高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第2章 函数 2.3
数学新学案同步必修一人教B版全国通用版讲义：第2章 函数2.2.2 Word版含答案
2.2.2二次函数的性质与图象学习目标 1.掌握二次函数的概念，能用“描点法”作二次函数的图象.2.掌握二次函数解析式的基本形式，会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性质.4.会求二次函数在给定区间上的最值．知识点一二次函数的概念思考结合一次函数的特征，请给出二次函数的定义、定义域？答案函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为R.梳理 1.二次函数的定义函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为R.2．二次函数的解析式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为顶点．(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．知识点二二次函数的图象与性质思考1二次函数的图象是一条抛物线，那么哪一个量影响图象的开口方向？答案x2的系数a影响开口方向．思考2二次函数的图象是轴对称图形，那么对称轴的位置与哪些量有关？对称轴方程是什么？答案对称轴的位置与a，b两个量有关．对称轴为x＝－b 2a.梳理二次函数的性质与图象1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈R ，不可能是偶函数．( × )3．在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一平面直角坐标系中的开口大小．( √ )类型一 二次函数的图象例1 画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)若x 1＜x 2＜1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)由图象判断x 为何值时，f (x )＞0，f (x )＝0，f (x )＜0. 解 f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4的图象如图所示．(1)由图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x＝1且开口向下，且|0－1|＜|3－1|，故f(1)＞f(0)＞f(3)．(2)∵x1＜x2＜1，∴|x1－1|＞|x2－1|，∴f(x1)＜f(x2)．(3)由图可知：当x＞3或x＜－1时，f(x)＜0；当x＝－1或x＝3时，f(x)＝0；当－1＜x＜3时，f(x)＞0.反思与感悟(1)观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－b2a的符号．另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题．(2)比较二次函数函数值的大小的方法①若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小．②若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．跟踪训练1已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(2)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0.解(1)由y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，图象如图：由图象可知，函数图象开口向上， 对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－8)． (2)由图象可知，当x ＞3或x ＜－1时，y ＞0； 当x ＝－1或x ＝3时，y ＝0；当－1＜x ＜3时，y ＜0. 类型二 二次函数的对称性与单调性例2 已知函数f (x )＝x 2－ax 的单调增区间为(2，＋∞)． (1)求参数a 的值；(2)求对称轴方程；(3)求在R 上的最小值． 解 (1)∵f (x )＝x 2－ax ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24， ∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫a2，＋∞. 又f (x )的单调增区间为(2，＋∞)， ∴a2＝2即a ＝4. (2)对称轴方程为x ＝2. (3)f (x )min ＝f (2)＝－4. 引申探究1．若f (x )＝x 2－ax 在(2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，4] 解析 ∵a2≤2，∴a ≤4.2．若f (x )＝x 2－ax 在[1,3]上单调，求a 的范围． 解 ∵f (x )＝x 2－ax 在[1,3]上单调， ∴区间必在对称轴x ＝a2的一侧，∴a 2≤1或a2≥3， ∴a ≤2或a ≥6，即a ∈(－∞，2]∪[6，＋∞)．反思与感悟 利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系． 跟踪训练2 已知函数y ＝ax 2＋(a －1)x ＋14在[1，＋∞)上是减函数，求a 的范围．解 (1)当a ＝0时，y ＝－x ＋14在[1，＋∞)上是减函数．(2)当a ＞0时，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ，＋∞上为增函数，不合题意．(3)当a ＜0时，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ，＋∞上为减函数，∴－a －12a ≤1，即a ≤13，∴a ＜0.综上所述a ∈(－∞，0]．类型三 二次函数在给定区间上的最值的求法例3 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． 解 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋2的对称轴为x ＝a 且开口向上． ∴①当a ≤2时，f (x )在[2,4]上为增函数． ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .②当2＜a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ③当a ＞4时，f (x )在[2,4]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .综上所述f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a ≤2，2－a 2，2＜a ≤4，18－8a ，a ＞4.引申探究1．若求f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最大值，如何分类？ 解 区间[2,4]的中点为3.∵f (x )＝x 2－2ax ＋2的对称轴为x ＝a 且开口向上， ∴①当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ， ②当a ＞3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a .综上所述f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a ＞3.2．若f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最大值为10，求a 的值． 解 由探究1知，当a ≤3时，f (x )max ＝18－8a ＝10， ∴a ＝1；当a ＞3时，f (x )max ＝6－4a ＝10， ∴a ＝－1(舍)． 综上所述a ＝1.3．若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求a 的取值范围． 解 由探究1知：①当a ≤3时，f (x )max ＝18－8a ≤a 恒成立， ∴a ≥2，即a ∈[2,3]．②当a ＞3时，f (x )max ＝6－4a ≤a ， ∴a ≥65，∴a ＞3.综上所述a ∈[2，＋∞)．反思与感悟 二次函数最值问题的解题策略 (1)确定对称轴，抛物线的开口方向，作图． (2)在图象上标出定义域的位置．(3)观察单调性写出最值．跟踪训练3已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a.(1)若方程x2－2ax＋2a＝0无解，求实数a的取值范围；(2)若x∈[－1,2]时，f(x)≥－2恒成立，求实数a的取值范围．解(1)Δ＝(－2a)2－8a＜0，解得0＜a＜2.(2)f(x)＝x2－2ax＋2a，对称轴为x＝a.当a＞2时，f(x)min＝f(2)＝4－2a≥－2，解得2＜a≤3.当－1≤a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a≥－2，解得1－3≤a≤2.当a＜－1时，f(x)min＝f(－1)＝1＋4a≥－2，解得a∈∅.综上所述，a的取值范围是[1－3，3].1．函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是()A．(2，－2) B．(1，－2)C．(1，－3) D．(－1，－3)答案 D解析由于y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，所以函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是(－1，－3)．2．已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数()A．对称轴为x＝1，最大值为3B．对称轴为x＝－1，最大值为5C．对称轴为x＝1, 最大值为5D．对称轴为x＝－1，最小值为3答案 C解析 由y ＝－x 2＋2x ＋4＝－(x －1)2＋5，知对称轴为x ＝1, 最大值为5. 3．二次函数y ＝4x 2－mx ＋5的对称轴为x ＝－2，则当x ＝1时，y 的值为( ) A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 答案 D解析 对称轴x ＝m8＝－2，∴m ＝－16即y ＝4x 2＋16x ＋5， 当x ＝1时，y ＝4＋16＋5＝25.4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上为减少的，则( ) A ．a ＜－2 B ．a ≤－2 C ．a ＞－2 D ．a ≥－2答案 B解析 由题意，得－a －13≥1，解得a ≤－2.5．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1在[－2，－1]上的最大值是________，最小值是________． 答案 －2 －7解析 f (x )＝－x 2＋2x ＋1的对称轴为x ＝1，开口向下， ∴f (x )max ＝f (－1)＝－1－2＋1＝－2， f (x )min ＝f (－2)＝－4－4＋1＝－7.1.作二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．2．若求二次函数在某闭(或开)区间(非R )内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域．(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.一、选择题1．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增答案 C解析当m＝0时，f(x)是偶函数，此时f(x)＝－x2＋3，所以f(x)的图象是开口向下的抛物线，所以函数f(x)在区间(－3,1)上先增后减．2．若f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，则()A．f(4)＜f(1)＜f(2) B．f(2)＜f(1)＜f(4)C．f(2)＜f(4)＜f(1) D．f(4)＜f(2)＜f(1)答案 B解析f(x)的对称轴为x＝2，所以f(2)最小．又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4)＞f(1)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则() A．a＝1，b＝－4，c＝－11B．a＝3，b＝12，c＝11C．a＝3，b＝－6，c＝－11D．a＝3，b＝－12，c＝11答案 D解析由二次函数的图象与y轴交点坐标为(0,11)，知c＝11，又因为函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，所以－b2a＝2，4ac－b24a＝－1，解得a＝3，b＝－12.4．若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是()答案 C解析 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以为a <0，b <0，所以二次函数图象的开口向下，对称轴方程x ＝－b2a<0，只有选项C 适合．5．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2]答案 D解析 f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3， ∴1≤m ≤2，故选D.6．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 答案 C解析 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a ＜0. 二、填空题7．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的有关叙述： (1)值域为R ；(2)在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增； (3)当b ＝0时，函数是偶函数． 