D5-1 数学模型(泛定方程)的建立资料
数学物理方法3.1数学模型的建立
§3.1、数学模型的建立 §3.2、分离变量法 §3.3、行波法 §3.4、积分变换法 §3.5、 Green函数
第三章
偏微分方程的定解问题
第一节 数学模型的建立
§3.1 数学模型的建立
§3.1.1 §3.1.2 §3.1.3 三类典型的数学物理方程 定解条件和定解问题 解的概念和线性叠加原理
第一节 数学模型的建立
2 x dx u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) dx 2 x x x x ds dx T T '
x dx
x
x dx 2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T g f ( x, t )dx dx 2 2 x x t
第一节 数学模型的建立
一、 基本方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动，在外力f(x,t)的作用下。 研究对象：u ( x, t ) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
第三章
偏微分方程的定解问题
第一节 数学模型的建立
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律： 水平方向： T cos T 'cos ' 竖直方向： T sin T 'sin ' 其中：cos 1 cos ' 1
u dQ k1 (u u1 )dSdt k dSdt n
k1 热交换系数； u1周围介质的温度
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
u ( u ) u1 S , n S
D5-2 定解条件
x 0 为原点， 取弦的水平位置为 x 轴，
弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程
utt a2uxx 0
(2)确定边界条件 对于弦的固定端，显然有 u(x,t)|x=0=0, ux(x,t)|x=l=0 另一端自由，意味着弦的张力为零．则
2016/9/30
u x x , t x l 0
定义：系统的物理量在边界上具有的情况。
常见的线性边界条件分为三类：
A.第一类（狄利克雷）边界条件 给出未知函数在边界上的函数值。
例2：两端固定的弦振动时的边界条件：
u( x, t )
x 0
0
和
u( x, t )
x l
0
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4
例3：细杆热传导
x0
xl
细杆x=l端的温度处于恒温状态,边界的数理方程
h
· ·
状如图所示,且弦处于静止状态，即有方程
l x
l/2
初始速度 ut ( x, t ) 初始位移 u( x , t )
t 0
t 0
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2h x l 2h ( l x ) l
0
l x [0, ] 2 l x [ , l ] 23
（二）边界条件
ku YSux
x l
弹性力： f ku
则在端点
(u
YS ux ) k
0
u ) n
xl
f ( x0 , y0 , z0 , t )
x
第三类边界条件的基本形式： (u H
边界x0 , y0 , z0
这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。
（三）衔接条件
数学模型第五版课程设计
数学模型第五版课程设计一、前言数学模型课程是数学学科体系中的一门应用性课程，主要涉及数学知识在现实生活中的应用，帮助学生了解数学如何应用于实际问题中，提高学生的数学建模能力。
本次课程设计旨在通过实例，详细介绍数学模型的建立过程，并帮助学生熟悉数学模型的应用。
二、课程内容1. 前期准备在开始课程设计前，需要学生具备大学线性代数和微积分等基础数学知识，并具有一定的编程能力。
2. 数学模型的定义和建立过程2.1 数学模型的定义数学模型是指利用数学方法对实际问题进行抽象化和形式化处理，以得到问题的数学表示式和解法的方法。
