抽象代数学习心得
我对抽象代数的认识
漫谈抽象代数你若是没有认真看过代数,你就不能准确地估计数学到底有多么深刻;你若是没有认真看过代数,你也不能明白为什么抽象的理论也能为人类思维所把握——代数中最不可理解的就是,代数竟然是可以理解的。
代数的深刻来自数学思想,而不是运算——论运算,微分和积分都比它复杂得多,这就是物理大师Feynman选择矩阵而不是偏微分方程来给低年级本科生讲述量子力学的原因(参阅Feynman物理学讲义卷III,赵凯华的新概念量子物理也用的是这种讲法:因为矩阵和代数运算更接近高中数学,几乎每个读过物理奥赛书的同学都会用行列式求解电路的基尔霍夫方程组——奥赛总是尽量回避微积分,必要的时候就用“小量分析”代替,并且取名为“微元法”、“近似法”,但就是不说这是微积分)。
其实,运算的艰深算不得深刻,至多只能算繁琐(譬如电力系统和集成电路,分析和运算极其复杂,但用到的不过是普通物理和固体物理之类的低级知识,根本用不上相对论、量子力学、量子场论这类思想深刻的东西)。
它没有几何那么直观(因此许多人不喜欢它,嫌它太抽象),确实(对于物理学家来说),但换个角度来看,这反倒是它的优点:一方面,在它的世界里,你不必担心自己的空间想象能力(和你的同行相比,你的逻辑推理能力恰好可以弥补空间想象能力的不足);另一方面,就数学本身而言,人类总是不可避免要面对一些高维(甚至无限维)的客体,这时,不仅你想象不出来,其他人也想象不出来,这正是代数大显身手的地方。
有人说,抽象有什么好,我想象不出来。
其实你那是先给自己灌输了一个错误观念,即一个事物只有当它可以想象出来才是真实的,才能接受。
为什么非要想象出来呢?只要依循着逻辑一步步严密地推理就足够了,因而这种担心完全是不必要的。
所以,你可以把数学看得很神圣,但不要把它看得很神秘——望而生畏会阻碍你的进步。
代数的魅力就在于,深刻又易于思考,哪怕你对研究对象一无所知,也能依循着逻辑去思考——它那么简单,简单到只需要逻辑(除此之外再也不需要别的了)就能把握真理(你必须相信,纯理论可以主宰世界);但它的思想又那么深刻,深刻到所有几何都能统一用变换群来描述。
抽象代数学习心得（共5篇）
抽象代数学习心得（共5篇）第一篇：抽象代数学习心得The Learning Experience Of Abstract Algebra抽象代数学习心得When I contacted with abstract algebra firstly,I felt like such a course was very difficult for me, because the material is written in English, each one strange English word brought me a lot of pressure.Especially in the class, I feel that I can't keep up with the teacher.Because before unstanding the definition during my study, I have to translate the English words back to the Chinese in my mind, so it greatly reduced the efficiency of my study and it has become one of the biggest difficulties in my learning abstract algebra.当我刚开始接触抽象代数这么课程时，我感觉这么课程对我来说是很困难的，因为教材是全英文撰写的，一个个陌生的英语词汇给我带来了很大的压力。
尤其在课堂上，我感觉我完全不能跟上老师思路。
因为我在学习过程中在理解和思考定义之前，我必须将英文词汇的意思在脑海中翻译回中文，这样大大地降低了我学习的效率，因此成了我学习抽象代数中的最大困难之一。
When I was thinking about how to solve the difficulties, I think back to the reference books which the teacher had recommended to us, so I found some reference books about abstract algebra in the school library.After reading these books, they make me feel relaxed studying of abstract algebra.Because these reference books are in Chinese and they eliminated the ambiguity of understanding the definition or theorem which caused by I was not familiar with the English.Before class, I will see a Chinese reference book first, and then looking at the teaching material which written in English, it will make me feel much easier to understand the teaching material content.在我思考怎样解决这个困难的时候，我回想到老师向我们推荐的参考书，于是我在学校图书馆找到了一些关于抽象代数的参考书。
近世代数学习心得论文(中文英文对照)
近世代数学习心得《抽象代数》是一门比较抽象的学科，作为初学者的我感到虚无飘渺，困难重重。
我本来英语学的就不好，看到全英的《近世代数》我似乎傻眼了。
通过两个月的学习，发现它还是有规律有方法的。
针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。
多看多做，举一反三。
比如群论里面有一个最基本的问题就是n阶有限群的同构类型有多少。