其中正确说法的序号为________． 答案 (3)解析 二次函数的值域不可能为R ，故(1)错；当a ＜0时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递增，在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，故(2)错；当b ＝0时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2＋c 为偶函数，故(3)正确．8．已知函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋a )(a ，b 为常数)的图象关于y 轴对称，其值域为(－∞，4]，则a ＝________，b ＝________. 答案 ±2 －1解析 ∵f (x )＝bx 2＋(a ＋ab )x ＋a 2图象关于y 轴对称，∴x ＝－a ＋ab 2b ＝0，∴－a －ab ＝0，① 又∵值域为(－∞，4]，∴4a 2b －(a ＋ab )24b＝4，② 由①②可知a ＝±2，b ＝－1.9．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________． 答案 1解析 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，且函数有最小值－2.故当x ＝0时，函数有最小值，当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2，∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1.10．已知－x 2＋4x ＋a ≥0在[0,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [0，＋∞)解析 方法一 －x 2＋4x ＋a ≥0，即a ≥x 2－4x ，x ∈[0,1]，也就是a 应大于或等于f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值，函数f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值为0，∴a ≥0.方法二 设f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a ≥0，f (1)＝－1＋4＋a ≥0，解得a ≥0.三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，3上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f ⎝⎛⎭⎫12＝54，f (3)＝5，∴f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，3上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6. 故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．12．已知函数y ＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，当－2<a ≤1时，y min ＝a 2－2a ，当a >1时，y min ＝－1.13．已知f (x )＝x 2＋2x －1，若x ∈[a ，a ＋1]，求f (x )的最小值．解 因为f (x )＝(x ＋1)2－2，故对称轴为x ＝－1.①当a ≥－1时，则区间[a ，a ＋1]在对称轴x ＝－1的右侧，所以y ＝f (x )在此区间上是单调递增的．所以f (x )min ＝f (a )＝a 2＋2a －1.②当a ＋1≤－1，即a ≤－2时，则区间[a ，a ＋1]在对称轴的左侧，所以y ＝f (x )在此区间上是单调递减的，所以f (x )min ＝f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋2(a ＋1)－1＝a 2＋4a ＋2.③当a ＜－1＜a ＋1时，即－2＜a ＜－1时，f (x )min ＝f (－1)＝－2.综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋4a ＋2，a ≤－2，－2，－2＜a ＜－1，a 2＋2a －1，a ≥－1.四、探究与拓展14．已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，如图所示，则满足等式f (a －1)＝f (5)的实数a 的值为________．答案 －2或6解析 ∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，若a －1与5重合，则a －1＝5，a ＝6；若a －1与5不重合，则a －1＋52＝1， ∴a ＝－2.15．函数f (x )＝(a －1)x 2＋2ax ＋1在区间(1,2)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x ＋1在区间(1,2)上是增函数；(2)当a ＞1时，由题意知，对称轴x ＝a 1－a≤1，解得a ＞1； (3)当a ＜1时，由题意知，对称轴x ＝a 1－a≥2，解得23≤a ＜1. 综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞.。
数学新学案同步必修一人教B版全国通用版讲义：第2章 函数2.4.1 Word版含答案
§2.4函数与方程2.4.1函数的零点学习目标 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．知识点函数零点的概念思考1函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．思考2函数一定都有零点吗？答案不一定．只有函数的图象与x轴有公共点时，才有零点．梳理 1.函数的零点如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系1．f (x )＝x 2的零点是0.( √ ) 2．函数的零点是一个点．( × )类型一 求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1；(2)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.解 (1)存在．因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1 ＝(8x ＋1)(－x ＋1)，所以方程－8x 2＋7x ＋1＝0有两个实根－18和1，即函数f (x )＝－8x 2＋7x ＋1的零点是－18和1.(2)存在．令f (x )＝0，即x 2＋4x －12x －2＝0，解方程得x ＝－6(x ＝2舍去)，所以函数f (x )＝x 2＋4x －12x －2的零点是－6.反思与感悟 求函数零点的两种方法 (1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不易求根的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点． 跟踪训练1 求下列函数的零点． (1)f (x )＝x 2－1x ；(2)y ＝(ax －1)(x ＋2)． 解 (1)∵f (x )＝x 2－1x ，∴x ≠0.令f (x )＝0，即x 3－1＝0，∴x ＝1， ∴f (x )＝x 2－1x的零点为1.(2)①当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2. ②当a ≠0时，令y ＝0得x ＝1a 或x ＝－2.(ⅰ)当a ＝－12时，函数的零点为－2；(ⅱ)当a ≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：当a ＝0或－12时，零点为－2；当a ≠0且a ≠－12时，零点为1a ，－2.类型二 函数零点个数的判断例2 已知函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，求实数a 取何值时函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，(1)有两个零点；(2)有三个零点．解 令h (x )＝|x 2－2x －3|和g (x )＝a ，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a 的零点个数． (1)若函数有两个零点，则a ＝0或a ＞4. (2)若函数有三个零点，则a ＝4.引申探究若f (x )＝x 2－2|x |＋a －1有四个不同的零点，求a 的取值范围． 解 令f (x )＝0，得a －1＝2|x |－x 2. 令y 1＝a －1，y 2＝2|x |－x 2.∵f (x )＝x 2－2|x |＋a －1有四个不同的零点，∴y 1＝a －1，y 2＝2|x |－x 2的图象有四个不同的交点．画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示．观察图象可知，0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.反思与感悟判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程的根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)利用函数的图象．画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．(3)转化为两个函数图象交点问题．例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．跟踪训练2已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．解令f(x)＝|x2－6x＋8|，在平面直角坐标系中画出f(x)的图象，如图所示，下面对a进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；当a＝1时，原方程实数解的个数为3；当0<a<1时，原方程实数解的个数为4；当a>1或a＝0时，原方程实数解的个数为2.类型三函数零点性质的应用例3已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．解令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f(x)的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，f (2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a －4(a ＋1)＋a －1＜0， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a －4(a ＋1)＋a －1＞0，解得0＜a ＜5， ∴a 的取值范围为(0,5)．反思与感悟 解决函数零点性质的应用问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．跟踪训练3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 由已知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1＜0，f (－1)＝2＞0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ∈R ，m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12.1．下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案 D2．函数y ＝x 2－4的图象与x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是( ) A ．(0，±2)；±2 B ．(±2,0)；±2 C ．(0，－2)；－2 D ．(－2,0)；2答案 B解析 令x 2－4＝0，得x ＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2. 3．如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．[－2,6]C ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)D ．{－2,6} 答案 C解析 由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，即m 2－4m －12＞0，由二次函数的图象(图略)知m＞6或m ＜－2.4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 答案 2 －8解析 ∵2，－4是函数f (x )的零点， ∴f (2)＝0，f (－4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.5．若f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点是3，则函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________． 答案 0，－1解析 ∵3是f (x )＝ax －b 的一个零点， ∴3a －b ＝0，即b ＝3a .∴g (x )＝bx 2＋3ax ＝3ax 2＋3ax ＝3ax (x ＋1)， ∴g (x )的零点是0，－1.1．函数的零点实质上是函数图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的零点．2．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析 B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．2．