一次函数的对称性专题-教师版
专题24一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称(原卷版)
专题24 一次函数图象与几何变换之平移、旋转与对称（原卷版）类型一 平移1．（2022秋•南京期末）将一次函数y ＝﹣2x +3的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为（ ）A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝﹣2x ﹣5C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝﹣2x +72．（2022秋•埇桥区期中）将直线y ＝x +1向上平移5个单位长度后得到直线y ＝kx +b ，则下列关于直线y ＝kx +b 的说法错误的是（ ）A ．函数图象经过第一、二、三象限B ．函数图象与x 轴的交点在x 轴的正半轴C ．点（﹣2，4）在函数图象上D ．y 随x 的增大而增大3．（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =√33x +1与直线l 2：y =√3x 交于点A 1，过A 1作x 轴的垂线，垂足为B 1，过B 1作l 2的平行线交l 1于A 2，过A 2作x 轴的垂线，垂足为B 2，过B 2作l 2的平行线交l 1于A 3，过A 3作x 轴的垂线，垂足为B 3…按此规律，则点A n 的纵坐标为（ ）A ．（32）nB ．（12）n +1C ．（32）n ﹣1+12D ．3n −124．（2022•南京模拟）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD 截得的线段长度m 与直线在x 轴上平移的距离t 的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．5B ．5√2C ．10D ．10√25．（2021秋•白银期末）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P'，且P'在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为．6．（2008秋•宿迁期末）已知直线l1：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为4．（1）求直线l1的解析式；（2）直线l1经过怎样平移可以经过原点；（3）求直线l1关于y轴对称的直线的解析式．类型二旋转7．（2022•碑林区二模）把一次函数y＝x+1的图象绕点（2，0）顺时针旋转180°所得直线的表达式为（）A．y＝﹣x+2B．y＝﹣x+3C．y＝x﹣4D．y＝x﹣58．（2022•安阳县一模）将y＝x的函数图象绕点（1，1）顺时针旋转90°以后得到的函数图象是（）A．B．C．D．9．（2021秋•华容区期末）已知一次函数y＝3x+12的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB 绕点A顺时针旋转90°，则点B的对应点B'的坐标为（）A．（8，﹣4）B．（﹣16，4）C．（12，8）D．（﹣12，16）10．（2021秋•三元区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（）A．（0，﹣4）B．（0，−94）C．（0，−43）D．（0，−34）11．（2022秋•虹口区校级月考）平面直角坐标系中有一直线l1：y＝﹣2x+5，先将其向右平移3个单位得到l2，再将l2作关于x轴的对称图形l3，最后将l3绕l3与y轴的交点逆时针旋转90°得到l4，则直线l4的解析式为（）A．y=−12x−11B．y=−12x−2C．y=12x+1D．y=12x−812．（2022•秦淮区校级模拟）将函数y＝﹣2x+4的图象绕图象上一点P旋转n°（45＜n＜90），若旋转后的图象经过点（3，5），则点P的横坐标不可能是（）A．﹣1B．0C．1D．213．（2022•敖汉旗一模）如图一次函数y＝x+√3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B 顺时针旋转30°交x轴于点C．则线段AC的长为．14．（2022春•顺德区校级月考）如图，已知点A：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b上，l1和l2：y＝kx﹣1的图象交于点B，且点B的横坐标为8，将直线l1绕点A逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q，则点Q 的坐标为．15．（2022秋•渠县期末）【建立模型】课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线l过等腰直角三角形ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E研究图形，不难发现：△MDC≌△CEB．（无需证明）：【模型运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求B点坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A 顺时针或逆时针旋转45°得到l2，请任选一种情况求l2的函数表达式；（3）如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．类型三对称16．（2021秋•藤县期末）直线y＝2x+3与直线l关于x轴对称，则直线l的解析式为（）A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣317．