围绕这个问题可以引出很多抽象的概念，比如元素的阶数，abel群，正规子群，商群，Sylow定理等，同时也会学到如何把这些理论应用到具体的例子分析中学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。
要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。
其次是通过变换角度寻求问题的解法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等先参考着答案做题，然后自己总结方法思路，自己就开始会做了。
问题在是否善于总结归纳。
以前学代数的时候从来没有意识到代数是门很抽象的学科，总在练习的过程中靠点小聪明学过来，也由于这段路一直走得非常平坦，我从来没停下来去想想其本身的理论体系的问题。
现在想想，也许这就是我一直停留在考试成绩一般，却难以有所作为的原因吧。
所以有时走得太快可能未必时间好事。
很可惜现在才了解到这一点，同时也还算幸运，毕竟人还在青年，还来得及改正Modern Algebra learning experience "Abstract Algebra" is a more abstract subjects, as a beginner , I feel vague , difficult. I had to learn English is not good to see the UK 's "Modern Algebra" I seem dumbfounded. Through two months of the study, it is found that there is a regular method .For the " Modern Algebra " course abstract concept , difficult to understand the characteristics , I believe that an effective way to understand the concept is to have learned to cite a typical example . See more and more , by analogy . Such as group theory which has a fundamental problem is a finite group of order n is isomorphic to type numbers . Around this problem can lead to many abstract concepts , such as the order of elements , abel group , normal subgroups , quotient groups , Sylow theorems , etc. , but also learn how to put these theories to the analysis of specific examples to learn " Modern Algebra ", it is just back down a number of propositions , properties and theorems , does not mean that truly understand. To truly understand the need to clear these propositions , properties and theorems prerequisite Why is necessary ? To achieve this purpose the most effective way is to construct counterexample.Followed by changing the angle seek a solution, usually known or unknown to the more complex problem is converted into an equivalent simpler problem , or is transformed into a new problem has been solved , or is unknown with the known relations fewer problems become more known and unknown relationship problems, etc.Do question the answer to the first reference , and then summarize their way thinking that he began to do it. Whether good at summarizing the problem . Previously learned algebra algebra is never realized when the door is very abstract subject , always in the process of practice by learning a little smarter over, but also because this section has gone very flat , I never stopped to think about their own theoretical system problems . Now think about it , maybe this is what I have been stuck in test scores in general, but the reason it is difficult to make a difference . So sometimes a good thing going too fast may not be time . Unfortunately now I understand this, but also lucky , after all, people are still young , still have time to correct。
