角边角定理
角角边定理
角角边定理经典数学定理角角边定理又称三角形三边定理，是由古希腊数学家艾西莫斯提出的。
它最早出现在他的著作《数学史》中，它的基本思想是：如果三条边的长度分别为a、b、c，则“a+b>c”。
角角边定理是一个关于三角形的重要定理，它是非常重要的一个基础定理，在很多数学问题中，它都使用到了。
它能够提供用户对三角形及其角边的重要信息，例如求解三角形三条边长度等。
早在古希腊时期，定理就已经被提出。
当时，数学家艾西莫斯就已经得出了三角形的三边规律，即“a+b>c”。
此外，他还发现，当三角形的某一边较长时，对应的两个角就会变小。
这就是角角边定理的基本思想。
古代数学家认为，三角形的三边的长度应当符合a+b>c的关系，否则就不能构成三角形。
在18世纪，英国数学家约翰杰斐逊将这一定理推广到了几何学中，他把它称为“角角边定理”。
杰斐逊把它应用到了多边形，证明了它对求解多边形的面积和周长也有着重要的意义。
角角边定理也可以用于求解其他几何问题。
比如，它可以用来计算三角形内角平分线的长度，也可以用来求解三角形的外接圆半径。
它还可以用来求解斜三角形的面积，也可以用来求解椭圆的周长等等。
角角边定理也在现代几何学中得到了广泛应用，它在很多几何问题的求解中都起着重要的作用。
比如，它可以用来计算正多边形的内角和外角，可以用来求解正多边形的面积和周长，甚至可以用来求解曲线的交点等等。
由于角角边定理在几何学中有着重要的作用，因此，它已经被定义为几何学的基本定理。
它不仅在数学领域有着重要的应用，而且在工程学中也有很多应用。
比如，在建筑工程中，它可以用来设计几何形状，用来求解室内墙体的面积和角度等等。
显然，角角边定理是一个非常重要的几何定理，它在很多几何问题中都发挥着重要的作用。
它的作用和意义不仅仅是几何学中的，它在工程学中也有重要的应用。
希望本文可以帮助读者更好地理解角角边定理，并将它应用到实践中。
第3课时“角边角”和“角角边”习题课件
解析：根据SSA全等条件，如果两条边和一个非夹角分别相等，那么这两个三角形不一定全等。
题目：两个三角形中，如果两条边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形是否全等？ 解析： 根据SAS全等条件，如果两条边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
相关定理的拓展学习
角边角定理的推广： 在三角形中，如果 两个角和一边相等， 则三角形全等。
角角边定理的推广： 在三角形中，如果 两个角和一边相等， 则三角形相似。
边边角定理的推广： 在三角形中，如果两 边和一边的对角相等， 则三角形相似。
三角形相似的判定定理： 如果两个三角形的两组 对应边成比例，且夹角 相等，则三角形相似。
掌握常见的解题方 法，如构造辅助线、 利用公共边和公共 角等。
学会分析题目中 的条件，寻找合 适的解题思路。
解题思维训练
掌握基本概念：理解角边角和角角边的定义及判定定理，是解题的基础。 分类讨论：根据不同情况，进行分类讨论，是解题的关键。 综合运用：综合运用相关知识，是解题的核心。 思维拓展：通过解题训练，拓展思维，提高解题能力。
添加副标题
角边角和角角边习题课件
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 角边角定理及其应 用
03 角角边定理及其应 用
04 习题解答与解析
05 解题思路与技巧
06 习题拓展与延伸
添加章节标题
角边角定理及其应用
定义：角边角定理是指两个三角形 如果有两个角和一边分别相等，则 这两个三角形全等。
人教版八年级上数学课件“角边角”、“角角边”
60°
人教版八年级上数学课件 12.2 第3课时 “角边角”、“角角边”(共23张PP T)
45°
人教版八年级上数学课件 12.2 第3课时 “角边角”、“角角边”(共23张PP T)
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等
(简写成“角边角”或“ASA”）.
A
▼几何语言：
在△ABC和△A′ B′ C′中， B
C
∠A=∠A′ ，
A′
AB=A′ B′ ，
∠B=∠B′ ，
B′
C′
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
人教版八年级上数学课件 12.2 第3课时 “角边角”、“角角边”(共23张PP T)
简写成“角角边”或“AAS”.