2.2 数学模型的建立过程•确定问题：首先要确定需要解决的实际问题。
•收集数据：通过实验或调查等方式收集与问题相关的数据。
•建立方程或模型：根据数据和问题的特征，建立数学模型或方程。
•解决问题：利用已经建立的数学模型或方程，解决实际问题。
3. 数学模型在实际问题中的应用3.1 核电站事故模拟分析假设某核电站有2个反应堆，采用钴60俘获模型，模拟事故情况下反应堆的输出功率，进而分析事故对反应堆的影响。
假设第一个反应堆关闭，第二个反应堆失去控制，建立以下方程：$$\\frac{dP}{dt}=k_1(P_0-P)-k_2(cN_2-P)$$其中，P表示反应堆的输出功率，P0表示反应堆的初始功率，c表示钴60的俘获截面积，k1和k2代表两个反应的系数，N2代表第二个反应堆的中子数。
通过求解上述方程，可以得到反应堆的输出功率随时间变化的情况。
3.2 股票价格预测根据股票的历史价格数据，建立股票价格变化的数学模型，预测未来的股票价格走势。
假设已知若干个时刻的股票价格，建立以下方程：$$y_t = \\beta_0+\\beta_1x_1+\\beta_2x_2+…+\\beta_nx_n+e_t$$其中，y t表示第t个时刻的股票价格，x1、x2、…x n为若干个自变量（如前几个时刻的股票价格），$\\beta_i$为关于自变量的系数，e t为误差项。
建立数学模型的一般过程或步骤
1.问题识别和定义建立数学模型的第一步是明确识别和定义需要解决的实际问题。
这个阶段包括:a) 确定研究对象: 明确我们要研究的系统、现象或过程是什么。
b) 明确目标: 确定我们希望通过模型解决什么问题,或得到什么样的结果。
c) 界定范围: 确定模型的适用范围和限制条件。
d) 收集背景信息: 了解问题的背景,包括已有的相关研究和理论。
e) 提出假设: 根据对问题的初步理解,提出一些合理的假设。
这个阶段的关键是要尽可能清晰、准确地描述问题,为后续的模型构建奠定基础。
2.变量选择和定义在明确问题后,下一步是确定模型中的关键变量:a) 识别相关变量: 列出所有可能影响问题的变量。
b) 分类变量: 将变量分为自变量、因变量、参数等。
c) 定义变量: 明确每个变量的含义、单位和取值范围。
d) 简化变量: 去除次要变量,保留最关键的变量以简化模型。
e) 考虑变量间关系: 初步分析变量之间可能存在的关系。
变量的选择直接影响模型的复杂度和准确性,需要在简化和精确之间找到平衡。
3.数据收集和分析为了构建和验证模型,我们需要收集相关数据:a) 确定数据需求: 根据选定的变量,明确需要收集哪些数据。
b) 选择数据来源: 可以是实验、观察、文献资料或已有数据库。
c) 设计数据收集方案: 包括采样方法、实验设计等。
d) 数据预处理: 对原始数据进行清洗、标准化等处理。
e) 探索性数据分析: 使用统计方法和可视化技术初步分析数据特征和规律。
f) 识别异常值和缺失值: 处理数据中的异常情况。
高质量的数据对于构建准确的模型至关重要。
4.模型结构选择基于问题定义、变量选择和数据分析,我们可以开始选择适当的模型结构:a) 考虑问题类型: 如静态或动态、确定性或随机性、线性或非线性等。
b) 研究已有模型: 调研该领域是否已有成熟的模型可以借鉴。
c) 选择数学工具: 如微分方程、概率论、优化理论等。
d) 确定模型类型: 如回归模型、微分方程模型、状态空间模型等。
数学模型 第五版
数学模型
数
学
求解 世
界
数学模型的解答
将实际问题“翻译”成数学问题. 两次“翻译”
将数学解答“翻译”回实际对象.
实践 理论 实践
1.7 数学模型的特点和分类
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的非预制性
模型的渐进性
模型的条理性
模型的强健性
模型的技艺性
模型的可转移性
模型的局限性
数学模型的分类
应用领域 人口、交通、经济、生态、…
2. 建模的关键是什么？ 变量表示椅子的位置. 函数 f(), g() 表示椅脚与地面的距离.
3. 建模过程中有无不严谨之处？ 椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？
做自己的模型
• 亲自动手，踏踏实实地做几个实际题目——
不妨从包饺子这样的简单问题开始.
• 提倡在实际生活中发现、提出问题，建立模型 .
