马斯京根法流量演算
马斯京根法总结
马斯京根法洪水演算总结河道洪水演算的方法很多，主要分为两类，一是以圣维南方程组为基础的水力学方法；另一类是以水量平衡方程和槽蓄方程为基础的水文学方法。
水力学方法物理意义明确，但是需要详细的河道形态、糙率、比降资料。
水文学方法重点考虑水文要素之间的联系，能很好模拟洪水在河道内的主要特征，简单实用，可操作性强。
水文学的河道洪水演进方法主要有：马斯京根法、线性回归法、汇流系数法、特征河长法、滞后演算法等，其中以马斯京根法应用最为广泛。
马斯京根法计算简单、快捷，对河道地形和糙率资料要求低，在一般的河道洪水演算中效果较好。
马斯京根法可分为线性和非线性两类，求解的参数估计方法包括试算法、最小二乘法、矩法、最小面积法和遗传算法等。
1．线性回归法基于水文学方法和线性汇流叠加原理，建立了河段下断面某日演算流量与上断面多日流量的相关关系:1,1,1,11()nS S S S S S S S t i t i tt t i Q Q L W R α++++-==--+∑ (1) 11n i i α==∑ (2)式中：t S Q 为s 断面t 时段断面平均流量3/m s ；i=0,1,…,n 为系数个数；iα为线性组合系数；,1t S S L +为河段损失流量3/m s ；,1tS S W +为河段区间饮水流量3/m s ；,1t S S R +为河段区间加水流量3/m s 。
上述枯水流量演算方程的实质是建立河段下断面流量与上断面若干历史时刻流量以及河段引水、损失等因子间的多元线性关系，系数i α反映了对枯水流量演进规律的定量描述，式(2)为河段水量平衡约束方程。
线性回归法的基本原理是在保证河段水量平衡的条件下，建立演算河段下断面出流与上断面各日入流过程的相关关系。
通过优化，能充分反映河段演进规律的演算系数。
2．汇流系数法汇流系数法的实质是基于马斯京根线性运动波方程，根据上断面的入流过程(上边界条件)和T=0时刻的流量沿程分布(初始条件)，通过连续应用运动波演算方程推求下断面的出流过程。
水文预报 第四章 河道流量演算与洪水预报
涨水时
I
dsw
Q0
Q
−dz
l /2
l /2
21
公式法
涨水时
Q = Q( z , sw )
I
dsw
Q0
Q
−dz
对特征河长，
l /2
∂Q ∂Q dQ = dz + dsw = 0 ∂z ∂sw
l /2
− dz dsw = l/2
∂Q l ∂Q − =0 ∂z 2 ∂sw
22
∞
31
泊松分布汇流曲线
O(t ) = 1 m n −1e − m 为瞬时单位线的汇流曲线， K l Γ( n)
为方便汇流计算，需将其转化为时段单位线。 这要用到 S 曲线：
S (t ) =
t
t
∫ O (t ) dt
0
m 0
=∫
0
1 m n −1e − m dt K l Γ ( n)
=∫
1 m n −1e − m dm Γ ( n)
1 Pm , n ∆ m n −1e − m 称为泊松分布函数 。 Γ ( n)
32
泊松分布汇流曲线
得到 S 曲线后，再求时段单位线 u (∆t , t ) ：
u(∆t , t ) = s(t ) − s(t − 1) = s(t ) − s(t − ∆t )
最后，用时段单位线进行河道洪水的汇流计算 。 采用泊松分布的汇流曲线进行汇流计算的难点
dW I −O = dt
W = Kl ⋅ O
26
特征河长法
采用差分法解 过程：
I −O = dW dt
I1 + I 2 I= 2
dW I −O = dt
第五章 河道洪水演算及实时洪水预报
第五章 河道洪水演算及实时洪水预报河道洪水演算，是以河槽洪水波运动理论为基础，由河段上游断面的水位、流量过程预报下游断面的水位、流量过程。
本文着重介绍马斯京根洪水演算方法以及简化的水力学方法。
5.1 马斯京根演算法马斯京根演算法是美国麦卡锡(G . T. McCarthy)于1938年在美国马斯京根河上使用的流量演算方法。
经过几十年的应用和发展，已形成了许多不同的应用形式。
下面介绍主要的演算形式。
该法将河段水流圣维南方程组中的连续方程简化为水量平衡方程，把动力方程简化为马斯京根法的河槽蓄泄方程，对简化的方程组联解，得到演算方程。
5.1.1 基本原理该法的基本原理，就是根据入流和起始条件，通过逐时段求解河段的水量平衡方程和槽泄方程，计算出流过程。
在无区间入流情况下，河段某一时段的水量平衡方程为122121)(21)(21W W t O O t I I -=∆+-∆+ (5-1) 式中：1I 、2I 分别为时段初、末的河段入流量；1O 、2O 分别为时段初、末的河段出流量；1W 、2W 分别为时段初、末的河段蓄量。
