新疆昌吉市第九中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷 Word版含解析

昌吉市第九中学2018--2019学年第二学期第一次月考试卷高二年级数学试卷1.函数()f x =0到2的平均变化率为（ ）A.2B. 1C. 0D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义可得出结果.【详解】由题意可知，函数()f x =0到2的平均变化率为()()20202f f -=-，故选：A.【点睛】本题考查平均变化率的概念，解题的关键就是利用平均变化率定义来解题，考查计算能力，属于基础题.2.已知曲线323y x x =+上一点()1,5A ，则A 处的切线斜率等于( ) A. 9 B. 1 C. 3 D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出函数323y x x =+的导数，然后在导数中令1x =，可得出所求切线的斜率.【详解】对函数323y x x =+求导得263y x '=+，故该曲线在点A 处的切线斜率为26139⨯+=，故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要熟知导数的几何意义，考查对导数概念的理解，属于基础题.3.设函数()23f x ax x =+，若()13f '=，则a 等于（ ）A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】对函数()y f x =求导，再由()13f '=可求出实数a 的值.【详解】()23f x ax x =+Q ，()6f x a x '∴=+，()163f a '∴=+=，解得3a =-，故选：D,【点睛】本题考查导数的计算，考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，熟练利用导数公式解题是解本题的关键，属于基础题.4.函数22cos y x x x =+的导数为（ ） A. 22cos sin 2y x x x x x '=-+ B. 222cos sin y x x x x x '=++ C. 2cos 2sin 2y x x x x x '=-- D. 22cos sin y x x x x x '=--【答案】A 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则可得出结果. 【详解】22cos y x x x =+Q ，()()()2222cos cos 2cos sin 2y x x x x x x x x x x ''''∴=+⋅+=-+，故选：A.【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，意在考查学生对导数公式与运算法则理解和掌握情况，考查计算能力，属于基础题.5.若曲线2y x mx n =++在点（0，n ）处的切线方程x-y+1=0，则（ ） A. m 1=，n 1= B. 1m =-，n 1= C. m 1=，n 1=-D. m 1=-，n 1=-【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，再根据导数的几何意义列方程求解即可． 【详解】曲线在点()0,n 处的切线方程是10x y -+=，010n ∴-+=，则1n =，即切点坐标为()0,1，切线斜率1k =，曲线方程为()21y f x x mx ==++，则函数的导数()'2f x x m =+ 即()'001k f m ==+=，即1m =， 则1m =，1n =，故选A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.6.曲线23y x x =+在点()2,10A 处的切线方程是( ) A. 740x y --= B. 10150x y --= C. 10x y -+= D. +10x y -=【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出函数23y x x =+在2x =处的导数值作为切线的斜率，然后利用点斜式写出所求切线的方程.【详解】23y x x =+Q ，则23y x ¢=+，当2x =时，2237y '=⨯+=，因此，所求切线方程为()1072y x -=-，即740x y --=，故选：A.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，首先应利用导数求出切线的斜率，然后再利用点斜式写出切线方程，考查计算能力，属于中等题.7.32()32f x x x =-+在区间[1，5]上的最大值是（ ） A. -2 B. 0 C. 52 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数()y f x =在区间[]1,5上的极值，再将极值与端点函数值比较大小得出该函数在区间[]1,5上的最大值.【详解】()3232f x x x =-+Q ，()()23632f x x x x x ∴=-=-'，令()0f x '=，得()21,5x =∈.当12x <<时，()0f x '<；当25x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的极小值为()22f =-，又()10f =，()552f =， 因此，函数()y f x =在区间[]1,5上的最大值为()552f =，故选：C.【点睛】本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，对于这类问题的求解，通常利用导数求出函数在区间上的极值，再将极值与端点函数值作大小比较，从而得出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.下列值等于23的是（ ） A.120x dx ⎰B.1(2)x dx +⎰C.1023xdx ⎰D.1202x dx ⎰【答案】D 【解析】 【分析】利用微积分基本定理逐个计算每个选项中的定积分，可得出正确选项.【详解】由微积分基本定理可得12311133x dx x==⎰，()12100152222x dx x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰， 121211333xdx x ==⎰，1231022233x dx x ==⎰，故选：D. 