高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
高一数学必修五解三角形基本知识点及练习
解三角形一、知识点复习1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C=== 3.余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-= 5.常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）； 6.三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC 中, A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
二、典型例题（1）用正、余弦定理解三角形例1.已知在练习：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆（2）三角形解的个数1.知道3边、3角, 2角1边, 2边及其夹角时不会出现两解,2、两边及一边的对角时:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系A<bsinA A=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b 解无解 一解 两解 一解 无解例1: 在 中, 分别根据下列条件解三角形, 其中有两解的是【 】A. , , ；B. , , ； C 、 , , ；D 、 , , 。
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333绵阳市开元中学高 2014 级高三一轮复习③ tan (A + B )= - tan C ；④sinA + BC = cos , ⑤cosA +B = sinC 《解三角形》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角2 22 2 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）1. 正弦定理及其变形在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）asin A = b sin B = c sin C= 2R (R 为三角形外接圆半径） 变式：（1） a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C (边化角公式）（2）sin A = a ,sin B =2Rb , sin C =c 2R 2R (角化边公式） （2） 方位角（3）a : b : c = sin A : sin B : sin C(4) a = sin A , a = sin A , b =sin B b sin B c sin C c sin C2. 正弦定理适用情况： （1） 已知两角及任一边；（2） 已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3. 余弦定理及其推论从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的， 而方位角是相对于正北方向而言的。
（3） 方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如： ①北偏东 即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos Acos A =b 2 +c 2 - a 22bc②“东北方向”表示北偏东（或东偏北） 45︒ .（4） 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 θ 为坡角）b 2 = a 2 +c 2 - 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos Ccos B =a 2 + c 2 -b 22ac a 2 + b 2 - c 2二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）4. 余弦定理适用情况：cos C =2ab1．在V ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝3 2，则 AC ＝ ()（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5. 常用的三角形面积公式A.4B ．2C ．D ． 2 2．在V ABC 中， a 2 = b 2 + c 2 + 3bc ，则∠A 等于()A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°（1） S ∆ABC = 1 ⨯ 底⨯高；2 （2） 1 1 1 abcS = ab sin C = ac sin B = bc sin A = (R 为∆A 接BC 圆半径 )（两边夹一角）；2 2 2 4R6. 三角形中常用结论（1） a + b > c , b + c > a , a + c > b (即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2） 在∆A ，BC 即大边A 对> 大B ⇔角，a >大b 角⇔对s 大in 边A >）sin B ( （3） 在∆ABC 中， A + B + C = ，所以①sin (A + B )= sin C ；② cos (A + B )= -cos C ；3. 设V ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若b cos C + c cos B = a sin A , 则V ABC 的形状为( )A. 锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4. 若△ABC 的三个内角满足sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 ，则△ABC ()3考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用 考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3 3 33 3 14 15 3 14 15考点四：利用正余弦定理求角2 考点三：利用正余弦定理求三角形的面积A. 一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.DBAB在△DAB 中，由正弦定理，得sin ∠DAB ＝sin ∠ADB ，cos A bAB ·sin ∠DAB 5(3＋\r(3))·sin 45°5. 在∆ABC 中，若cos B ＝a ，则△ABC 是()A. 等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6. 在∆ABC 中， AB =, AC = 1 , ∠A = 30︒ ，则∆ABC 面积为() ∴DB ＝sin ∠ADB ＝ sin 105°5(3＋\r(3))·sin 45°＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝2＝10 3(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝20 3(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBCA.B.C.或 D ．或 12424 2＝300＋1 200－2×10 3×20 3×2＝900， 7. 已知∆ABC 的三边长a = 3, b = 5, c = 6 ，则∆ABC 的面积为() ∴CD ＝30(海里)，A ．B ． 2C ．D ． 