已知，点A（m+1，1），B（3，n﹣2）关于x轴对称，则一次函数y＝mnx﹣n的图象大致是图中的（）A．B．C．D．18．（2021秋•新郑市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，m）在第三象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（）A．3B．1C．﹣1D．﹣319．（2022秋•苏州期末）如图，直线y=−23x+4交x轴，y轴于点A，B，点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点P'恰好落在x轴的正半轴上，则点P'的横坐标为（）A．313B．35C．53D．13320．（2021春•莒南县期末）若直线L1经过点（0，4），L2经过点（3，2），且L1与L2关于x轴对称，则L1与L2的交点坐标为．21．已知直线l1的解析式为y＝2x﹣6，直线l2与直线l1关于y轴对称，则直线l2的解析式为．22．（2022•南通一模）已知一次函数y＝2x+3，则该函数图象关于直线y＝x对称的函数解析式为．23．（2022秋•望花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是．24．（2022秋•沙坪坝区期末）如图，正比例函数y1＝x与一次函数y2=ax−53(a≠0)交于点A（﹣1，m）．（1）求出一次函数y2的解析式，并在图中画出一次函数y2的图象；（2）点C与点B（4，2）关于y1函数图象对称，过点B作直线BD∥x轴，交一次函数y2的图象于点D，求△CBD的面积．25．（2022秋•临川区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G 的[l1，l2]伴随图形．例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为；（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为；②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．。
一次函数对称与平移
§一次函数对称与平移龙湖中学王丹凤教学目标：知识与能力：掌握直线y=kx+b关于x轴，关于y轴，关于原点对称的直线解析式中k,b 的规律；直线y=kx+b沿y轴上下平移，沿x轴左右平移的规律。
过程与方法：学生自己动手画图，求解。
老师再辅以几何画板直观演示。
情感与态度：在探究过程中，随着问题的不断深入，锻炼学生们探索钻研的精神。
教学重点：直线y=kx+b关于x轴，关于y轴，关于原点对称的直线解析式中k,b 的规律；直线y=kx+b沿y轴上下平移，沿x轴左右平移的规律。
教学难点：探究求关于x轴，关于y轴，关于原点对称的直线解析式以及平移的方法和步骤。
教学过程：一、温故知新1、复习P(a,b)关于x轴对称点，关于y轴对称点，关于原点对称点。
2、一次函数y=kx+b（k≠0)中k,b的作用。
3、待定系数法的四个步骤。
二、新课讲授〈一〉、对称探究1： 请画出直线y=2x-2关于x 轴对称的图像并求出解析式。
（学生自己先动手画图求解；老师再用几何画板演示，并板书求解析式的过程。
启发引导学生找出直线关于x 轴对称的k,b 的规律。
）g x () = 2∙x + 2f x () = 2∙x 2◇[系统初始化]◇[显示网格线]◇[隐藏刻度线]◇[隐藏刻度值]◇[xy 等单位长]◇[切换成数轴]◇[还原坐标系]◇[改刻度字体]◇[操作控制台]探究2： 请画出直线y=2x-2关于y 轴对称的图像并求出解析式。
（学生自己先动手画图求解；老师再用几何画板演示，请同学上黑板板演求解析式的过程。
启发引导学生找出直线关于y 轴对称的k,b 的规律。
）y g x () = 2∙x 2f x () = 2∙x 2◇[系统初始化]◇[显示网格线]◇[隐藏刻度线]◇[隐藏刻度值]◇[xy 等单位长]◇[切换成数轴]◇[还原坐标系]◇[改刻度字体]◇[操作控制台]探究3：请画出直线y=2x-2关于原点对称的图像并求出解析式。
一次函数的对称性专题-教师版
一次函数的对称性专题1．关于一次函数21y x =-，21y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）A ．关于直线y x =-对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称【答案】B2．若一次函数(0)(0)y kx b x k =+≠≠与一次函数112y x =+的图象关于x 轴对称，则一次函数y kx b =+的解析式为 ． 【答案】112y x =-- 3． ①函数24y x =--关于1y =对称的直线函数解析式为________________；②函数24y x =--关于y x =对称的直线函数解析式为________________； ③一次函数y ax b =+的图象1L 关于直线y x =-轴对称的图象2L 的函数解析式是________________．【答案】①26y x =+；②122y x =--；③1b y x a a=+ 4．和直线53y x =-关于y 轴对称的直线解析式为__________________． 和直线2y x =--关于x 轴对称的直线解析式为__________________．【答案】53y x =--；2y x =+5．求一次函数21y x =+的图象关于原点对称图象的解析式．【答案】解：直线21y x =+关于原点对称的解析式为21y x =-．6．直线3y x =-与一次函数y kx b =+关于1x =对称，求k ，b ． 