s2
1 2
a
2t
2 2
vmax a1t1 , vmax a2t2
相邻路障间行驶总距离
s
s1
s2
v2 max 2
1 ( a1
1 )
a2
给定vmax，由测试数据估计a1，a2 ，
s = 路障间距
计算 测试数据作图 大致线性关系 t = cv+d
t
6
5 加速行驶
3
5
2
1
40
v
0
0
10
20
30
40
t
时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
• 回答原问题（船速为20km/h）
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型实验指导书
１．分析雪堆的融化过程；
２．建立雪堆融化的微分方程模型；
３．利用所给数据，确定参数；
４．确定初始条件，求解方程（模型）．
５．扩展讨论：雪堆形状不同时的建模和求解方法（供参考，不作要求）
问题二：现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问兔子能否安全回到巢穴？
要求：先求出房屋总价格、首付款额、月付还款额三者的符号解；再求出当S=120m2，P=5200元/ m2，r=5.58%时三者的数值解。
过程：（1）给出模型假设及建立相应的差分方程；
（2）利用递推公式法求解差分方程的符号解；
（3）利用Matlab求解差分方程的符号解；
（4）求出当S=120m2，P=5200元/ m2，r=5.58%时三者的数值解；
理解一阶、二阶微分法在建模过程中的应用，熟悉利用MATLAB软件求解微分方程的方法。注意模型的普遍性和模型的广泛性。
二、实验内容：
问题一：一个半球体状的雪堆，其体积V的融化速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知初始半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其原体积的7/8，问该雪堆全部融化需要多少时间？
图4 某城市单行线车流量
(1)建立确定每条道路流量的线性方程组；
(2)使用MATLAB求线性方程组；
(3)分析哪些流量数据是多余的；
(4)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计；
问题二：某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求
数学物理方程学习指导书第3章经典方程的建立和定解条件.docx
第3章经典方程的建立和定解条件在讨论数学物理方程的解法以前，我们首先耍弄清楚数学物理方程所研究的问题应该怎样提，为此，我们从两方面来讨论，一方而要将一个具体的物理、力学等自然科学问题化为数学问题，即建立描述某种物理过程的微分方程——数学物理方程，称此方程为泛定方程; 另一方面耍把一个特定的物理现彖本身所貝•有的具体条件用数学形式表达出来，即列出相应的初始条件和边界条件，两者合称为定解条件.定解条件提岀具体的物理问题，泛定方程提供解决问题的依据，作为一个整体称之为定解问题.3. 1经典方程的建立在本节，我们将通过儿个不同的物理模型推导出数学物理方程中三种典型的方程，这些方程构成我们的主要研究对彖.经典方程的导出步骤：（1）确定出所要研究的是哪一个物理Mw；（2）用数学的“微元法”从所研究的系统小分割出一小部分，再根据相应的物理（力学）规律分析邻近部分和这个小部分间的作用（抓住主要作用，略去次耍因素, 即高等数学中的抓主部，略去高阶无穷小），这种相互作用在一个短的时间间隔是如何影响物理量M（3）把这种关系用数学算式（方程）表达出來，经化简整理就是所需求的数学物理方程.例1弦的振动弦的振动问题，虽然是一个古典问题，但対于初学者仍然貝-有一定的启发性.设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而几除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外，不受外力影响，下面研究弦的微小横向振动，即假定全部运动岀现在一个平而上, 而R 弦上的点沿垂直于兀轴的方向运动（图3-1）.设弦上具有横坐标为兀的点，在时刻门I寸的位笠为M,位移NM记作显然，在振动过程中位移u是变量兀与r的函数u（x,z）.现在來建立位移M满足的方程.我们把弦匕点的运动先看作小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况.在弦上任取一弧段M M',其长为ds ,设Q是弦的线密度，弧段亦'两端所受的张力记作T, T',现在考虑孤段麻在(时刻的受力情况，用牛顿运动定律，作用于弧段上任一方向上的力的总和等于这段孤的 质量乘以该方向上的加速度.在兀轴方向弧段受力的总和为-Tcosa + rcosa\由于弦只作横向振动，所以T cos a-T f cos a f = 0.(3.1)如果弦的振动很小，并R 在振动过程中弦上的切线倾角也很小，即则由遇―1-兰+必2! 4!可知，当a 为无穷小量时，cosa 与1的差量是a 的高阶无穷小量，可以略去不计，因此当a « 0,a f总 0 时cos a «l,cosa r«1代入(3.1)式，便可近似得到在u 方向弧段受力的总和为-Tsma + rsm^-pgds,其中Q 是单位弧段的质量,-pgds 是弧段槪M'的重力.乂因当a «0, a z «0时• tgadu(x,t)sm a = ,« tga = --------- ,「L 小弧段在吋刻f 沿"方向运动的加速度为空?小弧段的质量为pgds,所以ot上式左边方括号内的部分是由卄产生必的变化而引起的警^改变量，可用微分代替，即sina f= tga 1=5w(x +rfx,Z) dx -T sin a + T r sin a f一 pgds « pdsd 2u(x 9t) dt 2(3.2)du( x + dx^t) du(兀91) dx dxd 2u(Xyt)dt 2-dx ydu(x^dxyt) du(Xyt) d du(x 9t)T d 2u(x^t) d 2u(x 9t)厂L —月2一般说来，张力较大时弧振动速度变化很快，即h 耍比g 人得多，所以乂可以把g 略去•dt经过这样逐步略去一些次要的量，抓住主要的量，最后得出u(x,t)应近似地满足方程d 2u 2Q 纭 —r = a —7 dt 2 dx 2T这里的/ =_.