A
在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′，
∠B=∠B′ ，
B
C
A′
AC=A′C ′，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）. B ′
C′
人教版八年级上数学课件 12.2 第3课时 “角边角”、“角角边”(共23张PP T)
人教版八年级上数学课件 12.2 第3课时 “角边角”、“角角边”(共23张PP T)
人教版八年级上数学课件 12.2 第3课时 “角边角”、“角角边”(共23张PP T)
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB．
证明：在△ABC和△DCB中，
A
D
∠ABC＝∠DCB，
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC，
B
三角形全等的边角边判定定理的由来
三角形全等的边角边判定定理的由来三角形全等的边角边判定定理是几何学中一个重要的判定全等三角形的定理，它指出，如果两个三角形的一个角和两边分别与另一个三角形的一个角和两边相等，那么这两个三角形全等。
下面将详细介绍这个定理的由来。
边角边判定定理最早可以追溯到古希腊时期的几何学家欧几里得（Euclid）。
欧几里得在他的著作《几何原本》（Elements）中系统地阐述了欧几里得几何的基本原理和定理，边角边判定定理就是其中的一条。
在欧几里得的几何系统中，全等的概念是一个基本的概念。
两个几何图形全等意味着它们具有相同的形状和大小。
欧几里得通过不同的方法证明了一些三角形的全等判定定理，比如SAS（边角边）、SSS （边边边）和ASA（角边角）等定理，这些定理在后来的几何学研究中得到了广泛应用。
边角边判定定理的证明一般采用辅助线的方法。
首先，我们假设有两个三角形ABC和DEF，假设∠ABC=∠DEF，AB=DE，BC=EF。
我们需要证明这两个三角形全等。
为了证明这个定理，我们可以引入一个辅助线，将两个三角形重叠在一起。
首先，我们可以在两个三角形的共同顶点B和E之间画一条线段BE，然后通过顶点B和E分别画出射线BA和ED。
由于∠ABC=∠DEF，所以射线BA和射线ED的方向是一样的。
然后，我们可以利用已知条件AB=DE和BC=EF，将BE分别延长到交点C和F。
根据欧几里得的几何原理和已知条件，我们可以得到下列结论：1. ∠ABC=∠DEF（已知）；2. AB=DE（已知）；3. BC=EF（已知）；4. ∠ABE=∠BDE（公共角）；5. ∠BCA=∠EFA（公共角）。
根据欧几里得几何的公理和等角的定义，我们可以得到以下等式：1. ∠ABC=∠DEF（已知）；2. AB=DE（已知）；3. BC=EF（已知）；4. ∠ABE=∠BDE（公共角）；5. ∠BCA=∠EFA（公共角）；6. AC=AF（共线）。
由于两个三角形的三个边和三个角分别相等，满足等价性的条件，所以我们可以得出结论，两个三角形ABC和DEF全等。
两角一边
例如：
已知如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D 已知如图， ， 求证： 求证：AC = AD
证明：在△ABC和△ABD中 ∠1 = ∠2 ∠C = ∠D AB = AB D
A
2 1
B
∴△ABC≌△ABD（AAS） ∴AC = AD（？）
C
A 口答：
A′
B
C
B′
C′
1.两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，这两个直角 三角形全等吗？为什么？
B′
C′
角边角定理的证明过程： 角边角定理的证明过程：
证明： 证明：在 ∆ABC和∆A′B′C ′中 ∵
A
∠A = ∠A′ ∠ B = ∠ B ′ ∠C =180 −( ∠A+∠B)
B
(三角形内角和性质 三角形内角和性质) 三角形内角和性质
C
∠C ′ = 180 − ( ∠A′ + ∠B′ ) (三角形内角和性质 三角形内角和性质) 三角形内角和性质
∠AOC = ∠BOD
∴ ∆AOC ≅ ∆BOD
( （ ASA) ）
已知如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D 已知如图， ， 求证： 求证：AC = AD
证明：在△ABC和△ABD中 ∠1 = ∠2 ∠C = ∠D AB = AB D
A
2 1
B
∴△ABC≌△ABD（AAS） ∴AC = AD（全等三角形对应边相等）
A
B
D
E
C
∆ 如图,O是 的中点 ∠ 的中点， 全等吗? 如图 是AB的中点， A =∠B， AOC与∆BOD全等吗 为什么？ 为什么？
C
两角和夹边 对应相等
A
O
B
Q 在 ∆AOC和∆BOD
全等三角形的判定定理(角边角)
1.我们已学过判定两个三角形全等的简便方法是什么?判定三角形全等是不是还有其它方法呢？
2.有一块三角形纸片撕去了一个角,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗?
1.如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果BC=B′C′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,你能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与△A′B′C′重合吗？
布置作业:教材P80“练习”.
个人反思
本节课从复习旧知识入手，把知识点问题化，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材在内容安排上螺旋上升的特点.采用自主探究、合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在经历知识产生发展的过程中，体会“学数学”的乐趣.