【点睛】本题考查定积分的计算，解题的关键就是利用微积分基本定理进行计算，考查计算能力，属于基础题.9.函数()31y x x x =-+ （ ） A. 极大值为()25f =，极小值为()01f = B. 极大值为()25f =，极小值为()31f = C. 极大值为()25f =，极小值为()()031f f == D. 极大值为()25f =，极小值为()31f =，()-1-3f = 【答案】B 【解析】由题意323231,03{31,03x x x x y x x x -+≤≥=-++<<或，则2236,03'{36,03x x x x y x x x -≤≥=-+<<或，由'0y >，得23x x 或，由'0y <得23x <<，即函数y 在(,2)-∞和(3,)+∞上是增函数，在(2,3)上是减函数，因此(2)f 是极大值，(3)f 是极小值，故选B ． 10.211dx x⎰等于( ) A. ln 2 B. ln 2-C. ln1D. 2ln 2【答案】A 【解析】 【分析】利用定积分基本定理计算出定积分211dx x⎰即可得出正确选项.【详解】由微积分基本定理得22111ln ln 2ln1ln 2dx x x ==-=⎰，故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算，解这类问题主要是找出被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理进行计算，考查计算能力，属于基础题.11.已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为4y x =，则实数a 的取值为（ ） A. -3 B. -4C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由切线的斜率为4，得出()04f '=，于此可计算出实数a 的值. 【详解】()()ln 1f x x ax =+-Q ，()11f x a x '∴=-+， 由题意可知，切线的斜率为4，则()014f a '=-=，解得3a =-，故选：A.【点睛】本题考查利用切线与函数图象相切，对于这类问题的求解，要抓住以下两点： （1）切线的斜率等于导数值； （2）切点为切线和函数图象的公共点.12.利用定积分的的几何意义，可得1⎰=( )A. πB.32π C.34π D.3π 【答案】C 【解析】 【分析】由函数y =[]0,1上的图象是圆221x y +=在第一象限部分的四分之一圆，再利用圆面积以及定积分的性质得出1⎰的值.【详解】由y =221y x =-，即221x y +=，所以，函数y =[]0,1上的图象是圆221x y +=在第一象限部分的四分之一圆，由定积分的几何意义可得12001333144ππ==⨯⨯⨯=⎰⎰，故选：C. 【点睛】本题考查利用定积分的几何意义求定积分的值，解题的关键在于确定函数图象的形状，结合图形的面积来进行计算，考查分析问题的能力与计算能力，属于中等题.13.函数()ln f x x x =的极值是__________. 【答案】1e-. 【解析】 【分析】对函数()ln f x x x =求导，并求出极值点，分析该函数的单调性，再将极值点代入函数解析式可得出函数()y f x =的极值.【详解】函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e=. 当10x e<<时，()0f x '<；当1x e >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的极小值为11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故答案为：1e-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，解题时要熟悉求函数极值的基本步骤，考查分析问题和计算能力，属于中等题.14.已知函数2y ax b =+在点(1，3)处的导数为3，则ba=__________． 【答案】1. 【解析】 【分析】由题意得出133x a b y =+=⎧⎨='⎩，解出a 与b 的值，可得出ba 的值.详解】2y ax b =+Q ，2y ax '=，由题意可得1323x a b y a =+=⎧⎨=='⎩，解得32a =，32b =，因此，1ba=，故答案为：1. 【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键就是结合题中条件列方程组求参数的值，考查计算能力,属于基础题.15.判断23a x dx =⎰，22b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰的大小关系为________．【答案】a b c >>. 【解析】 【分析】利用微积分基本定理求出a 、b 、c 的值，然后可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】由微积分基本定理得2342144a x dx x ===⎰，22321833b x dx x ===⎰， 220sin cos 1cos 2c xdx x==-=-⎰，因此，a b c >>，故答案为：a b c >>.【点睛】本题考查同一区间上的三个积分的大小比较，常用的方法有两种：一是将各积分全部计算出来，利用积分值来得出大小关系；二是比较三个函数在区间上的大小关系，可得出三个积分的大小关系.16.由曲线y =x 2+2，x +y =4所围成的封闭图形的面积为________. 【答案】92. 【解析】 【分析】先求出两曲线的交点坐标，确定被积函数以及被积区间，然后利用定积分公式可计算出所求区域的面积.【详解】联立224y x x y ⎧=+⎨+=⎩，得13x y =⎧⎨=⎩或26x y =-⎧⎨=⎩，当21x -<<时，可知224x x +<-，因此，所求封闭区域的面积为()()()112222422x x dx x x dx --⎡⎤--+=--⎣⎦⎰⎰32121192322x x x -⎛⎫=--=⎪⎝⎭，故答案为：92.【点睛】本题考查定积分的几何意义，利用定积分计算曲边三角形的面积，解题的关键就是确定出被积函数以及被积区间，结合微积分基本定理进行计算，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.17.