2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用复习导学案 理新人教A版选修1-1.doc
河北省高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数导学案新人教A版选修
2．函数y＝x3＋x的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞)B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
3．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()
A．( ，＋∞)B．(－∞， ]
C．[ ，＋∞)D．(－∞， )
(2)如果在区间(a，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．
二）函数的变化快慢与导数的关系
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2．上面我们已经知道f ′(x)的符号反映f(x)的增减情况，那么能否用导数解释f(x)变化的快慢呢？
3．在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝3x，y＝，y＝x2，y＝x3的图象，观察x>0时，函数增长的快慢，与各函数的导数值的大小作对比，你发现了什么？
∴f(1)＝2.
∴a＋b＝1.①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f′(1)＝8，
又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5.②
解由①②组成的方程组，可得a＝ 4，b＝－3.
(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，
令f′(x)>0，可得x<－3或x> ；
令f′(x)<0，可得－3<x< .
2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数B．是减函数
C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
3．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是( )
A．单调增函数B．单调减函数
C．在(0， )上是减函数，在( ，6)上是增函数
高中数学《第三章 导数及其应用》复习学案 新人教A版选修
高中数学《第三章导数及其应用》复习学案新人教A版选修一、知识点梳理（1）平均变化率：对于一般的函数，在自变量从变化到的过程中，若设, 则函数的平均变化率为（2）导数的概念一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，则称在处可导，并称A为在处的导数，记作或（3）导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的。
基本初等函数的导数公式表及求导法则（默写）（5）函数单调性与导数：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内；如果，那么函数在这个区间内、说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数、（6）求解函数单调区间的步骤：（7）求可导函数f(x)的极值的步骤: 注：列成表格后，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值（8）函数的最值：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有、二、典型例题1、曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A、y＝x－2B、y＝－3x＋2C、y＝2x－3D、y＝－2x＋12、函数在区间 ( )(A)上单调递减 (B)上单调递减 (C)上单调递减 (D)上单调递增3、若函数在处有极大值，则常数的值为_________；4、函数的一个单调递增区间是（）(A)(B)(C)(D)5、函数的极值是6、已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如下，则( )A、函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B、函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C、函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D、函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点7、求函数y=x2（x－3）的减区间8、函数的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）求实数的值、（Ⅱ）求的单调区间、9、已知在时取得极值，且、Ⅰ、试求常数a、b、c的值；Ⅱ、试判断是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由、。
【人教A版】高中数学必修一：第3章《函数的应用》导学案设计(含答案)
知识点一函数的零点1.对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.2.方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.3.函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用).(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)＜0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.知识点二二分法二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验.知识点三函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为题型一 函数的零点根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根.从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题.在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视. 例1 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.(－14，0)B.(0，14)C.(14，12)D.(12，34) 答案 C解析 ∵f (－14)＝e 41-－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0，f (34)＝e 43>0， ∴f (14)·f (12)<0.跟踪训练1 设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B解析 设g (x )＝x 3－22－x ，则g (0)＝－4，g (1)＝－1， g (2)＝7，g (3)＝26 12，g (4)＝63 34，显然g (1)·g (2)＜0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内， 即y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点在(1,2)内. 题型二 函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画.这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识.对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果.例2 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t ＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为：P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N *，－110t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N *.(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N *. (3)由(1)(2)可知y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫15t ＋2(－t ＋40)，0≤t ≤20，t ∈N *，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8(－t ＋40)，20＜t ≤30，t ∈N *＝⎩⎨⎧－15(t －15)2＋125，0≤t ≤20，t ∈N *，110(t －60)2－40，20＜t ≤30，t ∈N *.当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小.所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元. 跟踪训练2 某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系是Q ＝－t ＋40 (0<t ≤30，t ∈N *). (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量) 解 (1)根据图象，可得P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N *，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *. (2)设日销售额为y 元，则y ＝P ·Q＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N *，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N *， 即有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900，0<t ≤24，t ∈N *，(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N *.①若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900； ②若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.数形结合思想在解数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维和形象思维联系在一起，实现抽象概念与具体图象之间的相互转化，即数量关系转化为图形的性质或者把图形的性质转化为数量关系来研究.例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k 的取值范围是______.解析 易知函数f (x )的图象如图所示：由图可知0<k <1. 答案 0<k <1跟踪训练3 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A.x 1>x 2>x 3 B.x 2>x 1>x 3 C.x 1>x 3>x 2 D.x 3>x 2>x 1答案 D解析 在同一坐标系内分别画出⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝ln x ， 和⎩⎨⎧y ＝－x ，y ＝－x －1的图象，由图可知每组中的两图象各有一个交点，它们的横坐标就是三个函数的零点，由图可知：x 3>x 2>x 1，故选D.转化与化归思想例4 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数. 解 原方程等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，(x －1)(3－x )＝a －x ， 整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3).在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示.(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图象有两个交点，故原方程有两个实数根.跟踪训练4 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？解 已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则： ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.。
2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第三章 3.2.2 奇偶性
－3 B.f(2)<f 2 <f(－1)
－3 C.f(2)<f(－1)<f 2
－3 D.f(－1)<f 2 <f(2) 解析 ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，
∴f(2)＝f(－2).
