组合数学课件--第一章第二节 允许重复的组合与不相邻的组合

显然a1=b1,如果一直到an-1 =bn-1，定理得证：
否则令k=min{i,ai≠bi }, 那么: ai=bi ,当i<k时
a i! b i!
i i ik ik
n 1
n 1
如果两边同时除以(k+1)! 我们可以看到等式左边余数为akk! 等式右边余数为bkk! 由ak≠bk,与假设予盾，因此表示法是唯一的。
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一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
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一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
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一、序数法
例2:对于0 m 23=4!-1,m可以展开为： m=a33!+a2 2!+a1 1!。 求所有的序列{a3, a2,a1} ； 解： 0000, 4020, 8110, 12101, 16220, 20301, 1001, 5021, 9111, 13201, 17221, 21311, 2010, 6100, 10120, 14210, 18300, 22320, 3011, 7101, 11121, 15211 19301, 23321
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二、字典序法
例4：求839647521的下一个排列。
1：从排列的末尾开始,逐步向前搜索,直到找到比 其后面相邻的数小的数:
如果未找到,表明不再有下一个排列,程序终止; 2：从该数后面的序列中寻找比该数大的最小的 数来替换它(使用交换); 3：将余下的数反转。
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二、字典序法
1、求满足关系式pj<pj+1的下标j的最大值，设为 i , i=max{j︱pj<pj+1} 例如： 839647521中i=5 注:该位置值为4 2、求出i后，再求满足关系式pi<pk的k的最大值， 设为h, h=max{k︱pi<pk} 例如： 839647521中h=7 注:该位置值为5 3、 pi与ph 互换。得新排列P1P2…Pi-1PiPi+1…Pn 例如： 839647521换成839657421
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一、序数法
定理3：令n0,0≤m≤n!-1，则m可以唯一地表 示为：m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…+a11! 其中：0aii, i=1, 2, …, n-1。（一） ai由m唯一确定。 （二） 反过来，任何满足上式的数m都是一个大于或 等于0，小于或等于n!-1的数。 （三）
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一、序数法
void main() { int n; cout << "请输入一个数"; cin >> n; permute(n); }
*
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二、字典序法
字典序法的思想：
对于n个字符的任何二个排列，我们都可以 比较它的大小。 1、初始排列我们可以给出来， 1,2,3,…,n-1,n 2、设计算法找到比上一个排序大的排列中最 小的一个。 1,2,3,…,n,n-1
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一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
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一、序数法
3、a[j]确定j+1的位置 int j=0; for(j=n-1;j>0;j--) {index=n; int spacecount=0; while(a[j]>spacecount||result[index]!=0) { if( result[index]==0) spacecount++; index--; } result[index]=j+1; }
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一、序数法
//最后一个位置是1的位置 index = n; while( result[index]!= 0) index--; result[ index ] = 1; // 输出结果 for( j = 1; j <= n; j++ ) { cout << result[ j ] << endl; result[ j ] = 0; } }}
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1.6.4 组合的生成算法
1、最后一位数最大是6,倒数第二位最大 是5,倒数第三位最大是4。
若r个元素组合用c1c2… cr表示，假定 c1<c2<…<cr那么cr≤n, cr-1≤n-1,… c1≤n-r+1 2、若要确定145的下一个组合， 就是要找比145大而又最接近 145的数， 那么256的下一个组合是什 么呢？ 显然是146； 是345。
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一、序数法
1、求阶乘 int result[17] = { 0 }; //记录排序 int a[17] = { 0 }; //记录序列 void permute( int n) { int fact = 1,i; for( i = 1; i <= n; i++ ) fact *= i;//求n的阶乘
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一、序数法
证明：（一）可表示性
怎样求序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…+a2 2!+ a1 1! 数m除以2的整数部分与余数是什么？ 整数部分是：an-1(n-1)!/2+… +a3 3!/2 +a2 余数是a1 如果用m除以2的整数部分再除以3，余数就 是a2,其它项以此类推。
3、重复以上过程直到最大。 n,n-1,…,3,2,1
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二、字典序法
例4：求839647521的下一个排列。
只要后边的大数与前面的小数交换，都比原 数大，那个是最小的一个。 这一个与下一个有尽可能长的共同前缀，也 即变化限制在尽可能短的后缀上。 找到前面数小于后边数的最后一个，4 4与后面比它大最接近他的数交换，5 此时5右边为7421，倒置为1247，即得下一 个排列:839651247。
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一、序数法
序数法的思想： n个元素的全排列有n!个,从0到n!-1共n!个数。
n个元素的全排列与n!个数一一对应。
序数法找到了一种n!个数直接计算出n!个排列的 算法： 1、0到n!-1这n!个数与如下序列一一对应： （an-1，an-2，…a1） 0aii； 2、从每一个这样的序列我们可以生成一个排列。
第一章：排列与组合 1.1 基本计数法则 1.2 一一对应:
1.3 排列与组合
1.4 圆周排列
1.5 排列的生成算法
1.6 允许重复的组合与不相邻的组合
1.7 组合意义的解释
1.8 应用举例 1.9 *Stirling公式
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1.5 排列的生成算法：
排列的生成算法:
对于给定的字符集，用有效的方法将所有 可能的排列无重复无遗漏地枚举出来。 3阶幻方 九宫图 8（a11） 1 （a12） 6 （a13）
观察从1,2,3,4,5,6中取3个的组合，找出规律 (1)123, (2)124, (3)125, (4)126, (5)134 (6)135, (7)136, (8)145, (9)146, (10)156 (11)234, (12)235, (13)236, (14)245, (15)246, (16)256, (17)345, (18)346, (19)356, (20)456
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一、序数法
公式： n!-1=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2×2!+ 1×1!
等同于： n!=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2×2!+ 1×1!+1 一般: (k-1)×(k-1)!+(k-1)!=k! ……………………………… (n-2)(n-2)!+(n-2)!=(n-1)! (n-1)(n-1)!+(n-1)!=n!
最小值是： 0×(n-1)!+0×(n-2)!+…+ 0×1!=0 最大值是： (n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2×2!+ 1×1!=n!-1 因此：（三）成立
6Hale Waihona Puke 一、序数法证明：（二）唯一表示性
设m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…+a11! m=bn-1(n-1)!+bn-2(n-2)!+…+b11!
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一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);