2 30∴需要的时间 t ＝30＝1(小时)．故救援船到达 D 点需要 1 小时．8. 在锐角中∆ABC ,角 A , B 所对的边长分别为a , b .若2a sin B = 3b ,则角等于 ()三、高考真题赏析A.B.C.D.1．（2016 年ft 东）在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知tan A tan B126 4 3 2(tan A + tan B ) = + cos B .cos A9．在△ABC 中，若 a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( )（Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求 cos C 的最小值.A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定1【解析】(Ⅰ)由2(tanA + tanB) = tanA tanB+ 得10. 在∆ABC ,内角 A , B , C 所对的边长分别为a , b , c . a sin B cos C + c sin B cos A = ∠B = ()b , 且a > b ,则2 2 ⨯ sinC =sinA cosB+ sinB cosA， A.B.C. 2D. 5cosAcosB cosAcosB cosAcosB 2sin C = sin B + sin C a + b = 2c633 6所以，由正弦定理，得．a 2 +b 2 -c 2 (a + b )2 - 2ab - c32c 3c 23 1（Ⅱ）由cos C == = - 1 ≥ - 1 = - 1 = ．11. 如图：A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3 + 3 )海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45︒ ，B 点2ab2ab2ab 2( a + b )2 2 2 2北偏西60︒ 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60︒ 且与 B 点相距20 船立即前往营救，其航行速度为每小时 30 海里，该救援船到达 D 点需要多长时间？解 由题意知 AB ＝5(3＋ 3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，1海里的 C 点的救援所以cos C 的最小值为 ．22．（2016 年四川）在△ABC 中，角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,且cos A + cos B = sin C. a b c3 3 5 3(\r(3)＋1)3＋1 考点五：正余弦定理实际应用问题（I）证明：sin A sin B sin C ；3 3 Ctan tan tan 5（II ）若b 2 + c 2 - a 2 = 6bc ，求tan B .5∆ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC ， ∆ABD 面积是∆ADC 面积的 2 倍．a =b =c (Ⅰ) 求sin ∠B ；(Ⅱ)若 AD = 1 ， DC =2 ，求 BD 和 AC 的长．【解析】（I ）证明：由正弦定理 sin A sin Bsin C 可知sin ∠C2cos A + cos B = sin C = 1原式可以化解为 sin A sin B sin C∵ A 和 B 为三角形s i 内n A 角sin , B ∴sin A sin B ≠ 0 则，两边同时乘以，可得sin B cos A + sin A cos B = sin A sin B 由和角公式可知， sin B cos A + sin A cos B = sin (A + B )= sin (- C )= sin C原式得证。
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解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝ c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。
（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝ c 2。
（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°；（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝ a ， cos A ＝ sin B ＝ b， tan A ＝ a 。
c c b 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ 中， 、 、 为其内角， 、 、 c 分别表示 、 、 C 的对边。
ABCA B C a bA B（ 1）三角形内角和： A ＋ B ＋ C ＝ π。
（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等ab c 2R （ R 为外接圆半径） sin A sin B sinC（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ； b 2＝ c 2＋ a 2－ 2ca cos B ；c 2＝ a 2＋ b 2－ 2ab cos C 。
3 ．三角形的面积公式：（ 1） S ＝ 1 ah a ＝ 1 bh b ＝ 1 ch c （ h a 、 h b 、 h c 分别表示 a 、b 、 c 上的高）；2 2 2 （ 2） S ＝ 1 ab sin C ＝ 1 bc sin A ＝ 1 ac sin B ；2 2 24．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（ 2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
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必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理1.正弦定理a b c:si nAsin B si nC J'或变形：a: b:c s iri A:sin B:sin CcosAb 2 2 c2a2bc2 222a2 2b c2bccos AcosB ac b2acb 22 2 a c2accosBcosCb 2 2 a 2 c2 c 2 2 b a 2 •余弦定理：2bacosC 或2ab3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B)A B C ABC AB C sincos ,cossin ,ta n cot — 2 2 22 225 •解题中利用 ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的cosC, tan(A B) tanC,1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( )A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2b=2,sinB+cosB= 、 2 ,则角A的大小为( )A - B. _ C - D.—2 3 463.在厶ABC中，a 7,b 4、.3,c.13 ,则最小角为A—B、一 C 、— D 、364124.已知ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC ()A. 13B. 13C.5D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（）bA. