利用轴对称求最小值

利用轴对称求最小值
浦江县第七中学郑天鹏
一、教学目标：1、使学生了解可以利用轴对称求最小值;
2、使学生学会利用化归思想在各种图形中运用轴对称求最小值；
3、使学生掌握这种常见的数学模型。

二、教学重点：找到“两点一线”，利用轴对称求最小值
三、教学难点：当出现三个点都是动点使如何利用轴对称求最小值
四、教具：三角板，圆规
五、教学过程：
（一）思考：
欲在一条笔直的河边L上建一个水泵站P，使P到张庄A、李庄B所用水管最短．试确定水泵站P的修建位置
（1）当张庄A和李庄B在河的异侧时；
（2）当张庄A和李庄B在河的同侧时
意图：通过思考题，让学生理解利用轴对称求最小值的原理是两点之间线段最短或者三角形的两边之和大于第三边。

并使学生学会找两点一线。

（二）例1：在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（2，3），B（-2，1）,在X轴上存在一点P到A,B两点的距离之和最小，则P点的坐标是_______
PA＋PB的最小值为_______
练习1：
在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，AC = CD = BD，M是AB上一动点，CM+DM 的最小值是_______
练习2：
如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．
练习3：如图，M是边长为2的正三角形ABC的边AB上的中点，P是边BC上的任意一点，则PA＋PM的最小值为________．
．
意图：通过例1和练习，使学生掌握最简单的利用轴对称求最小值的方法，使学
生在不同的图形中能找到两点一线。

（三）例2：如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E
是AB中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在
BC边上点F处．
（Ⅰ）直接写出点E、F坐标；
（Ⅱ）若M是OA上动点，N是OC上动点，当四边形MNFE周长
最小时，求出点M、N坐标，并求出周长最小值．
练习1、如图所示，已知点C（1，0），直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是________
练习2、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3）把△ABO 绕点B逆时针旋转，得△A’BO’，点A，O旋转后的对应点为A’，O’．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α=90o，求AA’的长；
（Ⅱ）如图②，若α=120o，求点O’的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P’，当O’P+BP’取得最小值时，求点P’的坐标（直接写出结果即可）．
意图：通过例2和两个练习，进一步使学生理解利用轴对称求最小值的方法，并拓展到出现多个点并需要做两次轴对称的问题。

（四）例3、已知Rt △ABC中，∠B=90，AB=3，BC=4，D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则DE+EF+FD的最小值是________．
．
练习1： 如图，∠AOB ＝30°，点M ，N 分别在边OA ，OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P ，Q 分别在边OB ，OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是 ．
练习2、桌上有一圆柱形玻璃杯高12cm ，底面周长18cm ，在杯内壁离杯口3cm 的A 处有一滴密糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至密糖相对方向离桌面3cm 的B 处时（即A 、B 在底面的射影的連线段经过底面的圆心O ），突然发现了密糖，问小虫怎样爬到达密糖最近？它至少爬多少路才能到达密糖所在位置．
练习3、已知抛物线l 1:322++-=x x y 的顶点为F ，且与x 轴交于点A,B （点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，抛物线l2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E(4，0),与y 轴交于点D （0，-2）
（1） 求抛物线l 2的解析式；
（2） 若定长为1的线段GH （G 在H 的上方）在y 轴上滑动，请问当GH 滑倒
离C 点多远（用CG 的长表示）时，四边形BFGH 周长最短为多少？
意图：使学生学会利用两点一线的解决圆柱中的最近问题，当出现三个动点时也会运用两点一线的模型解决。

（六）小结：
1、学会利用轴对称求最小值；
2、理解利用轴对称求最小值原理是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；
3、学会运用这种数学模型。

（七）作业。