数学物理方法习题
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第一章 分离变量法
1、求解定解问题:
2000
00
00,(01),
||0,,(0),|(),(),|0,(0).
tt xx x x l t t u a u x u u n h
l x x l n u h l
l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤(P-223)
2、长为l 的弦,两端固定,弦中张力为T ,在距一端为0
x 的一点以力0
F 把弦拉开,然后撤出这力,求解弦的震动。[提示:定解问题为
200
0000
00,(0),(0,)(,)0,
,(0),(,0)(),(),
|0.
tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l
u x F x l x x x l T l
u =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨
⎪-<<⎪⎩=
] (P-227)
3、求解细杆导热问题,杆长l ,两端保持为零度,初始温度分布2
|()/t u bx l x l ==-。[定解问题为
22
0200,()(0),||0,|()/.t
xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ
===⎧-==≤≤⎪⎪⎪
==⎨
⎪=-⎪⎪⎩
] (P-230)
4、求解定解问题
2220,0,0
220,0.03sin ,0.
00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪
==⎨==⎪
∂⎪===⎪∂=⎩
4、长为l 的均匀杆,两端受压从而长度缩为(12)l ε-,放手后自由振动,求解杆的这一振动。[提示:定解问题为
20000,(0),||0,2
|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪
==⎪⎪⎨=-⎪⎪
=⎪⎩
] (P-236)
5、长为l 的杆,一端固定,另一端受力0
F 而
伸长,求解杆在放手后的振动。[提示:定解问题为
200
0000,(0),|0,|0,(,0),
|0.tt xx x x x l x x t t u a u x l u u F u u x dx dx x YS u ===⎧-=≤≤⎪
==⎪⎪
⎨∂==⎪∂⎪
=⎪⎩
⎰⎰] (P-238)
6、长为l 的杆,上端固定在电梯天花板,
杆身竖直,下端自由、电梯下降,当速度为0
v 时突然停止,求解杆的振动。[提示:定解问题为
2000,(0),(0,)0,(,)|0,(,0),(,0)|0.tt xx x x l t t v a v x l v t v l t v x v v x ==⎧-=<<⎪
==⎪⎨
=⎪
⎪=⎩
] (P-242)
7、求解细杆导热问题,杆长l ,初始温度均匀为0
u ,两端分别保持温度为1
u 和2
u 。[提示:定解问题为
201,2000,||,|.t xx x x l t u a u u u u u u u ===⎧-=⎪
==⎨⎪=⎩
] (P-251)
8、在矩形区域0,0x a y b <<<<上求解拉氏方程0u ∆=,使满足边界条件
00|(),|0.|sin
,|0.
x x a y y b u Ay b y u x
u B u a
π=====-===(P-265)
9、均匀的薄板占据区域0,0x a y <<<<∞,边界上温度0
00
|
0,|0,|x x a y u u u u ======,lim 0y u →∞
=。[提示:泛定
方程为:0.xx
yy
u u +=](P-269)
10、矩形膜,边长1l 和2
l ,边缘固定,求它的本征振动模式。[提示:定解问题为
1221200()0,(0,0),
|0,|0,|0,|0.
tt xx yy x x l y x l u a u u x l y l u u u u ====-+=<<<<====] (P-271)
11、细圆环,半径为R ,初始温度分布已知为()f ϕ,ϕ是以环心为极点的极角,环的表面是绝热的。求解环内温度变化情况。
[提示:其定解问题为
20,02,(),(2)().t t u a u u f u u ϕϕϕπϕϕπϕ⎧-=≤<⎪
=⎨
⎪+=⎩
] (P-274)
12、在圆形域内求解0u ∆=使满足边界条件 (1)|cos ,(2)|sin a
a
u A u A B ρρϕϕ====+。[提示:泛定方程为
2
011
0,.02a u u u ρρρ
ϕϕ
ρϕπρρ
<<⎛⎫++= ⎪<<⎝⎭
] (P-275) 13、半圆形薄板,板面绝热,边界直径上温度保持零度,圆周上保持0
u ,求稳定状态下的板上温度分布。[提示:定解问题为
200110,(0,0),|0,|0,(0),|,0).R u u u R u u R u u ρρρϕϕϕϕπρρϕπρρρϕπ===⎧++=<<<<⎪⎪⎪=⎨⎪=<<⎪
=<<⎪⎩
] (P-276)
14、在以原点为心,以1
R 和2
R 为半径的两个
同心圆所围城的环域上求解2
0u ∇=,使满足边界条件1
2
1
1
|(),|()R R u f u f ρρϕϕ====。[提示:泛定方程为
12
2
11
0,.02R R u u u ρρρ
ϕϕ
ρϕπρρ
<<⎛⎫++= ⎪<<⎝⎭
] (P-282) 15、两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x t
ρρω=Φ的横向力作用下振动,求解其振动情况,研究共振的可能性,并求共振时的解。[提