河段蓄水量与泄流量关系的蓄泄方程，一般可概括为)(O f W = (5-2)式中：O 为河段任一流量O 对应的槽蓄量。
根据建立蓄泄方程的方法不同，流量演算法可分为马斯京根法、特征河长发等。
马斯京根法就是按照马斯京根蓄泄方程建立的流量演算方法。
5.1.2 马斯京根流量演算方程马斯京根蓄泄方程可写为Q K O x xI K W '=-+=])1([ (5-3)式中：K 为蓄量参数，也是稳定流情况下的河段传播时间；x 称为流量比重因子；Q '为示储流量。
联立求解式(5-2)和(5-3)，得到马斯京根流量演算公式为1211202O C I C I C O ++= (5-4)其中：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆+-∆--=∆+-+∆=∆+--∆=t Kx K t Kx K C t Kx K Kx t C t Kx K Kx t C 5.05.05.05.05.05.0210 (5-5) 1210=++C C C (5-6)式中：0C 、1C 和2C 为马斯京根洪水演算方法的演算系数，，都是K 、x 和t ∆的函数。
马斯京根法
因此，对于一个河段，只要确定参数 K、x的值及选定演 算时段t后，便可求出 C0、C1、C2,根据上断面流量过程及 下断面起始流量计算出下断面流量过程
各参数的物理意义
马斯金根法假定K和x都是常数，这就要 Q'和槽蓄量 W成单一线性关系，而只有在此槽蓄量下的 Q'值等 于该蓄量所对应的恒定流流量Q0 时才能满足这一要 求，即 Q' = Q0 这是 Q'的物理意义。 K值是槽蓄曲线的坡度，K值等于在相应蓄量W下恒 定流状态的河段传播时间，这是K的物理意义，由 上K值随恒定流量而变化，是变量。 x 为流量比重系数，与河道、洪水各个参数有关， 随着河道洪水参数的变化而变化。
马斯京根模型变参数演算
基本原理是根据洪水资料，将所有场次洪水过程中 的时段流量进行了分级，在参数率定时，每一级时 段流量采用一组参数K、x进行率定，在洪水演算时 根据时段流量所属级别选用相应的参数。
但上式中，等式右边仅对洪水段数和时段长度中的 一个进行了求和，因此可能存在较大误差。
所以目标函数不合理，应选不同的目标函数对比参
步骤
论文中的优化模型方程式有少许问题，根据式子，不难看出， 所求的是演算流量与实际流量之间的最小差额，也即是根据 历年来洪水资料，输入每河段的特征属性后输出的流量与实 际流量相近，但不具代表性，必不能表明蓄泄曲线的单值对 应关系，似乎是偏离了马斯金根法的初衷，马斯金根法的建 立是基于槽蓄线性关系的，所以式子应该改动
实际上对于同一段河道的不同场次洪水，其特征属性（例 如起始水位、洪峰流量、峰现时间、前n日流量等）不是 单一的，这就是为什么由试算法、分析法、马斯京根分段 流量演算法确定的参数在流量演算时存在较大误差的原因。 对此，有学者提出，同一条河道的马斯京根参数不是唯一 的，而是随着不同场次洪水的洪峰流量、流速、洪水总量 等诸多因素动态变化，马斯京根模型参数不应只采用一场 洪水或多场洪水估计的平均值，而是应该实行参数的实时 动态估计。下面介绍两种马斯京根参数确定的新方法。
马斯京根法
-450 -355 -235 -180 -140 -110 -90 -70 -55 -45 -40
Q ' (m 3 / s ) 假定x 值 假定x 值 0.5 0.3 （9） （10） 75 75 225 167 1030 794 1945 1839 2220 2192 2055 2145 1450 1542 1050 1138 745 799 580 620 470 502 390 414 350 370 300 316 260 272 225 235 200 208 180 188
(m 3 / s )
（3） 75 80 440 1680 2150 2280 1680 1270 880 680 550 450 400 340 290 250 220 200
x=0.5
(m 3 / s )
（4） 0 37 73 110 73 37 0
(m 3 / s )
（5） 75 407 1693 2320 2363 1867 1220 830 610 480 390 330 300 260 230 200 180 160
成线性关系，
下的恒定流出流流
等于槽蓄量
量
，即
。
x t K
（2）
若 ＝0.5， 代入马斯京根流量演算公式
