10 拟牛顿法
牛顿法和拟牛顿法
解：
f x1
26
x1
x2
22
3 x1
3 x2
x1 x2 3
x2
f x2
26
x1
x2
2 2 3 x1
3x2
x1 x2 3
x1
故
f x1 x 4,6T
344,
f x2
x 4,6T
56,
f
(
x1
)
344 56
.
2 f x12
2 23
x2 2 ,
2 f x22
在确定拟牛顿方程式的Hk+1时，若矩阵Hk+1对称，则需 要待定（n+n2)/2个未知数，n个方程，所以拟牛顿方程 一般有无穷个解，故由拟牛顿方程确定的一族算法，通 常称之为拟牛顿法
拟Newton算法
1、给定初始点x0,正定矩阵H0,精度ε>0,k=0 2、计算搜索方s向k Gk f(x k ) 3、令xk+1=xk+tk.sk,其中
当H 可逆时， k
若 f(x k 1)
,停止x*
xkx+k11=;否xk则-H，k-令1.hk k
k
1,转step2
Step4:
例1. 设 f x 6 x1 x2 2 + 2 3 x1 3 x2 x1 x2 2
求在点 x1 (4, 6)T 处的搜索方向.
分析: 搜索方向
故需要写出 f ( x), 2 f ( x) 的表达式.
Sk
-H
1 k
hk
k 1
其中
H k 2f(x(k )) hk f(x(k ))
1.牛顿法几何解释
几何直观解释：最密切的二次曲线逼近
牛顿法和拟牛顿法
重置 否
x (1 ) = x ( n + 1 )
例4.13：用DFP方法求解 min 2 x + x − 4 x1 + 2
2 1 2 2
初始点x
(1)
2 1 0 = , H1 = 1 0 1
λ1 =
5 18
2 1
8 9 4 9
SQP方法
• 良好的性质 • 广泛应用 • 与Lagrange-Newton 法的关系
总结
简单的“拟”可以 是革命性的进步!
1 v
( k )T
q (k )
∆H k =
p
(k )
⋅p
( k )T (k )
p
( k )TΒιβλιοθήκη q−Hkq q
(k )
⋅q
( k )T
Hk
( k )T
Hkq
(k )
计 算 步 骤：
x (1 ) , ε > 0
H1 = I n , d (1) = −∇f ( x(1) ), k = 1
∇f ( x ( k ) ) < ε
p ( k ) := x ( k +1) − x ( k ) ⇓ q ( k ) := ∇f ( x ( k +1) ) − ∇f ( x ( k ) ) q
(k )
≈ ∇ f (x
2
( k +1)
)p
(k )
p ( k ) = H k + 1q ( k )
p ( k ) ≈ ∇ 2 f ( x ( k +1) ) −1 q ( k )
FletcherDavidon(1959), Fletcher-Powell(1963) DFP 方法
拟牛顿法
拟牛顿法牛顿法有很好的收敛性，特别是当初始点x0选择在最终解x*附近时，收敛速度叫梯度法更快，但是当初始迭代点远离x*，收敛速度慢且不能保证收敛，当其Hession <0，迭代算法不会像函数值减小的方向前进。
针对newton法的这些弱点，提出了改进方法：拟牛顿方法，包括rank one，DFP和BFGS三种算法。
（1）Rank one选用aster书《An Introduction to Optimization》中实例验证目标函数：f(x1,x2)=x1^2+0.5*x2^2+3，是一个二次型函数。
初始值x0=[1,2]’；，精度1.0e-5控制迭代终止，当norm(G)<=1.0e-5时，迭代终止；取H0=I2，Q=[2,0;0,1];①迭代结果：经过两次迭代之后，迭代停止，得值x=【0,0】’。
②改变初始值为远离x= [0,0]’的值x0=[1000,2]’，和x0=[1000,1000]’，算法经过两步迭代后都收敛到x=【0,0】’。
算法的结果验证了书中结论：不论初始值X0如何选取，稚一算法在n步迭代之内收敛到终解。
稚一算法对于恒定hess矩阵的情况非常好，也就是对二次型问题问题非常有效，但是对于非二次型问题，H（k）可能是非正定的，这样函数不能向下降的方向前进，这就引出下面的稚二算法。
（2）DFP目标函数：f(x1,x2)=2*(x1^2)+x2^2+2*x1*x2+x1-x2；即：f(x1,x2)=1/2*[x1,x2]*[4,2;2,2]* [x1,x2]’-[x1,x2]*[-1,1]’;初始点x0=[0,0]’，取H0=I2，Q=[4,2;2,2]。
H0是一个实对称正定矩阵，第一次迭代后，H1=[0.5,-0.5;-0.5,1.5]是一个非对称正定矩阵，此时就体现出稚二算法的优势，第二次迭代后，满足norm(G)<=1.0e-5条件，迭代终止，的解x=【-1.0,1.5】’。
最优化方法-拟Newton法
0
1 4
0.25
2 X1 0.5,