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,26.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （）23A. 2B.4C.3D.47.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则cA 10、6 B、75C、55D、4 98.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则AA 30o B、60o C、120o D、150o9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则ABC的面积为cosB b10.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x512 . ABC中，AB 1,BC 2则角C的取值范围是__________________知识点二：判断三角形的形状问题C1.在ABC 中，若cos A cos B sin2—，则ABC 是（）2A.等边三角形B •等腰三角形C .锐角三角形D.直角三角形A、一定是直角三角形C、可能是锐角三角形tan A3. 已知在△ABC中，tan B a b4. 在ABC 中，若cosA cosBA .等腰直角三角形5. 在△ ABC 中，若2cosBsinA = sinC,y^ ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6. △ ABC 中，B 60°, b2 ac,则厶ABC - -定是( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7. 若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是()A .直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D . 等腰直角三角形8.在厶ABC中，已知2ab c2sin A sin BsinC，试判断厶ABC的形状。
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题[整理]
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）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍＋c．三角形的面积公式：∆∆第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
；2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析题型1：正、余弦定理例1．（1）在中，已知，，cm ，解三角形；∆ABC 032.0=A 081.8=B 42.9=a （2）在中，已知cm ，cm ，，解三角形（角度精确到，边长精确∆ABC 20=a 28=b 040=A 01到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，000180(32.081.8)=-+；0180()=-+C A B 066.2=根据正弦定理， ；0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A （2）根据正弦定理，0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为＜＜，所以，或00B 0180064≈B 0116.≈B ①当时， ，064≈B 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器AC,23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A ②∴-=sin cos A A 62①+②得。
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题
解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
〔1〕三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
〔勾股定理〕 〔2〕锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； 〔3〕边角之间的关系：〔锐角三角函数定义〕 sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
〔1〕三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
〔2〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===〔R 为外接圆半径〕 〔3〕余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：〔1〕∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c 〔h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高〕； 〔2〕∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素〔即三条边和三个内角〕中的三个元素〔其中至少有一个是边〕求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： 〔1〕两类正弦定理解三角形的问题：第1、两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、两角和其中一边的对角，求其他边角. 〔2〕两类余弦定理解三角形的问题：第1、三边求三角.②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时〔1〕应注意两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；〔2〕对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
高中数学解三角形知识点汇总及典型例题
. . . .. .解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
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实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
sin A BcosC,cosA BsinC；2222（ 2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1 ）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析题型 1 ：正、余弦定理例 1．（1）在ABC 中，已知 A 32.00， B81.80， a42.9 cm，解三角形；（2）在ABC 中，已知a20 cm，b 28cm ， A 400，解三角形（角度精确到10，边长精确到 1cm ）。
