高一数学平面向量复习1
高一数学平面向量基础知识整理
高一数学平面向量基础知识整理一、向量的定义与表示在数学中，向量是有大小和方向的量。
常用箭头在平面上表示向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、向量的性质1. 向量的相等性：向量的大小和方向完全相同，则两个向量相等。
2. 向量的相反性：如果两个向量大小相等，方向相反，则为相反向量。
3. 零向量：大小为零的向量，任何向量与零向量相加仍为原向量。
4. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称为平行向量。
5. 共线向量：两个向量在同一直线上，或者其中一个是另一个的常数倍时，称为共线向量。
6. 自由向量和定位向量：自由向量可以平移，定位向量则有固定的起点和终点。
三、向量的运算1. 向量的加法：- 要将两个向量相加，将它们首尾相连，连接起点和终点，新向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点。
- 满足交换律和结合律。
2. 向量的减法：- 将减法转化为加法，即将减去的向量取相反向量，再进行加法。
3. 数量积：- 数量积又称为点积或内积，表示为两个向量的数量积的积，用符号 "·" 表示。
- 定义为两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。
4. 向量的数乘：- 数乘即将向量的每个分量都乘以一个标量。
四、向量的模（长度）向量的模表示向量的大小，有两种计算方法：1. 用坐标表示：向量 (a, b) 的模为√(a² + b²)。
2. 用数量积表示：设向量 a 的模为 |a|，则|a| = √(a·a)。
五、单位向量单位向量的模为 1，任何非零向量的单位向量可以通过将向量除以它的模来获得。
六、向量的夹角1. 向量的夹角余弦：- 两个非零向量 a 和 b 的夹角余弦定义为：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)，其中θ 为夹角。
2. 向量的垂直与平行关系：- 若 a·b = 0，则 a 与 b 垂直。
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。
平面向量高一数学知识点
平面向量高一数学知识点在高中数学中，平面向量是一个重要的概念。
它不仅在几何学中有着广泛的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。
本文将重点介绍平面向量的定义、性质以及相关定理。
一、平面向量的定义和运算平面向量可以用有序数对表示，也可以用箭头表示。
设点A和点B是平面上的两个点，用A和B表示它们对应的平面向量。
平面向量有两个重要的运算：加法和数乘。
1. 加法：设有平面向量OA和平面向量OB，它们的和记作OA + OB。
根据平行四边形法则，我们可以通过将OA和OB的起点放在同一个点，然后连接它们的终点，得到一个新的平面向量，即OA + OB。
加法满足交换律、结合律和平移律。
2. 数乘：设有平面向量OA和实数k，它们的数乘记作kOA。
根据数乘的定义，kOA的模长是|k|乘以OA的模长，并且kOA与OA的方向相同（当k>0）或相反（当k<0）。
二、平面向量的性质平面向量有多个重要的性质，下面我们来介绍其中的一些。
1. 零向量：零向量是一个特殊的平面向量，记作O，它的模长为0，方向任意。
对于任意平面向量OA，都有OA + O = OA。
2. 相等条件：平面向量OA和平面向量OB相等的充分必要条件是它们的模长相等并且方向相同。
3. 负向量：平面向量OA的负向量记作-OA，它的模长与OA 相等，方向相反。
4. 平面向量的基本性质：设A、B、C是平面上的三个点，对应的平面向量分别为OA、OB、OC。
有以下基本性质： - OA + O = OA- OA + OA = O- OA + (-OA) = O- OA - OA = O- k(OA + OB) = kOA + kOB (数乘的分配律)- (k + m)OA = kOA + mOA (数乘的分配律)三、平面向量的定理平面向量的定理是高中数学中一些重要的定理。
1. 平行定理：设有两个平面向量OA和OB，当且仅当它们的方向相同或相反时，即OA = kOB（k为非零实数），则表示向量OA和向量OB平行。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
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∴ λ= 5 ，μ=-12 2
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三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量b 与非零向量 a 共线充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）重要措施。
2、平面向量基本定理
假如 e1, e2 是同一个平面内两个不共线向量，
（2）函数 y cos(x ) 2图象通过怎样
平移，可以得到函数 y 3cos x图象？
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六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
S ABC
1 bc sin 2
A
1 ca sin 2
B
1 2
ab sin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
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五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
（3）（a b） a b
2、平面向量数量积运算律
思索：你能将此 运算律用坐标表 达出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
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例1 判断如下命题及其逆命题真假：
1、若| a|= | b| ，则 a 与 b是共线向量； 2、若 a∥b ，则 a在 b方向上投影是 ；a 3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1 ； 4、若a 0，则 0且a 0
高中数学新教材高一下期末复习第一讲 平面向量及其应用(解析版)
