平稳自回归模型的系数估计与应用
运用Eviews软件进行ARIMA模型的识别、诊断、估计和预测
实验五 ARIMA 模型的概念和构造一、实验目的了解AR ，MA 以及ARIMA 模型的特点，了解三者之间的区别联系，以及AR 与MA 的转换，掌握如何利用自相关系数和偏自相关系数对ARIMA 模型进行识别，利用最小二乘法等方法对ARIMA 模型进行估计，利用信息准则对估计的ARIMA 模型进行诊断，以及如何利用ARIMA 模型进行预测。
掌握在实证研究如何运用Eviews 软件进行ARIMA 模型的识别、诊断、估计和预测。
二、基本概念所谓ARIMA 模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。
ARIMA 模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA ）、自回归过程（AR ）、自回归移动平均过程（ARMA ）以及ARIMA 过程。
在ARIMA 模型的识别过程中，我们主要用到两个工具：自相关函数(简称ACF ），偏自相关函数(简称PACF)以及它们各自的相关图（即ACF 、PACF 相对于滞后长度描图）。
对于一个序列 来说，它的第j 阶自相关系数(记作 )定义为它的j 阶自协方差除以它的方差，即 j ρ＝ j 0γ ，它是关于j 的函数，因此我们也称之为自相关函数，通常记ACF(j)。
偏自相关函数PACF(j)度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。
三、实验内容及要求 1、实验内容：根据1991年1月～2005年1月我国货币供应量（广义货币M2）的月度时间数据来说明在Eviews3.1 软件中如何利用B-J 方法论建立合适的ARIMA （p,d,q ）模型，并利用此模型进行数据的预测。
2、实验要求：（1）深刻理解上述基本概念；（2）思考：如何通过观察自相关，偏自相关系数及其图形，利用最小二乘法，以及信息准则建立合适的ARIMA 模型；如何利用ARIMA 模型进行预测； （3）熟练掌握相关Eviews 操作。
自回归模型的参数估计
自回归模型的参数估计 1.局部调整模型的估计对于局部调整模型*1)1(t t t t u Y X Y +-++=-δδβδα，有t t u u δ=*，假定原模型中随机扰动项t u 满足古典假定，即0)(=t u E ，2)(σ=t u Var ，(,)0i j Cov u u i j =≠则有 ()()**21111(,)()()()0t t t t t tt t C o v u u E uE u uE u E u u δδδδδ----=--==*111(,)(,)(,)0t t t t t t Cov Y u Cov Y u Cov Y u δδ---===由此可见，随机解释变量1-t Y 与i u 不相关；随机扰动项i u 也不存在自相关，因此可以直接用最小二乘法对其进行估计。
具体操作过程如下 例1天津市城镇居民人均消费性支出Y 与人均可支配收入X 的关系 年份 人均消费性支出Y 人均可支配 收入X 年份 人均消费性支出Y 人均可支配收入X 1978 344.88 388.32 1990 731.203 831.9391 1979 381.386139 421.188119 1991 730.4053 849.8296 1980 447.00565 496.158192 1992 788.7386 925.7155 1981 451.981395 501.87907 1993 816.5225 973.7201 1982 459.352451 533.506013 1994 936.2933 1129.362 1983 479.594843 556.45488 1995 999.5327 1212.378 1984 542.169982 658.381555 1996 1055.869 1346.505 1985 616.512 700.416 1997 1139.044 1446.391 1986 710.389222 800.606287 1998 1203.478 1564.131 1987 751.079944 832.741935 1999 1301.497 1701.475 1988 767.168566 797.660468 2000 1366.9211817.89919896712.256276772.892259建立局部调整模型 t t t u X Y ++=βα*，将模型形式转化成下面的形式：*1*1*0*t t t t u Y X Y +++=-ββα然后直接用OLS 法估计模型参数。
实验二：ARMA模型建模与预测实验报告
