. 法二先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A34＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的状况，共有A33·A22·A22＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种).答案 B8.(2021·青岛模拟)将甲、乙等5名交警安排到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的安排方案共有()A.18种B.24种C.36种D.72种解析一个路口有3人的安排方法有C13C22A33(种)；两个路口各有2人的安排方法有C23C22A33(种).∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的安排方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种).答案 C二、填空题9.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高渐渐降低，共有________种排法(用数字作答).解析先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于挨次肯定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C36＝20(种).答案2010.(2021·余姚质检)3男3女共6名同学排成一列，同性者相邻的排法种数有________；任两个女生不相邻的排法有________(均用数字作答).解析分别把3男3女各看作一个复合元素，把这两个复合元素全排，3男3女内部也要全排，故有A33A33A22＝72种；把3名女同学插入到3名男同学排列后所形成的4个空中的3个，故有A33·A34＝144种.答案7214411.若把英语单词“good”的字母挨次写错了，则可能消灭的错误方法共有________种(用数字作答).解析把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；其次步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A24＝12(种).其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种).答案11 12.(2021·金丽衢十二校联考)从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种(用数字作答).解析甲型2台乙型1台或甲型1台乙型2台，故共有C25C14＋C15C24＝70种方法.答案7013.(2021·淮北一模)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上任凭坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种(用数字作答).解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有：BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相等座位的坐法有9×5＝45种坐法.答案45力量提升题组(建议用时：20分钟)14.(2021·武汉调研)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A.72B.144C.240D.288解析第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2种排法，故有C13A22＝6种排法；其次步，再选一对夫妻，这对夫妻有2种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有C12A22C12＝8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A33＝6种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288种，故选D.答案 D15.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130解析由于x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以x i中至少两个为0，至多四个为0.①x i(i＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A有2C15个元素；②x i中3个0，2个为－1或1，A有C25×2×2＝40个元素；③x i中2个0，3个为－1或1，A有C35×2×2×2＝80个元素；从而，集合A中共有2C15＋40＋80＝130个元素.答案 D16.(2021·慈溪调考)在某班进行的演进竞赛中，共有5位选手参与，其中3位女生，2位男生，假如2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场挨次的排法种数为________(用数字作答).解析若第一个出场是男生，则其次个出场的是女生，以后的挨次任意排，方法有C12C13A33＝36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有C12A22A23＝24种.故全部出场挨次的排法种数为36＋24＝60.答案6017.(2021·诸暨模拟)从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字，组成一个没有重复且能被3整除的四位数，则这样的四位数共有________个(用数字作答).解析依据题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除，则选出的四个数字有5种状况，①1，2，4，5；②0，3，4，5；③0，2，3，4；④0，1，3，5；⑤0，1，2，3；①时，共可以组成A44＝24个四位数；②时，0不能在首位，此时可以组成3×A33＝3×3×2×1＝18个四位数，同理，③、④、⑤时，都可以组成18个四位数，则这样的四位数共24＋4×18＝96个. 答案9618.(1)现有10个保送上高校的名额，安排给7所学校，每校至少有1个名额，问名额安排的方法共有多少种？(2)已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？解(1)法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的安排方法种数.分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若安排到2所学校有C27×2＝42(种)；若安排到3所学校有C37＝35(种).∴共有7＋42＋35＝84(种)方法.法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法.所以名额安排的方法共有84种.(2)①从集合B中取元素2时，确定C13A33个点.②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C13×1＝C13.③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C12A33个.∴由分类加法计数原理，共确定C13A33＋C13＋C12A33＝33(个)不同点.。
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【规范解答】(1)选A.第一行从左到右前面两个格子只能安排 1,2，最右下角的格子只能是9，这样只能在剩余的四个数字中 选两个，安排在右边一列的上面两个格子中(由小到大)，剩余 两个数字安排在最下面一行的前面两个格子中(由小到大)，故 总的方法数为 C=24 6.
(2)选C.方法一：直接法 若甲、丙中有一人入选，乙没有入选，则有 C12C种72 不同选 法，若甲、丙都入选，乙没有入选，则有 C22C种17 不同选法.由 分类加法计数原理得，共有 C12C+72 C=22C4179(种). 方法二：间接法 不管甲、丙，只考虑乙没有入选，则共有 C种39 不同选法，甲、 丙、乙都没有入选，则有 C种37 不同选法，故满足题意的选法 共有 C39- =C437 9(种).
相除法 列后再除以定序元素的全排列
2.解决排列类应用题的策略 (1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊 位置. (2)有条件限制的排列问题，可用直接法，逐一满足其限制条 件；或用间接法，全排后减去不符合限制条件的排列种数.
【变式备选】有3张都标着字母A，6张分别标着数字1,2,3,4, 5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成汽车牌号，则可以组成不 同牌号的总数等于_________(用数字作答) . 【解析】若无字母A，则有A56种；若含有一个字母A，则有 C64A种54；若含有两个字母A，则有 C种36A；35 若含有三个字母 A，则有 C62A种52 .综上所述，共有 A56 C64A54 C36A35 C62A52 =4 020(种). 答案：4 020
在第五个位置，因为左边除了8以外，所有的数都比它小时满 足它的顺序数为3，6可能排在第六个位置，7排在6的左边时， 满足它的顺序数为3，∴要分两种情况进行讨论.当6在第五个 位置时，需要在其右边三个位置上排列7，余下的数字在5个位 置上全排列，共有 C13A=55 360(种)结果；当6排在第六个位置 时，需要把7在其左边四个位置上选一个排列，余下的5个数字 全排列，共有 C14A=55480(种)结果，根据分类加法计数原理 知，共有360+480=840(种).故选D.
