数学物理方法习题
数学物理方法典型习题
典型习题一、填空题：1的值为 ， ， 。
2、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。
3、幂级数2k k=1(k!)k z k ∞∑的收敛半径为 。
4、ln(5)-的值为 。
5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。
已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。
6、在单位圆的上半圆周，积分11||__________z dz -=⎰。
7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。
8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。
9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。
10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。
二、简答题1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。
2、已知函数1w z=，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。
3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。
试写出杆的泛定方程及定解条件。
三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+⎰2．||2sin (3)z zdz I z z ==+⎰ 3.22202(1)x I dx x ∞=+⎰ 4.||1(31)(2)z zdz I z z ==++⎰ 5. ||23cos z zdz I z ==⎰ 6. 240x dx 1x I ∞=+⎰ 7、0sin x dx x ∞⎰ 8、20cos 1x dx x∞+⎰ 四、使用行波法求解下列方程的初值问题五、求解下列定解问题：1. 2.在水平向右的均匀外电场E 中置入半径为0R 的导体球，如图所示。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =Q ，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法题库
z 4 dz ，其中积分路径 C 为： 9, 计算 C z2 1 1 1 ， z 1 ； （3） ， z 2。 （1） ， z 1 ； （2） 2 2
10, 设 f z
C
3 7 1 d ，其中积分路径 C 为圆周 x 2 y 2 3 ，求 f '(1 i ) 。 z
xn (n 1, 2,) 及 yn (n 1, 2,) 分别以 x0 及y 0 为极限。
17，证明：三角形三内角和等于 。
3
第二章
习题 1, 证明下列函数在 z 平面上处处不可导。 (1) z 。 2, 试证 (1) f ( z ) x iy 仅在原点有导数。
3 3
解析函数
2 2 2
(2) cos z cos xchy i sin xshy 。 (4) cos z cos x sh y 。
2 2 2
15, 证明 sin z 与 cos z 是以 2 为周期的函数，而 e ， shz ， chz 是以 2i 为周期的函数。
x
16, 证明 w 3 z 的三个单值分支在割破的 z 平面上的任一区域上都是解析的。 17, 设 w 3 z 确定在沿负实轴割破了的 z 平面上，并且 w(i ) i ，求 w(i ) 。 18, 试解方程 (1) e 1 i 3 。
2 2
11, 证明 f ( z ) 与 f ( z ) 必同时为解析函数或不是解析函数。 12, 设 w 是 z 的解析函数，证明 13, 定义 shz
x y x y ， ， ( w u iv, z x iy ) 。 u v v u
e z e z e z e z 和 chz 分别为双曲正弦函数及双曲余弦函数，试证 2 2
数学物理方法习题
数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试试题# 数学物理方法期末考试试题## 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是数学物理中的常用方法？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 泰勒级数展开D. 牛顿迭代法2. 求解偏微分方程时，分离变量法的基本思想是什么？A. 将偏微分方程转化为常微分方程B. 将偏微分方程分解为几个独立的方程C. 将偏微分方程转化为线性方程D. 将偏微分方程转化为积分方程3. 在数学物理中，格林函数通常用于解决什么问题？A. 线性代数问题B. 非线性偏微分方程C. 边界值问题D. 初始值问题4. 以下哪个是求解波动方程的典型方法？A. 特征线法B. 有限差分法C. 有限元法D. 蒙特卡洛方法5. 拉普拉斯方程在数学物理中通常描述了什么类型的物理现象？A. 波动现象B. 热传导现象C. 流体动力学问题D. 电磁场问题## 第二部分：简答题（每题10分，共30分）6. 简述傅里叶变换在数学物理中的应用。
7. 解释什么是边界层理论，并说明它在流体力学中的重要性。
8. 描述格林函数在求解偏微分方程中的作用。
## 第三部分：计算题（每题25分，共50分）9. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，使用泰勒级数展开在\( x = 1 \) 处展开 \( f(x) \) 并求出展开式。
10. 考虑一个无限长直导体，在 \( x \) 轴上，导体的电势 \( V(x) \) 满足泊松方程 \( \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 \)，其中\( \rho \) 是电荷密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率。
