等比数列经典故事
数学故事等比数列的求和
数学故事等比数列的求和一、等比数列求和故事引入。
传说国际象棋是由古印度的宰相西萨·班·达依尔发明的。
当时的国王想要奖赏他，就问他想要什么。
这位聪明的宰相说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3个小格里给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。
请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求很容易满足，就命令给他这些麦粒。
当人们开始计算时，才发现这是一个非常巨大的数量。
二、等比数列的概念回顾（针对初学者）1. 等比数列定义。
- 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)。
- 例如数列1,2,4,8,16,·s就是一个等比数列，公比q = 2。
2. 等比数列的通项公式。
- 等比数列{a_n}的通项公式为a_n=a_1q^n - 1，其中a_1是首项，n是项数。
三、等比数列求和公式推导。
1. 设等比数列{a_n}的首项为a_1，公比为q，其前n项和为S_n，则S_n=a_1+a_1q + a_1q^2+·s+a_1q^n - 1。
- 当q = 1时，这个等比数列是常数列，a_n=a_1，那么S_n=na_1。
2. 当q≠1时：- 我们给S_n=a_1+a_1q + a_1q^2+·s+a_1q^n - 1两边同时乘以q，得到qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+·s+a_1q^n。
- 然后用S_n减去qS_n，即S_n-qS_n=a_1-a_1q^n。
- 因为S_n(1 - q)=a_1(1 - q^n)，所以S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}。
四、回到故事中的计算。
在国际象棋的故事里，a_1=1，q = 2，n = 64。
根据等比数列求和公式S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}，可得S_64=frac{1×(1 -2^64)}{1 - 2}=2^64-1。
国际象棋与等比数列
实际上，这些麦粒的和是 18446744073709551615，大约140万亿 公升。这么多的麦子，全世界大约两千 年才能生产出来。如果造一个高4米，宽 10米的仓库来放这些麦子，那么仓库的 长度能够从地球修到太阳，再从太阳修 回来
定义： 如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的比等于 同一个常数，这个数列就叫 做等比数列等比数列康晓雪2007年12月
传说古代印度有一个国王喜爱象棋，中国智者云 游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者 与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了，我将答应你 的任何要求。”智者心想：我应该治一治国王的傲慢， 当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满 棋盘上的所有空格，第1 格1粒，第2格2粒，第3 格4 粒 ……，以后每格是前一格粒数的2 倍。”国王说 ： “这太简单了。”吩咐手下马上去办。过了好多天， 手惊慌地报告国王：“不好了……”。你猜怎么啦？原 下 来经计算，印度近几十年生产的所有麦子加起来还不 够。
关于等比数列的趣味故事
关于等比数列的趣味故事数学不仅是一门严肃的学科，它也可以成为一种趣味，一种乐趣。
在数学中，等比数列是一种常见且有趣的数列。
让我们一起来听一个关于等比数列的趣味故事。
从前，有一个名叫小明的小男孩。
小明非常聪明，对数学有着浓厚的兴趣。
一天，他在数学课上学习到了等比数列。
老师告诉他，等比数列是一种具有特定规律的数列，每一项都是前一项乘以同一个常数。
小明很感兴趣，决定回家后进一步研究等比数列。
当晚，他打开了电脑，开始搜索与等比数列相关的题目和信息。
然后，他找到了一个有关等比数列的趣味故事，并开始仔细阅读。
故事开始了——从前，有一个国家，名叫数字国。
在这个国家里，数学是最受欢迎的科目。
国家的国王非常热爱数学，并且擅长解决各种数学难题。
有一天，国王发现一个神奇的手表。
这个手表可以计算等比数列的每一项，并将结果显示在屏幕上。
国王非常兴奋，他决定将这个手表分享给国家的小学生们，以增加对等比数列的理解和兴趣。
于是，国王召集了全国各地的小学生来到皇宫。
他向孩子们介绍了这个神奇的手表，并解释了等比数列的概念和特点。
国王告诉孩子们，手表闪闪发光的屏幕上，会显示出一些数字。
这些数字实际上就是等比数列的各项。
国王给每个孩子都分发了一本习题册，里面包含了许多等比数列题目。
孩子们非常兴奋，纷纷翻开习题册，开始计算等比数列的各项。
他们将结果输入到手表上，手表屏幕上显示的数字不断更新，孩子们陷入了热烈的讨论中。
国王看到孩子们如此专注和兴奋，非常高兴。
他知道，通过这样的趣味活动，孩子们将更加深入了解等比数列，并从中体会到数学的乐趣。
随着时间的推移，孩子们逐渐理解了等比数列的规律和特点。
他们在手表上输入的数值越来越准确，解题的速度也越来越快。
最后，国王举行了一次庆祝会，表彰了那些在等比数列活动中表现出色的小学生。
他们获得了勋章和奖品，被全国人民称为“等比数列的勇士”。
故事到此结束了——小明读完这个趣味故事，对等比数列更加感兴趣了。
他意识到，数学可以通过趣味的方式来学习，使人们更加享受数学的乐趣。
等比数列的概念及其通项公式
在
等比数列an
中
，
始
终
有
an1 an
q
例1 判断下列数列是否为等比数列：
（1）1，1，1，1，1；
（2）0，1，2，，4，8；
（3）1, 1 , 1 , 1 , 1 2 4 8 16
例2 求出下列等比数列中的未知项：
(1)2, a,8;
(2) 4,b, c, 1 2
练习：课本 P48 1~3
一、新课引入
1、小故事：国际象棋源于古代印度，国王为奖 励发明者，答应他的任何要求，发明者说：“请 在棋盘的第一个格子放1颗麦粒，在第2个格子放 2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子 放8颗麦粒，依此类推，每个格子都是前面格子 的2倍，直到64个格子。请给我足够的粮食实现 上述要求。”你认为国王能满足他的要求吗？
印度国王奖赏国际象棋发明者的实例，得 一个数列：
1,2,22 ,23 ,,263
2、镭的半衰期是1620年如果从现在开始有的 10g镭开始，那么每隔1620年，剩余两依次为：
10,10 1 ,10 ( 1 )2 ,10 ( 1 )3 ,10 ( 1 )4 ,.....