【2018年新课标I 卷文】已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【答案】(1) a =212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a =212e，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --，之后构造新函数g （x ）=e ln 1exx --，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=a e x –1x． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1exx --，则()e 1'e x g x x =-． 当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1a e≥时，()0f x ≥． 点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.18.设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）(1,)+∞ 【解析】分析：（1）求导()f x '，构建等量关系(2)0k f ='=，解方程可得参数a 的值；（2）对a 分1a >及1a ≤两种情况进行分类讨论，通过研究()f x '的变化情况可得()f x 取得极值的可能，进而可求参数a 的取值范围. 详解：解：（Ⅰ）因为()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()211e xf x ax a x ⎡⎤=-++⎣⎦'.()()2221e f a -'=，由题设知()20f '=，即()221e 0a -=，解得12a =. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得()()()()211e 11e xxf x ax a x ax x ⎡⎤=-++=--⎣⎦'. 若a >1，则当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>.所以()f x 在x =1处取得极小值.若1a ≤，则当()0,1x ∈时，110ax x -≤-<， 所以()0f x '>所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是()1,+∞. 方法二：()()()11e xf x ax x =--'.（1）当a =0时，令()0f x '=得x =1.()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x x =1处取得极大值，不合题意.（2）当a >0时，令()0f x '=得121,1x x a==. ①当12x x =，即a =1时，()()21e 0x f x x '=-≥， ∴()f x 在R 上单调递增， ∴()f x 无极值，不合题意.②当12x x >，即0<a <1时，()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意.③当12x x <，即a >1时，()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 在x =1处取得极小值，即a >1满足题意. （3）当a <0时，令()0f x '=得121,1x x a==. ()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意. 综上所述，a 的取值范围为()1,+∞.点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题. 解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.19.已知函数()()32113f x x a x x =-++． （1）若3a =，求()f x 的单调区间； （2）证明：()f x 只有一个零点．【答案】（1）f （x ）在（–∞，3-3++∞）单调递增，在（3-，3+单调递减． （2）见解析. 【解析】分析：（1）将3a =代入，求导得2()63f x x x '=--，令()0f x '>求得增区间，令()0f x '<求得减区间；（2）令321()(1)03f x x a x x =-++=，即32301x a x x -=++，则将问题转化为函数32()31x g x a x x =-++只有一个零点问题，研究函数()g x 单调性可得.详解：（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --． 令f ′（x ）=0解得x=3-x=3+当x ∈（–∞，3-3++∞）时，f ′（x ）>0； 当x∈（3-3+ f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，3-），（3++∞）单调递增，在（3-3+递减．（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++．设()g x =3231xa x x -++，则g ′（x ）=()()2222231x x x xx ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=221116260366a a a ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数()f x 的定义域；②求导数()f x '；③由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的取值范围，当()0f x '>时，()f x 在相应区间上是增函数；当()0f x '<时，()f x 在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数()g x 有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.20.已知函数2()ln ()f x a x x R x=+∈ (1)若函数(x)在(0,2)上递减,求实数a 的取值范围; (2)设()()(2),[1,)h x f x a x x =+-∈+∞求证: ()2h x ≥ 【答案】（1） 1a ≤.（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)求出函数的导数,问题转化为恒有2a x≤成立,求出a 的范围即可; (2)求出()h x 的导数,分 2a ≥时，和2a <讨论函数的单调性求出()h x 的最小值即可. 