式(3 3)称为-维波动方程.P如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定单位长度所受外力的F(x,O,显然,在这里(3.1)及(3.2)分别为T' cos a r-T cos a = 0,利用上面的推导方法并略去弦木身的重屋，可得弦的强迫振动方程为其中于(兀昇)=—F (兀昇)・P方程(3.3)与(3.3)'的差别在于(3.3)'的右端多了一个与未知函数"无关的项, 这个项称为自由项，包含有非零自由项的方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为 齐次方程.(3.3)为齐次一维波动方程，(3.3)'为非齐次一维波动方程. 例2传输线方程対于直流电或低频的交流电，电路的基尔霍夫定律指出同一支路中电流和等•但对于较 髙频率的电流(指频率还没有髙到能显著地幅射电磁波的情况)，电路屮导线的自感和电容于是dx dx dxdx 2丁飞厂一 P gdx= d^u^dx"dx 2(3.3)Fds -Tsina + T rsin a' 一 pgds « pdsd 2ud 2ud 2udx 2+ /(3), (3.3)'的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等.现考虑一來一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体(图3・2).在具有分布参 数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度i 与电压”來描述，此处i 与v 都是工“图3-2的函数，记作i(x.t)与卩(兀』)，以R, L, C, G 分别表示下列参数：R ——每一回路单位的趾m 联电阻，L ——每一回路单位的串联电感， C ——每单位长度的分路电容， G ——每单位长度的分路电导.根据基尔霍夫第二定律，在长度为Ax 的传输线中，电压降应等于电动势之和，即v-(v + Av) = RAxi+ZAx •色. dt而G Ax, dx 故上式可写成另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点工的电流应等于流出该节点的电流，即i = (i + A/) + CAx — + GAx • vdt将方程(3.4)与(3.5)合并，即得i 与v 应近似地满足如下方程组2+C 空+ G —0, dx dtdv 一 + dxdv~d xu-Ri-L di dT(3.4)dx dt (3.5)这两个方程称为高频传输线方程.若令a 2= — 这两个方程与(3.3)完全相同•由此可见，同一个方程可以用來描述不同的LC物理现彖，一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论屮, 还要研究高维的波动方程.例3电磁场方程从物理学我们知道，电磁场的特性可以用电场强度E 与磁场强度H 以及电感应强度D 与磁感应强度B 来描述，联系这些最的麦克斯韦(Maxwell)方程组为为了确定函数i 与y ，将方程(3.5)对兀微分，同时在方程(3.4)两端乘以C 后再对f 微分, 并把两个结果和减，即得&唱LC書吧严将(3.4)中的?代入上式，得dxd 2i dx 2口2 • •=LG^ + (RC + GL)^GRi,(3.6)这就是电流「近似满足的微分方程，采用类似的方法从( 3.4)与(3.5)中消去i 可得电压卩 近似满足的方程空=EG 竽+ (/?C + GD 空+ GM, dx2dt 2 dt(3.7)方程(3.6)或(3.7)称为传输线方程.根据不同的具体情况，对参数R 丄,C,G 作不同的假定，就可以得到传输线方程的各 种特殊形式.例如，在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效M 可以忽略不计，也就是 说可令G = R = 0 ,此时方程(3.6)与(3.7)可简化为d 2i 1 d 2idt 2 LC dt 2rotH = <7 +dD~dt(3.8)dB ~d t(3.9)其小/为传导电流的体密度，Q 为电荷的体密度.这纟F1方程还必须与下述场的物质方程D = eE 9 (3.13) J = bE ，(1.14)相联立，其小£是介质的介电常数，“是导磁率，b 为导电率，我们假定介质是均匀而且 是各向同性的，此时£，“，b 均为常数.方程(3.8)与(3.9)都同吋包含有E 与H,从中消去一个变量，就可以得到关于另一•个变 量的微分方程,例如先消去H,在(3,8)式两端求旋度并利用(3•⑵与(3.14)得Qrot rotH = £ — rotE + arotE.dt将(3.9)与(3」3)代入得而rof rotH = grad div-V 2H^U divH = —divB = 0,所以最后得到H 所满足的方程为同理，若消去H 即得E 所满足的方程L D d 2E dEW 珊灵+叩莎.如果介质不导电(b = 0),则上面两个方程简化为(3.15)与(3.16)称为三维波动方程.若将三维波动方程以标量函数的形式表示岀來，则叮写成(3.12) B*H, 9H“口…dH越一弘話d 2H d 2H=—V 2H,(3.15)d 2E(3.16)2 1具屮d =—，"是E或H的任意一个分量.从方程(3.11)打(3.12)还nJ以推导出静电场的电位所满足的微分方程.事实上，以(3.12)代入(3」1)得divD — divsE - sdiv E = p y而电场强度E与电位M之间存在关系E = -graduy所以可得div(gradu)=e或V2w = - —, (3.18)e这个非齐次方程称为泊松(Poisson)方程.