2
2
2
2
3、某人年初投资10000元，如果年收益率是
5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依
次为：
100001.05,100001.052, ,100001.055
思考：与等差数列相比，上面的数列有什 么特点？
二、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的公比，公比通常用字母q表示。
012
n1
等比数列规律
等比数列规律《等比数列规律：隐藏在数字中的神奇魔法》我想给你讲个特别有趣的事儿，那就是等比数列的规律。
你可别一听数列就觉得头疼，等比数列就像一场数字的神秘之旅。
咱先从简单的说起。
想象一下，你有一颗种子，这颗种子第一天长出了2片叶子，第二天这2片叶子各自又长出2片新叶子，那就是4片叶子，第三天这4片叶子又各自长出2片，就变成8片叶子。
这个2、4、8就是一个等比数列。
这里的2就是这个数列的公比，就像一个小魔法数字，每一项都是前一项乘以这个2得到的。
这是不是很神奇？你看，从小小的种子，就发展出这么一个有规律的数字增长。
等比数列就像一个无限循环的故事。
比如说3、6、12、24……这个数列的公比是2。
每一个数字就像故事里的一个情节，不断按照这个公比的规则发展下去。
要是把这个数列画在纸上，你会发现它就像一个越爬越高的梯子，数字越来越大。
你难道不觉得这很像我们的生活吗？有时候一个小小的开始，通过一个稳定的增长规则，就会变成很大的成果。
再看看1、 -2、4、 -8……这个等比数列的公比是 -2。
这时候就有点像坐过山车了，数字一会儿正一会儿负，一会儿往上一会儿往下。
它不像前面那些数列一直往一个方向增长，而是有正有负地变化着。
这就像我们的情绪一样，有时候高涨，有时候低落，但是也有着自己的规律。
在等比数列里，我们还能发现一些很有趣的计算方法。
假如知道了等比数列的第一项和公比，那后面的数字就像多米诺骨牌一样，很容易就能算出来。
比如说第一项是5，公比是3，那第二项就是5乘以3等于15，第三项就是15乘以3等于45。
这多简单呀，就像按照菜谱做菜一样，一步一步来就好。
那等比数列在生活中有什么用呢？其实用处可大了。
就拿存钱来说，假如你每年把钱按照一定的比例增加存进去，那这个钱数的增长就可能是一个等比数列。
还有细胞分裂，一个细胞每次分裂成几个，随着时间的推移，细胞的数量增长也是一个等比数列。
这就像是大自然在悄悄使用等比数列这个神奇的工具呢。
等比数列求和——棋盘上的麦粒
等⽐数列求和——棋盘上的麦粒根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：请您在棋盘的第⼀个格⼦⾥放1粒麦⼦，第⼆个格⼦⾥放2粒，第三个格⼦⾥放4粒，第四个格⼦⾥放8粒，以此类推，直到最后⼀个格⼦，第64格放满为⽌。
、赏给我这么多数⽬的麦粒，我就⼗分满⾜了．国王觉得这个要求不⾼，就欣然同意了． 然⽽等到麦⼦成熟时，国王才发现，全印度的麦⼦竟然连棋盘⼀半的格⼦数⽬都填不满． （《第七封印》）现在我们来帮助国王计算⼀下，想要填满64格棋盘，到底需要多少麦粒。
实际上这是⼀个等⽐数列求和问题。
棋盘的第⼀格只需要麦粒a1=1，第⼆个需要麦粒a2=2，第3格a3=4，等等，这些麦粒的数量构成⼀个⾸项a1=1，公⽐q=2的等⽐数列。
那么要求64格棋盘的总麦粒数。
再观察对⽐这两个等式，发现它们有很多相同的指数幂，所以可以把两个等式相减来化简，我们⽤2式减1式，等号左边相减，2S64-S64，等号右边相减，这些相同的指数幂会消掉，最后留下来的，只有264，减去1.所以能得到棋盘上的总麦粒数S64，等于264-1，这是⼀个天⽂数字，相当于全世界2000年的⼩麦产量。
上⾯计算麦粒的⽅法，对任何⼀个q不等于1的等⽐数列求和，都是适⽤的。
等⽐数列的前n项和Sn，=a1+a2+...+an，我们⽤a1和q来表⽰。
错位相减法不仅适合于等⽐数列的求和，更多的时候，如果⼀个数列的通项形式，可以表⽰成，⼀个等差数列与⼀个等⽐数列的乘积时，那么都可以⽤错位相减法来求前n项和。
⾄于等⽐数列想要求和，只要直接套公式就可以。
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百⼋⼗⼀，请问尖头⼏盏灯？”意思是：⼀座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中，下⼀层灯数是上⼀层灯数的2倍，则塔的顶层共有⼏盏灯？每层塔所挂的灯的数量形成⼀个等⽐数列，公⽐q=2，我们设塔的顶层有a1盏灯。
7层塔⼀共挂了381盏灯，S7=381，按照等⽐求和公式， 那么有a1乘以1-2的7次⽅，除以1-2，等于381.能解出a1等于3. 尖头必有3盏灯。
关于等比数列的趣味故事
关于等比数列的趣味故事在很久很久以前，有一个叫做小明的少年，他对数学特别感兴趣。
有一天，他在数学课上学习到了等比数列的概念，他觉得十分有趣。
小明回家后就开始思考等比数列的特点，他发现等比数列中每一项与它前一项的比值都是相等的。