f ( X1) 5.5
1 f ( X1) 2
（4）判 断 || f ( X 1 ) |，|转（5）
（5）第二次迭代采用DFP变尺度法，构造 E 0
1 0
G0 0
1
1 S0 X1 - X 0 - 0.5
min
f
(X
)
x2 1
2
x2 2
2 x1 x2
4x1
已知 X 0 [1,1]T , 0.1
解：（1）第一次迭代，实际上是沿负梯度方向进行一维搜索。
（2）
f
(
X
)
2x1 2
x1
2x2 4x2
4 ,
4
f ( X0) 2
,G0 I
➢ 5、DFP算法的收敛速度是超线性的。
Relax 做个题，轻松一下
例：用DFP变尺度算法求解无约束最优化问题
min
f
(X
)
x2 1
2
x2 2
2 x1 x2
4x1
已知 X 0 [1,1]T , 0.1
参照：拟Newton法的基本格式做题：
例：用DFP变尺度算法求解无约束最优化问题
三、对称秩1算法 2、对称秩1算法的性质
四、DFP算法（Davidon-Flether-P0well)
四、DFP算法
在DFP算法中，校正矩阵的构造公式为：
Ek
S
k
S
T k
S kTYk
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法与拟牛顿法
牛顿法与拟牛顿法是优化算法中的两种经典方法。
其中，牛顿法基于二阶导数信息，拟牛顿法则利用一阶导数信息对牛顿法进行改进。
牛顿法在每次迭代中，通过求解二阶导数矩阵的逆矩阵来更新参数，使得优化目标函数的值尽可能地减小。
这种方法速度快，但需要计算二阶导数，对于大规模问题的计算量就显得十分庞大。
此外，如果二阶导数矩阵不是正定的，则牛顿法可能会陷入不稳定的状态。
拟牛顿法则基于牛顿法的思想，但将二阶导数信息替换为一阶导数信息。
这种方法的优点是可以避免计算二阶导数矩阵，降低了计算复杂度，而且不需要保证矩阵正定性。
拟牛顿法中的BFGS算法是其中最著名的一种，其可以在较短的时间内找到全局最优解。
在实际应用中，牛顿法和拟牛顿法各有优劣，具体选择哪种方法取决于问题本身的特点、数据规模以及计算资源等因素。
- 1 -。
拟牛顿法
•主页•专栏作家•量化基础理论•软件使用经验•量化软件•资源导航•资料下载•量化论坛搜索搜索用户登录用户名:*密码:*登录•创建新帐号•重设密码首页拟牛顿法及相关讨论星期三, 2009-06-17 00:24 —satchel1979使用导数的最优化算法中，拟牛顿法是目前为止最为行之有效的一种算法，具有收敛速度快、算法稳定性强、编写程序容易等优点。
在现今的大型计算程序中有着广泛的应用。
本文试图介绍拟牛顿法的基础理论和若干进展。
牛顿法(Newton Method)牛顿法的基本思想是在极小点附近通过对目标函数做二阶Taylor展开，进而找到的极小点的估计值[1]。
一维情况下，也即令函数为则其导数满足因此(1)将作为极小点的一个进一步的估计值。
重复上述过程，可以产生一系列的极小点估值集合。
一定条件下，这个极小点序列收敛于的极值点。
将上述讨论扩展到维空间，类似的，对于维函数有其中和分别是目标函数的的一阶和二阶导数，表现为维向量和矩阵，而后者又称为目标函数在处的Hesse矩阵。
设可逆，则可得与方程(1)类似的迭代公式：(2)这就是原始牛顿法的迭代公式。
原始牛顿法虽然具有二次终止性（即用于二次凸函数时，经有限次迭代必达极小点），但是要求初始点需要尽量靠近极小点，否则有可能不收敛。
因此人们又提出了阻尼牛顿法[1]。
这种方法在算法形式上等同于所有流行的优化方法，即确定搜索方向，再沿此方向进行一维搜索，找出该方向上的极小点，然后在该点处重新确定搜索方向，重复上述过程，直至函数梯度小于预设判据。
具体步骤列为算法1。
算法1：(1) 给定初始点，设定收敛判据，.(2) 计算和.(3) 若< ，则停止迭代，否则确定搜索方向.(4) 从出发，沿做一维搜索，令.(5) 设，转步骤(2).在一定程度上，阻尼牛顿法具有更强的稳定性。
拟牛顿法(Quasi-Newton Method)如同上一节指出，牛顿法虽然收敛速度快，但是计算过程中需要计算目标函数的二阶偏导数，难度较大。
20120516_牛顿法和拟牛顿法
)
因此 2 f ( x k ) k k （对二次函数为等式）
2 f ( x k )
可逆,则有
2
2
f ( x ) k k
k
1
1
用 H k 代替上式中的
f ( x ) .并强制上式取等号.
k
得到
H k k k
（拟牛顿方程）
k
1
k 1
)
其实该方程是 f ( x ) 近似满足的式子, 证明如下：
设 f x 是二次连续可微的， 由Taylor公式 Page 18
f x f x
k
f ( x )
k
k T
x x
2
k
k
k
k
1 2
x x
k
k 1
k
T
f (x ) x x
d
k
f ( x )
2 k
1
f ( x ) .
