两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿
两角和与差的正弦余弦和正切公式市公开课一等奖省优质课获奖课件
新知导学
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦
C(α－β)= cos αcos β ＋sin αsin β
任意角都成 cos(α－β)＝
立
温馨提示：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名 函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
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题型探究
感悟提升
第2页
互动探究 探究点 当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β成立．那么 当α、β∈R时，cos(α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗？
55，sin
β＝3
10 10 .
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝255× 1100＋ 55×31010＝ 22.
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第13页
又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.
[规律方法] 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理利 用公式并结合角范围，对所求解进行取舍，其关键步骤有两个： 一是求出所求角某种三角函数值，二是确定角范围，然后结合三 角函数图象就易求出角值．
cos
α2－β.然后利用两角差的余弦公式求cos
α＋β 2.
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第8页
解 ∵α∈π2，π，β∈0，π2，
∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，
∴sinα－β2＝
1－cos2α－β2＝
1－811＝4
9
5 .
cos α2－β＝
1－sin2α2－β
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 说课稿 教案 教学设计
两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=55，α∈(0,2π)，cosβ=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=? ，能否推导出tan(α-β)=?的结构特征如何？ 教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β).对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+kπ(k∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsincos)2cos()2sin(=--来处理等.应用示例思路1例1 已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=53-,α是第四象限角，得cosα=54)53(1sin122=--=-a.∴tanα=aacossin=43-.于是有sin(π-α)=sinπcosα-cosπsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯cos(4π+α)=cos4πcosα-sin4πsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯tan(α-4π)=4tantan14tantanππaa+-=aatan11tan+-=7)43(1143-=-+--.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sinα=53,则2sin(α+4π)等于( ) A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例2 已知sinα=32,α∈(2π,π),cosβ=43-,β∈(π,23π). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β). 活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号. 解：由sinα=32,α∈(2π,π),得 cosα=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tanα=552-. 又由cosβ=31-,β∈(π,23π). sinβ=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tanβ=7.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠C AB =α，则sinα=6730， 在Rt△ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tanα. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sinα=6730,α∈(0,2π),∴cosα≈6760,tanα≈21.11+55又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, 求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π)=54×(135-)+(53-)×1312=6556-. 例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+-知能训练课本本节练习1—4.1.(1)426-,(2)426-,(3)426+,(4)2-3. 2.10334-. 3.263512- 4.-2.作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556. 课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cosβ＋sin （α＋β）sinβ; (2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β;(3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;cos （α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕. 