实验二：A R M A模型建模与预测实验报告(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--课程论文（2016 / 2017学年第 1 学期）课程名称应用时间序列分析指导单位经济学院指导教师易莹莹学生姓名班级学号学院(系) 经济学院专业经济统计学实验二 ARMA模型建模与预测实验指导一、实验目的：学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA 模型的阶数p 和q ，学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。
掌握在实证研究中如何运用Eviews 软件进行ARMA 模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。
二、基本概念：宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。
AR 模型：AR 模型也称为自回归模型。
它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测， 自回归模型的数学公式为:1122t t t p t p t y y y y φφφε---=++++式中: p 为自回归模型的阶数i φ（i=1，2， ，p ）为模型的待定系数，t ε为误差， t y 为一个平稳时间序列。
MA 模型：MA 模型也称为滑动平均模型。
它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。
滑动平均模型的数学公式为:1122t t t t q t q y εθεθεθε---=----式中: q 为模型的阶数； j θ（j=1，2， ，q ）为模型的待定系数；t ε为误差；t y 为平稳时间序列。
ARMA 模型：自回归模型和滑动平均模型的组合， 便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA ， 数学公式为:11221122t t t p t p t t t q t q y y y y φφφεθεθεθε------=++++----三、实验任务：1、实验内容：（1）根据时序图判断序列的平稳性；（2）观察相关图，初步确定移动平均阶数q和自回归阶数p；（3）对某企业201个连续生产数据建立合适的(,)ARMA p q模型，并能够利用此模型进行短期预测。
AR（p）模型参数估计方法比较和实证分析
AR（p）模型参数估计方法比较和实证分析陈杨林;刘业【摘要】对时间序列AR（p）模型的参数估计YULE-WALKER法、最小二乘法、最大似然法三种估计方法进行分析和比较，从模型推导出最小二乘估计、最大似然估计实质上是同一种估计方法，应用MATLAB软件对我国CPI数据建立AR（2）模型并应用3种方法对其参数进行估计、模型检验、预测结果比较，得出的结论与理论推导相符，实证上说明 AR（p）模型参数估计使用最小二乘法和最大似然法估计的结果是一样的。
%By analyzing and comparing YULE-WALKER,least squares method and maximum likelihood es-timation method of time series AR (p)model,least squares method and maximum likelihood estimation method are found essentially the same kind of estimate method.Building China's CPI data AR (2)model by using MATLAB software and then applying three methods to estimate the parameters,check the models and compare the prediction results,the conclusion obtained are found consistent with the theoretical deriva-tion.The empirical analysis shows the estimated results of AR (p)model parameter are the same by using least squares method and maximum likelihood method.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】4页(P124-127)【关键词】AR(p)模型;最小二乘估计;最大似然估计【作者】陈杨林;刘业【作者单位】九江职业技术学院，江西九江 332007;九江职业技术学院，江西九江 332007【正文语种】中文【中图分类】O211.61时间序列分析是数理统计中的一个重要分支是用数理统计和随机过程研究随机数据的规律最早起源于1927年，它在经济、信息等领域的研究和应用越来越活跃，George E.P.Box和 Gwilym M.Jenkins（1979）合著的《Time Series Anaysis －Forecasting and Control》一书［1］引起广泛的重视，但在我国，时间序列分析从70年代末到80年代中后期才得以深入研究和应用。