平面向量及其应用单元复习一知识结构图二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．2. 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b ＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 3.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB →－OA →＝AB →.例题1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.【答案】DC →=k e 2.BC →=e 1＋(k －1)e 2. MN →=＝k ＋12e 2.【解析】∵AB →＝e 2，且DCAB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－D A →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.知识点二 平面向量数量积的运算2121cos ||||y y x x b a b a +==⋅θ例题2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ .【答案】32【解析】因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.知识点三 平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)；⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22；⑧若θ为a 与b 的夹角，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.例题3 .设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)．①若(λa －b )⊥b ，求λ的值；②若m ＝λa ＋μb ，且|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，求λ，μ的值．【答案】①λ＝2.②λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2.【解析】 ①因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，所以λa －b ＝(2λ，0)－(1，3)＝(2λ－1，－3)．又(λa －b )⊥b ，所以(λa －b )·b ＝0，即(2λ－1，－3)·(1，3)＝0， 所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2.②因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，m ＝λa ＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，3)＝(2λ＋μ，3μ)． 因为|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，所以⎩⎪⎨⎪⎧(2λ＋μ)2＋(3μ)2＝(23)2，cos π6＝(2λ＋μ，3μ)·(1，3)23×2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＋λμ＋μ2＝3，λ＋2μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2， 所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 知识点四 平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．例题4． (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． （1）【答案】B【解析】因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B 。
高一数学向量知识点总结
高一数学向量知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义- 既有大小又有方向的量叫做向量。
例如力、位移等都是向量。
2. 向量的表示- 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
以A为起点、B为终点的向量记作→AB。
- 字母表示：用小写字母→a,→b,→c·s表示向量。
3. 向量的模- 向量→AB或→a的大小称为向量的模，记作|→AB|或|→a|。
模是一个非负实数。
4. 零向量- 长度为0的向量叫做零向量，记作→0，零向量的方向是任意的。
5. 单位向量- 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
与非零向量→a同向的单位向量为(→a)/(|→a|)。
二、向量的运算（一）向量的加法1. 定义- 已知向量→a、→b，在平面内任取一点A，作→AB=→a，→BC=→b，则向量→AC叫做→a与→b的和，记作→a+→b，即→a+→b=→AB+→BC=→AC。
这种求向量和的方法叫做三角形法则。
- 平行四边形法则：已知向量→a、→b，作→AB=→a，→AD=→b，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则→AC=→a+→b。
2. 运算律- 交换律：→a+→b=→b+→a。
- 结合律：(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
（二）向量的减法1. 定义- 向量→a与→b的差→a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量，→b 与-→b大小相等，方向相反。
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
- 几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。
（三）向量的数乘1. 定义- 实数λ与向量→a的积是一个向量，记作λ→a，它的长度|λ→a|=|λ||→a|，当λ> 0时，λ→a的方向与→a的方向相同；当λ < 0时，λ→a的方向与→a的方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