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．3答案 C解析 因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0， 所以b ＝±2.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0，则函数f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＜0时，x (x ＋4)＝0的解为x ＝－4；当x ≥0时，x (x －4)＝0的解为x ＝0或x ＝4.故f (x )有3个零点．4．下列说法中正确的个数是( ) ①f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为(－1,0)； ②f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1；③y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴的交点； ④y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 根据函数零点的定义，f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B. 5．若函数f (x )＝x ＋ax (a ∈R )在区间(1,2)上有零点，则a 的值可能是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．3 答案 A解析 f (x )＝x ＋a x 在(1,2)上有零点，即方程x ＋ax ＝0，亦即x 2＝－a 在(1,2)上有根．∴－4＜a＜－1，故选A.6．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．不能确定答案 B解析 由f (1)＝0，得a ＋b ＋c ＝0，又a >b >c ，∴a >0，c <0，∴Δ＝b 2－4ac >0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点． 二、填空题7．函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点有________个． 答案 3解析 ∵f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10) ＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，∴由f (x )＝0得x ＝－5或x ＝1或x ＝2.8．若函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32，则f (1)＝________.答案 0解析 因为函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32，所以32是方程2x 2－ax ＋3＝0的一个根，则2×94－32a ＋3＝0，解得a ＝5，所以f (x )＝2x 2－5x ＋3，则f (1)＝2－5＋3＝0. 9．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． 答案 (－1,0)解析 ∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＜0，f (1)＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，1＋b ＞0.∴－1＜b ＜0. 10．二次函数y ＝x 2－2ax ＋a －1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 由于二次函数图象开口向上，则只需f (1)＜0，即－a ＜0，∴a ＞0. 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3. (1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围． 解 (1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b ＋3，即b ＝4， 所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1. 所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f (1)＜0，即1－b ＋3＜0，所以b ＞4. 故b 的取值范围为(4，＋∞)．12．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值． 解 (1)当m ＋6＝0，即m ＝－6时， 函数为y ＝－14x －5显然有零点； 当m ＋6≠0，即m ≠－6时， 由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1) ＝－36m －20≥0，得m ≤－59.∴当m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点．综上，m ≤－59.故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59. (2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则有 x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3.且当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0符合题意，∴m 的值为－3.13．关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0.求a 为何值时：(1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内；(3)方程的两个根都大于零？解 (1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f (1)<0.由f (1)<0，得1－2＋a <0，所以a <1.(2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)<0，f (2)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a >0，1－2＋a <0，4－4＋a <0，9－6＋a >0，解得－3<a <0. (3)由方程的两个根都大于零，得⎩⎨⎧ Δ＝4－4a >0，－－22>0，f (0)>0，解得0<a <1. 四、探究与拓展 14．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B 解析 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.15．已知函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在[－1,1]上存在零点x 0，且x 0≠±1，求实数a 的取值范围． 解 当a ＝0时，函数f (x )＝1，不合题意；当a ≠0时，函数f (x )的图象是一条直线．依题意， 有f (1)·f (－1)＜0⇔(a ＋1)(－5a ＋1)＜0⇔(a ＋1)(5a －1)＞0⇔a ＜－1或a ＞15. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞.。
数学新学案同步必修一人教B版全国通用版讲义：第2章 函数2.2.1 Word版含答案
§2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象[学习目标] 1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质.2.会用一次函数的图象和性质分析问题、解决问题．知识点一一次函数的概念思考1那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？答案函数y＝kx＋b (k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R.思考2一次函数的图象是什么？表达式中的k，b的几何意义又是什么？答案一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y 轴上的截距．一次函数又叫做线性函数．知识点二一次函数的性质思考一次函数图象的斜率、截距对图象有什么影响？答案斜率影响直线的倾斜程度、截距影响直线的位置．梳理一次函数的性质特别提醒：注意k ≠0这一条件，当k ＝0时，函数为y ＝b ，它不再是一次函数，其函数图象是平行x 轴或与x 轴重合的一条直线．1．函数y ＝kx ＋b 叫做一次函数．( × ) 2．一次函数y ＝mx －m 过定点(1,0)．( √ )类型一 一次函数的概念例1 已知函数y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，m 为何值时， (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数； (3)函数值y 随x 的增大而减小；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3m ＝0，2m －1≠0，∴⎩⎨⎧m ＝13，m ≠12，∴m ＝13.(2)函数为一次函数，则2m －1≠0， 即m ≠12且m ∈R .(3)据题意，得2m －1＜0，∴m ＜12.(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，y ＝x ＋1，得(2m －2)y ＝5m －2，(*) ∵2m －2≠0(否则*式不成立)， ∴y ＝5m －22m －2，令5m －22m －2＝0，得m ＝25.反思与感悟 解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解． 跟踪训练1 设函数y ＝(m －3)xm 2－6m ＋9＋m －2： (1)m 为何值时，它是一次函数？ (2)在(1)的条件下判断函数的增减性．解 (1)由一次函数的表达式知，⎩⎪⎨⎪⎧m －3≠0，m 2－6m ＋9＝1.解得m ＝2或m ＝4.(2)当m ＝2时，m －3＝2－3＝－1<0， 所以对应的函数是减函数；当m ＝4时，m －3＝1>0，所以对应的函数是增函数． 类型二 求一次函数的解析式及参数范围例2 (1)若直线y ＝3x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜13B.13＜k ＜1 C ．k ＞1D ．k ＞1或k ＜13(2)已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在x ＝1时，y ＝5，且它的图象与x 轴交点的横坐标是6，则这个一次函数的解析式为________． 答案 (1)B (2)y ＝－x ＋6解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，y ＝x －k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－k2，y ＝1－3k 2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2，1－3k 2. 又∵交点在第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k2＞0，1－3k 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1，k ＞13，∴13＜k ＜1.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧5＝k ＋b ，0＝6k ＋b ，∴k ＝－1，b ＝6.反思与感悟 求一次函数的解析式的一般步骤 (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ，其中k ≠0.(2)根据题目中所给的条件(或隐含条件)列出实数k 与b 满足的方程组． (3)求出k 与b 的值，代入y ＝kx ＋b 即可．跟踪训练2 已知一次函数的图象经过y ＝x ＋1与y ＝2x －3的交点A ，并且与x 轴交于点B (－1,0)，求这个一次函数的解析式，并画出其图象．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，即A (4,5)．设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 因为函数图象过A (4,5)与B (－1,0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧5＝4k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以一次函数解析式为y ＝x ＋1，其图象如图．类型三 一次函数中的恒成立问题例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1＜x (m －1)恒成立，求m 的取值范围． 解 ∵当x ∈[0,1]时，不等式2m －1＜x (m －1)恒成立， ∴x (m －1)－(2m －1)＞0恒成立． 令f (x )＝x (m －1)－(2m －1)，则当x ∈[0,1]时，f (x )的图象恒在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－(2m －1)＞0，－m ＞0，∴m ＜0，即m 的取值范围为(－∞，0)． 引申探究若条件改为：存在x ∈[0,1]，使不等式2m －1＞x (m －1)成立，求m 的取值范围．解 若在[0,1]上存在x 使2m －1＞x (m －1)成立，则等价于f (x )＝(m －1)x －2m ＋1在[0,1]上存在x 使函数值为负值，即x ∈[0,1]时，f (x )min ＜0. 当m ＝1时，f (x )＝－1＜0恒成立； 当m ＜1时，m －1＜0，由f (x )min ＝f (1)＝－m ＜0得m ＞0， 故0＜m ＜1.