→流量过程平移一个时段→洪水波无变形→河槽无调 节作用。见图（a）
若
＝0，代入槽蓄关系中，得
，则： →下游洪峰落在上游流量过 程的退水曲线上→河槽相当于一个水库，调节作用最大。见图（b）。
物理意义：
Q'
2500 2000 1500 1000 500 0 0 500 1000 1500 2000
2500 2000 1500 1000 500 0 0 500 1000 1500 2000 2500
马斯京根法
1 (1
)
EX
自由水水库 （位于产流面积）
Sm
部分产流 全面产流
S0
β=Fs/Fr
1.0
分水源自由水水库
S’mmFr
RS
R ΔS
S0 Rg
Rss
Rss =FrKSSS
Rg =FrKgS
坡面汇流线性水库
Rg Rss
TRg
TRss
TRg，i+1 = KKgTRg,i +(1- KKg)Rg,i TRss,i+1 = KKssTRss,i +(1- KKss)Rss,i
W0 Wm
)
1 b
]
Q下, 2 C0Q上, 2 C1Q上,1 C2Q下,1
土壤含水量：递推公式
坡面汇流：
河网汇流：
线性水库
无因次时段单位线
河道汇流：
马斯京根法
流域三层蒸发模式
WUm
上层蒸发
Eu=EP EP=βE水
WL ( E p Eu ) WL WLm C
WLm
下层蒸发 E L
WLm
C ( E p Eu )
WL WLm
C
总蒸发
河网汇流无因次时段单位线
u
T
河道汇流马斯京根法
Q下，2 ＝ Ｃ０Q上，2 ＋Ｃ１ Q上，1 ＋Ｃ２ Q下，1
0 . 5 t Kx K Kx 0 . 5 t
0 . 5 t Kx K Kx 0 . 5 t
C0
C1
C2
K Kx 0 . 5 t K Kx 0 . 5 t
427
-100 -437 -450 -355 -235 -180 -140
洪水演算
W1 = k [xQ上， + 1 x)Q下，] 1 1 （
W2 = k [xQ上， + 1 x）Q下， ] 2 2 （
与水量平衡方程联立求解得流量演算方程
Q 下， 2 = C 0 Q 上， 2 + C 1 Q 上，1 + C 2 Q 下，1 其中 C 0= 1 t kx 2 1 k kx + t 2 1 t + kx 2 = 1 1 k kx + t 2 1 k t kx 2 = 1 1 k kx + t 2 0 + C 1 + C 2 = 1
WQ ,上， WQ，下 分别为上下断面在稳定流情况下的蓄量。
涨水情况 落水情况 涨落水均为
W = WQ下 + x(WQ上 WQ下 )
W = WQ下 x(WQ下 WQ上）
W = 1 x）WQ下 + xWQ上 （
一般情况下，天然河道中的断面流量与相应的槽蓄量近 似有单值关系
W Q 上 = kQ 上 ；
第二节 马斯京根流量演算法
一、连续性方程 Q/ x+ A/ t=0 二、运动方程 vv/x+ v/t+gy/x=g(i0- if) 水文中把其中的连续方程简化为河段水量平衡 水量平衡 河槽蓄泄方程，两方程 方程，动力方程简化为河槽蓄泄方程 河槽蓄泄方程 方程 联立求解，将河段的入流过程演算为出流过程。 根据建立蓄泄方程的方法不同，流量演算法可 分为马斯京根法和特征河长法。
第十一章 洪水演算
简单入流-出流演算 马斯京根法
引言
洪水演算：即通过上断面的洪水过程推求 河段下断面的洪水过程，分为流量演算和 水位演算两种情况。 描述洪水波在河道中传播规律的物理途径： 水力学法：利用圣维南方程组描述河道洪 水波运动； 水文学法：利用河段水量平衡方程和槽蓄 方程式描述河道洪水波
马斯京根法(比赛终)
I Q/
流量比重系数
Q
Q′与I，Q线性关系 Q xI (1 x)Q
I为入流
Q为出流
W是Q′的线性函数 W KQ K[xI (1 x)Q]
-3200 -6650
33400 30200
51340 51250 48620 47750
51310 48330
7.6.20 7.7.14
35100 43000 400 26900 35600 400
42600 35200
-7500 -8300
-7900 -7450
23550 15650
41850 40725 34370 33125
I Q dW dt
动力方程
槽蓄方程(channel storage equation )
W f I,Q 5
1 基本概念和原理(concept and theory)
（1）河道洪水演算(river flood routing)
流量演算法本质
水量平衡方程
I Q dW dt
槽蓄方程
