最新4.2平行线分线段成比例课件PPT完整版
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4.2平行线分线段成比例++课件+2024—2025学年北师大版数学九年级上册
探究新知
如果把直线 n 向左平移到 过A1的位置，并把图中的部分线擦去，
得到新的图形，那么基本事实中的对应线段是否仍然成比例？
A1 ( ) A2
B1
a
B2
b
A1(B1)
A2
B2
A3 m
B3 c n
A3
B3
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
用几何语言表述为：
A字型
∵DE∥BC， ∴ADDB＝AECE，AADB＝AACE，BADB＝AECC.
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
A1 B1
A2
B2
A3
Hale Waihona Puke 三平两斜型a bB3 c
∵ a∥b∥c
∴
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3 A1 A3 B1B3
例1
如图，AD∥BE ∥CF，直线m,n与这三条平行线分别交于A,B,C和 D,E,F, 已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（ ） A.12.5 B.12 C.8 D.4
课堂小结 平
行 线 分 线 段 成 比 例
三
一个基本事实
个
一个推论
一
一个口诀
两个模型： 三平两斜型 A字型
数形结合 三
个
分类讨论
思
想
由特殊到一般再到特殊
感谢聆听
复习回顾
1.什么叫线段的比？ 2.什么叫成比例线段？ 3.比例的基本性质是什么？
探究新知
平行线分线段成比例
如图所示，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交
直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
初中数学北师大版九年级上册《42平行线分线段成比例》课件PPT
A．12.5
B．12
C．8
D．4
【分析】∵AD∥BE∥CF，∴ABCB＝DEFE， 即150＝E4F，解得 EF＝8.故选 C.
练习1
C
练习2
B
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可
以得出图中对应成比例的线段，
A1 A2
A3 m
B1
a
B2
b
B3 c n
直线 n 向左平移到 A1 的位置，说说图中有哪些线段成比例？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比
A
E C
练习 1 如图，在△ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BE＝AB，
EM∥BD，AE 与 BD 相交于点 F.求证：BACB＝AEFF.
证明：∵EM∥BD， ∴BBCE＝DCMD ，AEFF＝DAMD ， 而 BD 是 AC 边上的中线， ∴AD＝CD，∴BBCE＝AEFF. 又∵BE＝AB，∴ABCB＝AEFF.
平行线分线段成比例
北师大版初中数学九年级上册课件
新知导入
目
新知讲解
录
知识巩固
拓展练习
PART 01
新知导入
一、平行线分线段成比例
如图所示，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，
n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
A1
B1
a
b
A2
B2
A3
B3 c
m
n
(1) 计算 A1 A2 ，B1B，2 与
B2
a b
B3 c
思考：
(1)如何理解“对应线段”？ (2)平行线分线段成比例基本事实的符号语言如何表示？ (3)“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
平行线分线段成比例ppt课件
,
2 3 2 3
=
=
1 2 1 2
,
2 3 1 3
1 2 1 2
,
2 3 1 3
=
=
1 2 1 2
,
1 3 1 3
1 2 1 3
,
1 3 2 3
=
=
1 2 1 3
,
1 3 2 3
1 3
.
2 3
=
1 3
C,D,E,F.
(1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长;
解:∵直线l1∥l2∥l3,
4
∴ =
= =
8
1
1
1
.
∴DE=
EF= ×12=6.
2
2
2
图4-2-4
探
究
与
应
用
2
(2)如果AB= AC,DF=9,求EF的长.
5
2
解:∵AB= AC,
5
∴
=
2
.∴
5
=
究
与
应
用
应用二 利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求
线段的长
例2 (教材典题)如图4-2-7,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上
的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
解:∵EF=7,EB=5,FC=4,
·
∴AF=
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
计算
实例
探究
计算或证明
平行线分线段成 图形变换
2 3 2 3
=
=
1 2 1 2
,
2 3 1 3
1 2 1 2
,
2 3 1 3
=
=
1 2 1 2
,
1 3 1 3
1 2 1 3
,
1 3 2 3
=
=
1 2 1 3
,
1 3 2 3
1 3
.