当m ＞1时，m －1＞0，由f (x )min ＝f (0)＝－2m ＋1＜0得m ＞12，故m ＞1.综上所述，m 的取值范围是(0，＋∞)．反思与感悟 (1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)在[m ，n ]上恒为正⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＞0，f (n )＞0.(2)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)在[m ，n ]上恒为负⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＜0，f (n )＜0.跟踪训练3 已知f (x )＝ax ＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，＋∞ 解析 ∵f (x )＝ax ＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＞0，f (3)＞0， 解之得a ＞－23.类型四 一次函数的图象及应用例4 画出函数y ＝2x ＋1的图象，利用图象求： (1)方程2x ＋1＝0的根； (2)不等式2x ＋1≥0的解集； (3)当y ≤3时，求x 的取值范围．解 因为函数y ＝2x ＋1的图象与y 轴交于点A (0,1)，与x 轴相交于点B ⎝⎛⎭⎫－12，0，过A ，B 作直线，直线AB 就是函数y ＝2x ＋1的图象．如图所示．(1)直线AB 与x 轴的交点为B ⎝⎛⎭⎫－12，0，所以方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12. (2)从图象上可以看到，射线BA 上的点的纵坐标都不小于零，即y ＝2x ＋1≥0.因为射线BA上的点的横坐标满足x ≥－12，所以不等式2x ＋1≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－12. (3)过点(0,3)作平行于x 轴的直线CC ′，交直线AB 于C (1，3)，直线CC ′上点的纵坐标y 均等于3，直线AB 上位于直线CC ′下方的点的纵坐标y 均小于3，射线CB 上点的横坐标满足x ≤1.反思与感悟 直线y ＝kx ＋b 上y ＝y 0(y 0是已知数)点的横坐标就是一元一次方程y 0＝kx ＋b 的根，直线y ＝kx ＋b 上满足y 1≤y ≤y 2(y 1，y 2是已知数)的那条线段所对应的x 的取值范围就是一元一次不等式y 1≤kx ＋b ≤y 2的解集．跟踪训练4 已知y ＋5与3x ＋4成正比例，且当x ＝1时，y ＝2，若y 的取值范围为0≤y ≤5，求x 的取值范围．解 由已知可设y ＋5＝k (3x ＋4)(k ≠0)， 将x ＝1，y ＝2代入得，7＝k (3＋4)，∴k ＝1，即y ＝3x －1， ∵0≤y ≤5，∴0≤3x －1≤5.∴13≤x ≤2.1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2答案 C解析 ∵C 中y ＝1＋2x 为一次函数且一次项系数大于零，∴y ＝1＋2x 在R 上为增函数，故选C.2．一次函数y ＝kx (k ≠0)的图象上有一点坐标为(m ，n )，当m ＞0，n ＜0时，则直线经过( ) A ．第二、四象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第一、四象限答案 A解析 ∵点(m ，n )的坐标中m ＞0，n ＜0， ∴点一定在第四象限， ∴直线过第二、四象限．3．已知一次函数y ＝(m －2)x ＋m 2－3m －2，它的图象在y 轴上的截距为－4，则m 的值为( ) A ．－4 B ．2 C ．1 D ．2或1 答案 C解析 ∵y ＝(m －2)x ＋m 2－3m －2为一次函数， ∴m －2≠0即m ≠2.又截距m 2－3m －2＝－4即m 2－3m ＋2＝0， ∴m ＝1.4．当m ＝________时，函数y ＝(m ＋1)x 2m －1＋4x －5是一次函数．答案 ±1解析 由题意可知m ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＋4≠0，2m －1＝1，∴m ＝－1或m ＝1.5．若函数y ＝(2m －9)xm 2－9m ＋15是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m ＝________. 答案 2解析 ∵m 2－9m ＋15＝1， ∴m ＝2或m ＝7.①当m ＝2时，y ＝－5x ，符合要求； ②当m ＝7时，y ＝5x ，不符合要求． 故m ＝2.1．一次函数图象与性质的理解(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，但是并非任意一条直线都是一次函数的图象．例如：x ＝1的图象是一条直线，但x ＝1不是一次函数． (2)一次函数图象过定点⎝⎛⎭⎫－bk ，0，(0，b )． (3)一次函数的单调性与其一次项系数k 与0的大小关系． 当k >0时，函数单调递增， 当k <0时，函数单调递减． 2．一次函数与正比例函数(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)中，若b ＝0，则一次函数就变为正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)．可见正比例函数是特殊的一次函数，一次函数是正比例函数的推广． (2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)与一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象都是直线．但正比例函数的图象一定过原点，一次函数的图象一定过点(0，b ).一、选择题1．已知函数y ＝kx ＋k 2－k 过点(0,2)且是减函数，则k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－1,2 D ．1，－2答案 B解析 将点的坐标代入函数关系式，得k 2－k ＝2，即k 2－k －2＝0，所以k ＝－1或k ＝2，由于一次函数为减函数，即k <0，所以k ＝－1，故选B.2．两条直线y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )答案 A解析 假设B 项中直线y ＝ax ＋b 正确，则a ＞0，b ＞0，所以y ＝bx ＋a 的图象应过第一、二、三象限，而实际图象过第一、二、四象限．∴B 错．同理C ，D 错．故A 正确． 3．当x ∈(0,1)时，不等式－ax ＋a －5＜0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，5] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，5) D ．(－∞，－5]答案 A解析 令f (x )＝－ax ＋a －5＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －5≤0，－5≤0，∴a ≤5. 4．一个水池有水60 m 3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m 3，则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( ) A ．Q ＝60－3tB ．Q ＝60－3t (0≤t ≤20)C ．Q ＝60－3t (0≤t <20)D ．Q ＝60－3t (0<t ≤20) 答案 B解析 由题意，得0≤3t ≤60，即0≤t ≤20.只有B 选项适合．5．若函数y ＝(2m －3)x ＋3n ＋1的图象经过第一、二、三象限，则m 与n 的取值范围是( ) A ．m >32，n >－13B ．m >3，n >－3C ．m <32，n <－13D ．m >32，n <13答案 A解析 对于一次函数y ＝kx ＋b ，当k >0，b >0时，其图象经过第一、二、三象限，所以m >32，n >－13.6．若一次函数y ＝(3a －8)x ＋a －2的图象与两坐标轴都交于正半轴，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎫2，83 C.⎝⎛⎭⎫83，3 D ．(1,3) 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －8<0，a －2>0，解得2<a <83.二、填空题7．一次函数y ＝(3a －7)x ＋a －2的图象与y 轴的交点在x 轴上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫2，73 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，3a －7＜0，∴2＜a ＜73.8．若f (x )是一次函数，g (x )＝2x ＋1，f (g (x ))＝5x －3，则f (x )＝________. 答案 52x －112解析 设f (x )＝kx ＋b ，k ≠0， 则f (g (x ))＝k (2x ＋1)＋b ＝2kx ＋k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝5，k ＋b ＝－3，∴⎩⎨⎧k ＝52，b ＝－k －3＝－112，∴f (x )＝52x －112.9．已知函数y ＝2x ＋b 在区间[－1,3]上的最大值是7，则b ＝________. 答案 1解析 ∵函数y ＝2x ＋b 在[－1,3]上单调递增， ∴最大值为2×3＋b ＝7，∴b ＝1.10．直线y ＝－3x ＋1和直线y ＝2x ＋6以及x 轴围成的三角形的面积为________． 答案203解析 如图A ⎝⎛⎭⎫13，0，B (－3,0)，C (－1,4)．在△ABC 中，|AB |＝103，h ＝4， ∴S △ABC ＝12×103×4＝203. 三、解答题11．解答下列各题：(1)求函数y ＝3x －2(－1≤x ≤2)的值域；(2)若函数y ＝(3a ＋2)x ＋b 是减函数，求a 的取值范围；(3)若直线y ＝(m －2)x ＋1－2m 的图象不经过第二象限，求实数m 的取值范围．解 (1)∵y ＝3x －2在[－1,2]上为增函数，∴y ∈[－5,4]，其值域为[－5,4]．(2)∵3a ＋2＜0，∴a ＜－23. (3)①当m －2＝0，即m ＝2时，y ＝－3符合题意；②当m －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，1－2m ≤0，∴m ＞2，∴m 的取值范围为m ≥2.12．对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式px ＋3>3px 恒成立，试求x 的取值范围． 解 不等式px ＋3>3px 可化为：2px －3<0，即2xp －3<0，令f (p )＝2xp －3，当p ＝0时，f (p )＝－3<0，满足题意．函数f (p )的图象是一条线段，要使当0≤p ≤4时，f (p )<0恒成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝－3<0，f (4)＝8x －3<0，即x <38. ∴满足题意的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，38. 13．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝3x ＋5，y ＝x ＋5，y ＝－2x ＋8三个函数中的最大值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求出f (x )的最小值．解 在同一坐标系内作出y ＝3x ＋5，y ＝x ＋5，y ＝－2x ＋8的图象(如图所示)，它们的交点分别为A ，B ，C .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋5，y ＝－2x ＋8，得C ⎝⎛⎭⎫35，345. 过C 点作y 轴的平行线x ＝35，由图可知，在直线x ＝35左边，y ＝－2x ＋8的图象在最上面，即当x ≤35时，f (x )＝－2x ＋8；在直线x ＝35右边，y ＝3x ＋5的图象在最上面，即当x >35时，f (x )＝3x ＋5，因此，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋8，x ≤35，3x ＋5，x >35.观察f (x )的图象可知，f (x )min ＝345. 四、探究与拓展 14．已知函数f (x )＝(a ＋2b )x ＋2a －b (a ≥0)，且当x ∈[0,1]时恒有f (x )≤1，则f (－1)的最大值为________．答案 3解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2a －b ≤1，f (1)＝3a ＋b ≤1，两式相加可得5a ≤2，∴0≤a ≤0.4.∵f (－1)＝a －3b ＝3(2a －b )－5a ，且0≤a≤0.4,2a－b≤1，∴－2≤－5a≤0,3(2a－b)≤3，∴3(2a－b)－5a≤3，当a＝0，b＝－1时，f(－1)取最大值3.15．若函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间[－1,2]上恒有f(x)＞0，求实数k的取值范围．解(1)当k＝1时，f(x)＝2＞0恒成立；(2)当k＞1时，函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间(－1,2)上为增函数，所以只要f(x)min＞0，即f(－1)＝－(k－1)＋2＞0，解得k＜3，所以实数k的取值范围为(1,3)；(3)当k＜1时，函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间(－1,2)上为减函数，所以只要f(x)min＞0，即f(2)＝2k－2＋2＞0，解得k＞0，则实数k的取值范围为(0,1)．综上，实数k的取值范围为(0,3)．。
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第2章 函数 2.1.1 第1课时
②是函数关系，定义域为R.