近世代数教学中的几点体会
为 Ｇ的正规子群。 介绍完这一定义可举例 ｛ （ １ ） ， （ １ ２ ３ ） ， （ １ ３ ２ ） ｝ 是Ｓ ， 的
完成成绩（ ５ ０ ％） 、 理论考试成绩 （ ３ Ｏ ％） 和课程论文成绩（ ２ Ｏ ％） 。 发学生 的学 习兴趣和参与意识 ，并对他们未来 的择业也能够起到指 ２ ． ３ ． １ 项 目完成成绩 主要考核学生综合运用虚拟现实技术的能力 引方向的作用 ； 以及识读复杂机 电设备 图纸 的能力 ， 占综合成绩 的 ５ ０ ％， 其 作用是从 ４ ． ２基于“ 项 目驱动教学法” 开展教学 ， 对教师提出了很高的要求 。 知识 、 能力与素质 三方面对学生综合考查。项 目完成成绩包括学生参 首先 ， 教师必须具备全方位 的专业知识方 面， 同时还必须具备项 目策 划、 组织实施和教学效果合理评估等多方面的能力。 加项 目的出勤记录 、 项 目执行的效果和课堂表现等内容 ； ２ ． ３ ． ２理论考试成绩是机 电专业主修理论课程的笔试成绩 ，占综 参 考 文 献 合成绩的 ３ ０ ％， 其作用是对学生掌握的理论知识做出评价 ， 从而体现 【 １ 】 马玲玲． 项目 驱动教 学法培 养学生 自主学 习能力研 究［ Ｊ ］ ． 山西广播 电视 大学学报， ２ ０ １ ０ （ ２ ） ： ５ ４ — ５ ５ ． 教学评价过程 的客观公平性 ； ２ ． ３ ． ３ 课 程论文成绩 占综合成绩的 ２ ０ ％， 要求机 电专业学生对 以 ｆ ２ １ 潘志国， 杜宏伟． 《 ｕ Ｇ Ｎ Ｘ机械 产品设计》 课 程项 目化教 学的改革研 Ｊ １ ． 科 技视 界 ， ２ ０ １ ６ （ １ ８ ） ： ４ ０ － － ４ ７ ． 完整体系的形式对本专业领域知识进行描述 ，课程论文侧 重于评价 究［ 学生 的思考能力和继续学习能力 。 通过项 目完成成绩 、 理论考试成绩 ｆ ３ １ 武鞲． “ 项 目导入任务驱动” 教 学法在高职计算机应 用技术专业教 Ｄ 】 ． 武汉： 华中师范大学， ２ ０ １ １ ． 和课程论文成绩 的考核 ，可以使评价体系呈现多层次和全方位 的特 学 中的应用［ 蔡增 玉， 张启坤， 甘 勇等． 面向卓越工程师培养的多媒体技术教 学改 点， 从而有助于获得公正 、 客观的评价结果 。 ３ 教 学 效 果分 析 革『 Ｊ １ ． 新 乡学院学报， ２ ０ １ ６ （ ６ ） ： ７ ０ － ７ ２ ． 基于虚拟现实技术的项 目驱动教学实践表 明，学生识读复杂机 同张栋， 苏晓强． 开放模 式的软件 工程 实践教 学探 索叨． 计算机教 育， 械产品的能力得到 了显著地提高 ，主动获取 知识解决复杂 问题 的愿 ２ ０ １ ６ ￣ ） ： １ ４ ９ － １ ５ ３ ． 望增 强 。其 中， 参加项 目的邓键玲 、 钟春荣 、 吴金泉等学 生 ， 她们 在 『 ６ １ 何剑 民， 郭红艳 ． “ 案例项 目驱动教学法” 在计算机教 学 中的应用【 Ｊ 】 ． ２ ０ １ ０年第一次参加全 国三维数字化创新设计大赛就获得了二等奖 ， 福 建电脑， ２ ０ １ ０ （ １ ） ： １ ８ ８ － １ ８ ９ ． 基金项 目 ： 柳州职业技 术学院教 改立项基金 资助（ 院教 改 ２ ０ １ ０ － 而且这些学生毕业后 ， 基本都工作在技术岗位 。 这说明基于虚拟现实 技术 的项 目驱动教学法可 以培养 出企业认可的人才 。
《抽象代数》课程的一些体会
《抽象代数》课程的一些体会邓少强（数学系）近几年，我担任了我院非数学专业课程《抽象代数》的主讲任务。
由于该课程是我院非数学专业课程总体改革的重要一环，院领导和各相关人员对本课程都非常重视。
通过几年的教学实践，我在教学方法、手段等方面都积累了一定的经验。
下面谈谈自己的体会，与大家分享。
首先，一门课程是否成功，准确的定位是关键之一。
课程开始之前，我们碰到的第一个问题就是，这门课程到底要讲到什么程度。
《抽象代数》本来是数学系传统课程之一，并不将数学专业与其他专业分开来上，后来由于其他专业计算机等课程的增加，才将这门重要的课程从非数学专业的教学计划中删去。
这样做的好处自然是可以开设更多更“现代”的课程。
但是时间一长，问题就接踵而至。
由于受到的数学训练不够，本院非数学专业的很多学生基础不够扎实，进一步学习的能力不强。
最明显的表现就是，连续几届考研，我院报考本校的很多学生的成绩还比不上一般的师范类大学的学生；而报考经济类专业的一些学生，其《高等数学》的成绩比不上经济类专业的学生。
正是由于这一原因，我院才下定决心，重新在非数学各专业中开设传统的数学课，如《实变函数》、《泛函分析》、《微分方程》等。
但是，恢复开课并不意味着可以将以前数学专业对应课程的教材、内容或者教学方法照搬。
因为这些专业的学生，无论基础、能力或者学习的兴趣等方面，毕竟与数学专业的学生大不相同。
因此，本课程必须力求适合这些学生的具体情况，既要达到加强学生的基础和训练学生的抽象思维能力的目的，又不能把目标定的太高，使学生望而生畏。
举一个最简单的例子来说，我国出版的抽象代数的教材就没有一本适合本课程。
传统教材大都求多、求全，习题力求设计得有难度和深度，讲法务必严格，有的甚至以其讲法抽象为荣。
当然，这样的教材对于数学专业的学生而言是有好处的，因为他们将来的工作要求他们必须具有十分坚实的学科基础和相当强的抽象思维能力。
但是，对于非数专的学生而言，使用的教材过于深奥，不但收不到预想的效果，反而会使学生因为惧怕而失去学习的兴趣。
离散数学学习体会
离散数学学习体会离散数学学习心得(1) -- 一类抽象代数题的解题思路学习离散数学已经有一段时间了，书读了不少，题也做了一些。
最近又常在群里和研友们讨论离散数学中的问题。
所以对离散数学也有了一些心得和体会。
在今后的一段时间里，我会不定期的写一些小的经验总结，以供后来人参考。
这次我们来讨论一类代数问题的解题思路。