【答案】解：直线3y x =-与x ，y 轴交点分别为(3,0)，(0,3)-， ∴点(3,0)，(0,3)-关于直线1x =的对称点分别为(1,0)-，(2,3)-， ∴023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=-⎩．7．已知某一次函数的图象如图所示．（1）求这个一次函数的解析式．（2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式．【答案】解：（1）设一次函数的解析式为：y kx b=+，据图可知：直线经过(0,3)和(2,0)两点∴3002bk b=+⎧⎨=+⎩，解之得：332bk=⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴一次函数的解析式为：332y x=-+；（2）该直线关于y轴对称的直线解析式为：332y x=+．8．因为一次函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠互为“镜子”函数．（1）请直接写出函数32y x =-的“镜子”函数： ；（2）如果一对“镜子”函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠的图象交于点A ，且与x 轴交于B 、C 两点，如图所示，若ABC △是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式．【答案】解：（1）根据题意可得：函数32y x =-的“镜子”函数：32y x =--； 故答案为：32y x =--；（2）ABC ∆是等腰直角三角形，AO BC ⊥，AO BO CO ∴==，∴设AO BO CO x ===，根据题意可得：12162x x ⨯=， 解得：4x =，则(4,0)B -，(4,0)C ，(0,4)A ，将B ，A 分别代入y kx b =+得：404k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得：14k b =⎧⎨=⎩， 故其函数解析式为：4y x =+，故其“镜子”函数为：4y x =-+．9．如图，一次函数33y x =-+的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒；（1）如果点3P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，在第二象限内，试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值；（2）如果QAB △是等腰三角形并且点Q 在坐标轴上，请求出点Q 所有可能的坐标；（3）是否存在实数a ，b 使一次函数33y x =-+和y ax b =+的图象关于直线y x =对称？若存在，求出ab a b+的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）如图，过点P 作PD x ⊥轴于D ， 点3(,)P m 在第二象限内， 3PD ∴=，OD m =-， 令0y =，则330x -+=，解得1x =，令0x =，则3y =，∴点(1,0)A ，(0,3)B ，1OA ∴=，3OB =，由勾股定理得，22221(3)2AB OA OB =+=+=， 30ABO ∴∠=︒，AOB PDO AOPB PDOB S S S S ∆∆=+-四边形梯形，111)1()222m m =⨯-+⨯⨯-=+，∴四边形AOPB 的面积=； APB AOP AOPB S S S ∆∆=-四边形，112=-⨯，=+， 30ABC ∠=︒，tan302AC AB ∴=︒=122ABC S ∆∴=⨯=， APB ∆与ABC ∆面积相等，=， 解得56m =-， 故，当APB ∆与ABC ∆面积相等时，56m =-；（2）①点A 是顶角顶点，AB 是腰时，2AQ AB ==， 若点Q 在x 正半轴，则123OQ AO AQ =+=+=， 若点Q 在x 轴负半轴，则211OQ AQ AO =-=-=，若点Q 在y 轴负半轴，则OQ BO ==∴点Q 的坐标为(3,0)或(1,0)-或(0,， ②点B 是顶角顶点，AB 是腰时，2BQ AB ==，若点Q 在y 轴正半轴，则2OQ BO BQ =+=，若点Q 在y 轴负半轴，则2OQ BQ BO =-= 若点Q 在x 轴负半轴，则1OQ AO ==，∴点Q 的坐标为2)或2)或(1,0)-；③AB是底边时，若点Q在y轴上，则tan301OQ OA=︒==，若点Q在x轴上，则1OQ AO==，∴点Q的坐标为或(1,0)-，综上所述，QAB∆是等腰三角形时，坐标轴上点Q的坐标为(3,0)或(1,0)-或(0,或2)或2)或；（3）(1,0)A关于y x=的对称点为(0,1)，B关于y x=的对称点为0)，∴1bb=⎧⎪+=，解得1ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1aba b==+，===．。
一次函数的对称问题
一次函数的对称问题口江苏曹兆民刘军学习了平面直角坐标系后,经常会遇到一些求称的图象的解析式为一 ,一次函数图象关于原点对称的图象的解析式为 ? .对称点坐标的问题我们知道,点的对称主要有关于应用上面的结论.可以解决一些实际问题.轴对称、关于轴对称和关于原点对称。