如果静电场是无源的，即p = 0,则(3.⑻变成V2w = 0, (3.19) 这个方程称为拉普拉斯(Laplace)方程.例4热传导方程一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一•样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导•在工程技术上有许多传热问题都要归结为求物体内温度的分布，现在我们来推导传热过程中温度所满足的微分方程，与上例类似，我们不是先讨论一点处的温度，而应该先考虑一个区域的温度•为此，在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记作V (图3-3) •假设在时刻区域V内点M(x9y9z)处的温度为w(x, , /i为曲面元素AS的外法向(从V内指向V外).图3-3由传热学可知，在［t.t + At ］时间内，从AS 流入区域V 的热量与吋间而积AS, 以及沿曲面的法线方向的温度变化率三者的乘积成正比，即A0 = A: —ASA/ = k(grad u dn=k(grad u )• ASAZ ・其中R 称为物体的热传导系数，当物体为均匀导热体时，R 为常数.于是，从时刻人到时刻通过曲而S 流入区域"的全部热量为0, = |2jj kgrad u dS dt.流入的热量使V 内温度发生了变化，在时间内区域V 内各点温度从u(x,y,z,t)变化到u(x,y,z,t+At),则在At 内V 内温度升高所需要的热虽为JJJ cp[u(x,y,z 9t + A/)一 u(兀,y, z, t)]dVV从而从时刻厶到时刻(2，由于温度升高所吸收的热最为其中C 为物体的比热，Q 为物体的密度，对均匀物体来说，它们都是常数. 由于热量守恒，流入的热量应等于物体温度升高所需吸收的热量，即此式左端的曲面积分中S 是封闭曲面，可以利用奥■高公式将它化为三重积分，即JJ kgradudS = JJj kdiv (gradu)dVsv因此有r fIff ^udv\dt = f ［ ffj cp^-dv\dt.(3.20)1L y 」1L v由于时间间隔及区域V 都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以(3.20)式左 右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即)H ASAZ叮IffradudS dt^a 2=— •方程(3.21)称为三维热传导方程. cp若物体内有热源，其强度为F(x,y 9z)，则相应的热传导方程为其中/ =—・cp作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆(或一块薄板)，或者即使不是细杆(或薄板) 而其中的温度"只与兀昇(或x.y.t )有关，则方程(3.21)就变成一维热传导方程du 2 52w—=;dt dx 2或二维热传导方程du 2( 52w d 2u^ —=a — ---------------- r ■dt \dx dy ?如果我们考虑稳恒温度场，即在热传导方程屮物体的温度趋于某种平衡状态，这时温度U 已与时间r 无关，所以竺=0,此时方程(3.21)就变成拉普拉斯方程(3.⑼.由此叮见稳恒 dt 温度场内的温度w 也满足拉普拉斯方程.在研究气体或液体的扩散过程时，若扩散系数是常数，则所得的扩散方程与热传导方 程完全相同.3・2初始条件与边界条件上而所讨论的是如何将过程的物理规律用数学式子表达出来•除此以外，我们还需要把 具体条件也用数学形式表达出来，这是因为任何一个具体的物理现象都是处在特定条件Z 下 的.例如弦振动问题，上节所推导出来的方程是一切柔软均匀的弦作微小横向振动的共同规 律，在推导这个方程时没有考虑到弦在初始时刻物状态以及弦所受的约朿情况.如果我们不 是泛泛地研究弦的振动，势必就要考虑到弦所具有的特定条件•因为任何一个具体振动现象 总是在某时刻的振动状态和此时刻以前的状态有关，从而就与初始时刻的状态有关.另外， 弦的两端所受的约束也会影响弦的振动，端点所处的物理条件不同会产生不同的影响，因而 弦的振动也不同.所以对眩振动问题来说，除了建立振动方程以外，还需列出它的具体条件. 对热传导方程，拉普拉斯方程也是如此.提出的条件应该恰恰能够说明某一具体物理现彖的初始状态以及边界上的约束情况，du ~d t+ /(兀，” z ，f)，化.由于从杆外通过杆端流入杆内的热量为R 理 on AS AZ (K 中M 为时间间隔，AS 为杆x=a用以说明系统的初始状态的条件称为初始条件•用以说明边界上的约束悄况的条件称为边界 条件.下面具体说明初始条件和边界条件的表达形式，先谈初始条件，对于弦振动问题來说, 初始条件就是弦在开始时刻的位移及速度，若以(p(x)^(x)分别表示初位移和初速度，则 初始条件可以表达为而对热传导方程来说，初始条件是指在开始时刻物体温度的分布悄况，若以(p(M)表 示(=0时物体内任一点M 处的温度，则热传导方程的初始条件就是u(M,t)[=Q =(p(M). (3.23) 泊松方程与拉普拉斯方程都是描述稳恒状态的，与初始状态无头，所以不提初始条件. 再谈边界条件.如果边界条件直接给出了未知函数在边界S 上的值，以s 表示边界S 上的动点，则这样的边界条件可表为或简写成(3.24)这种边界条件称为第一类边界条件，其中表示在边界S 上给定的已知函数.例如，在杆的导热问题中，若在端点x = a 处温度保持为常数如，这时在端点x = a 的边界条件为若在端点x = «处温度随时间的变化规律f(t)为已知，在这点的边界条件为U = f(t).x=a " ' “又如在弦振动问题屮，若弦的某端点x = a 是固定的，则在该点的位移为零，即u = 0・x=a以上都是第一-类边界条件的例子.总Z,第一类边界条件直接给出了未知函数在边 界S 上的值 但在许多情况下，边界上的物理条件并不能用第一类边界条件来描述.