问题：设R为含幺环，求证：对任意a,b∈R，若1-ab可逆，则1-ba 也可逆。
分析：我们知道，证明问题的方法大致可以分为两类：构造性证明和存在性证明。
前者要求给出一个切实的方法，找出符合命题要求的元素（在这道题中，就是找到1-ba的逆元）。
后者则只证明这样的元素必然存在，但并不给出切实的寻找方法。
反证法是存在性证明的基本方法。
无论打算采用是哪种证明方法，确认一下我们可以使用的前提条件总是必要的。
就这道题而言，我们可以使用这些前提：1、R是含幺环。
这就意味着R对加法构成Abel群（从而我们可以自由地使用加法交换律、加法消去律、加法逆元等），R对乘法构成独异点（从而可以使用乘法单位元1），当然还有乘法对加法的分配律。
2、1-ab是可逆的，这就是说，存在c∈R，使得c(1-ab)=(1-ab)c=1。
移项后得到：cab=abc=c-1。
需要注意的是：1、在题设中没有假设R的可换性（事实上，如果R可换的话，整个问题就没有任何难度了），也没有假设a、b是可逆的。
所以，在解题时，不能使用乘法交换律，也不能随便使用a、b的逆元（除非已经证明了它们的存在性）。
2、如果没有1-ab可逆这个条件，肯定是推不出1-ba可逆的（我们在环中可以找到太多的反例）。
所以，cab=abc=c-1将是解题的关键。
观察这个式子，我们注意到，它提供了在c的参与下，移动和消去ab的方法。
我们的目的是，证明存在这样的一个元素d∈R，满足(1-ba)d=d(1-ba)=1。
初看到这道题，我们并不知道使用构造性证明容易还是使用反证法容易。
抽象教育培训心得体会
在当今这个知识爆炸的时代，教育培训已成为提升个人综合素质、适应社会发展的关键途径。
我有幸参加了为期一个月的抽象教育培训，通过这段时间的学习和实践，我对抽象思维有了更为深刻的认识，以下是我的一些心得体会。
一、抽象思维的重要性1. 提高解决问题的能力抽象思维是一种将具体问题抽象化、概念化的能力，它可以帮助我们从复杂的现象中找出本质规律，从而提高解决问题的能力。
在培训过程中，我学会了如何运用抽象思维分析问题，使我面对问题时能够更加冷静、全面地思考，找到解决问题的最佳途径。
2. 培养创新能力抽象思维有助于打破思维定势，激发创新潜能。
在培训中，老师引导我们进行抽象思维训练，使我们能够在面对问题时，从不同角度思考，提出新颖的观点和解决方案。
这种能力的培养对我今后的工作和生活具有重要意义。
3. 提升沟通能力抽象思维有助于提高沟通效果。
在培训过程中，我们进行了大量的讨论和交流，通过运用抽象思维，我学会了如何将复杂的概念用简洁、明了的语言表达出来，使沟通更加顺畅、高效。
二、抽象思维训练方法1. 多角度思考在培训中，我学会了从多个角度思考问题，例如：时间、空间、因果、类比等。
这种多角度思考的方法使我能够更加全面地分析问题，找到问题的本质。
2. 概念化处理将具体问题抽象化为概念，有助于我们更好地理解问题。
在培训过程中，老师引导我们进行概念化处理，使我学会了如何将复杂问题简化，从而提高解决问题的效率。
3. 案例分析通过分析典型案例，我们可以了解抽象思维在实际应用中的效果。
在培训中，我们学习了大量的案例，通过分析这些案例，我深刻体会到抽象思维在解决问题中的重要性。
4. 反思总结在培训过程中，我学会了反思总结，及时调整自己的思维方式。
每当遇到问题时，我都会回顾自己过去的经验，思考如何运用抽象思维解决问题，从而使自己的思维能力得到不断提升。
三、培训收获1. 思维方式的转变通过培训，我的思维方式发生了很大转变。
以前，我习惯于从具体的角度思考问题，而现在，我能够更加注重抽象思维，从而提高自己的综合素质。
代数式教学心得体会
作为一名教师，我深知教育教学的重要性。
在多年的教学工作中，我深感代数式教学对于学生数学思维能力的培养具有至关重要的作用。
以下是我在代数式教学过程中的一些心得体会。
一、注重基础知识教学代数式教学的基础是字母表示数。
在教学中，我注重引导学生理解字母表示数的含义，掌握字母表示数的法则，并能够熟练运用字母表示数进行运算。
通过基础知识的教学，使学生建立起良好的数学思维习惯，为后续的代数式学习打下坚实的基础。
二、强化直观教学在代数式教学中，直观教学能够帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
我经常利用图形、实物等教学工具，将代数式与实际生活相结合，让学生在直观感受中理解代数式的含义。
例如，在讲解代数式的加减法时，我让学生用小棒表示代数式中的字母，通过直观的对比，使学生更容易理解加减法的原理。
三、注重培养学生的逻辑思维能力代数式教学的关键在于培养学生的逻辑思维能力。
在教学中，我注重引导学生分析问题、解决问题，培养学生的抽象思维能力。
例如，在讲解代数式的乘除法时，我引导学生思考乘除法的本质，从而更好地掌握乘除法的运算规律。
四、关注学生的个体差异每个学生的学习能力、学习风格都有所不同。
在代数式教学中，我关注学生的个体差异，因材施教。
对于学习困难的学生，我耐心讲解，鼓励他们多练习；对于学有余力的学生，我适当提高难度，拓展他们的思维空间。
通过关注个体差异，使每个学生都能在代数式学习中取得进步。
五、激发学生的学习兴趣兴趣是最好的老师。
在代数式教学中，我注重激发学生的学习兴趣，让他们在轻松愉快的氛围中学习。
例如，在讲解代数式的应用题时，我结合实际生活中的例子，让学生感受到数学的实用性，从而提高他们的学习兴趣。
六、注重教学反思在教学过程中，我不断反思自己的教学方法，努力提高教学质量。
例如，在讲解代数式的因式分解时，我发现部分学生对此概念理解困难。
针对这一问题，我调整了教学方法，采用多媒体教学手段，将抽象的因式分解过程形象化，使学生在直观感受中理解因式分解的原理。