而且符号变化规律为:关于轴对称,横坐标不变,纵坐标互倒我们设想用电脑模拟台球游戏.为简单起为相反数;关于轴对称,横坐标互为相反数,纵坐见,约定:①每个球袋视为一个点,如果不遇到障碍,标不变;关于原点对称,横坐标互为相反数,纵坐标各球均沿直线前进; 球击球,意味着曰球在互为相反数.而在学习了一次函数的图象性质后,也球前进的路线上,且日球被撞击后沿球原来的方出现了一些有关一次函数图象的对称的问题.现举向前进;③球撞击桌边后的反弹角度等于入射角度例说明. 如下图中的厶.如图、图所示,建立平面侧 , 求一次函数的图象关于轴对称直角坐标系.设桌上只剩下球 ,球 .的直线的解析式.分析:一次函数图象的对称问题一般可转化为图象上的两个点的对称问题.解:设所求的直线的解析式为:.在函数图象上取两点 , 和一 , ,则这两个点关于轴对称的点 ,一和一 , 一定图图在所求的直线上.如图 ,希望球撞击桌边上点后反由待定系数法,解得:后:一 , 一 .弹,再击中球 .请给出一个算法,告知电脑怎样找到故所求的直线的解析式为: 一一 .点,并求出点的坐标.一般地,对直线≠ ,其与坐标轴的如图 ,设桌边上有一球袋 , ., 厶 ,判断球被从点反弹出的球撞击后能否直接交点为 , , ÷, .若求直线关于轴的对称的\落入球袋中.直线,则这两点关于轴的对称的点 ,一 ,如图。
若用球直接击打球 ,球撞击、÷, 》一定在所要求的直线上.由待定系数法,可桌边上的点后反弹.问:球曰从点反弹后能否直接进入球袋中求得直线的解析式为: 一 ? .解:如图 ,作点关于轴的对称点 ,连 /同理可得:一次函数图象关于一轴的对号毒五誊礤巍成暴笈毒:在◇出版≮物理译快报上一、。
3.5.3 函数的周期性和对称性-(必修第一册) (教师版)
函数的周期性和对称性一函数的周期性1 概念对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.Eg：上图是三角函数f(x)=sinx的图像①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；②红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；(思考：4π是周期么)③整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？2 常见的结论①若f(x+a)=f(x+b)，则y=f(x)的周期是T=a−b.②若f(x+a)=−f(x)，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)，则y=f(x)的周期是T=2a.③若f(x+a)=1f(x)二函数的对称性1 函数图象自身的对称关系.①轴对称：若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2②中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a ,b ,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b 2,c2)对称.2 两个函数图象之间的对称关系 ① 轴对称若函数y =f(x)定义域为R ，则两函数y =f(x +a)与 y =f(b −x)的图象关于直线x =b−a 2对称.特殊地，函数y =f(a +x)与函数y =f(a −x)的图象关于直x =0对称. ② 中心对称若函数y =f(x)定义域为R ，则两函数y =f(a +x)与y =c −f(b −x)的图象关于点(b−a 2 ,c2)对称.特殊地，函数y =f(x +a)与函数y =−f(b −x)图象关于点(b−a 2,0)对称.3 周期性与对称性拓展① 若函数y =f(x)同时关于直线x =a ,x =b 对称，则函数y =f(x)的周期 T =2|b −a|；特殊地，若偶函数y =f(x)的图像关于直线x =a 对称，则函数y =f(x)的周期 T =2|a |；② 若函数y =f(x)同时关于点(a ,0) ,(b ,0)对称，则函数y =f(x)的周期 T =2|b −a|； ③ 若函数y =f (x )同时关于直线x =a 对称，又关于点(b ,0)对称 , 则函数y =f(x)的周期 T =4|b −a|；特殊地，若奇函数y =f(x)的图像关于直线x =a 对称，则函数y =f(x)的周期 T =4|a|.【题型一】函数的周期性【典题1】 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−92)=【解析】∵f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x(1+x)， ∴f (−92)=f (−92+4)=f (−12)=−f(12)=−12(1+12)=−34.【典题2】 设偶函数f(x)对任意x ∈R ，都有f(x +3)=−1f(x)，且当x ∈[−3 ,−2]时，f(x)=4x，则f(107.5)=．【解析】∵f(x+3)=−1f(x)，∴f(x+6)=−1f(x+3)=−1−1f(x)=f(x) ，∴函数f(x)是以6为周期的函数．∵当x∈[－3 ,－2]时，f(x)=4x，∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=−1f(2.5)=−1f(−2.5)=−14×(−2.5)=110．故答案为：110．【点拨】①在求值过程中，比如本题中求f(107.5)，先用函数周期性把107.5这个数值变小些，尽量向[－3 ,－2]靠拢.②函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向.巩固练习1(★★)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x+4)=−f(x)，且在[0 ,2]上单调递减，则() A．f(8)<f(11)<f(15)B．f(11)<f(8)<f(15)C．f(15)<f(11)<f(8)D．f(15)<f(8)<f(11)【答案】B【解析】∵f(x)为R上的奇函数，且满足f(x+4)=－f(x)，∴f(x)是以8为周期的函数，∴f(8)=f(0)，f(11)=f(3)=－f(－1)=f(1)，f(15)=f(7)=f(－1)，又f(x)在区间[0，2]上单调递减，∴f(－1)>f(0)>f(1)，即f(15)>f(8)>f(11)．