2 3
=
1 3
C,D,E,F.
(1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长;
解:∵直线l1∥l2∥l3,
4
∴ =
= =
8
1
1
1
.
∴DE=
EF= ×12=6.
2
2
2
图4-2-4
探
究
与
应
用
2
(2)如果AB= AC,DF=9,求EF的长.
5
2
解:∵AB= AC,
5
∴
=
2
.∴
5
=
究
与
应
用
应用二 利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求
线段的长
例2 (教材典题)如图4-2-7,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上
的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
解:∵EF=7,EB=5,FC=4,
·
∴AF=
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
计算
实例
探究
计算或证明
平行线分线段成 图形变换
平行线分线段成比例ppt2ppt正式完整版
A我B们把以A上归C基本纳事实简基称为本平行事线分实线段：成比两例.条直线被一组平行线所截，所截得的
能够运用平行线分线段成比例定理及推论解决问题.
对应线段成比例； (其中k为无理数),则
由此得到以下基本事实：
如图3，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 . 你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？
交于点 A2，C2，由于
a//b//c，l3//l2，因此由
A2 A
A1 a
“夹在两平行线间的
B
B1 b
平行线段相等”可知 A2B=A1B1，
C C2
l1 l3
C1 c
l2
BC2=B1C1.
在△BAA2 和△BCC2 中： ∠ABA2=∠CBC2，BA=BC， ∠BAA2=∠BCC2，
因此△BAA2≌△BCC2. 从而 BA2=BC2, 所以 A1B1=B1C1.
线ｂ的交点分别为 A2, B2 .你在问题（１）中发现的结论还
成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？ 由此，得到以下基本事实
（2） 将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为
.
则把线段AB二等分，分点D.
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( )
MN//DE.
(2)如果AB=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少？
平行线分线段成比例ppt课件
优选平行线分线段成比例ppt课 件
学习目标
情境引入
1.学习并掌握平行线分线段成比例定理并学会运用. 2.了解并掌握平行线分线段成比例定理的推论. (重点) 3.能够运用平行线分线段成比例定理及推论解决问题.（难点）
北师大版九年级数学上册4.2 平行线分线段成比例课件(23张PPT)
DQ QE EN NG GF
B l2 E
M
N
H
G
AP PB BM MH HC
C l3
F
AP PB
DQ QE 2
BM MH HC EN NG GF 3
即 AB DE BC EF
证明（一般）
如果
AB n BC m
DE
， 那么
AB 与
BC
EF
A
相等吗？
D
l1
解：相等.理由如下：我们分别 找出AB的n等分点和BC的m等分点，
A2
A3 m
B2
b
B3 c
基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例.
若a ∥b∥ c 则
A1.A2 B1B2
A2 A3 B2 B3
A1
B1
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3
A2
A1 A3 B1B3
A3
B2 b B3 c
A1 A2 A2 A3 B1B2 B2 B3
∴ OC=6.
2.如图，DE∥BC，EF∥DC.求证： AD2＝AF·AB.
分析：要证 AD2＝AF·AB，只需证AF＝AD，由于 AF、AD、AB 在同一条直线上， AD AB
因此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比．
证明：∵DE∥BC，∴AD＝AE.∵EF∥DC，∴AF＝AE，∴AD＝AF ，即 AD2
解: ∵EF∥BC,
∴ AE AF .
EB FC
A
∵AE = 7, EB = 5 , FC = 4.
E
F
AF AE FC 7 4 28. B
EB
55
C
B l2 E
M
N
H
G
AP PB BM MH HC
C l3
F
AP PB
DQ QE 2
BM MH HC EN NG GF 3
即 AB DE BC EF
证明（一般）
如果
AB n BC m
DE
， 那么
AB 与
BC
EF
A
相等吗？
D
l1
解：相等.理由如下：我们分别 找出AB的n等分点和BC的m等分点，
A2
A3 m
B2
b
B3 c
基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例.
若a ∥b∥ c 则
A1.A2 B1B2
A2 A3 B2 B3
A1
B1
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3
A2
A1 A3 B1B3
A3
B2 b B3 c
A1 A2 A2 A3 B1B2 B2 B3
∴ OC=6.