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The Learning Experience Of Abstract Algebra抽象代数学习心得When I contacted with abstract algebra firstly,I felt like such a course was very difficult for me, because the material is written in English, each one strange English word brought me a lot of pressure. Especially in the class, I feel that I can't keep up with the teacher. Because before unstanding the definition during my study, I have to translate the English words back to the Chinese in my mind, so it greatly reduced the efficiency of my study and it has become one of the biggest difficulties in my learning abstract algebra.当我刚开始接触抽象代数这么课程时，我感觉这么课程对我来说是很困难的，因为教材是全英文撰写的，一个个陌生的英语词汇给我带来了很大的压力。
尤其在课堂上，我感觉我完全不能跟上老师思路。
因为我在学习过程中在理解和思考定义之前，我必须将英文词汇的意思在脑海中翻译回中文，这样大大地降低了我学习的效率，因此成了我学习抽象代数中的最大困难之一。
When I was thinking about how to solve the difficulties, I think back to the reference books which the teacher had recommended to us, so I found some reference books about abstract algebra in the school library. After reading these books, they make me feel relaxed studying of abstract algebra. Because these reference books are in Chinese and they eliminated the ambiguity of understanding the definition or theorem which caused by I was not familiar with the English. Before class, I will see a Chinese reference book first, and then looking at the teaching material which written in English, it will make me feel much easier to understand the teaching material content.在我思考怎样解决这个困难的时候，我回想到老师向我们推荐的参考书，于是我在学校图书馆找到了一些关于抽象代数的参考书。
阅读这些参考书之后，使我感觉抽象代数的学习变得轻松了些，因为这些参考书是中文的，消除了因对英文的不熟悉而引起对定义或定理理解的歧义。
在上课前的预习，我都会先看一次中文的参考书，再看全英的教材，使我感觉对教材上的内容的理解也变得轻松了些。
After two months of learning, I have learnt that abstract algebra is mainly doing researches on algebraic structure on the basic of the set and mapping. In the first chapter, we mainly study the definition and representation of sets, the relationship between the sets, the operation of set and mapping and so on. This is similar with that conten t of the advanced algebra. In the function study, we need to distinguish the injective, bijective and surjective clearly. And when the function f is both injective and surjective, which is elements of a set to elements of another set is one-to-one, so we can said that the function f is bijective, and it is the identical transformation of advanced algebra. We not only study the relationship between the sets, but also study the relationship between elements of a set, including the identity relationships and partition of a set.经过两个月的学习后，我了解到抽象代数主要在集合和映射的基础上研究各种代数结构。
在第一章里，我们主要学习集合的定义、表示方法、集合之间的关系、集合的运算法则和映射、这些与高等代数的内容很相似。
其中在函数的学习中，需要把单射，双射和满射区分清楚。
而且当函数f满足单射和双射时，一个集合的元素到另一个集的元素合是一一对应的，这个函数是满射的，并且就是高等代数中的恒等变换。
我们不但要研究集合之间的关系，而且还研究了集合的元素之间的关系，包括集合中的恒等关系和划分。