③是函数关系，定义域为R.
解答
类型二 已知函数的解析式，求其定义域
例2 求下列函数的定义域. (1)y＝3－12x； 解 函数 y＝3－12x 的定义域为 R.
(2)y＝2 x－ 1－7x； 解 由x1≥－07，x≥0， 得 0≤x≤17， 所以函数 y＝2 x－ 1－7x的定义域为0，17.
解答
(3)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x.
2x＋3≥0， 解 要使函数有意义，需2－x>0，
x≠0，
解得－32≤x＜2，且 x≠0，
所以函数 y＝
2x＋3－
21－x＋1x的定义域为x－32≤x＜2，且x≠0
.解答ຫໍສະໝຸດ 反思与感悟求函数定义域的常用依据 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零. (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合. (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义. (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
第二章 2.1.1 函 数
第1课时 变量与函数的概念
学习目标
1.理解函数的概念. 2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素. 3.能正确使用函数、区间符号.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 函数的概念
1.函数的定义 设集合A是一个非空 的数集，对A中的任意数x ，按照确定的法则f，都有 唯一确定 的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数， 记作 y＝f(x)，x∈A . 2.函数的定义域与值域 在函数y＝f(x)，x∈A中， x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这 个函数的定义域.如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处 的函数值，记作 y＝f(a)或.所y|x有＝a函数值构成的集合_______{_y_|y_＝__f(_x_)_，x∈A} 叫做这个函数的值域.
数学人教B全国通用版必修一学案：第2章 2.1 2.1.1 函数 Word版含答案
2.1函数2.1.1函数学习目标：1.理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)2.会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)3.能正确使用区间表示数集．(重点)[自主预习·探新知]1．函数的相关概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．(2)函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．(3)函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．思考1：如何准确理解函数的概念？[提示](1)函数记号y＝f(x)的内涵：符号“y＝f(x)”指的是“y是x的函数”，它仅仅是抽象的、简洁的函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，y ＝f(x)是指对于定义域A中的任意x，在对应关系f的作用下，在值域C中有唯一的y与之对应，f(x)不一定是解析式，也可以是函数的其他表示形式，如图表法等．(2)要注意符号“f(a)”与“f(x)”的区别与联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，它是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况(非常数函数)下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．2．区间的概念与表示(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：思考2：如何正确理解区间的概念？[提示](1)区间表示了一个数集的范围，主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等．(2)若[a，b]是一个确定的区间，则隐含条件为a<b.(3)在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．(4)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．(5)用＋∞，－∞表示区间的端点处不能写成闭区间形式．[基础自测]1．思考辨析(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．()(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.()(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．()[解析](1)×定义域和值域可以是有限集也可以是无限集．(2)×根据函数的定义可知，对于定义域中的一个x值在值域中只有唯一的一个值f(x)和它对应．(3)√f(a)表示当x＝a时的函数值，它是一个常量．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为()A．－2B．－1C．0D．不确定B[因为f(x)＝－1表示常数函数，所以f(2)＝－1，故选B.]3．填空：(1)集合{x|1<x≤3}用区间可表示为________；(2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________；(3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________．[答案](1)(1,3](2)(－2，＋∞)(3)(－∞，2]4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则它的值域为________．{0，－1,3}[把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x中所得结果分别为0，－1,0,3，所以值域为{0，－1,3}．][合作探究·攻重难](1)(2)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．①②B．①③C．③④D．①④(3)判断下列对应是否为函数：①x→y，y＝2x，x≠0，x∈R，y∈R；②x→y，y2＝x，x∈N，y∈R；③x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；④x→y，y＝16x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}．[思路探究](1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．(3)利用函数的定义判定．[解](1)根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.(2)①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.[答案](1)B(2)C(3)①是函数．对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应．②不是函数．如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数．③不是函数．如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应．④是函数．当x∈{x|0≤x≤6}时，16x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}．[规律方法] 1.判断一个对应关系是否为函数的步骤(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．2．判断函数是否相同的步骤(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．[跟踪训练]1．判断下列对应是不是实数集R到R上的一个函数．(1)f：把x对应到3x＋1；(2)h：把x对应到1x2；(3)r：把x对应到x.[解] (1)x ∈R ，对应法则为f ：x →3x ＋1，设x 1∈R ，能确定唯一的函数值y 1＝3x 1＋1，所以对应法则f 是实数集R 到R 上的一个函数．(2)x ∈R ，对应法则为h ：x →1x 2，因为x ＝0时，不能确定唯一的函数值，所以对应法则h 不是实数集R 到R 上的一个函数．(3)x ∈R ，对应法则为r ：x →x ，因为x <0时，x 无意义，所以当x <0时，不能确定唯一的函数值，所以对应法则r 不是实数集R 到R 上的函数．](1)函数y ＝3x 1－2x＋(2x ＋1)0的定义域为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12且x ≠－12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤12且x ≠－12 [思路探究] 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．[解] 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，x ≠－12，即x ＜12且x ≠－12，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12且x ≠－12，故选B.[答案] B(2)求下列函数的值域：①y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；②y ＝x ＋1；③y ＝3x ＋2x －1； ④函数y ＝8x 2(1≤x ≤2)．[解] ①因为y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}，所以y ∈{3,5,7,9,11}．所以函数的值域为{3,5,7,9,11}． ②因为x ≥0，所以x ＋1≥1.所以函数的值域为[1，＋∞)．③y ＝3x ＋2x －1＝3(x －1)＋5x －1＝3＋5x －1≠3.所以函数的值域为{y |y ≠3}．④因为1≤x ≤2，所以1≤x 2≤4，14≤1x 2≤1，故2≤8x 2≤8，所以函数的值域为[2,8]．[规律方法] 1.求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．求函数值域的方法(1)简单的函数可以观察得到．(2)一次分式(或者可以化成一次分式的形式)可以采用常数分离法求解．(3)含根号的式子注意观察式子本身的隐含条件，结合根式的意义求出其取值范围．(4)二次函数常用配方法求其在R 上的值域．[跟踪训练]2．函数y ＝x ＋1x 的定义域为________.[－1,0)∪(0，＋∞)． [要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，x ≠0，解得x ∈[－1,0)∪(0，＋∞)．函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)．]3．函数y ＝－x 2－2x ＋5的值域为________．(－∞，6] [y ＝－x 2－2x ＋5＝－(x ＋1)2＋6因为x ∈R ，所以－(x ＋1)2＋6≤6所以函数的值域为(－∞，6]．][探究问题]1．函数f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)，这里的“[0，＋∞)”是指谁的取值范围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f 而言，有什么作用？提示：这里的[0，＋∞)是自变量x 的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x 的取值范围．对于函数的对应关系f 而言，当自变量x 在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．2．(1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？提示：(1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．3．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域；(2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．[思路探究] (1)由函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x －3≤3即可．(2)由函数y ＝f (2x －3)的定义域，先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．[解] (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.(2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]， 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]．[规律方法] 求复合函数定义域的方法(1)已知f (x )的定义域为D ，求f (g (x ))的定义域：由g (x )∈D ，解不等式得出x 的范围，即得到f (g (x ))的定义域．(2)已知f (g (x ))的定义域为D ，求f (x )的定义域：由x ∈D ，求出g (x )的值域，即得到f (x )的定义域．母题探究：(变条件)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，求y ＝f (2x －3)＋f (x 2)的定义域．[解] 因为函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，所以x ＋1∈[－1,4]．即f (x )的定义域为[－1,4]．由⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2x －3≤4，－1≤x 2≤4得⎩⎨⎧ 1≤x ≤72，－2≤x ≤2，即1≤x ≤2.所以y ＝f (2x －3)＋f (x 2)的定义域为[1,2]．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x .A ．4B ．3C ．2D ．1B [根据函数的定义，①②③是函数．④中满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ≤1的实数x 不存在．]2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎨⎧ x ，(x >0)－x ，(x <0)D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x >0)，－x (x <0)，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]3．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝x 0B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝x x D [由于y ＝1x 的定义域为{x |x >0}，而D 中f (x )＝x x的定义域也为{x |x >0}．] 4．函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________． [4,5)∪(5，＋∞) [∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5， ∴函数f (x )的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．]5．已知函数f (x )＝x ＋1x ，(1)求f (x )的定义域；(2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．[解](1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.。