理，则甲、丙至少有1人入选且乙没有入选的不同选法的种数
为( )
(A)85
(B)56
(C)49
(D)28
(3)(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4
个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
(A)60种 (B)63种 (C)65种 (D)66种
【思路点拨】(1)先确定数字1，2，9的排列位置，再确定其他 元素的位置. (2)按题意要求分甲、丙有一人入选、两人都入选分类解答或 用间接法解答. (3)分全是偶数、全是奇数、两奇两偶三种情况进行分类讨论.
4．C82 C83 C92 ＝___________. 【解析】 C82 C83 C92＝C93 C92＝C130＝120. 答案：120
5．若
C2x7 20
C2x0 ,
则x=___________.
【解析】由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9.
答案：7或9
考向 1 排列问题的应用
【解析】(1)错误.当两个排列的所有元素完全相同，但其排列 顺序不同时，仍然不是相同排列，所以错误.(2)错误.因为相同 的组合与元素的顺序无关，只与元素是否相同有关，所以该说 法错误.(3)正确.当两个组合的元素完全相同时，能得出这两个 组合是相同组合；当两个组合相同时，能得出它们的元素完全 相同.(4)正确.由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的 不能再取了. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为 组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分 步”去解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题. 3.含有附加条件的组合问题的常用方法 通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等 词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题， 既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解.
【典例3】(1)在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名
女医生到三所医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医
生不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为( )
(A)78
(B)114
(C)108
(D)120
(2)(2013·九江模拟)2012伦敦奥运会组委会从A，B，C，D，E 五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项 不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从 事这四项工作，则不同的选派方案共有( ) (A)48种 (B)36种 (C)18种 (D)12种 (3)(2012·北京高考)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两 个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) (A)24 (B)18 (C)12 (D)6
【提醒】区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于 是否与顺序有关.
【变式训练】(2012·广州模拟)如图，∠MON的边OM上有四点 A1,A2,A3,A4，ON上有三点B1,B2,B3,则以O，A1,A2,A3,A4，B1,B2, B3为顶点的三角形个数为( )
(A)30 (B)42 (C)54 (D)56
(C)(3！)4
(D) 9！
(3)设a1,a2,…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左 边且比ai小的数的个数称为ai的顺序数(i=1,2,…,n)如在排列 6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1，2的顺序数为0.则在1至8这八 个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，6的顺序数 为3的不同排列的种数为( ) (A)480 (B)690 (C)720 (D)840
(3)选D.均为奇数时，有 C＝54 5(种)；均为偶数时，有 ＝C144 (种)； 两奇两偶时，有 ＝60(C种24 C)，52 由分类加法计数原理 可知，共有66种.
【拓展提升】 1.解决组合应用题的一般思路 首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法 计数原理；然后局部分步，用到分步乘法计数原理. 2.组合问题的常见题型及解题思路 常见题型有选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组 问题.
【思路点拨】(1)可按人数分类讨论，再注意是排列问题还是 组合问题. (2)先分类讨论，再看是否与顺序有关，确定是排列还是组合， 从而解决问题. (3)考虑特殊元素0，与特殊位置个位.如果选0，则0只能在十 位.个位必须是奇数.
【规范解答】(1)选B．依题设可知，必定有一所医院安排一名
【解析】选C.分步完成这件事.第一步排最后位置一个奥运宣 传广告有2种不同的方法；第二步排另一个奥运宣传广告，有3 个位置可选，共有3种方法；第三步排3个商业广告，共有 A33 种不同的方法.由分步乘法计数原理可知：共有2×3× A＝33 36(种) 不同的播放方式.
3.某班级有一个7人小组，现任选3人相互交换座位，其余4人座 位不变，则不同的调整方式有( ) (A)12种 (B)70种 (C)210种 (D)105种 【解析】选B.分两步完成此事.第一步任选3人共有 C种37 不同的 方法；第二步这3个人相互交换座位共有2种方法.由分步乘法计 数原理可知：共有 C×37 2＝70(种)不同的调整方式.
【解析】选B.方法一：用间接法．先从这8个点中任取3个点，
最多构成三角形 C个83 ，再减去三点共线的情形即可. C83 C53=4C234 .
方法二：直接法.将点O归到直线ON上，分在ON上取1个点，2
个
C24 C13 C32 C14 C14 C13 42.
点去解，共有
考向 3 排列、组合问题的综合应用
【拓展提升】 1.解决排列问题的主要方法
直接法 无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式计算 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体
捆绑法 参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排
插空法 列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 定序问题除法处理的方法，可先不考虑顺序限制，排
n! (n m)!
;
② Ann=_n_!_.
(2)组合数公式
①
Cmn
Amn Amm
=
n!
= n(n 1)(n 2) (n m 1)
m!
.
m!(n m)!
②规定：C0n 1
4．组合数的性质
(1) Cmn =
Cnm n
.
(2)
Cm n1
=
Cmn
Cm1 n
.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( ) (4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出 的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出， 则这个元素就不再取了.( )
考向 2 组合问题的应用 【典例2】(1)将1,2,3，…，9这9个数字填入如图所示的9个空 格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大， 当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为( )
(A)6种 (B)12种 (C)18种 (D)24种
(2)(2013·合肥模拟)从10名大学生村官中选3个人担任乡长助
【典例1】(1)8名学生和2位老师排成一排合影，2位老师不相
邻的排法种数为( )
(A) A88 gA92 (C) A88 gA72
(B) A88 gC92 (D) A88 gC72
(2)(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家
人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
(A)3×3！
(B)3×(3！)3