W2 KQ2 K[xI2 (1 x)Q2 ]
Q2
0.5t Kx 0.5t K Kx
I2
0.5t Kx 0.5t K Kx
I1
0.5t K Kx 0.5t K Kx
Q1
C0
+
C1
+
C2
=1
8
1 基本概念和原理(concept and theory)
第4章 河道流量演算与洪水预报2
7.8 8:00
7.9 2:00 7.9 20:00 ∑
22400
19600
29300
24200 21300
300
300 200 6800
29000
23900 21100
-6600
-4300
-5450
-2150
8200
2750
28340
23470
27350
22825
28010
23255
385000
391800
dW L K dQ0 C (Q' ) C (Q' )为波速度
经过分析推导，可以得到：
l x x1 2L
l Q0 z ( )0 S0 Q
x1--水面线形状参数，反映了楔蓄的大小。当水面为 直线 x1=1/2; l--特征河长
x x1
l 2L 1 l 2 2L
l
Q0 z ( )0 S0 Q
由上面公式可以看出：
1. x由两部分组成，x1代表水面曲线形状，反映了楔蓄的影响；L/l为按特征河长划
分的河段数，反映了河槽的调蓄主要
2.由于l>0，故x<0.5;当l>L,x<0. 3. 在上游河道，S0较大，l较小，河道的调蓄能力小，x较大； 4. 在下游河道，S0较小，l较大，河道的调蓄能力大，x较小； 5. 对于一般的河道，上游的x较大；下游的x较大。
【例】 已知长江万县-宜昌河段的洪水实测资料，求K, x值。
时间 （月.日 时： 分） 7.1 14:00 7.2 08:00 7.3 2:00 7.3 20:00 7.4 14:00 7.5 8:00 7.6 2:00 7.6 20:00 7.7 14:00 万县实测入流量I 19900 24300 38800 50000 53800 50800 43400 35100 26900 23700 27000 37800 48400 51900 49600 43000 35600 600 1600 1200 900 500 400 400 400 23100 25400 36600 47500 51400 49200 42600 35200 1200 13400 13400 6300 -600 -5800 -7500 -8300 7300 13400 9850 2850 -3200 -6650 -7900 -7450 0 7300 20700 30550 33400 30200 23550 15650 23220 26740 37940 48130 51340 48620 41850 34370 23400 28750 39950 49075 51250 47750 40725 33125 23280 27410 38610 48445 51310 48330 41475 33955 宜昌演算 出流Q 区间径 流量q 修正实测出流 量Qr=Q-q ΔQ=IQr Q'=Qr+x(I-Qr) ΔQ S x=0.10 x=0.25 x=0.15
习题4 马斯京根法流量
工作步骤
写出水量平衡方程和槽蓄方程 取有限差形式，推导马斯京根法的流量演算公式 O2=C0I2+C1I1+C2O1 根据报汛要求Δt=3h，将河段分为3段 假定ke,xe（ke,xe表示每个单元河段的参数，假定 每个单元河段的ke,xe都是相等的）；计算C0,C1,C2； 编写程序进行分段马斯京根流量演算 将计算的出流过程与实测的出流过程进行比较，如 果拟合得较好，则取这组ke,xe作为最后的参数；如 果拟合的不好，则重新假定，回到第4步重新计算。
上交成果
马斯京根法流量演算公式的推导 用于计算的分段马斯京根流量演算的程 序 最后确定的ke,xe 计算和实测的流量过程图表 谈谈对马斯京根法的认识（要求从基本 原理，基本假定，参数物理意义，可能 造成的误差等方面来阐述）
习题四 马斯京根法流量演算
任务和要求
根据实测的水文资料，采用试错法分析确定 一次洪水的马斯京根法流量演算参数。通过 本次练习要求弄清：
马斯京根法流量演算公式的推导 分段马斯京根法流量演算的计算过程 参数ke和xe的物理意义 编写程序采用试错法确定一次洪水的ke 和xe
资料情况
沅水下游沅陵至王家河河段，河长112 公里，沅陵以上流域面积为76400平方 公里，王家河以上流域面积为80500平 方公里，区间面积为4100平方公里， 约占总面积的5％，流域内雨量站网的 分布见图1。