2. 运算律- 结合律：λ(μ→a)=(λμ)→a。
高一数学平面向量的知识点
高一数学平面向量的知识点引言高一数学中，平面向量是一个重要的概念。
它不仅在数学中有广泛的应用，还在物理、工程等领域中扮演着重要的角色。
掌握好平面向量的知识点，对于学生的整体数学素养的提升是至关重要的。
本文将从平面向量的定义、表示和运算等几个方面进行讲解。
一. 平面向量的定义平面向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量通常用大写字母表示，例如A，A。
这个箭头的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
平面向量的大小通常用模表示，记作|A|。
二. 平面向量的表示平面向量可以用坐标表示，也可以用点表示。
用坐标表示时，一个向量分别由x和y方向的分量表示。
例如，向量A的坐标表示为(AA,AA)或A=AA+AA，其中A和A分别是该向量在x和y方向上的分量。
用点表示时，可以用起点和终点表示一个向量。
例如，向量A的点表示为AA。
三. 平面向量的运算1. 向量的加法和减法向量的加法和减法都遵循平行四边形法则。
加法表示两个向量的合成，减法表示两个向量的分解。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘。
数乘的结果是一个新的向量，它的大小是原向量大小的绝对值倍，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。
数量积的结果是一个实数。
数量积满足交换律和分配律，并且与夹角的余弦有密切的关系，即A·A=|A||A|cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角。
四. 平面向量的应用平面向量在几何、物理等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用：1. 几何定理证明平面向量在几何中的应用主要体现在定理证明中。
例如，可以用平面向量证明中点四边形对角线平分定理等。
2. 向量的分解向量的分解是平面向量的重要应用之一。
通过将一个向量分解成若干个平行于坐标轴的分量，使得计算变得简单而直观。
3. 力的合成与分解在物理学中，力的合成与分解是平面向量的重要应用之一。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。
大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。
1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。
3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。
零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
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知识提要 九、平面向量的数量积
(1) 设两个非零向量 a和b ，作 OA＝ a ， OB＝ b ， 则∠AOB＝θ叫a与b的夹角，其范围是[0，π]， |b|cosθ叫b在a上的投影
(2)|a||b|cosθ叫 a 与 b 的数量积，记作 a·b ， 即 a·b＝|a||b|cosθ (3)平面向量的数量积的坐标表示
(D)λ(μa)=(λμ)a
5、若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c=( )
1 3 1 3 3 1 3 1 A. a b B . a b C . a b D . a b 2 2 2 2 2 2 2 2
6 、函数 y=x2 的图象按向量 a=(2,1) 平移后得到的 图象的函数表达式为( ) (A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1
知识提要
六、向量共线/平行的充要条件
七、非零向量垂直的充要条件
八、线段的定比分点
设 p1 , p2 是 l 上的两点，P是 l 上_______的任意 一点，则存在实数 ，使________，则 为点P分 有向线段 p1 p2 所成的比，同时，称P为有向线段 p1 p2 的定比分点 定比分点坐标公式及向量式
知识提要
一、向量的概念
____且____的向量叫做相等向量
________________叫做相反向量
二、向量的表示方法
几何表示法、字母表示法、坐标表示法
知识提要
三、向量的加减法及其坐标运算
四、实数与向量的乘积
定义：实数 λ 与向量 a 的积是 一个向量， 记作λ a 五、平面向量基本定理
如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一 对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ,其中e1，e2叫 基底
典例解读 16、利用向量证明：△ABC中，M为BC的中 点，则 AB2+AC2=2(AM2+MB2)
17、已知△ABC中，A(2,-1)，B(3,2)， C(-3,-1)，BC边上的高为AD，求点D和 向量 AD 18、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线 的三个点，动点P满足 OP= OA+λ（ AB + AC ） | AB | | AC | λ∈[0，+∞） 则P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
典例解读
10、若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个 向量都不共线，则( ) (A)(a)2· (b)2=(a· b)2 (B)|a+b|＞|a-b| (C)(a· b)· c-(b· c)· a与b垂直 (D)(a· b)· c-(b· c)· a=0
11、设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则 实数λ的值是( )
知识提要
一、向量的概念
既有____又有____的量叫做向量。用有向线段 表示向量时，有向线段的长度表示向量的____， 有向线段的箭头所指的方向表示向量的____ __________叫零向量
__________叫做单位向量 ____的____向量叫做平行向量，因为任一组平 行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行 向量也叫做_____ 。零向量与任一向量平行
(A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例解读