Step3: 沿 d k 进行线搜索， 得最优步长 k . Step4: 令 x
k 1
x k d , k k 1,
k k
转Step2.
3. 收敛性定理
2
Page 13
定理3.7 设 f x 二次连续可微， f x 正定． 记 x 是由阻尼牛顿法得到的迭代点列. 若水平集 L x R f x f x 有界, 则 x 必有聚点, 且任何聚点 x 满足
理论推导
设 f x 是二次连续可微的，由Taylor公式
f x f x
k
Page 4
f ( x )
拟牛顿法c语言
C语言版拟牛顿法算法的设计与实现
一、引言
拟牛顿法是一种广泛应用于优化问题的迭代算法。
它以牛顿法为基础，但避免了牛顿法中需要计算和存储逆矩阵的困难。
在C语言中实现拟牛顿法算法，可以充分利用C语言的性能优势，提高算法的执行效率。
本文将详细介绍拟牛顿法算法的设计与实现过程。
二、算法设计
1.算法概述
拟牛顿法的基本思想是利用当前迭代点的一阶导数信息，构造一个近似于真实Hessian矩阵的拟合矩阵，并用它来更新搜索方向。
每次迭代，算法沿着搜索方向进行一维搜索，找到最优步长，然后更新迭代点。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
2.算法步骤
(1) 初始化：选择初始点x0，设置初始矩阵B0，通常取为单位矩阵。
(2) 迭代：对于k=0,1,2,...，执行以下步骤： a. 计算函数f在xk的一阶导数g=f'(xk) b. 计算搜索方向d=-B*g c. 沿着搜索方向d进行一维搜索，找到最优步长α，使得f(xk+αd)最小。
d. 更新迭代点xk+1=xk+αd e. 更新拟合矩阵Bk+1，使其满足拟牛顿条件。
(3) 收敛判断：当满足收敛条件时，算法终止；否则，继续迭代。
三、算法实现
下面是一个简单的拟牛顿法算法实现示例：。
牛顿法与拟牛顿法PPT课件
g( x) g( x k1 ) 2 f ( x k1 )( x x k1 )
gk gk1 Gk1 ( x k x k1 ) Gk11 ( gk1 gk ) x k1 x k ,
这样我们想到
Hk1(gk1 gk ) xk1 xk 。
否则，令k : k 1,转step 4。
第61页/共76页
4. 算法特点
▪ 收敛速度快，为二阶收敛。 ▪ 初始点要选在初始点附近。
5. 存在缺点及修正
(1) f ( x k1 ) f ( x k ) ?
（2） 初始点的选取困难，甚至无法实施。
(3) Gk1的存在性和计算量问题。
第62页/共76页
问题一： 如何使得 f ( xk1 ) f ( xk ) ?
在Newton 法中，有 x k 1 x k Gk1 gk x k d k
当Gk 0 时，有 f ( xk )T d k f ( xk )T Gk1gk gkTGk1gk 0,
当Gk 0 时，d k是下降方向。
如 果 对New ton法 稍 作 修 正 ： xk1 xk tkd k tk : f ( x k tk d k ) min f ( x k t d k ) 则有：f ( x k1 ) f ( x k ) 。
其中tk : f ( xk tk d k ) min f ( xk t d k )。
第68页/共76页
Step 4. 判断 xk1 是否满足终止准则：
yes: 计算 stop, x* : xk1
No : 转step 5 。
step 5. 令 gk1 f ( xk1 ) , gk f ( xk ) , yk f ( xk1 ) f ( xk ) gk1 gk , sk xk1 xk 。
例题是唐老师教材_1025_拟牛顿法(DFP算法)
)
Step4: 令 k
k 1,
返回Step2.
注: 第一步迭代与最速下降法相同.