随机过程的自回归模型
随机过程的自回归模型随机过程是描述随机事件随时间变化的数学模型。
自回归模型是一种常用的随机过程模型，它假设当前时刻的随机变量值与前一时刻以及过去的随机变量值有关。
一、引言随机过程在众多领域中都有广泛的应用，如金融领域的股票价格变动、通信领域的信号传输、天气预测等。
为了更好地描述随机过程中的随机性和变化规律，研究者提出了各种各样的统计模型。
其中，自回归模型是一种重要的方法。
二、自回归模型的基本概念自回归模型是指当前时刻的随机变量值与前一时刻以及过去的随机变量值之间存在一定的关系。
自回归模型可以用数学表达式表示为：X(t) = c + Σ(ai * X(t-i)) + ε(t)其中，X(t)表示当前时刻的随机变量值，c为常数项，ai为系数，X(t-i)表示过去时刻的随机变量值，ε(t)为噪声项。
三、自回归模型的特点1. 随机性：自回归模型中的噪声项ε(t)具有随机性，能够很好地描述随机过程中的不确定性。
2. 滞后效应：自回归模型中的系数ai表示随机变量值与过去时刻的关系，不同的系数对应不同的滞后效应。
3. 参数估计：自回归模型中的系数ai可以通过最小二乘法等统计方法进行估计，得到模型的参数。
四、自回归模型的应用1. 金融领域：自回归模型可以用于股票价格预测、汇率波动预测等金融领域的分析和建模。
2. 信号处理：自回归模型可以用于信号压缩、降噪等信号处理的应用中。
3. 时序数据分析：自回归模型可以用于时序数据的分析和预测，如天气预测、销售预测等。
五、自回归模型的改进和扩展1. 非线性自回归模型：在自回归模型的基础上引入非线性关系，提高模型的拟合能力。
2. 高阶自回归模型：考虑更多过去时刻的随机变量值，提高模型的时序预测能力。
3. 多变量自回归模型：考虑多个随机变量之间的关系，更好地描述多维随机过程。
六、总结自回归模型是一种常用的随机过程模型，能够很好地描述随机性和变化规律。
它在金融、信号处理、时序数据分析等领域有广泛的应用。
差分整合移动平均自回归模型
差分整合移动平均自回归模型差分整合移动平均自回归模型，简称ARIMA模型，是一种常用的时间序列分析方法。
它可以用来对非平稳时间序列进行建模和预测，常用于经济、金融、股票、气象等领域。
本文将介绍ARIMA模型的基本原理、建模方法和应用实例。
一、ARIMA模型的基本原理ARIMA模型是由自回归（AR）、移动平均（MA）和差分（I）三个部分组成的。
其中，自回归部分是指用过去的数据来预测未来的数据，移动平均部分是指用过去的误差来预测未来的数据，差分部分是指对非平稳序列进行差分处理，使其成为平稳序列。
ARIMA模型的一般形式可以表示为ARIMA(p,d,q)，其中p是自回归项数，d是差分次数，q是移动平均项数。
ARIMA模型的基本原理是建立在时间序列的平稳性基础上的。
平稳序列是指时间序列的均值、方差和自协方差函数都不随时间发生变化。
在实际应用中，很多时间序列都是非平稳的，例如股票价格、经济增长率等，这时需要对其进行差分处理，使其成为平稳序列。
二、ARIMA模型的建模方法ARIMA模型的建模方法包括模型识别、参数估计、模型检验和预测四个步骤。
1. 模型识别模型识别是指确定ARIMA模型的阶数。
一般采用自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来进行识别。
ACF是指时间序列的自协方差函数，PACF是指在去除其他相关性的影响后，时间序列的自相关函数。
通过观察ACF和PACF的图形，可以确定ARIMA模型的阶数。
一般情况下，如果ACF呈现出指数衰减的趋势，而PACF在某个阶数后截尾，就可以确定AR模型的阶数。
如果ACF和PACF都呈现出指数衰减的趋势，就可以确定MA模型的阶数。
如果ACF呈现出周期性的趋势，就可以确定差分的阶数。
2. 参数估计在确定了ARIMA模型的阶数之后，需要对模型的参数进行估计。
估计方法包括最小二乘估计法、极大似然估计法和贝叶斯估计法等。
其中，最小二乘估计法是指通过最小化残差平方和来估计模型的参数；极大似然估计法是指通过最大化似然函数来估计模型的参数；贝叶斯估计法是指通过贝叶斯公式来估计模型的参数。
自回归模型法
自回归模型法什么是自回归模型法自回归模型法（Autoregressive Model）是一种用于时间序列预测和分析的统计方法。
它基于时间序列中的自相关性，通过使用过去若干时间点的数据来预测未来的观测值。
自回归模型法广泛应用于经济学、金融学、气象学等领域，有助于我们理解时间序列数据的变化规律，进行预测和决策。