∠3=180°-∠1-∠D(三角形内角和定理）
∵在△ACB中，
∠4=180°-∠2-∠C(三角形内角和定理）
而∠1=∠2，∠D=∠C（已知）
∴∠3=∠4（等量代换）
∴在△ADB和△ACB中
∠1=∠2(已知）；
AB=AB（公共边）；
∠3=∠4（已证）.
∴△ADB≌△ACB（ASA)
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充
理由是：
∵O是AB的中点(已知）
∴AO=BO（线段中点定义）
又∵AB与CD相交于点O（已知）
∴∠1=∠2（对顶角相等）
在△AOC与△BOD中，2（已证）.
三角形全等的判定1-第3课时-“角边角”、“角角边”
目录
CONTENTS
• 引言 • 角边角判定 • 角角边判定 • 课堂练习与解析 • 总结与回顾
01 引言
CHAPTER
课程目标
掌握“角边角”和“ 角角边”两种三角形 全等的判定方法。
理解三角形全等在几 何学中的重要性和应 用。
能够运用这两种判定 方法解决实际问题。
在下节课中，我们将深入探讨三角形 全等的各种判定方法，并学习如何运 用这些判定方法解决更复杂的几何问 题。
谢谢
THANKS
04 课堂练习与解析
CHAPTER
基础练习题
总结词：巩固基础
详细描述：基础练习题主要涉及三角形全等判定中的“角边角”和“角角边”定 理的基本应用，通过简单的题目帮助学生理解并掌握这两种判定方法的基本概念 和条件。
进阶练习题
总结词：提升难度
详细描述：进阶练习题在基础练习题的基础上增加了一些难度，题目中可能涉及到一些复杂的图形和 条件，需要学生灵活运用“角边角”和“角角边”定理进行解答，以提高学生的解题能力和思维灵活 性。
应用示例
在解决实际问题时，如测量、工程设计等，经常需要证明两个三角形是否全等， 此时可以使用角边角判定定理进行证明。
03 角角边判定
CHAPTER
定义与性质
定义
角角边判定是指两个三角形中，两个角和一边分别相等，则这两个三角形全等。
性质
角角边判定是三角形全等判定的一种，它具有传递性、对称性和不可分解性。
判定定理及证明
判定定理
如果两个三角形中，两角和一边分别相等，则这两个三角形 全等。
证明
首先，根据已知条件，两个三角形有两个角分别相等，则第 三个角也必然相等（角的和定理）。其次，已知一边相等， 结合前面的三个角分别相等，根据全等三角形的判定定理， 可以证明两个三角形全等。
教学课件：第3课时-“角边角”、“角角边”
证明与推导
总结词
掌握“角边角”定理的证明与推导过 程是深入理解该定理的关键。
详细描述
“角边角”定理的证明可以通过构造 辅助线，利用已知条件和三角形的基 本性质进行推导。具体证明过程可以 参考数学教材或相关资料。
应用实例
总结词
通过应用实例，可以更好地理解和运用“角边角”定理。
详细描述
应用“角边角”定理可以解决一些实际问题，例如在几何图 形中证明两个三角形全等，或者在解题过程中利用全等关系 简化计算。
教学课件：第3课时-“角边角” 、“角角边”
目录
• 引言 • “角边角”定理 • “角角边”定理 • 习题与解答 • 总结与回顾
01 引言
主题简介
01
角边角（ASA）和角角边（AAS） 是三角形全等的两种重要判定方法。
02
通过学习这两种判定方法，学生 将能够理解三角形全等的条件， 并能够在实际问题中应用这些条 件。
学生还需要注意理解和掌握定理的证 明过程，了解数学证明的基本方法和 思路，提高自己的数学素养和逻辑思 维能力。
在学习过程中，学生需要积极思考和 参与课堂讨论，通过实际操作和探究， 培养自己的数学思维能力和解决问题 的能力。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
答案3
由于$angle A = 45^circ$，$angle B = 30^circ$，所以$angle C = 180^circ - 45^circ - 30^circ = 105^circ$。根据三角形内角和定理， 我们可以得到$triangle ABC$是等腰 三角形。因此，三角形的高等于底边 的一半，即$h = frac{BC}{2} = 1$。 所以，三角形$ABC$的面积为 $frac{1}{2} times BC times h = fra04 习题与解答
三角形的全部定理
三角形的全部定理
三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和定理。
三角形的全部定理是一系列关于三角形边长、角度和面积的定理。
1. 三角形的内角和定理（角度定理）：任意三角形的三个内角之和等于180度。
这个定理有助于计算未知角度，或者判断给定角度是否构成三角形。
2. 三角形的外角和定理：任意三角形的一个外角等于其余两个内角
之和。
这个定理可以帮助我们计算外角的大小。
3. 三角形的边长关系定理（边长定理）：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
这个定理可以用来判断给定的边长是否能够构成一个三角形。