试题解析：（1） 函数()f x 在()0,2上递减⇔ ()0,2x ∀∈, 恒有()0f x '≤成立,而()220ax f x x -'=≤ ⇒ ()0,2x ∀∈,恒有2a x ≤成立, 当()02x ∈，时21x> 所以：1a ≤. （2） 当2a ≥时，()()()2h x f x a x =+- = ()2ln 2a x a x x++-()2220ax h x a x+'-=-≥ 所以()h x 在[)1,+∞上是增函数，故()()1h x h a ≥= 2≥ 当2a <时，()()()2h x f x a x =-- =()2ln 2a x a x x+--()()()()22221220a x x ax h x a x x -+--=-+==' 解得202x a=-<-或1x =，所以函数()h x 在[)1+∞，单调递增， 所以 ()()142h x h a ≥=-> 综上所述： ()2h x ≥21.已知函数()sin cos xf x e x x =-，()cos xg x x x =，其中e 是自然常数.(1)判断函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内零点的个数，并说明理由； (2)10,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()12f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(,1-∞--. 【解析】试题分析：（1）对函数求导，()'sin cos sin xxf x e x e x x =++，得到函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，根据零点存在定理得到函数存在一个零点；（2）不等式()()12f x g x m +≥等价于()()12f x m g x ≥-，即()()12min max f x m g x ≥-，对两边的函数分别求导研究单调性，求得最值得到()g x 取得最大值，()f x 取得最小值1-，故只需要(1m -≥-,解出即可. 解析：(1)函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上零点的个数为1，理由如下： 因为()sin cos xf x e x x =-，所以()'sin cos sin xxf x e x e x x =++， 因为02x π<<，所以()'0f x >，所以函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.因为()010f =-<，202f e ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，根据函数零点存在性定理得函数()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在1个零点.(2)因为不等式()()12f x g x m +≥等价于()()12f x m g x ≥-， 所以10,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()12f x g x m +≥成立，等价于 ()()()12min min f x m g x ≥-，即()()12min max f x m g x ≥-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'sin cos sin 0x xf x e x e x x =++>，故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当0x =时，()f x 取得最小值1-，又()'cos sin xg x x x x =-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤，sin 0x x ≥x ≥，所以()'0g x <，故函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此，当0x =时，()g x 取得最大值，所以(1m -≥-，所以1m ≤，所以实数m 的取值范围为(,1-∞--.点睛：导数问题经常会遇见恒成立或者有解求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值） .22.已知函数()221(ln 1)f x x x a x x =-++-+（其中a R ∈,且a 为常数）.(1)若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，若方程()10f x a ++=在(]0,2x ∈上有且只有一个实根，求a 的取值范围.【答案】（1）(],2-∞；（2）02a <≤或2ln 2a <-或1a =- 【解析】试题分析：（1）求导f′（x ）=2（x ﹣1）+a （1x ﹣1）=（x ﹣1）（2﹣a x），且f （1）=0+a （ln1﹣1+1）=0，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得；（2）化简f （x ）+a+1=（x ﹣1）2+a （lnx ﹣x+1）+a+1，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得． 试题解析： 解（1）…当时,对于恒成立,在上单调递增,此时命题成立；当时,在上单调递减,在上单调递增,当时,有.这与题设矛盾.故的取值范围是… （2）依题意,设,原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围. 显然函数与的单调性是一致的.当时,因为函数在区间上递减,上递增,所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或,解得或;‚当时,因为函数在上单调递增,且,所以此时在上有且只有一个零点;ƒ当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又因为,所以当时,总有,, 所以在上必有零点,又因为在上单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.综上所述,当或或时,方程在上有且只有一个实根.。