自回归模型法的基本原理自回归模型法的基本原理是建立一个线性模型，其中包括时间序列观测值和之前的观测值之间的关系。
它假设当前观测值与之前若干个观测值之间存在一种确定的关系，可以用线性方程来表示，其中过去的观测值是预测当前观测值的重要因素。
自回归模型法具体的形式可以表示为：其中，是当前观测值，是常数项，是自回归系数，是过去的观测值，是误差项。
自回归模型法的关键是确定自回归系数和误差项的取值。
通常使用最小二乘法来估计自回归系数，使得观测值和预测值之间的误差最小化。
通过对时间序列的历史数据进行拟合，可以得到一个自回归模型，用于预测未来观测值。
自回归模型法的应用举例1.经济预测：自回归模型法可以应用于经济领域的预测和决策。
例如，可以使用过去几个季度的经济数据，预测未来几个季度的经济增长率，以指导政府制定宏观经济政策。
2.股票价格预测：自回归模型法可以应用于股票市场的预测和交易决策。
通过分析历史股票价格数据，可以建立一个自回归模型，用于预测未来股票价格的涨跌趋势，帮助投资者做出买入或卖出的决策。
3.气象预测：自回归模型法可以应用于气象学中的天气预测。
通过分析过去几天或几周的气象数据，可以建立一个自回归模型，预测未来几天的气温、降雨量等天气指标，为农作物种植、航空运输等提供参考。
自回归模型法的优缺点自回归模型法具有以下优点：•能够捕捉时间序列数据中的自相关性，提供对未来观测值的预测。
•模型结构简单，易于理解和实现。
•可用于分析和理解时间序列数据的变化规律，揭示隐藏在数据背后的规律和趋势。
然而，自回归模型法也存在一些缺点：•假设观测值之间存在线性关系，可能无法准确描述非线性的时间序列数据。
arima法
arima法Arima法（自回归移动平均模型）是一种广泛应用于时间序列分析和预测的统计方法。
它结合了自回归和移动平均两种模型，并利用历史数据来建立模型，以便对未来的值进行预测。
Arima法被广泛用于经济学、金融学、天气预报、股票市场等领域。
Arima法的原理和使用方法如下：1. AR (AutoRegressive) 模型：自回归模型基于序列自身的历史值来预测未来的值。
该模型假设未来的值与过去的值存在相关性，并且通过自回归系数来描述相关性的程度。
AR模型用于描述序列在时间上的相关性，即当前值与前几个值的关系。
2. MA (Moving Average) 模型：移动平均模型通过过去时间段的预测误差来预测未来的值。
该模型假设预测误差之间存在相关性，并且通过移动平均系数来描述相关性的程度。
MA模型用于描述序列随机波动的特征，即当前值与随机错误的关系。
3. 差分运算：差分运算是指对序列进行一阶或二阶等差分，以减小序列的非稳定性。
通过差分运算，可以将非平稳序列转变为平稳序列，然后应用AR或MA模型进行建模。
4. 模型选择：根据实际情况，选择合适的AR和MA的阶数以及差分阶数。
可以通过自相关图(ACF)和偏自相关图(PACF)来确定模型的阶数。
ACF图表示序列与滞后版本(延迟期数)的相关性，PACF图表示序列与滞后版本之间的直接相关程度。
5. 参数估计：根据历史数据，对ARIMA模型的参数进行估计。
常用的估计方法有最小二乘法、极大似然法和贝叶斯方法等。
6. 模型检验：利用残差序列对模型进行检验。
残差序列应该是一个纯随机序列，即没有任何包含信息的模式。
可以通过自相关图和Ljung-Box统计检验对残差序列进行检验。
7. 模型预测：利用已建立的ARIMA模型对未来值进行预测。
预测的置信区间可以通过残差的标准差来构建。
Arima法的优点在于它能很好地应对非平稳序列，并且能够捕捉到序列中的长期和短期相关性。
同时，Arima法具有较强的预测能力，并能提供预测的置信区间。
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第31卷 第15期2009年8月武 汉 理 工 大 学 学 报JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVo l.31 N o.15 A ug.2009DOI:10.3963/j.issn.1671-4431.2009.15.036平稳自回归模型的系数估计与应用张子杰1,张 晖2,高淑荣1(1.河北工程技术高等专科学校,沧州061001;2.中国铁路物资总公司,北京100032)摘 要: 在自然科学及经济学的很多领域,需对以往记录的数据进行时序分析,确定出随机模型,然后对未来可能出现的结果进行预报。
A R (n ,0)是适应范围较广的一类模型,使用时必须由样本对参数作出估计。
文中对A R (n ,0)模型的参数估计公式进行推导,并用一个实例给出A R (3,0)模型在预报问题中的应用。