假设\( \rho \) 是常数，求解 \( V(x) \)。
## 第四部分：论述题（共30分）11. 论述数学物理方法在解决实际物理问题中的应用，并给出至少两个具体的例子。
请注意，以上内容仅为示例，实际的数学物理方法期末考试试题可能会包含不同的问题和要求。
数学物理方法习题集
数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。
（2），iii i 524321-+-+。
（3），5(1)(2)(3)i i i ---。
（4），4(1)i -。
（5），bi a +。
2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。
（2），1(2n+, 4,3,2=n 。
（3），i +1。
（4），3)i -。
（5），231i -。
3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。
4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。
5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。
（2），6)z i =-。
6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。
（2），i ii2125+=+。
（3），7(1)8(1)i i -+=-+。
（4），1011(12(1)--=-。
7，试解方程44(0)z a a +=>。
8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。
（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。
（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。
9，证明：（1），2121z z z z +=±。
（2），2121z z z z ⋅=。
（3），1122(z zz z = （02≠z ）。
（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。
（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。
（6），2121212z z z z z z ≤+。
（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。
数学物理方法习题解答
第八章习题P201：1，2，5，6，11，12，13，16，17，201.长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撇除这力，求解弦的振动。
解：此题的定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =⎧-=<<⎪==⎪⎪-⎧⎪<<⎪⎪⎨=⎨⎪⎪⎪-<<⎪⎩⎪⎪=⎩)4()3()2()1(令(,)()()u x t X x T t =代入泛定方程(1)中得X T X aTλ''''==- 可得20T a T X X λλ''⎧+=⎨''+=⎩ (0)()0X X l ==求解关于x 本征值问题，得到本征值和本征函数()2/n l λπ= (1,2,3,n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅()sinn X x C x lπ= 将本征值代入关于t 的常微分方程，得到22220a n T T lπ''+= 其解为 ()cossin n n n n a n aT t A x B t l lππ=+ 1(,)()()cos sin sin n n n n a n a n u x t X x T t A t B t x l l l πππ∞=⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∑将u 的级数解代入初始条件(4)得到001|sin cos sin t t n n t n n a n a n a n a n u A x B t xl l l l l πππππ∞===⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑1sin 0nn n a n B x l lππ∞===∑ 0n B ∴=则1(,)cossin n n n a n u x t A t x l lππ∞=∴=∑ 根据初始条件(3)有0001000,(0),(,0)sin (),(),n n F l x x x x n T lu x A x F x l l x x x l T l π∞=-⎧<<⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩∑02()sin l n n A d l l πϕξξξ=⎰ 000000022sin ()sin x l x F l x F x n n d l d l T l l l T l l ππξξξξξξ-=+-⎰⎰ 02000022222sin cos cos x lx F l x F x l n l n n l n l T l n l n l l T l n l ππξππξξξπππ⎧⎡⎤-⎪=--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎩020022sin cos lx F x l n n n T l n l l l ππξπξξπ⎫⎪⎡⎤--⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎭000000000220()2sin cos cos cos xF l x l n x n x n x F x n x n l T n l l l T n l πππππππ⎧-⎪⎡⎤⎡⎤=---⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎩0000022cos sin cos F x l n x n x n x n n T n l l l ππππππ⎫⎡⎤---+⎬⎢⎥⎣⎦⎭ 002221sin F l n x T n lππ=∴ 00221121(,)cos sin sin cos sin n n n F l n x n a n n a n u x t A t x t x l l T n l l l ππππππ∞∞==∴==∑∑2.