数学人教B版必修一本章整合学案：第二章函数 含解析
本章整合知识网络专题探究专题一 函数的定义域、值域问题 1．确定函数定义域的主要依据 (1)当f (x )是整式时，定义域为R ；(2)当f (x )是分式时，定义域是使分母不等于0的x 的取值集合； (3)当f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x 的取值集合； (4)当f (x )是零指数幂时，定义域是使幂的底数非零的x 的取值集合；(5)当f (x )表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x 取值的实际意义． 2．函数的值域由函数的对应法则及定义域确定，求函数值域常用的方法(1)配方法；(2)分离常数法；(3)图象法；(4)换元法；(5)单调性法；(6)判别式法等． 【应用1】 求下列函数的定义域： (1)函数y0的定义域为__________；(2)若函数f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，则函数y ＝f (2x －1)的定义域为__________．解析：(1)∵由100x x x ≠⎧⎪⎨>⎪⎩＋，－，得x ＜0，且x ≠－1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)． (2)∵f (x ＋1)的定义域是[－2,3]， ∴－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4，即f(x)的定义域是[－1,4]．又∵－1≤2x－1≤4，∴0≤x≤5 2 .∴y＝f(2x－1)的定义域为5 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.答案：(1)(－∞，－1)∪(－1,0)(2)5 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【应用2】(1)函数y＝3121xx-+的值域为__________；(2)函数y＝2x－1的值域为__________．解析：(1)∵y＝3121xx-+＝35(21)2221xx+-+＝32－5221x+，又∵2x＋1≠0，∴5221x+≠0.∴y≠32.∴函数的值域为32y y⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭.(2)由题意得函数的定义域为13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦.∵y＝2x－1在13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦在13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦上是减函数，∴y＝2x－1在13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦上为增函数，∴当x＝134时，y有最大值112.∴该函数的值域为11,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.答案：(1)32y y⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭(2)11,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦专题二函数图象的应用函数的图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，并且函数图象的应用正是体现了数形结合的重要思想，如果能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，就能促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．运用数形结合的思想方法解决问题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性的原则．【应用1】函数y＝|x＋2|－|x－2|的最小值为__________．解析：方法一：y＝|x＋2|－|x－2|＝42222 4 2.xx xx≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩－，－，，－，，其图象如图所示．由图象，得函数的最小值是－4.方法二：函数的解析式y＝|x＋2|－|x－2|的几何意义是：P是数轴上任意一点，函数y 的值是点P到－2,2的对应点A，B的距离的差，即y＝|P A|－|PB|，如下图所示．观察数轴可得，－|AB|≤|P A|－|PB|≤|AB|，所以函数的最小值为－4.答案：－4【应用2】对于任意的x∈R，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是__________．解析：首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示y＝－x＋3，y＝32x＋12，y＝x2－4x＋3中最大的一个．其次是找出函数f(x)的表达式，此时可利用函数图象来确定．如图，分别画出函数y=-x+3，y=32x+12，y=x 2-4x+3的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．从图象观察可得函数f(x)的表达式为f(x)=2243,0,3,01,31,15,2243, 5.x x x x x x x x x x ⎧-+≤⎪-+<≤⎪⎪⎨+<≤⎪⎪-+>⎪⎩ f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以函数f(x)的最小值是2. 答案：2专题三 函数的零点问题 求函数y=f(x)零点的方法 1．转化为求方程f (x )＝0的根．2．转化为求y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．将f (x )分解为h (x )－g (x )，则f (x )＝0化为h (x )－g (x )＝0，再化为h (x )＝g (x )，从而转化为两个函数y ＝h (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标．【应用1】 函数f (x )＝x 2－|x －1|零点的个数为__________．解析：本题可转化为函数y ＝x 2与函数y ＝|x －1|的图象交点个数问题，分别画出函数图象，易知交点为2个．答案：2【应用2】 设函数f (x )＝ax ＋2a ＋1(a ≠0)，在－1≤x ≤1上f (x )存在一个零点，求实数a 的取值范围．思路分析：先利用零点存在的判断方法将已知转化为f (－1)·f (1)≤0，再结合函数的图象解不等式即可．解：因为函数f (x )在－1≤x ≤1上存在一个零点， 所以f (－1)·f (1)≤0，即(－a ＋2a ＋1)·(a ＋2a ＋1)≤0， 即(a ＋1)(3a ＋1)≤0.令g (a )＝(a ＋1)(3a ＋1)＝0，得函数g (a )的两个零点是a 1＝－1，a 2＝－13. 作出g (a )的图象如图所示．由图象可知，g (a )≤0时，可得a 的取值范围是－1≤a ≤－13. 专题四 函数的性质及应用研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及解析式等方面入手，通过对函数性质的研究使问题得以解决．抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，由于这类函数可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在历年的高考中，以抽象函数为载体，综合考查函数的性质的题经常出现，应引起重视．【应用1】 定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．思路分析：应用函数的奇偶性，将变量1－m 和m 转化到同一个单调区间上，利用函数的单调性求解．解：∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)． ∴f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)．∴原不等式等价于2221222|1|m m m m ⎧≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪>⎪⎩－－，－，－，解得－1≤m ＜12. ∴实数m 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【应用2】 已知函数f (x )＝223mx x n++是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．解：(1)∵函数f (x )＝223mx x n++是奇函数，∴对定义域内任意x ，都有f (－x )＝－f (x )，即223mx x n +-+＝－223mx x n++， 比较式子两边得，n ＝0. 又∵f (2)＝53，∴426m +＝53，解得m ＝2. 故实数m 和n 的值分别是2和0.(2)由(1)得f (x )＝2223x x+.此函数在区间(－∞，－1]上是增函数，在区间(－1,0)上是减函数，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝222223x x +－211223x x +＝2112122()(1)3x x x x x x --.当x 1＜x 2≤－1时，x 1x 2＞1， ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0.∴函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数； 当－1＜x 1＜x 2＜0时，x 1x 2＜1， ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴函数f (x )在(－1,0)上是减函数．【应用3】 已知f (x )是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )．(1)求f (0)，f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论．思路分析：题目中给出的是抽象函数，而要求的是比较特殊的值，可以考虑用赋值法，给出具体的值，再根据题意进行判断．解：(1)令a ＝b ＝0，代入f (ab )＝af (b )＋bf (a )，得f (0)＝0·f (0)＋0·f (0)，则f (0)＝0. 令a ＝b ＝1，代入f (ab )＝af (b )＋bf (a )，得f (1)＝1·f (1)＋1·f (1)，则f (1)＝0. (2)f (x )是奇函数．证明如下：由f (1)＝f [(－1)2]＝－f (－1)－f (－1)，得f (－1)＝0.令a ＝－1，b ＝x ，则f (－x )＝f (－1·x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )．又f (x )的定义域为R ，关于原点对称，∴f (x )为奇函数．专题五 闭区间上二次函数的最值问题对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在某个区间[m ，n ]上的最值问题主要分为以下三种情况：1．区间及对称轴均确定的二次函数的最值问题(简称轴定区间定)(1)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，在区间[m ，n ]上的最值(若顶点固定，区间也固定)有以下结论：①当－2ba＜m 时，f (x )在[m ，n ]上是增函数，最小值为f (m )，最大值为f (n )； ②当m ≤－2b a ≤n 时，最小值为f 2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝244ac b a -，最大值为f (m )或f (n )（m ，n 离-2ba较远的一处对应的函数值为最大值）； ③当－2ba＞n 时，f (x )在[m ，n ]上是减函数，最小值为f (n )，最大值为f (m )． 当a ＜0时，可仿此讨论．(2)二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得．(3)可画出草图帮助分析解决问题，体现数形结合的思想．【应用1】 二次函数f (x )＝x 2－2x ＋2，当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )． 思路分析：因为对称轴固定，区间不定，此题可从三个方面进行讨论：①区间在对称轴左侧；②区间在对称轴右侧；③对称轴在区间内．解：二次函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴方程为x ＝1. 当t ＞1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， 则g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，g (t )＝f (1)＝1－2＋2＝1； 当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1.综上，g (t )＝2222110110.t t t t t t ⎧>⎪≤≤⎨⎪<⎩－＋，，，，＋， 【应用2】 设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)．(1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(3)求函数的最值．思路分析：解答本题首先根据f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性，然后讨论x的范围写出相应解析式，画出函数图象，根据图象判断单调区间，求最值．解：(1)证明：f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，且定义域[－3,3]关于原点对称，所以f(x)是偶函数．