故选：B．2(★★)已知f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[−1 ,1]时，f(x)=|x|，那么当x∈[−7 ,−5]时，f(x)=.【答案】|x+6|【解析】当x ∈[－7，－5]时，x +6∈[－1，1]． ∴f(x)=f(x +6)=|x +6|， 故选：C ．3(★★★)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f (x +1)=−f(x −1)，若f (−1)>1， f (5)=a 2−2a −4，则实数a 的取值范围是 . 【答案】 (−1 ,3)【解析】由f(x +1)=－f(x －1)，可得f(x +2)=－f(x)， 则f(x +4)=－f(x +2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4， 则f(5)=f(1)=a 2－2a －4，又∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－1)>1， ∴f(1)＜－1．∴a 2－2a －4＜－1，解得－1＜a ＜3． ∴实数a 的取值范围是(－1，3)．【题型二】函数图象自身的对称关系【典题1】定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称且对任意的实数x 都有 f (x )=−f(x +32)且f (−1)=1 ,f (0)=−2，则f(1)+f(2)+⋯+f(2014)= .【解析】∵f (x )=−f(x +32)， ∴f (x +32)=−f(x) , 则f (x +3)=−f(x +32)=f(x)∴f(x)是周期为3的周期函数．(确定周期后，接着求前三项和f(1)+f(2)+f(3)便可) 则f (2)=f (−1+3)=f (−1)=1 ,f (12)=−f (−1)=−1∵函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称，∴f (1)=−f (−52)=−f(12)=1∵f (3)=f (0)=−2 ∴f (1)+f (2)+f (3)=1+1−2=0∴f(1)+f(2)+⋯+f(2014)=f(1)=1【典题2】已知函数f(x)=2x 2x 2−4x+8，则( ) A ．函数f(x)的图象关于x =2对称B ．函数f(x)的图象关于x =4对称C ．函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称D ．函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称【解析】方法一 利用函数平移和奇偶性对于A 选项：若函数f(x)的图象关于x =2对称，则y =f(x +2)是偶函数， 而y =f(x +2)=2(x+2)2x 2+4不是偶函数，∴A 错误；对于B 选项，可以采取类似选项A 的方法排除；对于C 选项：若函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称，则则函数向左和向下均平移2个单位的函数关于原点对称，即y =f(x +2)－2是奇函数. 易得y =f(x +2)−2=2(x+2)2x 2+4−2=8xx 2+4是奇函数，∴C 正确；对于D 选项：若函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称，则函数向左和向下均平移4个单位的函数关于原点对称，即y =f (x +4)−4是奇函数.而y =f(x +4)−4=2(x+4)2(x+2)2+4−4=−2x 2(x+2)2+4不是奇函数，∴D 错误． 故选C ．方法二 利用函数自身的轴对称和中心对称关系利用函数自身的轴对称关系:若f(x +a)=f(b −x) , 则y =f(x)有对称轴x =a+b 2.对于A 选项：若函数f(x)的图象关于x =2对称，则有f(4−x)=f(x) 而f (4−x )= 2(4−x)2(4−x)2−4(4−x)+8=2(4−x)2x 2−4x+8≠2x 2x 2−4x+8=f (x ) ,∴A 错误； 对于B 选项：若函数f (x )的图象关于x =4对称，则有f (8−x )=f (x ) 而f (8−x )=2(8−x)2(8−x)2−4(8−x)+8=2(8−x)2x 2−12x+40≠2x 2x 2−4x+8=f (x ) ,∴B 错误；利用函数自身的中心对称关系：若f(a +x)+f(b −x)=c(a ,b ,c 为常数),则函数y =f(x)的图象关于点(a+b 2,c2)对称.对于C 选项：若函数f(x)的图象关于(2 ,2)对称，则f(x)+f(4−x)=4 易得f (x )+f (4−x )=2x 2x 2−4x+8+2(4−x)2x 2−4x+8=4，∴C 正确；对于D 选项：若函数f(x)的图象关于(4 ,4)对称，则f(x)+f(8−x)=8 而f(x)+f(8−x)= 2x 2x 2−4x+8+2(8−x)2x 2−12x+40显然不恒等于8，∴D 错误． 故选C ．方法三 取特殊值排除法对于A选项：f(0)=0， f(4)≠0，故函数f(x)的图象不可能关于x=2对称，排除A；对于B选项：f(0)=0，f(8)≠0，故函数f(x)的图象不可能关于x=4对称，排除B；对于D选项：f(0)=0， f(8)=165≠8，故函数f(x)的图象不可能关于(4 ,4)对称，排除D；故选C．【点拨】①从三种方法来说，显然大家觉得方法三有种秒杀的感觉，很爽，从应试的角度来讲是这样子的.