求解细杆热传导问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20/)(l x l bx u t -==。
数学物理方法习题答案
第11章综合习题11.1，设弦的初始位移为，初始速度为，求解无限长弦的自由振动.[答案 ：解即为答朗贝尔公式 ()x ϕ()x ψ11(,)[()()]()d 22x at x at u x t x at x at a ϕϕψξξ+-=++-+⎰pause(0.0000001);end;11.2 半无限长弦的初始位移和速度都是零，端点作微小振动0|sin x u A t ω==，求解弦的振动.【答案 0,();sin (),()x x x u t u A t t a a aω=<=->】 11.3 求解细圆锥形均质杆的纵振动.【提示 作变换 u x =v/】【答案 12()()f x at f x at u x-++=】 11.4 半无限长杆的端点受到纵向力()sin F t A t ω=作用，求解杆的纵振动.【答案 00()()1,()d 221 ()d cos ()2x at at x x at at x x t u a a aA x aA t a YS a YS ϕϕψξξψξξωωω+-++->=+++--⎰⎰】 11.5已知初始电压分布为cos A kx ，cos kx ，求解无线长理想传输线上电压和电流的传播情况，【答案cos (),cos ()A k x at i k x at -=-v =】11.6 在GL CR =条件下求无限长传输线上的电报方程的通解.【答案 11{[()()]()d 22R x at t L x at e x at x at aϕϕψξξ+--++-+⎰】 11.7已知端点通过电阻R 而相接，初始电压分布为cos A kx ，初始电流分布为cos kx .求解半无限长理想传输线上电报方程的解；在什么条件下端点没有反射（遮住情况叫作匹配）？【答案 匹配的条件是0R =本章计算机仿真11.8 试用计算机仿真的方法，将11.2的弦振动规律以图形的分式表示出来.【解】计算机仿真程序w=pi;a=2;A=1.2;x=0:0.01:10;for t=1:0.5:25u=A*sin(pi*(t-x/a));plot(x,u);title('弦振动')xlabel('x')ylabel('u')11.9试用计算机仿真的方法，将11.5中的电压分布和电流分布用图形表示出来．【解】计算机仿真程序w=pi;a=2;A=1.2;k=2*pi;C=0.006;L=0.003;x=0:0.001:10;for t=1:0.5:25subplot(2,1,1);v=A*cos(k*(t-x/a));plot(x,v);title('电压动态分布')xlabel('x')ylabel('v')pause(0.0000001);subplot(2,1,2);i=sqrt(C/L)*A*cos(k*(t-x/a));plot(x,i);title('电流动态分布')xlabel('x')ylabel('i')pause(0.0000001);end;。
数学物理方法习题2及答案
1. 计算221z dz z z --⎰的值，Г为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单曲线。
解：我们知道，函数221z z z--在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的。
由于Г是包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线，因此它也包含这两个奇点。
在Г内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2，C1只包含奇点z=0，C2只包含奇点z=1。
那么根据复合闭路定理得： 221z dz z z --⎰=22122121c c z z dz dz z z z z --+--⎰⎰1122111111c c c c dz dz dz dz z z z z =+++--⎰⎰⎰⎰ =02204i i i πππ+++= 2. 求积分0cos i z zdz ⎰的值。
解：函数cos z z 在圈平面内解析，容易求得它有一个原函数为sin cos z z z +.所以 00111cos [sin cos ]sin cos 11122ii z zdz z z z i i i e e e e i e i ---=+=+--+=+-=-⎰ 3..试沿区域i 1ln(1)Im()0,Re()0||1,1z z z z dz z +≥≥=+⎰内的圆弧计算积分的值。