12、已知点A( 2, 3)和B(2, 7)，点P在 1 直线AB上，且 | AP | | AB | ， 3 求点P的坐标
典例解读
13、设在平面上有两个向量： a (cos ,sin ), b (cos ,sin ),(0 ) (1)试证：a b与a b互相垂直； (2)两个向量 ka b与a kb的模相等时，角 - 等于多少？其中k为非零实数
14、在三角形ABC中，AB =（2，3），AC =（1，k）， 且三角形ABC的一个内角为直角，求实数k的值
典例解读
15、在△ABC中，点M为BC的中点，A，B，C 三点的坐标分别为(2,-2)，(5,2)，(-3,0)， 点N在AC上，且 AN 2 NC ，AM与BN的交 点为P，求点P分向量 AM 所成的比λ的值， 并求点P的坐标
典例解读
7、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足OC=αOA+βOB， 其中α 、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程 为( ) (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0 8、已知A(5,-1)、B(-1,7)、C(1,2)，求△ABC 中∠A平分线长 9 、设 P 、 Q 是四边形 ABCD 对角线 AC 、 BD 中点， BC=a,DA=b，则 PQ=_________
2、已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则 |2a-b|=___________
3、若将向量a＝（2，1）绕原点按逆时针方向旋 转 得到向量b，则向量b的坐标为_____
4
典例解读
4、下列算式中不正确的是( (A) AB+BC+CA=0 ) (B) AB-AC=BC
(C) 0· AB=0
知识提要 十、平移
将P ( x , y )按a ( h, k )平移到P ( x , y )，
' ' '
x x h 则平移公式： ' y yk
'
典例解读
1、给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b；②若A， B ， C ， D 是不共线的四点，则 AB= DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a=b,b=c ， 则 a=c ；④ a=b 的充要条件是 |a|=|b| 且 a∥b ；⑤ 若a∥b,b∥c，则a∥c 其中，正确命题的序号是______
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蒙芦申皇の身份.以前鞠言确实不认识蒙芦申皇,可方才大师兄单泊已经传音给鞠言介绍了蒙芦申皇の身份,所以鞠言知道此人,就是第四申界の领头人,也是人类疆域九大巨头之壹.“鞠言,那位是蒙芦申皇,第四申界の领头人.”湛月脸上没有太多表情对鞠言介绍了壹下蒙芦の身份.“难 怪！原来是第四申界の领头人,怪不得壹副高高在上の架势.不过,第四申界の领头人,恐怕也不能做九大申界の主吧！呐位蒙芦申皇说话,就好像他已经掌控全部九大申界壹样.”鞠言轻轻摇头.在鞠言与湛月の简单对话过程中,蒙芦申皇简直要被气炸了.“放肆！”“小辈,你最好不要挑战 本皇容忍の极限！”蒙芦申皇怒气冲冲の盯着鞠言.若不是由于,呐里是九界申宫,他可能都忍不住已经对鞠言出手了.壹点都不用怀疑,若是在第四申界之内,有壹些不知天高地厚の小辈敢对他有任何不敬,他绝对挥手间就直接灭杀了.可是呐里,乃是九界申宫之内,九大申界の领头人都在, 他随意出手,显然不妥当.再者说,呐个小辈の师尊湛月申皇,也是不好惹の存在.“怎么,俺有说错吗?”面对蒙芦申皇要吃人の目光,鞠言没有丝毫の退让,与后者对视.“蒙芦申皇！”鞠言加叠语气.“在俺进入九界申宫之前,俺没有得罪过你吧?俺还真不知道,俺们之间有哪个恩怨.如果有, 还请蒙芦申皇告知.”“如果没有,那俺就很奇怪了.为何自从俺进来之后,你就处处针对俺！不仅针对俺,还挤兑俺师父湛月申皇.现在,你倒是污蔑俺挑战你容忍の极限.难道你自身不觉得,呐很可笑吗?”鞠言抑扬顿挫の道.其实,在鞠言进来后,针对他の可不只有蒙芦申皇.在场の,还有壹 些申尊、王君都藐视鞠言.但谁叫,呐个蒙芦身份最高呢！鞠言当然将矛头对准了他！听到鞠言の呐番话,蒙芦申皇有些懵了.说起来,确实是他找事在先.可是,他压根就没认为自身の做法有问题.由于从壹开始,他就没将鞠言放在与自身同壹个水平の位置上.他先前,甚至都没有直接对鞠言 说哪个.所以现在被鞠言呐样反问,他下意识の回忆起来,呐才骤然发觉,还真是他挑事在先.“可笑?有哪个可笑?”蒙芦申皇很快反应过来.“呐里是九界申宫,九界大会正在紧罔の召开.而俺们,也正在商议关于葬申域魔族侵犯の事情.呐等场合,岂容你随意闯入?”蒙芦申皇喝道.“蒙芦申 皇.首先俺得告诉你,俺是壹名人类,是来自第七申界の人类修行者.对魔族の侵犯,俺也琛琛憎恶.既然大家在呐里商议如何应对魔族,俺身为憎恶魔族の人类参加,呐又有哪个不妥吗?”鞠言继续反问道.“你呐小辈简直胡搅蛮缠！参加九界大会の人类,都是九大申界の顶尖修行者.你呐样の 小辈,凭哪个参加?”蒙芦申皇疾言厉色.“蒙芦申皇,那么俺想请问,九界大会可有具体の规定,规定哪个样の修行者才能参加九界大会?”鞠言立即皱眉问道.蒙芦申皇又愣住了.他被问住了.由于,九界大会の召开,还真没有规定参加者需要达到哪个样の要求.可壹直以来,大家也都心照不宣. 九界大会の形成,其根源就是魔族对人类疆域の侵犯.所以,参加九界大会の修行者,也确实都是九大申界人类修行者之中最为强大の壹批.实历最低,也是王君层次申主,而且是顶尖の王君层次申主.可是,九界大会,还真没有规定说参加者必须符合怎样の境界条件.蒙芦申皇,哑口无言了.其 实,鞠言也不知道九界大会有没有呐样の明文规定.但是,即便是有,对鞠言来说也毫无压历.鞠言,就是壹个极其强大の申皇层次修行者.若连他都没资格参加九界大会,那整个人类疆域之中,还有几个人有资格参加?“鞠言小友！”呐事候,壹名半眯双目の老者,对鞠言微微笑了笑,开口叫出 鞠言の名字.呐名老者,是第壹申界の领头人,智昌申皇.“九界大会,确实没有规定参与者の武道境界.呵呵,鞠言小友既然已经到了呐里,那便留下来参与接下来の意识也无妨.”智昌申皇看了看有些气急败坏の蒙芦申皇.“湛月道友,呐次咱们九大申界の领头人聚集于此,目の是商议应对魔 族之计,俺看就不要将事间,浪费在毫无意义の争吵之上了如何?”智昌申皇又看向湛月申皇笑着说道.<!--壹叁xs-->第壹伍贰柒章事机不对鞠言与蒙芦の对峙,令得整个九界申宫都充满吙药味.若是再不调停,蒙芦申皇很可能恼羞