又 f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－3<－1. 2
－x2－x，x<0， 综上可知 f(x)＝
x2－x，x≥0. (2)设 x<0，－x>0， 则 f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， 又 f(x)在 R 上为偶函数，∴当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1. 题型四 函数单调性与奇偶性的应用 方向 1 比较大小问题 【例 4－1】 若对于任意实数 x 总有 f(－x)＝f(x)，且 f(x)在区间(－∞，－1]上是 增函数，则( )
－∞，－5 5，＋∞
单调递减区间是
2和2
.
4.(1)中的函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上单调性相反，(2)中的函数在区间
－5，0 0，5 2 与 2 上单调性相同.
1.函数的奇偶性 奇、偶函数的定义域关于原点对称
奇偶性
定义
图象特点
设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x∈I，都有－x∈I，且
为________________________________________________________.
解析 因为函数 f(x)在区间[－3，－1]上是减函数，所以 f(－1)<f(－2)<f(－3).
又函数 f(x)是偶函数，则 f(－x)＝f(x).即 f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。
河北省高中数学第三章导数及其应用3.2.1几个常用函数的导数导学案新人教A版选修
二、填空题
7．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________.
8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝ ，则质点在t＝32时的速度等于____________.
9．在曲线y＝ 上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________.
3．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为( )
A． B．－ C． D．－
4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于 的点为( )
A．( ， )B．(－ ，－ )或( ， )
C．(2kπ＋ ， )D．(2kπ＋ ， )或(2kπ－ ，－ )
二、填空题
5．(2015·陕西理)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝ (x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
基础题
cbbadd
7.3
8.
9.(2,1)
10设双曲线上任意一点P(x0，y0)，
∵y′＝－ ，
∴点P处的切线方程y－y0＝－ (x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋ ＝ ；
令y＝0，得x＝x0＋x y0＝2x0.
∴S△＝ |x|·|y|＝2.
∴三角形面积为定值2.
提高题
Cdcd
5.(1,1)
6.4x－y－5＝0
练习：曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为()
A．1B．2C ．eD．
例4若曲线y＝x－ 在点(a，a－ )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
练习：已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．
例5求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．
【新导学案】高中数学人教版必修一：第三章《函数的应用(复习)》.doc
第三章《函数的应用(复习)》导学案【学习目标】1. 祐会扁薮的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分法求方程的近似解，初步形成用函数观点处理问题的意识；2. 结合实际问题，感受运用甫数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科小的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会屮的简单问题.【知识链接】(复习教材“6〜戸】3,找出疑惑之处)复习1：函数零点存在性定理.如果函数y = f(x)在区间［d,勿上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 _______________ ,那么，函数y = /(x).在区间(a,b)内有零点.复习2：二分法基本步骤.①确定区间［a,b］,验证＜ 0 ,给定精度£；②求区间(a,b)的中点片；③计算/(X,)：若/(%,) = 0.,则西就是函数的零点;若/(a)q/a)vo,则令“斗(此时零点x o G ):若/(%,)0/'(/2)＜0,则令a = X、(此时零点x o G (XpZ?)):④判断是否达到精度£ ；即若|°-纠＜£,则得到零点零点值"(或小；否则重复步骤②〜④.复习3：函数建模的步骤.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据一画散点图f选择函数模型f求函数模型f检验一符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.【学习过程】探典型例题例1、在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，如何迅速査出故障所在？如果沿着线路一小段一小段査找，困难很多.每査一个点耍爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆子呢.想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？要把故障可能发生的范围缩小到50~100m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？例2、某企业现生产的甲种产品使企业1999年盈利a万元，预计从2000年起，20年内甲种产品盈利每年比上一年减少丄，同时开发乙种产品2000年投放市场，乙种产品第一年盈利b万元，在今20后20年内，每年盈利都比上-•年增加丄，若b =(兰)0,问该企业今后20年内，哪一年盈利最19 20少是多少万元.例3、将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表:(1)(2) 建立一个能基本反映该变化过程的水温y (°C)关于时间x(s)的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.(3) 水杯所在的室内温度为18°C,根据所得的模型分析，至少经过儿分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10°C?对此结果，你如何评价？探动手试试练1.某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/ 小时，燃料费用是每小时20元，其余费用(不论速度如何)都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？练2・某种商品定价为每件60元，不加收附加税时，每年销售80万件，若政府征收附加税，每销2（）售100元要征税p元，即税率为P%,因此每年销售将减少丰〃万件.（1）将政府每年对该商晶征收的总税金y（万元）表成"的函数，并求出定义域；（2）要使政府在此项经营中每年征收税金不少于128万元，税率卩％应怎样确定；（3）在所收税金不少于128万元前提下，要让厂家获得最大销售金额，如何确定〃值.【学习反思】探学习小结零点存在定理及二分法；函数建模.探知识拓展数学模型：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。
2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第三章 3.4 函数的应用(一)
10 (2)设最大利润为 Q(x)，
1 （x－15）2＋17.5 则 Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－ 10 ＝－ 1 (x－23)2＋12.9(10≤x≤25).