解：函数ln(1)1z z ++在所设区域内解析，它的一个原函数为21ln (1),2z +所以 i 222112222ln(1)11ln (1)|[ln (1)ln 2]12211ln 2ln 22243ln 2ln 2.3288i z dz z i z i i πππ+=+=+-+⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--+⎰ 4．求下列积分（沿圆周正向）的值：1）||41sin 2i z z dz z π=⎰； 2）||412z 13z dz z =+-⎰（+）； 解：由柯西积分公式得： ||41sin 2i z z dz zπ=⎰=0sin |0z z ==； ||4||4||12221226z 1313z z z dz dz dz i i i z z z πππ==+=•+•=+-+-⎰⎰⎰（+）= 5..求下列积分的值。
数学物理方法_汪德新答案
⎪ ⎪ a rc ta n
y
+ 2π ，
z在
第
IV象
限
⎩
x
6. 设 b
< 1,
a
=
1,
试证明
a−b 1− a∗b
=1
解 ： 以 a = 1乘 分 母 ， 得
. a−b 1 − a∗b
=
a−b a 1 − a∗b
=
a−b a − aa∗b
=
a−b a−b
=1
7.设复数
z1,
z2 ,
z3满足
z2 z3
− −
z1 z1
=
z1 − z3 ，试证 z2 − z3
z2 − z1
=
z3 − z1
=
z2 − z3
解 令分式等于 C.若 C=0，则 z1 = z2 = z3 ，结论得证；若 C ≠ 0
c = 1 只要证明
即可。原式取模，得 z1 − z3 2 = z2 − z1 z2 − z3
①
原式两边分别减 1 通分后取模得 z2 − z3 2 = z1 − z2 z3 − z1
2
2
取对数整理后可得
n>- lnε . ln 2
今取N=- lnε ，当n > N (ε )时 ln 2
即可满足上述要求。按极限的定义，即有
lim（
n→∞
1+i 2
）n
=
0
11.求下列序列的聚点和极限。
（1）zn =（3+4i）n 6
（2）zn
=（−1）n n 2n +1
（3）zn
=
in−1 n
(4)zn =（−1）n 1 2n +1
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第一章 分离变量法1、求解定解问题：20000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n hl x x l n u h ll x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223）2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T lu x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩=] (P-227)3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布2|()/t u bx l x l ==-。
[定解问题为220200,()(0),||0,|()/.txx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230)4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩] (P-236)5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。
[提示：定解问题为2000000,(0),|0,|0,(,0),|0.tt xx x x x l x x t t u a u x l u u F u u x dx dx x YS u ===⎧-=≤≤⎪==⎪⎪⎨∂==⎪∂⎪=⎪⎩⎰⎰] (P-238)6、长为l 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为0v 时突然停止，求解杆的振动。
[提示：定解问题为2000,(0),(0,)0,(,)|0,(,0),(,0)|0.tt xx x x l t t v a v x l v t v l t v x v v x ==⎧-=<<⎪==⎪⎨=⎪⎪=⎩] (P-242)7、求解细杆导热问题，杆长l ，初始温度均匀为0u ，两端分别保持温度为1u 和2u 。
[提示：定解问题为201,2000,||,|.t xx x x l t u a u u u u u u u ===⎧-=⎪==⎨⎪=⎩] (P-251)8、在矩形区域0,0x a y b <<<<上求解拉氏方程0u ∆=，使满足边界条件00|(),|0.|sin,|0.x x a y y b u Ay b y u xu B u aπ=====-===(P-265)9、均匀的薄板占据区域0,0x a y <<<<∞，边界上温度000|0,|0,|x x a y u u u u ======，lim 0y u →∞=。
[提示：泛定方程为：0.xxyyu u +=](P-269)10、矩形膜，边长1l 和2l ，边缘固定，求它的本征振动模式。
[提示：定解问题为1221200()0,(0,0),|0,|0,|0,|0.tt xx yy x x l y x l u a u u x l y l u u u u ====-+=<<<<====] (P-271)11、细圆环，半径为R ，初始温度分布已知为()f ϕ，ϕ是以环心为极点的极角，环的表面是绝热的。
求解环内温度变化情况。
[提示：其定解问题为20,02,(),(2)().t t u a u u f u u ϕϕϕπϕϕπϕ⎧-=≤<⎪=⎨⎪+=⎩] (P-274)12、在圆形域内求解0u ∆=使满足边界条件 (1)|cos ,(2)|sin aau A u A B ρρϕϕ====+。
[提示：泛定方程为20110,.02a u u u ρρρϕϕρϕπρρ<<⎛⎫++= ⎪<<⎝⎭] (P-275) 13、半圆形薄板，板面绝热，边界直径上温度保持零度，圆周上保持0u ，求稳定状态下的板上温度分布。