例如，在杆的导 热问题中，若杆的一端x = «绝热，那末绝热这个条件就不能直接给出杆的端点处的温度变du dt = ^(x) (3.22) /=0的截面积，死为杆在端点x = a 处的外法向，若x = a 是杆的左端点，〃的正向与兀轴正向dudu du du 相反，则丁 = 一丁，若x = a 是杆的右端点，则死的正向与兀轴正向相同，则丁 =—）,on ox on dx 所以绝热这个条件可以表达为若在单位时间内通过工端单位面积流入杆内的热量是f 的已知两数/（f ）,则这个条件 可表示为对于弦振动问题來说，如果弦在x = a 处是自由的，即沿看位移方向不受外力，则此时 弦在x = a 处沿位移方向的张力（参照3.1屮例1的推导）为总之，冇时边界条件必须表达为(3.25)的形式，其中徑表示函数沿边界外法向的变化率，这种边界条件称为第二类边界条件.Oil除了上述两类边界条件外，有时还会遇到其他形式的边界条件.例如在杆的导热热问题 中，若杆在某个端点兀=4自由冷却，那末自由冷却这个条件就是（其中幻为周围介质的温度）即 （，加）u + h —— =u. h- 1加丿L < Hdu dn ASA/ = 0, x=adudxdudn dudnx=a这是由于在单位时间内从周围介质传到杆的x=a 端单位面积上的热量与介质和杆端的温考3.1中例4）.对于有界杆（0<x<Z ）,若两端都是口由冷却，则在x = l 处，上述条件可表为在兀=0处，这个条件可表为度差成正比, 而在单位时间内通过x = a 端单位血枳传向杆内的热量与 du 成正比（参x=a•般地，这种边界条件的形式为(3.26)这样的边界条件称为第三类边界条件. 不论哪一种边界条件，如果它的数学表达式屮的右端自由项恒为零，则这种边界条件 称为齐次的.3.3定解问题的提法前面两节我们推导了三种不同类型的偏微分方程并讨论了与它们相应的初始条件与边 界条件的表达方式•由丁•这些方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶都是二阶，而口它们 对于未知函数及其各阶偏导数來说都是线性的，所以这种方程称为二阶线性偏微分方程。
数学物理方法3-1数学模型的建立
H ( H ) 2H
H 0
由此得：
2H
( H )
t t
2HLeabharlann 2H t 2拉普拉斯算子： 2 2 2 2 x2 y2 z2
2
H
1
(2H 2H 2H )
t 2 x2 y2 z2
——磁场的三维波动方程
同理可得： 2 E
t 2
1
2E
——电场的三维波动方程
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
4
V
(
x,
y,
z
)dxdydz
根据物理规律建立微分方程(对方程进行化简)：
E u
2u 4
2u 0
泊松方程 拉普拉斯方程(无源场)
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
牛顿运动定律：
水平方向： T cos T 'cos '
竖直方向：T sin
T
' sin
' gds
x dx
yx
f
( x, t )dx
dsut
其中：cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
ds
T'
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物理量u 在空间和时间中的变化规
律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间 的联系。 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体 条件无关。 例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律， 跟具体条件无关。 2018/11/13 3 重点讨论：二阶线性偏微分方程。
三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
波速a
ux
dx 2 a T/
f ( x, t ) F ( x, t ) /
波动方程：
utt a 2 uxx f ( x, t )
受迫振动方程
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单位质量弦所受 外力，线力密度
12
………一维波动方程
u(x) u+u u 0 1
F B
T2 2
讨论：
如考虑弦的重量： 沿x-方向，不出现平移
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )dx ( dx )utt
在微小振动近似下： 1， 2 0, cos 1， 2 1. 由（1）式，弦中各点的张力相等
T2 T1 u sin 1 tan 1 x
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（2 ）
x
ux
2 2 u u 2 所以有： a f g 2 2 t x 忽略重力和外力作用：
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du x dx ux x Tdux Td dx du Td F ( x , t )dx gdx ( dx )utt dx
4
二、定解条件
1 边界问题---边界条件 体现边界状态的数学方程称为边界条件 2 历史问题----初始条件 体现历史状态的数学方程称为初始条件 例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 → 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。
三、定解问题