关键词: 时间序列; AR 模型; 自相关函数; 自回归方程中图分类号: T B 114文献标识码: A文章编号:1671-4431(2009)15-0135-03Paper Makes Estimation and Application on Coefficient forStable Automatic Regression ModelZH AN G Zi -j ie 1,ZHAN G H ui 2,GAO Shu -rong 1(1.Hebei Engineering and T echnical College,Cang zhou 061001,China;2.China Railw ay M ater ials Co mmercial Co rp,Beijing 100032,China)Abstract : In many fields of natur al science and economics,the previous recorded data are needed to have time -sequence analysis so as to determine the random model.T hen the predictio n is made on the would -be result.A R (n,0)is a w idely applied model,which makes estimation on coefficient by means of sample if applicable.T his is a deduction on the estimation formula for the coefficient o f A R (n,0)model and shows ho w A R (3,0)model is applied to prediction by means of ex ample..Key words: t ime series; AR model; sel-f relative function; autor eg ressive equation收稿日期:2009-03-26.作者简介:张子杰(1954-),男,副教授.E -mail:zhangzijie01@1 问题的提出在时序分析中,设X t 为平稳时间序列,称X t -U 1X t-1-U 2X t-2-,-U n X t -n =a t(1)为n 阶平稳自回归模型[1],记为A R (n ,0),称U 1、U 2,U n 为自回归系数。
A R (n ,0)模型是用概率统计的方法分析随时间变化的随机数据序列,描述平稳时间序列X t 自身某一时刻和前n 个时刻的相互关系。
由于它形式简单,用这种模型对数据进行拟合是比较方便的。
同时它还便于分析数据的结构和内在性质,也便于在最小方差意义下进行最佳预报。
因此,它的应用范围是广泛的。
但在使用模型解决实际问题时,应首先确定模型的系数。
在相关文献中,易查阅到自相关函数满足yule -w alker 方程[2],但未提及由样本确定自回归系数问题。
2 AR (n,0)模型的系数估计为方便起见,不妨设X c t 为中心化的平稳时间序列,则自回归模型A R (n ,0)可改写为X c t =U 1X c t-1+U 2X c t-2+,+U n X c t-n +a ct(2)其中误差a c t )N (0,R 2a )。
此时AR (n ,0)的系数满足yule-Walker 方程。
U 1+U 2Q (1)+,+U n Q (n -1)=Q (1)U 1Q (1)+U 2+,+U n Q (n -2)=Q (2),U 1Q (n -1)+U 2Q (n -2)+,+U n =Q(n)(3)方程组(3)的解U 1,U 2,,,U n 即为A R (n ,0)模型的系数。
在实际应用中,用样本自相关函数r (k )代替总体值Q (k ),得到U i 的估计值U ^i 满足的n 元方程组U ^1+U ^2r (1)+,+U ^n r (n -1)=r (1)U ^1r (1)+U ^2+,+U ^n r (n -2)=r (2),U ^1r (n -1)+U ^2(n -2)+,+U ^n =r (n)(4)式中r (k ),k =1,2,,n 由下式确定r (k )=1S 2(n -k)E n-k t=1X t X t+k(5)此处,X t 为中心化的样本值,S 2为样本方差[3]。