10 所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元. 题型三 分段函数模型
【例 3】 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的日销售量(件)
与价格(元)均为时间 t(天)的函数，且日销售量近似满足 g(t)＝80－2t(件)，价格近
15＋1t（0≤t≤10）， 2
似满足于 f(t)＝ 25－1t（10<t≤20） (元). 2
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式；
－t＋100，25≤t≤30，t∈N＋
(2)日销售量 Q 与时间 t 的一个函数式为
Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)，
(3)由题意
（t＋20）（－t＋40），0<t<25，t∈N＋， y＝
（－t＋100）（－t＋40），25≤t≤30，t∈N＋， －（t－10）2＋900，0<t<25，t∈N＋， ＝ （t－70）2－900，25≤t≤30，t∈N＋.
【例 2】 (1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入 x(万元)与药 品利润 y(万元)存在的关系为 y＝xα(α为常数)，其中 x 不超过 5 万元.已知去年投
入广告费用为 3 万元时，药品利润为 27 万元，若今年广告费用投入 5 万元，预
计今年药品利润为________万元.
(2)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，
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2019-2020学年高中数学第三章导数及其应用复习导学案理新人
教A版选修1-1
学习目标
提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.
108109，找出疑惑之处）
复习1：已知点P和点是曲线上的两点，且点的横坐标是1，点的横坐
标是4，求：（1）割线的斜率；（2）点处的切线方程.
复习2：求下列函数的导数：
（1）；（2）.
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：本章知识结构
问题：本章学过哪些知识点?
新知：
试试：一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度（单位：℃）
与时间（单位：min）间的关系，由函数给出.请问：（1）的符号是什么？为什么？
（2）的实际意义是什么？若℃，你能画出函数在点时图象的大致形状吗？
反思：1、导数的概念是：
2、导数的几何意义是：
3、导数的物理意义是：
※典型例题
例1 已知函数在处有极大值，求的值.
变式：已知函数,若恒成立,试求实数的取值范围.
小结：
例2 如图：过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于两点，当直线在什么位置时，的面积最小，最小面积是多少？
变式：用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？
※动手试试
练1. 如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（）.
练2. 某旅行社在暑假期间推出如下组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元.如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人.如何组团，可使旅行社的收费最多？
三、总结提升
※学习小结
运用导数的知识解决有关函数问题的方法步骤.
※知识拓展
导数是研究函数的有力工具，也是解决函数最（极）值问题，从而是解决优化问题的一种通法.虽然用配方法求二次函数极值的方法很漂亮，但它只是特殊情况下的特殊解法，并不能
解决三次函数等一般函数的极值问题，利用导数，我们可以求出满足方程的点，然后根据此点附近两侧导数的符号求出极值.这同时体现了导数这个工具的力量.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 已知函数在区间内可导，且，则的值为（）A． B． C． D．0
2. ，若，则a的值为（）
A．19/3 B.16/3 C.13/3 D. 10/3
3. 设，则此函数在区间和内分别为（）
A.单调递增，单调递减
B.单调递增，单调递增
C.单调递减，单调递增
D.单调递减，单调递减
4. 曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标是
5. 函数y=x+2cosx在区间[0，]上的最大值是
课后作业
1. 已知某养猪场每年的固定成本是20000元，每年最大规模的养殖量是400头.每养1头猪，
成本增加100元.如果收入函数是（是猪的数量），每年多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？（可使用计算器）
2. 一艘船的燃料费与船速度的平方成正比，如果此船速度是10，那么每小时的燃料费是80元. 已知船航行时其他费用为480元/时，在20航程中，航速多少时船行驶总费用最少（精确到1）？此时每小时费用等于多少（精确到1元）（可用计算器）。