讨论结果：略.应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°; （3）15tan 115tan 1-+ 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得. 解：（1）由公式S (α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=21.（2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). -. 解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x -θ), 即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ =sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ. ∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.∴sinx(sinθ+cosθ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=kπ(k∈Z ).∴θ=kπ-4π(k∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数. 证明：方法一：右边=2(sin6πcosα+cos 6πsinα)=2(21cosα+23sinα)=cosα+3sinα=左边.方法二：左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsi nα)asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值; （2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答. 解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1. 又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法. 课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.。
两角和与差的正弦余弦函数说课稿
我班学生在思维上具有 跳跃性，他们的求知欲很强， 有一定的推理能力和计算能 力。
2、学生学习习惯
我班学生大都未养成良 好的学习习惯，因此在教学 中要注意和他们多沟通，帮 助他们养成好的学习习惯。
三、说教学目标
1、知识与技能 理解两角和与差的正弦公式的推导，并能初步应用它们进行 简单的三角函数式的化简、求值。
4
cos( ) cos cos sin sin
3 52 7 12
3、例题讲评与练习（25分钟）
cos( ) cos cos sin sin
3 52 7 12
设计意图：考查学生对公式的运用，还考查学生对第一章 三角求值的掌握。
3、例题讲评与练习（25分钟）
例3 求sin105 0 cos750 - cos105 0750的值。
2、设置问题，引发思考。（5分钟）
教师提问，学生思考，如何运用公式？
想一想：有几 种拆分方法？
你们会计算 cos750 ？ sin150 ？
分析： 750 450 300
150 450 - 300或者150 600 - 450
设计意图：让学生体会如何将所求角转化为特殊角来解决 问题，尤其是对 15度的转化，学生会发现有不同解。
学
4、课堂小结与作业布置（5分钟）
设计意图：回顾本节内容，让学生
习
巩固公式，检验对公式的掌握。
1、复习公式（5分钟） 设计意图：让学生回顾上节课所推 导的四个公式，在练习本上默写， 为应用打基础。
3、例题讲评与练习（25分钟） 设计意图：让学生体会不同公式的 运用及其之间的转化。
1、复习公式（5分钟）
六、说板书设计
我的板书遵循简洁明了突出重点，以下是我的板书：
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第一课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）》教学设计1．经历探索两角差余弦公式的过程，发展学生逻辑推理素养．2．掌握公式()C αβ-，初步体会公式()C αβ-的意义，发展学生逻辑推理、数学运算素养． 教学重点：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． 教学难点：发现差角余弦公式与圆的旋转对称性间的联系．Geogebra 软件、PPT 课件．资源引用：【知识点解析】认识两角差的余弦公式【知识点解析】运用公式给角求值问题的一般思路（一）整体感知 引导语：本节我们主要的研究内容是：三角恒等变换，即在不改变含有三角函数的式子的值的前提下，对式子变形．三角恒等变形在求值、化简、证明中有着十分广泛的应用．之前我们学习过的同角三角关系和诱导公式，都是三角恒等变换的重要工具．今天我们在此基础上学习新的恒等变换公式．问题1：我们之前学习过诱导公式，它们的共同点是，等号左侧都是一个终边落在坐标轴上的特殊角与一个任意角的和或差，现在，我们希望将它们一般化，得到新的公式．你认为新公式应具备怎样的特点？预设的师生活动：学生思考并回答，教师进行引导并排除不合理的回答． 预设答案：新公式应该含有两个任意角的和或差．设计意图：对诱导公式进行梳理归纳，引出任意两个角的和与差，为后续的学习和研究指明方向．同时，指明了诱导公式与即将研究的和角、差角公式之间是特殊与一般的关系． 问题2：之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式，你还记得当时我们证明诱导公式的思路和步骤吗？预设的师生活动：学生回顾并回答，教师可酌情引导学生复习回顾．预设答案：第一步，从“形”的角度出发，找到相互对称的两个角的终边关系；第二步，从“数”的角度考虑，写出单位圆上相互对称的的点的坐标；第三步，“数形”融合，将前两步的结果整合，得出结论．设计意图：回顾诱导公式的证明思路，可供随后探究差角余弦公式时参考借鉴．（二）新知探究问题3：先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式，下面我们继续借助单位圆，采用同样的思路研究含有两个任意角,αβ的三角恒等变形公式．首先，我们考虑两个任意角终边不重合时的情形．如果已知任意角,αβ的正弦、余弦，那么cos()αβ-与它们有什么关系呢？设计意图：这个问题直接指向本课时的核心内容，但学生暂时难以解答，故通过以下追问引导学生逐步接近答案．追问1：首先我们从“形”的角度出发，你认为该问题中涉及到的基本角有哪些？请你将它们连同单位圆一起画在坐标系中，将重要的点标注出来，并观察图形，你能发现哪些可能有用的等量关系．预设答案：基本角为,,αβαβ-，重要的点包括三个角的终边与单位圆的交点(依次记为11,,P A P )，始边与单位圆的交点A ．可能有用的等量关系是11PA PA =．