用递推法求式(4)的解,设式(4)的解U ^k =U ^nk (k =1,2,,,n)当n =1时,有 U ^11=r (1)当n =2时,有U ^21+U ^22r (1)=r (1)U ^21r (1)+U ^22=r (2)由克莱姆法则,并利用U ^11=r (1)得U ^22=r (2)-U ^11r (1)1-U ^11r (1)U ^21=U ^11-U ^22U ^11当n =3时,有U ^31+U ^32r (1)+U ^33r (2)=r (1)U ^31r (1)+U ^32+U ^33r (1)=r (2)U ^31r (2)+U ^32r (1)+U ^33=r (3)(6)可求得U ^31=U ^21-U ^33U ^22U ^32=U ^22-U ^33U ^21(7)将式(7)代入式(6)得U ^33=r (3)-U ^21r (2)-U ^22r (1)1-U 21r (1)-U 22r (2)一般地,设U ^ij 表示i 阶自回归模型的第j 个估计参数,由数学归纳法可得U ^n+1,n+1=r (n +1)-E nj =1U ^nj r (n +1-j )1-Enj =1U ^nj r (j )U ^n+1,j =U ^nj -U ^n+1,n+1U ^n,n+1-j j =1,2,,,n(8)将式(8)参数代入式(2),可得n 阶自回归预报方程X ^t =U ^1X t-1+U ^2X ^t -2+,+U ^n X t -n式中,X ^t 为中心化的估计(预报)值。
136 武 汉 理 工 大 学 学 报 2009年8月3 应用实例应用AR (3,0)模型,由水文站(数据资料是学生实习时得到的)给出的资料(见表1),对2005年流量作出预报。
表1 样本自相关函数计算表年份年平均流量Q t /(m 3#s-1)流量距平均值Q c t =Q t - Q k =0k =1k =2k =3(Q c t )2Q c t +1Q c t Q ct +1Q c t +2Q c t Q ct +2Q c t +3Q c t Q c t +31990590-45.32052.09-95.34317.09-95.34317.09-15.3693.091991540-95.39082.09-95.39082.09-15.31458.0984.7-8071.911992540-95.39082.09-15.31458.0984.7-8071.9124.7-2353.911993620-15.3234.0984.7-1295.9124.7-377.9124.7-377.91199472084.77174.0924.72092.0924.72092.09-15.3-1295.91199566024.7610.0924.7610.09-15.3-377.91-165.3-4082.91199666024.7610.09-15.3-377.91-165.3-4082.91-135.3-3341.911997620-15.3234.09-165.32529.09-135.32070.09-85.31305.091998470-165.327324.09-135.322365.09-85.314100.09194.7-32583.911999500-135.318306.09-85.311541.09194.7-26342.91184.724989.912000550-85.37276.09194.7-16607.91184.7-15754.9124.7-2106.912001830194.737908.09184.735961.0924.74809.09114.722332.092002820184.734114.0924.74562.09114.721185.09200366024.7610.09114.72833.092004750114.713156.09合计9530167773.3579069.26-4976.83-54474.92平均635.311184.895647.8-382.83-4539.581)均值 Q =115E 15t=1Q t =635.32)方差 S 2=115E 15t=1(Q c t )2=11184.893)自相关函数 r (k )=1S 2(15-k )E 15-kt=1Q c t Q ct +k k =0,1,2,3r (0)=1,r (1)=5647.8/11184.89=0.5049,r (2)=-382.83/11184.89=-0.0342,r (3)=-4539.58/11184.89=-0.4059。
4)回归系数U ^11=r (1)=0.5049 U ^22=r (2)-U ^11r (1)1-U ^11r (1)=-0.388U ^21=U ^11-U ^22U ^11=0.7008 U ^33=r (3)-U ^21r (2)-U ^22r (1)1-U ^21r (1)-U ^22r (2)=-0.2939U ^31=U ^21-U ^33U ^22=0.5868 U ^32=U ^22-U ^33U ^21=-0.1825)自回归预报方程 Q ^t =0.5868Q c t -1-0.182Q c t-2-0.2939Q ct-36)2005年预报值Q 05=Q ^05+ Q =0.5868Q c 04-0.182Q c 03-0.2939Q c02+ Q=0.5868@114.7-0.182@24.7-0.2939@184.7+635.3=643.88经检验,此预报与实际情况相符合。