In the second chapter, we mainly studied binary operation, group, subgroup, commutative group and so on . The binary operation is the most common operations, such as various operations of addition, subtraction, multiplication, and division between objects. What’s more, the binary operation is one of the basic elements of a group which is made up of a set and a binary operation. To qualify as an abelian group , the set and operation must be satisfied five requirements known as the abelian group axioms: closure, associativity, identity element, inverse element and commutativity.A group G has exactly one identity element e, and an element x belong to G must exist an inverse element to make that xx’equals to e. Therefore, a group also satisfies the cancellation law which is one of the elementary properties of groups. Learning and understanding the definition and propertion of group is the foundation of learning the knowledge of second chapter. During studying group theory which has certain abstractness, we can learn combining with examples in order to learn the knowledge well. Because that theory combined with the practical problems, they can make the abstract content into concrete image.在第二章中，主要学习了二元运算、群、子群、交换群等。
其中二元运算是最常见的运算，比如各种对象之间的加减乘除运算。
更是构成群的基本元素之一，群是由一个集合和一个二元运算构成，群的集合元素运算必须满足封闭性和结合律。
群具有唯一的单位元，而且一个元素X必须存在一个逆元，使得X*X=e，以及消去律，这是群的基本性质。
学习群和理解群的定义与性质，是学习第二章内容的基础，在学习群的理论中，群的理论具有一定的抽象性，所以为了更好地理解可以结合例题学习。
Such as let H and K be subgroup of a group G. Then HUK is also a subgroup of G? I believe that many people would say yes, but we use a example, like: G=（Z，+）is a group and n is any integer. Then the set nZ=<n> of multiples of n forms a subgroup of G.2Z U6Z is a subgroup of G, since2Z U6Z=2Z.anohter 2ZU3Z is not a subgroup of (Z,+).for example, 3+2=5 not belong to 2Z U3Z so is not closed under addition. When we can trying a few more examples, we can found nZ U n’Z is subgroup of nZ or n,Z, then nZ U n’Z is subgroup of G.So we can't treat abstract algebra problem with habits of thinking, Therefore, we must to think seriously about the title.The one for the case laws which used in the judgement of abstract algebra propositions are frequently. In the process of building a counterexample can exercise our ability to imagine very well.例如:Let H and K be subgroup of a group G. Then HUK is also a subgroupof G? 我相信很多人会说是，但是我们举个例子，例如：G=（Z，+）is a group and n is any integer. Then the set nZ=<n> of multiples of n forms a subgroup of G.2Z U6Z is a subgroup of G, since 2Z U6Z=2Z.anohter 2ZU3Z is not a subgroup of (Z,+).for example, 3+2=5 not belong to 2Z U3Z so is not closed under addition. 当我们举更多的例子时，我们可以发现当nZ U n’Z是nZ或n’Z的其中一个时，nZ U n’Z 才是G的子群。