师生活动：学生按照要求作图，并寻找等量关系，若寻找时遇到困难，教师演示动态几何图形，帮助并引导学生发现11PA PA =，或找多名同学展示他们作出的图形，让学生们根据多幅图形寻找共同规律．此外，学生可能在此环节得到其它“没用”的等量关系，教师亦可收集起来，与学生们探讨其是否“有用”，最终将其它“没用”的等量关系剔除掉．设计意图：引导学生发现导出公式()C αβ-的关键步骤：11PA PA =．追问2：你能证明这个等量关系吗？预设的师生活动：教师演示动态图形，验证猜想的正确性不会随着角,αβ终边位置的改变而改变．学生通过思考或交流，完成证明．如果必要的话，教师可以简单介绍圆的各种对称性(包括圆的旋转对称性在内)作为提示．预设答案：可以借助圆的旋转对称性证明11A P AP=，进而得到11A P AP =；可以借助圆的旋转对称性证明三角形OAP 与三角形11OA P 全等，进而得到11AP A P =；或者直接利用圆的旋转对称性证明线段11,A P 端点在旋转后分别与,A P 重合，从而11AP A P =．设计意图：引导学生借助圆的旋转对称性完成关键步骤11AP A P =的证明．追问3：接下来，我们从“数”的角度考虑，你能写出刚刚得到的几何等量关系式中出现过的点的坐标吗？预设的师生活动：学生按照要求写出坐标，教师演示动态图形，指出各点的坐标不会随着,αβ终边位置的变化而变化．预设答案：1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Aββ，(cos(),sin())P αβαβ--，(1,0)A ． 设计意图：参照先前发现并证明诱导公式的思路，按部就班地进行操作．同时也在为将来学习平面解析几何提供预备性体验．追问4：已知平面直角坐标系任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则点12,P P 之间的距离d =．请你借助以上“两点间的距离公式”，融合以上“形”与“数”的探究，你能得到什么结论？预设的师生活动：教师可运用勾股定理对距离公式进行简单的推导．学生综合各方面信息进行演算，教师可指派若干学生对其结果进行交流展示．预设答案：根据两点间距离公式，结合11PA PA =，有= 整理得cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ (*)．设计意图：通过一系列追问作为引导，彻底完成问题2的解答．问题4：如果两个任意角终边重合，上述结论成立吗？预设答案：当,αβ终边重合时，cos cos ,sin sin αβαβ==，此时等式(*)左侧cos 2π1k ==，右侧22sin cos 1αα=+=，两侧的值相等，因此上述结论仍然成立．设计意图：完成公式另一种情况的论证，在这个过程中，也体现了分类与整合的数学思想，有利于培养学生严谨的思维习惯．教师讲解：综合问题3与问题4的结果，可知cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+对任意角,αβ均成立．此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦与其差角αβ-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-．★资源名称：【知识点解析】认识两角差的余弦公式★使用说明：本资源展现“认识两角差的余弦公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．例1 证明：（1）cos(π)cos x x -=-； （2）πcos sin 2x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （3）cos()cos x x -=； （4）cos(π)cos x x +=-．预设的师生活动：可以叫四位同学上黑板做，然后教师点评．预设答案：证明：（1）将公式()C αβ-中的,αβ分别替换为π,x ，得cos(π)cos πcos sin πsin cos x x x x -=+=-；（2）将公式()C αβ-中的,αβ分别替换为π,2x ， 得πππcos cos cos sin sin sin 222x x x x ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭； （3）将公式()C αβ-中的,αβ分别替换为0,x ，得()cos 0cos0cos sin0sin cos x x x x -=+=；（4）将公式()C αβ-中的,αβ分别替换为π,x -，得cos(π+)cos[π()]cos πcos()sin πsin()cos x x x x x =--=-+-=-．设计意图：（1）（2）为公式()C αβ-的直接套用，可加强学生对公式的熟悉程度；（3）只需将x -看作0x -即可；（4）需将公式()C αβ-中的,αβ分别替换为π,x -，这为下一课时中公式()C αβ+的证明做好铺垫．以上诱导公式虽在之前已经证明，但在此由公式()C αβ-为出发点再次进行推证原因有二：一是新证法更加简捷明了，二是凸显出公式()C αβ-的重要意义．问题5：结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式(含有一个任意角和一个特殊角)相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式()C αβ-之间的关系吗？试一试．预设的师生活动：学生思考并交流后，交流展示，教师对学生们的回答进行梳理总结，最终形成比较完备的答案．预设答案：从区别与联系两个方面解读二者的关系：二者的区别是：第一，适用场合不同，二者涉及到的任意角的数量不同，因此适用的场合并不一样，诱导公式适用于关于一个特殊角与一个任意角代数和的恒等变换问题，差角余弦公式适用于关于两个任意角的差角的余弦值的恒等变换问题，第二，功能不同，诱导公式可以实现改变函数名称，将求任意角的三角函值转化为求锐角三角函数值的问题等功能，这些功能是()C αβ-不具备的，但公式()C αβ-具备求出两个任意角的差角的余弦值的功能，这是诱导公式不能完成的；二者的联系是：第一，差角余弦公式中含有两个任意角，将其中一个替换为特殊角，即可推导出部分诱导公式，因此()C αβ-是更上位的公式；第二，二者均为三角恒等变换的重要变形依据，它们均可以经由圆的对称性质推导得到．设计意图：对诱导公式和差角公式的关系进行梳理，帮助学生厘清关系，培养学生辩证分析问题的思维方式．例2 借助公式()C αβ-，解答以下题目：（1）计算cos15的值；（2）已知4sin 5α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cos 13β=-，β是第三象限角，求cos()αβ-的值． 追问：（1）中的角度并不是差的形式，你打算如何借助()C αβ-完成计算？（2）中cos ,sin αβ并没有直接给出，我们如何借助公式()C αβ-求得cos()αβ-的值？