(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；当－3≤x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，即f(x)＝22(1)203 (1)230. x xx x⎧≤≤⎪⎨≤<⎪⎩－－，，＋－，－根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示．函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．(3)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；当－3≤x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2.所以f(x)的最大值为2，最小值为－2.专题六函数的实际应用数学建模就是把现实生活中具体实例所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，使实际问题得到合理解决．其思想及操作程序如下：【应用1】某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：(1)t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？思路分析：由图象和表格可直接写出函数关系式，由(1)(2)问的函数关系式相乘，可得第(3)问的函数关系式，再求最大值即可．解：(1)由题图知，前20天的函数图象是上升的，且过点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P＝15t＋2；从20天到30天的函数图象是下降的，且过点(20,6)，(30,5)，求得方程为P＝－110t＋8，故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为P＝120205182030.10t t tt t t⎧≤≤∈⎪⎪⎨⎪<≤∈⎪⎩NN ＋，，，－＋，，(2)由表格，易知Q与t满足的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N.(3)由(1)(2)，可知y＝12(40)020518(40)203010t t t tt t t t⎧⎛⎫+≤≤∈⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩NN－＋，，，－＋，，＝221(15)12502051(60)402030.10t t t t t t ⎧≤≤∈⎪⎪⎨⎪<≤∈⎪⎩N N －－＋，，，－－，，当0≤t ≤20时，y max ＝125，此时t ＝15， 当20＜t ≤30时，y 随t 的增大而减小， 且此时y ＜110×(20－60)2－40＝120， 所以在这30天中的第15天，日交易额最大，其值为125万元．。
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第2章 函数 2.1.3
即Δy＝f(x1)－f(x2)<0， 1 ∴f(x)＝x＋ 在区间[1，＋∞)上是增函数． x 命题角度 2 例3 证明抽象函数的单调性 已知函数 f(x)对任意的实数 x，y 都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当 x>0 时，f(x)>1.求证：
函数 f(x)在 R 上是增函数． 证明 方法一 设 x1，x2 是实数集 R 上的任意两个实数，且 x1>x2.令 x＋y＝x1，y＝x2，则 x
2.1.3
学习目标 会用定义证明函数的单调性．
函数的单调性
1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性 .3.
知识点一 思考 答案
函数的单调性
画出函数 f(x)＝x，f(x)＝x2 的图象，并指出 f(x)＝x，f(x)＝x2 的图象的升降情况． 两函数的图象如下：
函数 f(x)＝x 的图象由左到右是上升的；函数 f(x)＝x2 的图象在 y 轴左侧是下降的，在 y 轴右 侧是上升的． 梳理 1.设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 M⊆A，如果取区间 M 中的任意两个值 x1，x2，
1．如果 f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则 f(x)在区间[a，c]上是增函数．( 2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．( × ) √性时，可设 x1<x2，也可设 x1>x2.(
4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．( ×
类型一 例1
求单调区间并判断单调性
如图是定义在区间[－5,5]上的函数 y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每
一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解
y＝f(x)的单调区间有[－ 5，－2]，[－ 2,1]，[1,3]，[3,5]，其中 y＝f(x)在区间 [－5，－
2018-2019数学新学案同步必修一人教B版全国通用版讲义：第2章 函数章末复习 Word版含答案
章末复习学习目标 1.构建知识网络，理解其内在联系.2.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．1．知识网络2．重要技能(1)运算技能主要表现在求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等．(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力．识图主要体现在给出函数图象，要能从中读出相关信息，能根据函数解析式或性质，画出相应图象．(3)推理技能主要体现在给出函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的函数问题．课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比推理：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等．(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律．(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作．3．数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题．(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域．(3)分类讨论在函数中，主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨．(4)数形结合主要体现在借助函数图象研究函数性质．1．函数的定义域、值域都是集合．( √ )2．直线y ＝b 与R 上的增函数至多有一个交点．( √ )3．若f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点，则f (a )·f (b )<0.( × )4．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )至多有一个交点．( √ )类型一 函数概念及性质命题角度1 函数三要素例1 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．解 (1)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意设y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝4时，y ＝16，当x ＝7时，y ＝10，得到16＝4k ＋b,10＝7k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝24，∴y ＝－2x ＋24.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ∈N ＋，y ＝－2x ＋24≥0.。
人教新课标版数学高一数学人教B版必修一 函数(二) 学案
2.1.1函数(二)自主学习学习目标1．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．2．知道函数与映射的关系．自学导引1．映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B 中________________________________元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的________________．这时，称y是x在映射f作用下的________，记作________，x称作y 的________．2．一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的______________，在集合A 中都________________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______________．3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是________概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________________．对点讲练知识点一映射的概念例1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．规律方法判断对应f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同．变式迁移1 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,64}，f ：a →b ＝(a －1)2； (3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；(4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．知识点二 象与原象例2 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)．(1)求A 中元素(1,2)的象； (2)求B 中元素(1,2)的原象．规律方法 解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．变式迁移2 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的原象．知识点三 映射的个数问题例3 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )．求满足条件的映射的个数．规律方法 求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论．变式迁移3 若将本例中的条件改为“B ＝{－1,0,1}，f (a )·f (b )＝f (c )”，这样的映射有几个？本节学习的主要内容是映射的概念，重点是对映射的理解，难点是映射的判定，在学习中要注意下列三个方面的问题：1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原象，则不作要求.课时作业一、选择题1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有象 B ．B 中每一个元素在A 中必有原象 C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象 D ．A 中不同元素的象必不同2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，对于以下对应的关系中，不是A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →12xB ．f ：x →13xC ．f ：x →14xD ．f ：x →16x3．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D ．(1,3)4．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；②M＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．()A．3个2个1个B．3个3个2个C．4个2个2个D．2个2个1个5．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有() A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题6．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→12y＋1，则经过两次映射，A中元素1在C中的象为________．7．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：映射f的对应法则如下：映射g的对应法则如下：则f[g(1)]的值为________．8．根据下列所给的对应关系，回答问题．①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；②A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；④A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋|x|，x∈A，y∈B.上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．三、解答题9．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋2的象和B中元素－1的原象．10．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应关系f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．2．1.1 函数(二) 答案自学导引1．有一个且仅有一个 映射 象 f (x ) 原象2．任意一个元素 有且只有一个原象 一一对应关系 一一映射3．函数 非空数集 对点讲练例1 解 (1)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f 是A 到B 的映射，又B 中的每一个元素在A 中都有唯一的原象与之对应，故f ：A →B 也是一一映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则f 不是A 到B 的映射，故不是一一映射．(3)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射，又B 中某些元素1、2、4、5……在A 中没有原象与之对应，故f ：A →B 不是一一映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故法则f 是从A 到B 的映射，但对于B 中某些元素在A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故f ：A →B 不是一一映射．