2.如图，DE∥BC，EF∥DC.求证： AD2＝AF·AB.
分析：要证 AD2＝AF·AB，只需证AF＝AD，由于 AF、AD、AB 在同一条直线上， AD AB
因此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比．
证明：∵DE∥BC，∴AD＝AE.∵EF∥DC，∴AF＝AE，∴AD＝AF ，即 AD2
解: ∵EF∥BC,
∴ AE AF .
EB FC
A
∵AE = 7, EB = 5 , FC = 4.
E
F
AF AE FC 7 4 28. B
EB
55
C
平行线分线段成比例(2)PPT课件
A
D
l1
B
E
l2
C
F
l3
l5l4 l1 l2 l3
l5 l4 l1 l2 l3
l5
l4
l1
l2
l3
l5
l4
l1
l2
l3
l5
l4
l1
l2
l3
l5
l4
E
D
l1
A
l2
B
C
l3
数学符号语言
DE // BC E D
A
AD AE
AB =AC B
C
L5 L4
L5 L4
A
L1
ED
L1
DE
L2
A
L2
B
（过E作EG∥AC，交BC于点G)
(3）你能证明
CG BC
AE AB
吗?
（由平行线分线段成比例的基本事实易得）
(4)EF与CG存在什么关系?
（5）你能写出
AE AF EF 的证明过程吗？
AB AC BC
（6）尝试用语言叙述上述结论，并用几何 语言表示你的结论.
证明：∵EF∥BC，
∴
AE AF . AB AC
九年级数学上 新课标 [冀教]
第二十五章 图形的相似
学习新知
检测反馈
复习准备
学习新知
1.平行线分线段成比例的基本事实如何叙述?
(两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段 成比例)
2.平行线分线段成比例的基本事实能解决哪些 问题?
(证明线段成比例、求线段的长度等)
平行线分线段成比例转化到三角形中
l4 l5
,AD 1
AB 3
平行线分线段成比例定理课件
证明方法二：利用向量运算
总结词
通过向量运算，证明平行线分线段成 比例。
详细描述
首先，根据向量的加法性质，将线段 分解为与平行线平行的向量分量。然 后，利用向量的模长关系和向量平行 的性质，证明这些向量分量之间存在 比例关系。
证明方法三：利用坐标几何
总结词
通过坐标几何的方法，证明平行线分线段成比例。
2023
PART 04
平行线分线段成比例定理 的应用实例
REPORTING
实例一：解析几何中的应用
总结词
解析几何中的线段比例关系
详细描述
在解析几何中，平行线常常用于确定线段的比例关系。例如 ，在直线的平行移动过程中，线段的比例保持不变，这为解 决几何问题提供了重要的理论依据。
实例二：三角形中的比例关系
总结词
平行线间的面积比值关系是指，如果两条平行线被一条横截线所截，那么它们之间的面 积比值是相等的。
详细描述
假设有两条平行线$l_1$和$l_2$，它们被一条横截线$m$所截，形成了两个三角形 $triangle ABC$和$triangle CDE$。根据平行线分线段成比例定理，我们有
$frac{triangle ABC}{triangle CDE} = frac{AB}{CD}$。这意味着，如果$triangle ABC > triangle CDE$，则$AB > CD$，反之亦然。
总结词
三角形中的边长比例关系
VS
详细描述
在三角形中，通过平行线可以推导出边长 的比例关系。例如，在等腰三角形中，通 过底边上的平行线可以证明两腰之间的比 例关系，这对于证明某些三角形的性质和 定理非常有用。
实例三：建筑设计中的应用
平行线分线段成比例定理 ppt课件
，AB= a, BC= b,
A B
C
D E
F
l1 l2
l3
PPT课件
14
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分
别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
EB 2
(2)如果 AE 2 ， 求证：5EF 2BC 3AD
EB 3
(3)请你探究一般结论，
即如果
AE
m，
那么
EB n
可以得到什么结论。
PPT课件
20
一、平行线分线段成比例定理：
小结
三条平行线截两条直线，所得的线段对应
成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形
PPT课件
A
D
L1
BM E
L2
C
N
F
L3
3
如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？
A
D
L1
“对应”是数学的基本概念，】
图1-1中，
在l1∥l2∥l3的条件下，可分别推 出如下结论之一：
（1）简称“上比下”等于“上 比下”
（2）简称“上比全”等于“上 比全”
（3 简称“下比下”等于“下比 下”
6
ba
A
BE
L1
C
F
L2
D
G
L3
AB BE
BC EF
PPT课件
7
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.