★资源名称：【知识点解析】运用公式给角求值问题的一般思路★使用说明：本资源展现“运用公式给角求值问题的一般思路”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：对于（1），我们可以把15化成我们熟悉的30,45,60等特殊角之中某两角的差的形式，再借助公式()C αβ-求解；对于（2），可以借助同角三角关系求出cos ,sin αβ，进而利用公式()C αβ-求解cos()αβ-．解：（1）(解法一)cos15=cos(4530)cos45cos30sin 45sin30-=+122224=+⋅=； (解法二)cos15=cos(6045)cos60cos45sin60sin 45-=+122224=⋅+=；（2）因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3cos 5α==-，因为β是第三象限角，故12sin 13β==-， 因此3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设计意图：通过两个比较简单的求值问题，促使学生进一步熟悉公式()C αβ-，能借助公式()C αβ-解决简单的三角恒等变换问题．（三）归纳小结问题6：请你回顾本节课的内容，思考以下问题：本课时出现过的哪些性质、公式、定理，它们之间具有怎样的推出关系？叙述公式()C αβ-，你在使用公式解决问题时有哪些心得体会？此外你还有哪些感悟？预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．预设答案：()C αβ-⎫⇒⇒⎬⇒⎭圆的旋转对称性诱导公式勾股定理两点间的距离公式． 使用()C αβ-时，由于,αβ均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、负角等等．cos()αβ-需要sin ,cos ,sin ,cos ααββ四个值齐备时方可算出，缺一不可，若有所缺，往往可以借助同角三角关系算出所缺的数值．公式()C αβ-中含有两个任意角，是诱导公式更上位的公式，可以推导出诱导公式；先从“形”的角度出发，再从“数”的角度考虑，最后融合“数”与“形”，似乎是一种探究数形关系的有效策略．设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络．（四）作业布置教科书习题5.5第1，2，3题．（五）目标检测设计1．已知15sin 17θ=，θ是第二象限角，求πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 2．已知π3ππ22αβ<<<<，且2sin 3α=，3cos 4β=-，求cos()αβ-的值．预设答案：1； 2设计意图：通过两个比较简单的求值问题，促使学生巩固同角三角关系及公式()C αβ-，提升数学运算素养．可对学生是否达到目标“能否运用公式()C αβ-解决简单的三角恒等变换问题”提供评测依据．。
《 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第二课时）》教学设计1．经历借助()C αβ-公式推导()C αβ+，()S αβ±，()T αβ±公式的过程，进一步体会公式()C αβ-的意义，发展学生逻辑推理素养．2．掌握()C αβ+，()S αβ±，()T αβ±等公式，发展学生逻辑推理、数学运算素养． 教学重点：经历从公式()C αβ-出发推导其它和角、差角公式的过程，进一步体会()C αβ-的意义．教学难点：和角与差角的正弦公式的推导；逆用公式进行恒等变换．PPT 课件． 资源引用：【知识点解析】认识两角和与差的余弦公式【知识点解析】认识两角和与差的正弦公式【知识点解析】认识两角和与差的正切公式（一）整体感知 引导语：前一节课我们根据三角函数的定义及圆的旋转对称性，借助两点间距离的坐标公式推导出了公式()C αβ-，今天我们将继续探究如何用任意角,αβ的三角函数表示cos(),sin(),tan()αβαβαβ+±±．（二）新知探究问题1：你能依据αβ+与αβ-之间的联系，利用公式()C αβ-，推导出两角和的余弦公式吗？★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的余弦公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的余弦公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生讲解其证明思路及具体证明过程，教师进行适当地点拨． 预设答案：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-(简记为()C αβ+)．设计意图：引导学生对解决目标与已学公式对比分析，寻找差异，获得新知．问题2：我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用已推出公式得到正弦公式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？请你试一试．★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的正弦公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的正弦公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明．教师巡视，对遇到困难的学生进行引导，收集学生们的不同证法，并找相应的学生展示其证法．预设答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下：ππsin()cos ()cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=--=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππcos cos sin sin 22sin cos cos sin αβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=-(简记为()S αβ-)．然后用β-替换上式中的β可得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+(简记为()S αβ+)．以上只是其中一种证法．设计意图：引导学生根据目前的公式与新目标之间的差异，制定方案，完成新公式的推导．问题3：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从()()S ,C αβαβ±±出发，推导出用任意角,αβ的正切表示tan(),tan()αβαβ+-的公式吗？★资源名称：【知识点解析】认识两角和与差的正切公式★使用说明：本资源展现“认识两角和与差的正切公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明并展示．预设答案：证明顺序有两种，即先证和角正切公式，或先证差角正切公式；先证的公式直接由相应角的正弦与余弦相除即可，后证的公式除相除之外，还可以借助先证出的公式证明．