从提高数学能力的角度，还是需要好好领会下方法一、二；②方法一需要理解抽象函数的平移变换：左加右减，上加下减，它充分体现了数形结合的力量；③方法一其实也是方法二的一种特殊情况的表现；对于函数自身的轴对称和中心对称关系(1) 轴对称:若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2.对于选项A，令a=b=2,有f(x+2)=f(2−x)，即证明f(x+2)是偶函数便可.(2) 中心对称:若函数y=f(x)满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a ,b ,c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 ,c2)对称.对于选项C，令a=b=2，c=4，有f(2+x)+f(2−x)=4⇒f(2+x)−2=2−f(2−x),即证明y=f(2+x)−2是奇函数.【题型三】两个函数图象之间的对称关系【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1 ,0)对称的是() A．y=lg(1−x)B．y=lg(2−x)C．y=log0.1(1−x)D．y=log0.1(2−x)【解析】设所求函数图象上任意一点P(x ,y)，则P(x ,y)关于(1 ,0)对称的点(2−x ,−y)在y=lgx上，即−y=lg(2−x)，所以y=−lg(2−x)=log0.1(2−x)故选：D．【典题2】下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是.【解析】设P(x ,y)为所求函数图象上的任意一点，它关于直线y=1对称的点是Q(x ,2−y)．由题意知点Q(x ,2−y)在函数y=2x的图象上，则2−y=2x，即y=2−2x．【点拨】这种涉及函数对称性、平移去求解析式的题，常用代入法.巩固练习1(★★)已知函数f(x)=ax+2x−6的对称中心为(b ,1)，则a=；b=．【答案】 1，6【解析】∵f(x)=ax+2x−6=a(x−6)+6a+2x−6=a+6a+2x−6，结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数f(x)的对称中心为(6，a)∵f(x)的对称中心为(b，1)，∴{b=6a=1故答案为：1，62(★★)【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么()A．f (2−x)=f (x)B．f (1−x)=f (1+x)C．函数y=f (x+1)是偶函数D．函数y=f (x−1)是偶函数【答案】ABC【解析】由f(x)的图象关于x=1对称可知，f(2－x)=f(x)，f(1－x)=f(1+x)，把函数f(x)的图象向左平移1个单位可得y=f(x+1)的图象，关于x=0对称，即为偶函数，把函数f(x)的图象向右平移1个单位可得y=f(x－1)的图象，关于x=2对称，故选：ABC．3(★★★)已知函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为() A．0B．1C．lna D．−1【答案】A【解析】函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，可得f(x)=f(2－x)，即lnx+ln(a－x)=ln(2－x)+ln(a－2+x)，即有lnx(a－x)=ln(2−x)(a−2+x)，可得x(a−x)=(2−x)(a−2+x)，即ax−x2=2(a−2)+(4−a)x−x2，可得2(a－2)=0，且a=4−a，解得a=2，可得f(x)=lnx+ln(2－x)，则f(1)=2ln1=0．故选：A．4(★★★)已知函数f(x)=ln x4−x，则()A．y=f(x)的图象关于点(2 ,0)对称B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称C．f(x)在(0 ,4)上单调递减D．f(x)在(0 ,2)上单调递减，在(2 ,4)上单调递增【答案】A【解析】x4−x>0，则函数定义域为(0，4)，f(1)=ln13，f(3)=ln3，即f(3)=－f(1)，有关于点(2，0)对称的可能，进而推测f(x+2)为奇函数，关于原点对称，f(x+2)=ln x+22−x，定义域为(－2，2)，奇函数且单调递增，∴f(x)为f(x+2)向右平移两个单位得到，则函数在(0，4)单调递增，关于点(2，0)对称，故选：A．5(★★)同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与y=21−x的图象() A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【答案】C【解析】∵y=21−x=(12)x−1可看做由y=(12)x的图象右移1个单位，而y=2x+1的图象可看做由y=2x的图象向左平移1个单位，且y=2x与y=(12)x的图象关于y轴对称，故函数y=2x+1与y=21−x的图象关于y轴对称．故选：C．6 (★★★)【多选题】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=−f(x)，且函数y=f(x−1)为奇函数，则()A．函数y=f(x)是周期函数B．函数y=f(x)的图象关于点(−1 ,0)对称C．函数y=f(x)为R上的偶函数D．函数y=f(x)为R上的单调函数【答案】 ABC【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，函数y=f(x)满足f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，A正确；对于B，y=f(x−1)是奇函数，则f(x−1)的图象关于原点对称，又由函数f(x)的图象是由y=f(x－1)向左平移1个单位长度得到，故函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，B正确；对于C，由B可得：对于任意的x∈R，都有f(−1−x)=−f(−1+x)，即f(－1－x)+f(－1+x)=0，变形可得f(－2－x)+f(x)=0，则有f(－2－x)=－f(x)=f(x+2)对于任意的x∈R都成立，令t=2+x，则f(－t)=f(t)，即函数f(x)是偶函数，C正确；对于D，f(x)为偶函数，则其图象关于y轴对称，f(x)在R上不是单调函数，D错误；故选：ABC．。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(解析版)