在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。 定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
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5.1 数学模型（泛定方程）的建立
建模步骤：
（1）明确要研究的物理量是什么？ 从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分 与它的相互作用。 （2）研究物理量遵循哪些物理规律？ （3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。
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(一）均匀弦横振动方程 现象描述（如图） ：沿x轴绷紧的均匀柔软的细弦， 在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动 目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程
x dx
T2 sin 2 T1 sin 1
x
sin 2 tan 2 ux
T ux
x dx
ux
x
11
T （ux
T
令
x dx
x dx
ux
ux
x
x
） F ( x, t )dx ( dx )utt
F ( x, t ) Tuxx F ( x, t ) utt
质量线密度，
9
u(x) u
F
u+du 1
T1 x x+dx B
T2 2
B段弦的原长近似为dx. 振动拉伸后：
ds (dx )2 (du)2 dx 1 (du / dx )2 dx
0
B段的质量：弦长dx ，质量线密度，则B段质量 m= dx 物理规律： 用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：
特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
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它反映了问题的共性。
5
5
具体问题求解的一般过程：
1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律． 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件——求解所必须的已知条件．
6
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、积分变换法、格林函 数法和变分法
设定: (1)弦不振动时静止于x轴;
(2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于
x轴方向上的横向位移（偏离）情况
弦的横振动
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研究对象: 选取不包括端点的一微元
[x, x+dx]弧B段作为研究对象. 假设与近似：
u(x) u+du u
T1
F B
T2 2
1 x
0
x+dx
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牛顿运动定律：
d2 u f m 2 mutt dt
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u(x) u+du u 0 1
F B
T2 ①沿x-方向： 2 弦横向振动不出现x方向平移， 得力平衡方程
T2 cos 2 T1 cos 1 0
T1 x
x+dx
（1 ）
②沿垂直于x-轴方向：
由牛顿运动定律得运动方程
T2 cos 2 T1 cos 1
T1 x
gdx
x+x
（1） （2 ）
沿垂直于x-轴方向
dx 0
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )dx gdx ( dx )utt
因为： T2 sin 2 T1 sin 1 T ux
------非齐次方程
………一维波动方程
(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向 (2)振幅极小, 张力与水平方向的夹角1和2 很小，仅 考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量 (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略
(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：
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f ( x, t ) F ( x, t ) /
Isaac Newton （英，1643-1727)
Albert Einstein（美，1879-1955)
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一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示 数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程， 特别是偏微分方程和积分方程。 物理现象
数学语言描述
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 扩散方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
utt a uxx
2
u 2 a 2 u F ( x , y , z ) a u F ( x, y, z, t ) f ( x, t ) t F 0
u 0