如先证和角正切：sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++==--tan tan 1tan tan αβαβ+=-， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-(简记作()T αβ+)． 随后将β替换为β-，即可得到tan tan()tan tan tan()1tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβ+---==--+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ (简记作()T αβ-)． 公式()S αβ+，()C αβ+，()T αβ+给出了任意角α，β的三角函数值与其和角αβ+的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，()S αβ-，()C αβ-，()T αβ-都叫做差角公式．设计意图：通过已推导出的公式获得更多的公式，在此过程中，学会用联系的思维方式，提升学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理素养．例1 已知sin α=−35，α是第四象限角，求sin (π4−α)，cos (π4+α)，tan (α−π4)的值． 追问1：题目中给出了几个条件？你能否由这些条件出发得到新的条件？为了得到题目要求出的三个数值，我们需要借助什么工具？需要哪些数据？这些数据是否已经出现在已知条件中或可由已知条件推出？预设答案：两个条件，即角α的正弦值与角α终边所在的象限．可以根据这些条件算出α的余弦值与正切值．为了求出所求数据，需借助和角公式与差角公式．需要的数据是α的正弦、余弦、正切值，以及π4的正弦、余弦正切值．这些数据均可从条件中轻易推出．解：由sin α=−35，α是第四象限角，得cos α=√1−sin 2α=√1−(−35)2=45， 所以tan α=sin αcos α=−3545=−34． 于是有sin (π4−α)=sin π4cos α-cos π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210； cos (π4+α)=cos π4cos α－sin π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210； tan (α−π4)=tan α−tan π41+tan αtan π4=tan α−11+tan α=−34−11+(−34)=－7．设计意图：本题目条件简单，问题明确，可加强学生对新学公式的认知程度．另外，本题目有利于培养学生分析问题和解决问题的良好思维习惯，即先认真分析条件，适度拓展条件，在明确任务，了解前进的方向，联想解决问题需要的工具(公式、定理等)、数据，再将这些所需的条件与已知条件及拓展条件相联系，逐步拉近已知条件与待求结论的距离．追问2：如果去掉“α是第四象限角”这个条件，则答案如何？预设答案：正确答案是，当α是第三象限角时，所求的三个三角函数值依次是17-；当α是第四象限角时，7．但有些学生可能会错误表达为sin (π4−α)的值为10-或10，cos (π4+α)的值为10-或10，tan (α−π4)的值为17-或7．这种错误的表述方式增加了搭配的可能性，解答的准确性大幅下降，教师若发现学生存在这样的表达方式，应及时指出．设计意图：对题目作简单的变式，一方面可以让学生巩固相关公式，对学生渗透分类与整合的数学思想，另一方面为培养学生表述问题的准确性提供了机会，同时也对追问3做了铺垫．追问3：观察追问2两种情况下的答案，你有什么发现？在本题条件下有sin (π4−α)=cos (π4+α)．那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？ 预设答案：等式对任意角α都成立．证明方法有多种，如等号左右两侧分别用()()S ,C αβαβ-+展开后比较；将π4α-或者π4α+换元，然后借助诱导公式即可证明． 设计意图：通过延伸，培养学生“观察现象——提出问题——解决问题”的科学思维品质，鼓励学生多观察，多思考，多提问．激发学生的发散性思维，一题多解．例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值：（1）sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；（2）cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；（3）sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；（4）1+tan 15°1−tan 15°．追问：以上4个问题有什么结构特征？你是否在某些公式中见到过这样的结构特征？ 预设答案：前3个问题都含有四个三角函数值，其中两个的乘积与另外两个的乘积作差，在正弦、余弦的和角与差角公式的等号右侧有过类似的结构特征；第4个问题仅含正切值，为分式形式，且分母中有常数1，与和角正切公式结构相似．设计意图：引导学生发现题目的结构特征，并联想相关公式，为解决问题提供了方向与线索．解：（1）由公式S (α-β)， sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°=sin(72°－42°) =sin 30°=12； （2）由公式C (α+β)，得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°=cos(20°+70°) =cos 90°=0；（3）(方法一) sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°= cos24° cos 36°－sin 36°sin 24°，由公式C (α+β)，原式=cos(36°+24°)=cos60°=12； (方法二) sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°= sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，由公式S (α-β)，原式=sin(66°-36°)=sin 30°=12；（4）由公式T (α+β)及tan 45°=1，得1+tan 15°1−tan 15°=tan 45°+tan 15°1−tan 45°tan 15°=tan(45°+15°) =tan 60°=√3． 设计意图：本题目主要考察公式的逆用，即从公式的右侧出发，变形到左侧的恒等变换方式．适度训练之后，学生对公式会有更全面，更深刻的理解．本题目中的（1）（2）是简单的公式反用，（3）的灵活度更上了一个台阶，学生需要借助诱导公式，变更函数名称，以凑成公式右侧的形式，再加以解决，解答（4）时，需要以退为进，逆向化归，将1代换成tan 45，这个变形技巧在例3中出现过，已经作过了铺垫．（三）归纳小结问题4：这两节课的内容中出现了很多性质和公式，它们之间具有怎样的推出关系？