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创设情境 温故探新
你能不通过测量快速将一根绳子分成 两部分，使得这两部分的比是2:3？
合作交流探究新知
如图（1）小方格的边长都是1，直线a∥b∥c, 分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。
（1） 计算 A1 A2 , B1B2 你有什么发现？
A2 A3 B2 B3
合作交流探究新知
ADAE42 AB AC 6 3
D
E
∵DF//AC
AD CF AB CB
BF
C
2CF,即CF16 BF8-168
38
3
33
拓展延伸 反馈练习巩固新知
2. 如图，ΔABC中，BC=a.
1
1
(1)若AD1= 3 AB，AE1= 3 AC，则D1E1= ；
(2)若D1D2=
1 3
1 D1B，E1E2= 3 E1C，则D2E2=Leabharlann FCF AB
E
DB
C
FE
C
F
C
DA
B
C
E
合作交流探究新知
例题解析
例1、如图，在△ABC中，E、F分
别是AB和AC上的点，且 EF∥BC,
（1）.如果AE = 7, EB=5，
FC = 4 ，那么AF的长是多少？
（2）.如果AB = 10, AE=6，
AF = 5 ，那么FC的长是多少？ B
C
反馈练习巩固新知
1、如图，已知l1//l2//l3, （1）.在图（1）中AB = 5, BC = 7 ，EF=4，求DE的长。 （2）.在图（2）中DE = 6, EF = 7 ，AB=5，求AC的长。
AD
l1
D
A
l1
B
E
l
EB
l
C
F
2
l3
（1）
CF
2
l3
（2）
反馈练习巩固新知
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
（2）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ 与直线ｂ的交点分别为A2，B2。你在问题（１）中 发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？
(图2）
合作交流探究新知
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条 直线，截得的线段成比例吗？
归纳
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线 所截，所得的对应线段成比例；
解∵AC=4，EC=1，∴AE=3.
∵ DE∥BC，
∴
AD AE . AB AC
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
拓展延伸
1.如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,
BC=8.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分
别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
l1
A
B
l2
D
l3
E
l4
E
D
A
B
C
C
F
l5
图1
图2（2）
合作交流探究新知
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两 边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
l l
A
l1
l
l
E
D l1
D
E l2
A
l2
B
C
l3
B
C l3
合作交流探究新知
熟悉该定理及推论的几种基本图形
A
D
DA
A
D
B
E
BE
B
E
C DA
符号语言： 若a∥b∥c ，则
。
合作交流探究新知
思考
l1
A B
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比 会相等吗？依据是什么？
l2
D
l3
A（D） BE
E
l4
C
F
C
F
图1
l5
图2
思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚 落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的 比会相等吗？依据是什么？
2、要熟悉该定理的几种基本图形
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
3、注意该定理在三角形中的应用
布置作业
课后习题 第1，2题
第四章 图形的相似
创设情境 温故探新
1.比例线段的概念：
四条线段 a、b、c、d 中，如果 a：b=c：d，那么这四条线段a 、b、c、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
2.比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d . 如果 a：b =c：d，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d.
；
(3)若D2D3=
1 3
D2B，E2E3=
1 3
E2C，则D3E3=
；……
(4)若Dn-1Dn=
1 3
Dn-1B，En-1En=
1 3
En-1C，则DnEn=
.
课堂 小 结
1、平行线分线段成比例定理： (1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 （关键要能熟练地找出对应线段） (2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延 长线)相交，截得的对应线段成比例.