【详解】因为 f (x 1) 为偶函数，所以 f (x 1) f (x 1) ，所以 f (x 2) f (x) ， 因为 f (x 2) 为奇函数，所以 f (x 2) f (x 2) ，
所以 f (x 2) f (x) ，所以 f (x 4) f (x 2) f (x) ，
专题 05 函数周期性，对称性，奇偶性问题
一、结论（同号周期，异号对称.）
1、周期性：
已知定义在 R 上的函数 f (x) ,若对任意 x R ,总存在非零常数T ,使得 f (x T ) f (x) ,则称 f (x)
是周期函数, T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果 f (x a) f (x) ( a 0 ),那么 f (x) 是周期函数,其中的一个周期 T 2a
所以 f x 关于 3,0 对称，所以 f x f 6 x 0 ，
因为 f x f 2 x ， f x f 6 x 0 ，
所以 f 6 x f 2 x ，故 f x f x 4 f x 8 ，故 f x 的周期为 8，
因为 f x 关于 x 1 对称，关于 3,0 对称，所以 f x 关于 x 5 对称，
所以 f (x 2) f (x) ，从而 f (x 4) f (x 2) f (x) ， f (x) 是周期函数，且周期为 4，所以 f (2k 1) 0, k Z ， 因为 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，也关于点 (1, 0) 对称， 所以 f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称，所以 f (2) f (4) 0 ， 所以 f (2) f (3) f (4) f (5) 0 ，
所以 f (x) 是以 4 为周期的周期函数， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 0 ，得 f (2) f (2) ，则 f (2) 0 ， 又 f (1) f (2) 2 ，得 f (1) 2 ， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 1 ，得 f (1) f (3) ，则 f (3) 2 ， 由 f (x 2) f (x) ，令 x 2 ，得 f (4) f (2) 0 ， 则 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，
函数的对称性教案学案
五、特别注意我们在上面的研究中，蕴含了对定义域的一定要求。
但是有时这个定义域的要求却要特别提出来。
比如平移变换中，两个函数的定义域也是可以通过平移互相得到。
对称变换中，定义域必须也满足相应的对称关系。
如果定义域不满足对应关系，后面的关系式也就没有了意义。
六、函数性质判断技巧①2)()1(=++x f x f ②)()2(x f x f -=+③)2()2(x f x f -=+ ④)()4(x f x f --=+ ⑤)5()3(x f x f -=+ ⑥)5()3(x f x f --=+ ⑦2)()1(=-++x f x f①②括号里的x 前面的符号相同，都是正，由此可以退出函数的周期性。
③⑤括号里的x 前面的符号相反，但是等号两边的f 前面的符号相同，可以推出关于某条直线对称。
④⑥括号里的x 前面的符号相反，等号两边的f 前面的符号也不相同，可以推出关于某个点对称。
⑦先把两个f 分到等号的两边去，再去应用上面的规律。
七、定义域、值域与图象)(x f 与)1(+x f 的定义域和值域是什么关系？若)(x f 的定义域是（1,2），值域为（2,4）那么)1(+x f 的定义域为（0,1），值域仍为（2,4）。
)(x f 与)1(+x f +2的定义域和值域是什么关系？若)(x f 的定义域是（1,2），值域为（2,4），那么2)1(++x f 的定义域为（0,1），值域为（4,6）。
八、习题1、若点）（b a ,在lg y x = 图象上，a ≠1,则下列点也在此图象上的是 （ ）（A ）（a 1，b ） (B ) )1,(10b a - (C) (a10,1+b ) (D))2,2b a （ 分析：2lg lg 22,lg a a b a b ===则.故选D.2、已知函数)(x f 的图象与函数21)(++=xx x h 的图象关于（0,1）对称，求)(x f 解析式。
解：由题意可知：2)()(=-+x h x f ，则x x x x x h x f 1212)(2)(+=⎪⎭⎫⎝⎛+---=--= 即解析式为xx x f 1)(+=.)6()(-=xfxf，4>x周期为６，所以1)1()5()2009(=-==fff.答案为C.24、已知定义在区间上的函数的图象如图所示,则的图象为（）分析：)(xf图象上任意取一个点),(yx，有)(xfy=，令)2()(xfxg--=，则)()2(yxfxg-=-=-，即),2(yx--在)2(xf--图象上，而),(yx和),2(yx--关于)0,1(这个点对称。
第6讲 一次函数与几何综合(一)(教师版)
知识总结
经典例题1
2
如图，在平面直角坐标系中，
D.