你能画一个结构图来反映这种关系吗？你在使用这些公式解决问题时有哪些心得体会？预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．预设答案：公式中的,αβ均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、甚至可以是两个任意角的和或差；公式()()S ,C αβαβ±±均需要sin ,cos ,sin ,cos ααββ四个值齐备时方可使用，缺一不可，必要时需要从公式的右侧变形化简成左侧的形式；公式()T αβ±中，若,αβ之中有一个是π4，则公式的结构会更简洁． 设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络．（四）作业布置教科书习题5.5第4，5，6，13题．（五）目标检测设计1．（1）已知cos θ=−35，θ∈(π2，π)，求sin (θ+π3)的值； （2）已知sin θ=−1213，θ是第三象限角，求cos (π6+θ)的值；（3）已知tan α=3，求tan (α+π4)的值． 2．求下列各式的值：（1）sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°； （2）cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°；（3）tan 12°+tan 33°1−tan 12°tan 33°； （4）cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°；（5）sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°； （6）sin 20°cos 110°+cos 160°sin 70°．3．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=35，β是第三象限角，求sin (β+5π4)的值． 预设答案：1．（1）4−3√310；（2）12−5√326；（3）－2． 2．（1）1；（2）12；（3）1；（4）−√32；（5）−12；（6）−1．3．7√2．10设计意图：通过若干题目，促使学生巩固和角公式与差角公式，并能从正用或者逆用两个方向着手运用公式解决问题，提升学生逻辑推理与数学运算素养．。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿 教案
两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--．例3x x -解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭思考：是怎么得到的？=分别等于12和2的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.。
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的。
在这些公式的推导中,教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较cos(α—β）与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α—（—β)的关系，从而由公式C（α—β）推得公式C(α+β）,又如比较sin（α-β）与cos(α—β），它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β）、S(α+β）等。
2。
通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义。
3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的。
二、三维目标1.知识与技能:在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。
【精品】高中数学必修4《两角和与差的余弦公式》说课稿
新人教版高中数学必修4《两角和与差的余弦公式》说课稿教材：人教版普通高中课程标准实验教科书—-—-—-数学必修43.1。
第一课时．一、教材分析（一）教材的地位和作用两角和与差的余弦公式是三角函数线和诱导公式等知识的延伸，也是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等问题的解决有重要的支撑作用。
（二）教学重点和难点重点：两角和与差的余弦公式的简单应用难点：两角差的余弦公式的推导数学教学是数学领域与教学形态的整合，应关注数学教育的长期目标与短期目标的平衡，所以突破重难点的关键我是通过设置层层递进的问题情境,给学生足够的自由探索与学习交流的空间，借助多媒体动态演示，使学生从感性认识升华到理性认识。
（三)教学目标数学教学不仅仅是知识的教学、技能的训练，更应使学生的能力得到提高．根据课程标准的要求和本节课的教学内容，结合高一学生的认知特点，确定教学目标如下：1．知识与技能目标：通过让学生探索、猜想、发现，掌握用向量法推导“两角差的余弦公式”，使学生初步理解公式的结构及其功能。
2．过程与方法目标：（1)使学生经历用向量的数量积推导公式的过程,体现向量的工具性和知识间的融合,以及数形结合、分类讨论等数学思想。
（2)通过公式的运用，培养学生逆向思维的意识与习惯，增强数学应用意识和创新意识,体会化归思想、换元思想在数学中的运用.3．情感与价值观目标：注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识;通过让学生体验成功,培养学生学习数学的信心．二、教学方法本着以“教师为主导，学生为主体，问题解决为主线,能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。
引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会"到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体．三、学法指导教与学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心,会学是目的．教学中,应不断地教给学生治学之道,求学之法．因此,本节课我采用学生自主探索与合作交流相结合的研讨式学习方法，让学生“学”有新“思”，“思”有新“得”，“练"有所“获”，真正成为知识的发现者和研究者，从而形成新的学习动力．四、教学程序遵循数学教学的“过程性”和“发展性”的原则，设计如下教学环节：情境引入概念形成概念深化应用举例练习反馈归纳小结达标检测布置作业教学环节教学内容双边活动设计意图情境引入一、复习回顾：1．单位圆与角α的终边交点P的坐标为（用角α的三角函数表示)2．向量数量积的定义式向量数量积的坐标表示是二、创设情境，引入课题［问1]:不查表，求︒︒-375cos,)405cos(的值（第一个较容易求出，第二个转化为求︒15cos的值，学生遇到困难）[问2]：︒︒︒-=304515那么︒︒︒-=30cos45cos15cos是否成立？［问3]：一般地，对任意角βαβαβαcoscos)cos(,,-=-是否成立?如何求)cos(βα-?引出课题学生在学案上将知识回顾填完多媒体演示3个问题,学生思考使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点。