4. 三角形的角边关系定理（角边定理）：在任意三角形中，两个角的夹边之比等于这两个角的正弦之比。
这个定理可以用来计算或比较三角形的边长和角度。
5. 三角形的正弦定理：在任意三角形中，三个角的正弦之比等于对
边的长度之比。
这个定理可以用来计算未知边长或角度。
6. 三角形的余弦定理：在任意三角形中，边的平方等于另外两边平方之和减去这两边与这个边所夹角的余弦乘积的两倍。
这个定理可以用来计算未知边长或角度。
除了上述定理外，还有许多其他与三角形相关的定理，如角平分线定理、中位线定理、高线定理等等。
这些定理在解决三角形相关问题、计算三角形的面积、判断三角形的形状等方面都有重要的应用。
掌握这些定理可以帮助我们更好地理解和分析三角形的性质。
三角形边边角公式
三角形边边角公式
三角定律，简单的说就是五条数学定律。
正弦定理、余弦定理、直角三角形中的射影定理、大角对大边定理、内角平分线定理。
该定律的作用，是通过对行情前期图形的角度形态来判断未来走势的方向及潜力。
把人们常说的“盘感”用数学几何图形做出逻辑的诠释。
该定律有助于对大周期，小周期之间的结构关系进行全局性的理解。
对临界点的发现有极其精确的锁定。
三角定律是对趋势结构阐述的最为精辟的理论之一。
等边三角形（ 又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。
等边三角形也是最稳定的结构。
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
三角形的边角关系公式为：
1、正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC。
2、余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosA，c²=a²+b²-2abcosA。
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学数学
用数学
数学是有用的
作业布置： 课作：完成课本80页第2题； 家作：完成学法大视野P47
变式1-1、1-2
例2、如图所示,小明测量河宽AB时，从河岸的A点沿
着和AB垂直的方向走到C,并在AC的中点E处立一根标杆， 然后从C点沿着和AC垂直的方向走到D,使D，E，B恰好 在一直线上．于是小明说“ CD 的长就是河的宽”你能 说出这个道理吗？
解 在△AEB和△CED中
∠A = ∠C AE = CE ∠AEB＝∠CED
(
对顶角相等 )
∴△AEB≌△CED（ ASA ） ∴AB=CD（ 全等三角形的对应边相等 ）
所以，CD的长就是河的宽度.
用 数 学 知 识 解 决 实 际 问 题
练习
1、 如图， 已知∠ABC＝∠DCB， ∠ACB＝ ∠DBC。 求证：△ABC≌△DCB。
图 19.2.9
2、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE 和 △ACD全等吗？为什么？ A
创设情境,问题引入
怎么办？可以帮帮我 吗？
如图,小明不慎将一块三 角形模具打碎为三块,他是否 可以只带其中的一块碎片到 商店去,就能配一块与原来一 样的三角形模具呢? 如果可 以,带哪块去合适?你能说明 其中理由吗?
①
②
③
在△ABC 与△A'B'C'中,若 AB=A'B& 那么△ABC 与△A'B'C'全等吗?
C C'
B
A
全等
B'
A'
可见，两个三角形全等，即
△ABC≌ △ A′B′C′ 所以，两角及其夹边分别相等的 两个三角形全等，简称角边角或ASA。
用符号语言表达为： 在△ABC与 △ A′B′C′中
∠A = ∠ A′ AB= A′B′ ∠B = ∠ B′
∴△ABC≌ △ A′B′C′ （ASA）
帮帮小明
怎么办？可以帮帮我 吗？
如图,小明不慎将一块三 角形模具打碎为三块,他是否 可以只带其中的一块碎片到 商店去,就能配一块与原来一 样的三角形模具呢? 如果可 以,带哪块去合适?你能说明 其中理由吗?
第①块
角边角定理
① ② ③
典例分析
例1
如图：已知 AD∥BC ，∠B=∠D, AD=BC
求证：△ADF≌△CBE
巩 如图，要证明△ABC≌ △DEF,根据给定的条件 固 和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。 练 (SAS) 习 （1）AB∥DE，BC=EF， AB=DE
1=∠2 ( 2) AB∥DE BC=EF， ∠ ________ ( 3) BF=CE， ∠B=∠E ∠1=∠2
(ASA)
(ASA)
D E
B
C
知识小结： 1、本节课我们学习的是三角形全等的判 定方法2（两角及其夹边分别相等的两个 三角形全等，简称角边角或ASA），通过 学习我们可以证明三角形全等，进一步可 以证明对应边相等、对应角相等。
2、图形中常见的隐含条件：
公共边 公共角
对顶角
3、到目前为止，我们共学了几种判定 三角形全等的方法？ （SAS、ASA）