(5)当x ＝0∈A ，1x无意义，故法则f 不是从A 到B 的映射．变式迁移1 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数． (3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．例2 解 (1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9. 故A 中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝14x ＋3y －1＝2， 得⎩⎨⎧x ＝617y ＝917，故B 中元素(1,2)的原象是⎝⎛⎭⎫617，917.变式迁移2 解 将x ＝2代入对应关系，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54， 得x ＝12.所以2在B 中的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中对应的原象为12. 例3 解 (1)当A 中三个元素都对应0时，则f (a )＋f (b )＝0＋0＝0＝f (c )有一个映射；(2)当A 中三个元素对应B 中两个时， 满足f (a )＋f (b )＝f (c )的映射有4个， 分别为2＋0＝2,0＋2＝2， (－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A 中的三个元素对应B 中三个元素时，有两个映射， 分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0. 因此满足条件中的映射共有7个．变式迁移3 解 由于f (a )、f (b )、f (c )的取值属于{－1,0,1}，故f (a )·f (b )＝f (c )时，f (a )，f (b )，f (c )f (a ) f (b ) f (c ) 1 －1 －1 －1 1 －1 1 1 1 －1 －1 1 －1 0 0 0 －1 0 0 0 0 1 0 0 01由表可知这样的映射有课时作业1．A 2.A 3.B 4.C5．B [由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．]6.13解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，而1在C 中象为12×1＋1＝13.7．1解析 g (1)＝4， ∴f [g (1)]＝f (4)＝1. 8．①③ ①解析 ①对x ∈A ，在f ：x →y ＝3x ＋1作用下在B 中都有唯一的象，因此能构成映射，又A 、B 均为数集，因而能构成函数；②当x ＝1时，y ＝|x －1|＝|1－1|＝0∉B ，即A 中的元素1在B 中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数．③对高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数．④当x ≤0时，|x |＋x ＝0，从而1|x |＋x 无意义，因而在x ≤0时，A 中元素在B 中无象，所以不能构成映射．9．解 当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的象是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2. 因为0∉A ，所以－1的原象是2.10．解 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝1. 故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的象是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的象是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。
人教B版高中数学必修一学案函数的单调性
§2.1.3函数的单调性1．结合一次函数、二次函数、反比例函数的图象，形象地理解函数的单调性；2．通过取值、描点，分析函数值的变化规律，体会函数值的变化趋势，并会作出判断；3．理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；4．培养利用数学概念进行判断推理的能力和.考察函数的单调性，可以从函数的图像、函数值的变化情况，增（减）函数的定义等多方面进行，但函数单调性的证明必须根据增（减）函数的定义加以证明。
【自学合作探究】1（画一画）．画出函数22,2,y x y x y x==-=的图象．2. （想一想）上面画出的图象从左到右是上升的还是下降的？（1）函数2y x=的图象从左到右是________________;（2）函数2y x=-的图象从左到右是________________;（3）函数2y x=的图象从左到右,在区间________是____________;在区间________是____________.3. （算一算）若函数()2f x x=，，2请填写下表．变化的？（1）当自变量在实数集从小变大时，函数()2f x x=的值________________;（2）当自变量实数集从小变大时，函数()2g x x=-的值________________;（3）当自变量从小变大时，函数2()h x x=的值,在区间________是__________;在区间________是____________.4．（议一议），结合函数2()f x x=，我们怎样用数学符号语言来刻画函数的增、减性质？在函数()y f x =的图像上任取两个点1122(,),(,)A x y B x y ，记：212121,()()x x x y f x f x y y ∆=-∆=-=-. （1） 在区间(,0]-∞，任意取两个值12,x x ，当改变量210x x x ∆=->,则21()()y f x f x ∆=-________0(填“>”或“<”)（2） 在区间[0,)+∞，任意取两个值12,x x ，当改变量210x x x ∆=->,则21()()y f x f x ∆=-________0(填“>”或“<”)5.（说一说）根据上面的分析，请同学们给出增函数和减函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间_____.M A如果取区间M 中的_______两个值12,x x ，改变量210x x x ∆=->,则当21()()_____0y f x f x ∆=-时，就称函数()y f x =在区间M 上是增函数，当21()()_____0y f x f x ∆=-时，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数. （辨一辨）判断下列结论是否正确． （1）函数1()f x x=在实数集上是减函数．（ ） 注：函数的单调性是在研究函数在定义域的子集（注意包括定义域本身）上的性质．（2）若函数的定义域为[2,6]，满足(2)(6)f f <，则函数()y f x =在区间[2,6]上是增函数. （ ）注：取区间M 中的任意两个值12,x x 中的“任意”两个字绝不能去掉．更不能用两个特殊值代替．6．单调性和单调区间的定义：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，其中区间M 称为函数的单调区间．思考：函数2y x =在(,)-∞+∞上具有单调性吗？【展示点拨】 例1 、 下图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f （x ）,请根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．※变式练习：（1）已知函数y=f （x ）,()y g x =的图象，（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．1x x 2x y凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
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60－51 则x0＝100＋ ＝550(个). 0.02
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
解答
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的
表达式； 解 当0＜x≤100时，P＝60；
x 当 100＜x≤550 时，P＝60－0.02(x－100)＝62－ ； 50
(1)当0≤x≤100时，
3 3 设 y＝kx，则 60＝100k，∴k＝ ， 5 ∴y＝5x. 1 (2)当 x＞100 时，同上例(2)，y＝ x＋10. 2 3x，0≤x≤100， 5 ∴y＝ 1 x＋10，x＞100. 2
解答
反思与感悟
一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照 “ 问什么，设什 么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单.
解答
类型二 二次函数模型的应用
例2 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，
如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡 场，设它的长度为 x 米 . 要使鸡场面积最大，鸡场的长 度应为多少米？ 解
50－x 设鸡场面积为S. ∵养鸡场总长为 x，∴宽为 (0< x <50) ． 3
50－x 1 2 1 625 2 ∴S＝x· 即 S＝－ (x －50x)＝－ (x－25) ＋ ， 3 3 3 3
625 ∴当 x＝25 时，Smax＝ . 3
即鸡场的长度为25米时，面积最大.
解答
引申探究 625 若将本例改为：要使鸡场面积为 3 ，怎样设计可使用的篱笆最短？
625 解 ∵长为 x，∴宽为 ， 3x
625 625 ∴L＝x＋ 3x ×3，即 L＝x＋ x . 625 由对勾函数的性质知，L＝x＋ 在(0,25)上为减函数，在(25，＋∞)上为增 x
1 ∴y＝ x＋10. 2
解答
(3)月用电量为260千瓦时时，应交电费多少元？
解
1 当 x＝260 时，y＝2×260＋10＝140(元).
所以月用电量为260千瓦时时，应交电费140元.
解答
引申探究 若将本例(2)中的x≥100去掉，求y与x的关系式. 解 由函数图象不在同一条直线上，所以选择分段求解.
第二章 函
数
§ 2.3 函数的应用(Ⅰ)
学习目标
1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概
念的理解.
2.会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
3.了解数学知识来源于生活，又服务于生活.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一
常见的函数模型
思考
用函数知识解决实际问题需要用到一些函数模型，常见的函数 模型有哪些？ 答案 一次函数、二次函数、反比例函数.
瓦时)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示.
(1)月用电量为100千瓦时时，应交电费多少元？ 解 月用电量为100千瓦时时，应交电费60元.
解答
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
解 当x≥100时，y与x之间为一次函数关系.
1 k＝ ， 200k＋b＝110， 设 y＝kx＋b，则 ∴ 2 100k＋b＝60， b＝10，
函数，
∴当x＝25时，Lmin＝25＋25＝50. 即养鸡场的长度为25 m时，可使用的篱笆最短．
解答
反思与感悟
(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式).
(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最
值，从而解决实际问题中的最值问题.
(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象.
解答
类型三 分段函数模型的应用 例3 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40 元，出厂单价定为 60 元，
该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订
购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ 解 设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，
跟踪训练1
商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5
元，按购买总价的92%付款.
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为 x(个)，
付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指
出如果顾客需购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？
得20＝25a＋17.5.
1 解得a＝ . 10 所以当y＝0.1x2－3x＋40(10≤x≤25).
解答
(2) 已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大
利润？ 解 设最大利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y ＝1.6x－(0.1x2－3x＋40) ＝－0.1(x－23)2＋12.9(10≤x≤25). 因为x＝23∈[10,25]， 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
答案
梳理
三类常见函数模型 名称 一次函数模型 反比例 函数模型 解析式 y＝kx＋b ___________ 条件 k≠0 _____ k≠0
k y＝ ＋b x 一般式：y＝ax2＋bx＋c
顶点式：
4ac－b b 2 y＝ax＋2a ＋ 4a 2
二次函
数模型
a≠0
知识点二
函数应用的模型
思考
解决实际问题的基本过程是什么？ 答案 ①分析问题，②建立函数模型，③解决函数问题，④回
到实际问题.
答案
梳理
数学模型的基本程序
题型探究
类型一 一次函数模型的应用 例1 某地的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足.某供电
公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x(千
跟踪训练2
据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨
时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为 10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万 元，为二次函数的顶点. (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系； 解 由题意知，可设y＝a(x－15)2＋17.5，将x＝10，y＝20代入上式，