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿一．教材分析：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”. 它对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。
本课时主要以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式推导两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用。
二．教学目标：1.知识与技能:① 让学生学会用代换法，转化法推导公式 ；② 让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能。
2.过程与方法:① 通过公式的推导,着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力；② 通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力。
3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；在解决问题时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。
并唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。
三．教学重难点：教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用；教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简。
四．教学方法：由于新课程教学内容增多，传统教学已经不能满足教学需要，根据新课程教学理念，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，基于本节课的特点，利用导学案和多媒体相结合让学生自主探究的模式实现学生从被动学习到主动学习的一个转变从而创造高效课堂。
五．教学过程：一、复习准备，提出问题：1.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
如：cos(2) k πα+=， cos(90) oα-=， cos() α-=， sin() α-=2. 差角的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+3.差角的余弦公式的应用：例如：求cos15o 的值，分析：15o = 30o-， 解：cos15cos( 30) o o =-=问题提出：如何求cos()αβ+的值呢？（设计目的：唤起学生已有的知识和解题技巧。
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式说课稿一．教材分析：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”. 它对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。
本课时主要以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式推导两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用。
二．教学目标：1.知识与技能:① 让学生学会用代换法，转化法推导公式 ；② 让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能。
2.过程与方法:① 通过公式的推导,着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力；② 通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力。
3.情感、态度与价值观:课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力；小组交流中，培养合作意识；在解决问题时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。
并唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。
三．教学重难点：教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用；教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简。
四．教学方法：由于新课程教学内容增多，传统教学已经不能满足教学需要，根据新课程教学理念，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是我进行教学的指导思想，基于本节课的特点，利用导学案和多媒体相结合让学生自主探究的模式实现学生从被动学习到主动学习的一个转变从而创造高效课堂。
五．教学过程：一、复习准备，提出问题：1.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
如：cos(2) k πα+=， cos(90) oα-=， cos() α-=， sin() α-=2. 差角的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+3.差角的余弦公式的应用：例如：求cos15o 的值，分析：15o = 30o-， 解：cos15cos( 30) o o =-=问题提出：如何求cos()αβ+的值呢？（设计目的：唤起学生已有的知识和解题技巧。
这个环节位于导学案的第一部分，针对学生所学新知的需要，设置一定的相关已经学过的旧知，采用提问的方式进行复习，复习诱导公式的时候提问：要改变三角函数名可以用到哪个诱导公式？以便为探究sin()αβ±奠定迁移的基础，复习求cos15o的值的目的是为推导两角和的余弦公式做一个方法上的铺垫。
）二、探究新知，推导公式：1、和角的余弦公式推导：问题提出：如何求cos()αβ+的值呢？分析： αβα+=- cos()cos[ ] αβα+=-=化简得：cos() αβ+=（简记为 ）思考1：15o 是否可以看做其它角的差？75105165o o o ，，等是否也可用类似方法求余弦值？ (设计目的：采用适当的变式，以达到训练正用公式cos()αβ±的目的。