解：（1 ）根据三角形内角和定理，C 1800( A B) 1800(32.00 81.80) 66.20；根据正弦定理， b asin B42.9sin81.8080.1(cm) ；sin A sin32.00根据正弦定理，c asinC42.9sin66.2 074.1(cm). sin A sin32.0 0（ 2）根据正弦定理，sin B bsin A28sin4000.8999.a20因为 00＜ B＜1800，所以B640，或 B1160.①当 B640时，C1800( A B)1800(400640 ) 760，c asin C 20sin76030(cm).sin A sin40 0②当 B 1160时，C 1800(A B)00116)， c asinC20sin24013(cm).180 (4024sin A sin400点评：应用正弦定理时（ 1 ）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（ 2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型 2 ：三角形面积例 2．在ABC 中，sin A cos A2， AC2，AB 3 ，求tan A的值和ABC 的面积。
2解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。
sin A cos A2 cos(A45 )2 ,2cos(A 145).2又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.otan Atan(45o 60o )1 3 23 ,13sinA sin105 sin(4560 ) sin45 cos60cos45 sin60 2 6.4S ABC1 AC AB sin A 12 32 46 3 ( 26) 。
224解法二：由 sin A cos A 计算它的对偶关系式sin A cos A 的值。
sin A cos A2①2(sin A cos A)2 12 2sin Acos A 12Q 0o A 180o , sin A 0,cos A 0.另解 (sin 2 A1)2(sin A cos A) 21 2 sin A cos A3 ,2sin A cos A6②2①+ ②得 sin A264 。
①－②得 cos A246 。
从而tan Asin A264 23。
cosA426以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。
两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？题型 3 ：三角形中的三角恒等变换问题例 3 ．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、 b 、 c 成等比数列，且a2－c2= ac－ bc ，求∠A 的大小及bsin B的值。
c分析：因给出的是a、b、c 之间的等量关系，要求∠A，需找∠ A 与三边的关系，故可用余弦定理。
由 b2= ac 可变形为b2 b sin Bc = a，再用正弦定理可求c的值。
解法一：∵ a、 b、 c 成等比数列，∴ b 2= ac。
又 a2－ c2= ac－ bc ，∴b2+ c2－a2= bc 。
在△ABC 中，由余弦定理得：b 2c 2a2bc1 cos A=2bc==，2bc2∴∠A=60°。
在△ABC 中，由正弦定理得sin B=bsin A，∵b 2= ac，a∠ =60 °，Absin B b2 sin 603∴=sin60 °=。
c ac2解法二：在△ ABC 中，由面积公式得1bc sin A=1ac sin B。
22∵b 2= ac，∠A=60°，∴bc sin A= b 2sin B。
∴bsin B=sin A= 3 。
c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
题型 4 ：正、余弦定理判断三角形形状例 4 ．在△ABC中，若 2cos B sin A＝sinC ，则△ABC的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案： C解析： 2sin A cos B＝ sin C =sin （A＋B） =sinAcosB+cosAsinB∴sin （A－B）＝ 0 ，∴A＝B另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型 5 ：三角形中求值问题例 5 ．ABC 的三个内角为A、 B、 C ，求当A为何值时， cos A 2cos B C取得最大值，并2求出这个最大值。
解析：由 A+B+C=B+CπA B+C A π，得=－，所以有 cos=sin。
22222cosA+2cos B+C=cosA+2sinA A A A13 2=1 － 2sin 2+ 2sin = － 2(sin－)2 +；222222A1πB+C3当 sin =，即 A=时 , cosA+2cos取得最大值为。
22322点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。
题型 6 ：正余弦定理的实际应用例 6．（ 2009 辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B， D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面A处测得B 点和 D 点的仰角分别为300，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为600，AC=0.1km。
750，试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km，2 1.414，6 2.449 ）解:在△ABC 中，∠DAC=30 °, ∠ADC=60 °－∠DAC=30,所以 CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，AB AC 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以BD=BA ，在△ABC 中，sin BCA ,sin ABCACsin60 3 26即AB=sin 15,20326因此， BD=200.33km。
故 B， D 的距离约为 0.33km 。
点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
三、思维总结1．解斜三角形的常规思维方法是：（ 1）已知两角和一边（如A、 B、C），由 A + B+ C =π求C，由正弦定理求a、 b；（ 2）已知两边和夹角（如a、 b 、 c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A + B+ C =π，求另一角；（ 3）已知两边和其中一边的对角（如a、 b、 A），应用正弦定理求B，由 A+ B+ C =π求C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（ 4）已知三边a、 b 、c，应余弦定理求A、 B，再由 A+ B+ C =π，求角C。
2 ．三角学中的射影定理：在△ ABC 中， b a cosC c cos A ，⋯3 ．两内角与其正弦 ：在△ ABC 中， AB sin A sin B ，⋯4 ．解三角形 可能出 一解、两解或无解的情况， 合“三角形中大 大角定理及几何作 来帮助理解” 。
三、 后跟踪1.（ 2010 上海文数18. ）若△ ABC 的三个内角 足sin A :sin B :sin C5:11:13 ， △ ABC（）（ A ）一定是 角三角形. （ B ）一定是直角三角形.（ C ）一定是 角三角形.(D) 可能是 角三角形，也可能是 角三角形 .解析：由 sin A :sin B :sin C 5:11:13及正弦定理得 a:b:c=5:11:13由余弦定理得cos c5 2 112 13 22 5 110 ，所以角 C 角2. （ 2010 天津理数 7 ）在△ ABC中，内角 A,B,C 的 分 是a,b,c ，若 a2b 23bc ，sin C 23 sin B ， A=()（A ） 300 （B ） 600（C ）120 0 （D ）1500【答案】 A【解析】本 主要考 正弦定理与余弦定理的基本 用，属于中等 。