[提示：定解问题为200110,(0,0),|0,|0,(0),|,0).R u u u R u u R u u ρρρϕϕϕϕπρρϕπρρρϕπ===⎧++=<<<<⎪⎪⎪=⎨⎪=<<⎪=<<⎪⎩] (P-276)14、在以原点为心，以1R 和2R 为半径的两个同心圆所围城的环域上求解20u ∇=，使满足边界条件1211|(),|()R R u f u f ρρϕϕ====。
[提示：泛定方程为122110,.02R R u u u ρρρϕϕρϕπρρ<<⎛⎫++= ⎪<<⎝⎭] (P-282) 15、两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x tρρω=Φ的横向力作用下振动，求解其振动情况，研究共振的可能性，并求共振时的解。
[提示：定解问题为2000()sin ,|0,|0,|0,|0.tt xx x x l t t t u a u x t u u u u ω====⎧-=Φ⎪==⎨⎪==⎩] (P-292)16、两端固定弦在点0x 受谐变力0(,)sin f x t f tρρω=作用而振动，求解振动情况。
[提示：外加力的线密度课表为0(,)sin ()f x t f t x x ρρωδ=-，所以定解问题为200000sin (),|0,|0,|0,|0.tt xx x x l t t t u a u f t x x u u u u ωδ====⎧-=-⎪==⎨⎪==⎩] (P-297)17、在矩形域0,22b bx a y <<-<<上求解22u ∇=-且u 在边界上的值为零。
(P-303)第二章 球函数1、在本来是匀强的静电场0E u r 中放置导体球，球的半径为a ，试研究导体球怎样改变了匀强静电场。
[提示：定解问题为20,u ∇=（1）000|cos ,(||.r r r a u E z E r u u C θ→∞→→≈-=-⎧⎨=⎩设导体放入前，=0),（2）和（3）](P-369)2、在点电荷04q πε的电场中放置导体球，球的半径为a ，球心与点电荷相距()d d a >，求解这个静电场。
[提示：定解问题为20,,|0,|0.r a r v q u v D v v =→∞⎧∇=⎪⎪=+⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩] (P-370)3、求解220,(),|cos .r u r a u θ=⎧∇=<⎨=⎩(P-372)4、 在球坐标系中利用分离变量法求下列定解问题。
220(0)14sin cos sin 2r a r u r a u u θϕϕ==⎧∇=<<⎪⎪⎛⎫=+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩有限（08~09）5、用一层不导电的物质把半径为a 的导体球壳分隔为两个半球壳，使半球各充电到电势为1v 和2v ，试解电场中的电势分布。
[提示：定解问题为20120,(),|,(0)(01),2|.,()(10)2i i r i r a u r a u v x u v x πθπθπ==⎧⎪⎪⎪⎪∇=<⎪⎨⎪⎧⎪≤<≤<⎪⎪⎪=⎨⎪⎪<≤-<≤⎪⎪⎩⎩有限，(自然边界条件)或或 (P-373)6、半球的球面保持一定温度0u ，半球底面（1）保持0C ︒，（2）绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。
[提示：定解问题为20020,(),||,|0.r r a u r a u u u u πθ===⎧∇=<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩有限，](P-375)第三章 柱函数1、半径为R 的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面22|(1/)t u R H ρ==-，初速为零，求解膜的振动情况。
[提示：定解问题为2020021()0,||0,|(1),|0.ttR t t t u a u u u u u H u R ρρρρρρρ====⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-=⎪⎩有限，] (P-399)2、利用递推公式证明2001()()()J x J x J x x'''=-并计算41()x J x dx ⎰3、半径为R 的圆形膜，在0,ρϕ受到冲量K 作用，求解其后的振动。
[提示：定解问题为220,ttu a u -∇=（1）0|0,|R u u ρρ===⎧⎪⎨⎪⎩（膜边缘固定）， 有限，（2）000|0,|t t t u u δρρδϕϕρ===⎧⎪⎨⎪⎩g 00（初位移为零），k =(-)(-)。
p（3）](P-401)4、半径为R 的圆形膜，边缘固定，求其本征频率和本征振动。
[提示：定解问题为22000,(0,0),||0,||0.tt R u a u R u u u u ρρϕϕπϕπρ====⎧-∇=≤≤≤≤⎪=⎨⎪==⎩有限，] (P-403)5、半径为R 而高为H 的圆柱体下底和侧面保持零度，上底温度分布为2()f ρρ=，求柱体内各点的稳恒温度。
[提示：定解问题为22000,|0,|,||0.Z Z H R u u u u u ρρρ====⎧∇=⎪==⎨⎪=⎩有限，] (P-404)6、圆柱体半径为R ，高为H ，上底有均匀分布的强度为0q 的热流流入，下底有同样热流流出，柱侧保持为0C ︒，求柱内的稳恒温度。
[提示：定解问题为2000,|()|()|0.Z Z H R u u qz z R q u z z Ru ρ===⎧∇=⎪∂⎪=⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎪=⎩热流方向与轴反向，热流方向与轴同向，] (P-409)7、确定球形铀块的临界半径。
[提示：铀块厚度超过临界厚度，则中子浓度奖随着时间而增长以致铀块爆炸，其定解问题为 22,|0.tr Ru a u u u β=⎧-∇=⎨=⎩] (P-422)8、均质球，半径为0r ，初始温度分布为()f r ，把球面温度保持为零度而使它冷却，求解球内各处温度变化情况。