)2、和差角的正弦公式推导：思考2：由诱导公式cos(90)sin o αα-=可知，余弦与正弦之间可以相互转化，那么，sin()αβ+可以转化为 ，即：sin()cos 2παββ⎧⎫⎡⎤+=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭（ ）（） 对此转化结果，若用余弦的和角公式既诱导公式相结合展开化简，可以得到怎样的结果？答： （简记为 ）(设计目的：引导学生将求正弦转化为求余弦，这一导学过程的设计为学生降低思维难度，同时让学生体会转化的数学思想。
)思考3：用β-代替β可得：sin()αβ-= （简记为 ）(设计目的：用β-代替β，这一代换设计的目的是想让学生水到渠成的得出两角差的正弦公式，同时体会换元的思想。
)3、和差角的正切公式推导：（用,αβ的正切来表示αβ+的正切）思考4：由正切函数与正弦，余弦函数的关系可知：sin()tan()cos()αβαβαβ++=+ 所以：( )( )tan()( )( )αβ++=- ( )( )cos cos ( )( )cos cos αβαβ+=-（分子分母同时除以cos cos αβ ） 化简的：( )tan()( )αβ+= （简记为 ） 用β-代替β可得：( )tan()( )αβ-=（简记为 ） （设计目的：首先向学生提出用,αβ的正切来表示αβ+的正切，这一设计为学生对公式的推导指明变形的方向，而在具体变形中，导学案上给出了分子分母同时除以cos cos αβ，是基于让学习基础稍微薄弱一点的学生也能完成公式的推导而设计的。
）思考5：这个公式对任意的角,αβ都成立吗？。
（设计目的：是为了培养学生思维的严谨性、深刻性、和实事求是的学习态度。
）三、知识小结，揭示规律：思考6：通过上面的一系列推导，我们不难发现，这六个和与差的三角函数公式之间具有非常紧密的逻辑联系，这种联系可以用框图的形式表示出来，请根据下面框图中的提示，完善提示：从公式的结构特点，函数名称，以及符号的变化等方面进行思考归纳）余弦记忆口诀：正弦记忆口诀：正切记忆口诀：（设计目的：培养学生观察、猜想、归纳的思维能力和创新意识，增强学生自主学习、独立思考，由学会向会学的转化，形成良好的思维品质。
以两角差的余弦公式为基础，推导其他两角和与差的正、余弦及正切公式的过程不仅是一个逻辑推理的过程，也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程，采用了“留空”的方式处理这部分内容不仅重视对推出公式的理解，而且还重视了推导过程的教育功能。
）思考8：你从公式的推导中能体会到哪些数学思想方法？能否举例说明？（设计目的：让学生全面的体会与把握本节课中蕴含的数学思想与方法，以突显出本节数学课的灵魂所在。
）四．应用新知，示例练习：例题1：已知3cos 5πααπ=-∈，（，），2cos sin tan()444πππααα-++。
（）,（）,求的值 （设计目的：例1是运用和差角公式的基础题，让学生自主解决，可请三名同学到黑板上进行板书。
主要目的是为了让学生熟悉公式，也为解答练习中的第（4）问提供一个参考。
教学过程中可以去掉“,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”这个条件然后留给学生课后思考，让学生学习分类讨论的思想，提高表达能力。
）练习：利用和差角公式，计算下列各式的值：（1）oo o o sin72cos42cos72sin 42- （3）o tan15（2）o o o o cos20cos70sin 20sin70- （4）o o 1tan151tan15+- （设计目的：练习中的（1），（2）是最简单的公式逆用，可以请学生直接报答案，目的在于加深学生对公式的熟练程度，第（3）问的设置实际上是为了解决第（4）问做一个铺垫，大部分同学会将第（3）问的答案直接代入第（4）问进行计算，这样会有比较大的计算量，这个时候问学生还有没有其他解法，如果学生回答不出来的话可以让学生观察该题与例1中的第（3）问找出他们的相同之处，这样让学生学会逆用正切公式和感受特殊角的三角函数值在三角恒等变换中的妙用，从而突破难点。
达到培养学生逆用意识以及思维的灵活性的目的。
）例题2： 已知锐角sin 510αβαβ==、满足 αβ+求的值。
（设计目的：例2能力提升题，目的是有意识地对学生的思维习惯进行引导，面对新问题如何运用已学知识和方法去解决，培养学生分析问题和逻辑推理的能力，在教学时可给以适当的提示和分析，先让学生进行思考，再由教师进行板书讲解，从而再次突破教学难点。
）五．解题小结，培养能力：1.先由学生回顾在本节课的例题学习中，最重要的解题思想是什么？解题方法是什么？解题的过程中应该注意什么？2.教师画龙点睛：在解题过程中用到了数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法的目的。
（设计意图：这样设计的目的是让学生在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的准确性，简洁性等。
因为这些都是培养三角恒等变换能力所不能忽视的。
）六．自我检测，反思评价： 学生评价：通过本节课的学习，你认为自己完成学习目标的情况 （ ） A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差自我检测：1、 求值：（1）o o o o sin 72cos18cos72sin18+ （2）osin15 （3）o o o osin34sin 26cos34cos 26- （4）o oo otan12tan 331tan 33tan12+- 2、已知12sin 13α=-，α是第三象限角，求sin 4πα+（）的值 思考提高：化简：（1）cos αα12 （2）sin αα 教师评价你认为该生通过本节课的学习，完成学习目标的情况是（ ）。
A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差（设计目的：针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又对学有余力的学生留出自由发展的空间，培养学生创新意识和探索精神. 同时也为老师对下一节的备课提供一个思考方向。
利用课余时间完成之后统一收上来老师批改以后再将信息反馈给学生。
）七．板书设计：六．教学评价：“评价不是为了证明，而是为了促进”，本节课在引导学生探究、合作以及交流的过程中，关注学生的认知心理过程，关注学生的发展，淡化终结性评价，强调过程评价、自我评价和评价的教育发展功能，教师肯定、公正的评价和学生自我评价促进了学生的自我反思和再认识，尤其是在“练习的问题4”中思维活跃的学生应给予及时肯定。
本节课教学注重了层次性，对基础薄弱的学生在“例1，练习1，2，3”中多给他们创造机会，力争每一个层次的学生都能有机会得到积极的评价，因为这是让他们保持自信，爱好数学，从而学会学习的最好培养时机。
以上就是我对本节课的设计。
新理念下数学课堂教学的探索是一个长期的过程，充分挖掘数学的应用价值、思维价值和人文价值，需要我们教育工作者的不断创新和与时俱进．以上就是我这次说课的全部内容，还有不足之处希望各位领导，老师能够加以指正。
谢谢大家。