题型：一次函数与动点问题
3
如图，在直角坐标系中有线段轴的距离分别为和，点到
的周长最短时，则这个值
D. 1
如图，点
2
在直角坐标系中，点
的最小值，
1
在直角坐标系中，有点
函数
>平面直角坐标系>坐标系综合>题型：坐标系中的平移
在平面直角坐标系中，
两点的坐标分别为2若点的坐标为，当
时，(1)若点
的坐标分别为
、
，则当
(2)(1)(2)
如图，过点作关于轴的对称点，连接
则
与轴的交点即为点的位置，
∵点的坐标为，∴点的坐标为，
设直线
的解析式为，则
，
解得，即直线
的解析式为
，
∵点的坐标为，且点在直线
∴
．
(1)
知识总结
经典例题
1
在平面直角坐标系中，已知
2
已知直线：
1
如图，2
已知直线
1
在直角坐标系中点
2
在平面直角坐标系中，点
题型：坐标与距离
D.
交轴于，交轴于，连接
的值最小，根据对称的性质，，
，，，
，
．
所在的直线为轴、轴，建立如图所示
函数>一次函数>一次函数基础>题型：一次函数图象与性质平面直角坐标系中，点的坐标是，点在直线上，且
题型：一次函数与动点问题
经过原点，与线段交于点，且把
点的坐标．
1
在平面直角坐标系中有两点
2
如图，已知。
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一次函数的对称性专题-教师版
8.因为一次函数y=kx+b与y=-kx+b(k≠0)的图像关于y轴对称，所以我们定义：函数y=kx+b的对称函数为y=-kx+b。
(1) 首先，根据题意，函数y=3x-2的“镜子”函数为y=-3x-
2.因此答案为y=-3x-2.
其次，根据题意，一对“镜子”函数y=kx+b与y=-
kx+b(k≠0)的图像交于点A，且与x轴交于B、C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且它的面积
是16，求这对“镜子”函数的解析式。
我们可以先求出三角形ABC的三个顶点坐标：B(-4,0)，
C(4,0)，A(0,4)。
将B、A分别代入y=kx+b得：
-4k+b=0，b=4
k=1
因此，函数的解析式为y=x+4，其“镜子”函数为y=-x+4.
(2) 如图，一次函数y=-3x+3的函数图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°。
首先，我们可以求出三角形ABC的三个顶点坐标：
A(1,0)，B(0,3)，C(1,2)。
(1) 我们可以通过向量的方法求出△ABC的面积：
设向量AB为a，向量AC为b，则△ABC的面积为|a ×
b|/2.
a =。
b =
a ×
b = 1×2 - 3×0 = 2
|a × b| = 2
因此，△ABC的面积为1.
接下来，我们可以求出点P在直线y=-3x+3上的坐标，设其为P(m。
-3m+3)。
将P代入向量AP和BP的长度公式中，得到：
AP^2 = (m-1)^2 + (-3m+3)^2
BP^2 = m^2 + (-3m)^2
因为∠ABC=30°，所以AP^2 = 3BP^2.
代入上面的式子，解得m = -2/3.
因此，点P的坐标为(-2/3.7/3)。
接下来，我们可以通过向量的方法求出四边形AOPB的面积：
设向量AP为a，向量BP为b，则四边形AOPB的面积为|a × b|/2.
a =。
b =
a ×
b = (-2/3)×3 - 7/3×1 = -5
|a × b| = 5/3
因此，四边形AOPB的面积为5/3.
当△APB与△ABC面积相等时，有：
S△APB = S△ABC
1/2×AP×BP×sin∠APB = 1/2×AB×BC×sin∠ABC
代入已知的数据，解得m = -1/3.
(2) 如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，根据题意，点Q的坐标为(-3.-3)或(3.-3)。
(3) 如果存在实数a，b使一次函数y=-3x+3和y=ax+b的图像关于直线y=x对称，那么必须满足：
a = -3 + b
b = a + 3
解得a = 3/2，b = 3/2.。