他想通过一个趣味故事来解释这个概念。
故事是这样的：从前有一只名叫小乌龟的动物，它每天都在一条弯曲的小路上行走。
小乌龟的步伐非常特别，它每走一步的长度都是前一步的两倍。
比如，小乌龟第一步走了1米，那么第二步就会走2米，第三步就会走4米，依此类推。
小乌龟每天都坚持在这条路上行走，有一天，小乌龟遇到了一只名叫小兔子的快乐动物。
小兔子每天都在小路上奔跑，速度非常快，每分钟跑的距离也是前一分钟的两倍。
小乌龟和小兔子一起在小路上行走，他们发现自己的速度正好符合等比数列的规律。
小兔子每分钟跑的距离与上一分钟相比是等比数列，而小乌龟每步走的距离与上一步的比值也是等比数列。
他们一边行走一边谈论着数学，小兔子告诉小乌龟，等比数列在生活中有很多有趣的应用，比如利滚利这个概念就是等比数列在经济中的应用之一。
小乌龟听得津津有味，他觉得等比数列不仅仅是理论上的概念，更是生活中常见的运用方式。
于是小乌龟和小兔子一直在小路上行走，谈论着数学中的等比数列，它们的友谊也因此更加深厚。
从此以后，他们成为了数学和生活中的好朋友。
通过这个趣味故事，小明深深理解了等比数列的概念，他觉得数学并不枯燥，而是充满了趣味和乐趣。
因为数学不仅仅是一堆数字和符号，更是隐藏着无穷乐趣和智慧的宝藏。
小明从此以后更加热爱数学，他希望通过自己的努力和探索，能够在数学的世界中发现更多有趣的故事，让数学之美真正展现在他的眼前。
正如小乌龟和小兔子一样，小明也愿意坚持不懈地在数学的道路上前行，探索更多有趣和美好的数学世界，让自己的生活充满乐趣和智慧。
等比数列
小结：
na1 , (q 1), S n a1 (1 q n ) 1 q , (q 1).
na1 Sn a1 an q 1 q
等比数列的前n项和
q 1 q 1
9．课后作业，分层练习
必做： P58练习1、 选作：思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
1 q Sn a1 a1q ,
n
当q≠1时， 当q=1时，
a1 1 q Sn 1 q
n
Sn na1
于是
na1 , (q 1), S n a1 (1 q n ) 1 q , (q 1).
na1 , (q 1), S n a1 (1 q n ) , ( q 1 ) . 1 q n 1 又因为 an a1q n n a a q a a q 1 n a1 1 q 1 1 所以 S n 1 q 1 q 1 q
－ －
1 - 264 S64 = = 264 - 1 ≈ 1.84 1019 （粒） 1- 2 约7000亿吨
变式 4：在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝22，则 a1 的值 等于( D ) A．－2 C． 1 B．－1 D．2
解析：∵S5＝22，q＝－2， a1[1－－25] ∴ ＝22， 1－－2 ∴a1＝2.
＋ ＋1
＝(1－n)· 2n＋1－2， ∴Sn＝(n－1)· 2n＋1＋2.
2n－1 1 3 5 7 变式 5：求数列2，4，8，16，„， 2n 的前 n 项和．
1 1 1 1 分析:本题中的数列是由数列 1,3,5,7，„与2，4，8，16，„ 的各项对应相乘得到的，前面的数列是等差数列，后面的数列 是等比数列，可用错位相减法求和．
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等比数列经典故事
根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宗师，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宗师开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求．这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18、446、744、073、709、551、615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。
其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。
假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18、446、744、073、709、551、615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。
就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。
这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。
”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐（没有麦子）。