三. 对称秩2算法（DFP校正公式）
设校正矩阵的形式为:
H k H k 1 k uk uk
T
Page 10
k vk vk
T
( II )
其中 k 0, uk = uk 1 , uk 2 , , ukn 0
x
k 1
x k d .
k k
Page 13
Step3: 计算
k 1 x
k 1
x
k 1
k
k 1 f ( x
) f ( x )
k T
H k 1 H k d
k 1
k 1 k 1 k 1 k 1
T k 1
)
H k k 1 k 1 H k
2
0 4 , 10 1
0 8
2 x1 f x , 8 x2
0
2 f x 0
2 2 0 0 f ( x ) , d f ( x ) 8 8
f
T
H1 H 0
1 1
T
T
1 1
H 0 1 1 H 0
T
1 H 0 1 Page 16
T
又
0.26154 1 x x 1.04 x
1
f x
0
0.52308 8.36923
1 0 0
Page 15
f
x 1.47692,
1
0.36923 ,
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f (x(k) )
是
x x(k)
否
d(k) Hkf ( x(k) )
k argminf ( x(k) d(k) )
0
x(k1) x(k) kd(k)
k n
是
p ( k ) x ( k 1) x (k ) q ( k ) f ( x ( k 1) ) f ( x ( k ) ) H k H k 1 H k H k k : k 1
( k ) ( k ) ( k ) k
1
1
H q q H p p k k H k T( T ( k ) k ) ( k ) ( k ) p q q H q k
( k ) ( k )
T ( k )
T ( k )
计 算 步 骤： I , d f ( x ), k 1 1 n
H 1 I; H H k1 H k k
校正 矩阵
秩1校正
H z z k k
( k )
( k ) ( k ) p H q k 1
T ( k )
秩为 1
( H zz ) q k k
T ( ( k ) ( k ) k )
z(k)
T ( k ) ( k )2
注释
• 在一定条件下，收敛且具有二次终止性。
• 无法保证Hk的正定性；即使能，也有可能导致 △Hk无界。
DFP算法
H u u v v k
( k ) k T ( k ) ( k ) k
( k ) ( k ) p H q k 1
T ( k )
秩为 2
u u q v vq p H q
38 1 86 H 2 38 305
306
17 1 36
1 0
DFP法具有二 次终止性！
定理 : 若 f (x ) 0(k 1 ,...,n),
(k)
则 DFP 方法构造的 Hk 0.
d H f ( x) k
( k 1 ) 在 x 处进行二 点 Taylor 展开： 阶
( k ) 1 ( k ) H d f ( x f ( x ) k ) ( k ) 2
( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) 1 ( k 1 ) T 2 ( k 1 ) ( k 1 ) f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) f ( x )( x x ) 2
重置
否
( 1 ) ( n 1 ) x x
例4.13 ：用DFP方法求解 min2x x 4x1 2
2 1 2 2
2 1 0 初始点 x , H1 1 0 1
(1)
2 1
5 1 18
8 9 4 9
§4.6 拟牛顿法
• 牛顿法收敛很快，但需要计算Hesse矩阵， 而此矩阵可能非正定，可能导致搜索方向不 是下降方向。
d f ( x ) f ( x )
( k ) 2 ( k )
( k ) 1
基本思想：
用不包含二阶导数的矩阵近似Hesse矩阵的逆。
拟牛顿条件
( k 1 ) ( k ) ( k ) x x d k 2 (k) 1 首先分析 f (x ) 与一阶导数的关系：
( k ) ( k )
( k )T ( k ) f ( x ) d 0
搜索方向为下降方向
定理 设用 DFP 方法求解正定二次函数 1 T T min f ( x ) x Ax b x c 2 (1 ) 共轭 任取 x ，令 H 1 0 则 其中 p p H
(i) (i)T
(k) p(k) H q k
kz
(k)T (k)
q
( zq ) q( p H q )
T ( ( k ) k ) k ( k ) k
( p H q )( p H q) k k H k T ( ( k ) k ) ( k ) q ( p H q ) 0? k
( k ) ( k ) ( k ) ( k )T
( k 1 ) 2 ( k 1 ) ( k 1 ) f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x )
( k ) ( k 1 ) 2 ( k 1 ) ( k ) ( k 1 ) f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( k ) ( k 1 ) ( k ) ( k ) ( k 1 ) ( k ) p : x x q : f( x ) f( x )
Ap Ap
( j) (i)
0 p
(i) (i)
1 i j n 1 i k n id
(i)
k 1
x
(i1)
x
DFP法具有二次终止性！
H n 1 A
1
BFGS公式
( k ) ( k ) p H q k 1
q f( x
( k ) 2
( k 1 )
) p
( k )
( k ) ( k ) p H q k 1
( k ) 2 ( k 1 ) ( k ) p f( x )1 q
1.秩1校正
2.DFP(Davidon-Fletcher-Powell)算法：
3.
秩2校正
3.BFGS(Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno)公式及Broyden族
T ( k )( k ) ( k ) k
( k )
( H u u v v) q k
T ( k ) ( k ) ( k ) k ( k )
T ( k )( k ) k
T( ( k )( k ) k ) k
( k ) k
令 u p ； T ; v H q ； T k k ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) u q v q