方程求解与代数符号化
3.7符号代数方程求解
3.7.1 符号代数线性方程求解
符。so1ve函数的求解如下所示：
【例3.7.1】 >>solve('p*sin(x)=r')
ans = asin(r/p)
如果符号表达式不含等号，则函数solve会自动 将表达式转换成等号右端为0的符号方程，例如： 【例3.7.2】 >>solve('p*tan(x)-r') ans = atan(r/p) 如果想对非默认变量求解，则solve函数必须指 定变量 。例如： 【例3.7.3】 >> solve('a*x^2+b*x+c','a') ans = -(b*x+c)/x^2
x=fsolve(fun,x0,options,pl,p2,…) pl，p2，…直接赋 给函数fun，即fun(x,p1,p2, …)。此时，若options使 用默认值，需要输入空矩阵。
【例3.7.7】用fsolve解方程组
2 x y e x 0 x 2 y e y 0
solve 函数也可解方程组。 【例3.7.4】 >>[x,y]=solve('x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0') x= [ 1] [ 3] y= [ 1] [ -3/2]
linsolve函数的求解如下例所示： 【例3.7.5】 >>a=sym('[9 0;-1 8] '); b=sym('[1;2] '); linsolve(a,b) ans = [ 1/9] [ 19/72] 实际上，x=linsolve(a,b)与x=sym(a)\sym(b) 的结果相同。 【例3.7.6】 >> a=sym('[9 0;-1 8] '); b=sym('[1;2]') a\b ans = [ 1/9] [ 19/72]
符号化思想解读与应用的实例
符号化思想解读与应用的实例
例如, “四一班有60人, 是四年级总人数的 20%, 求四年级共有多少人? ”
用方程来解应用题, 解法本身蕴含着符号化思想, 它主要体现在如下几个方面:
( 1) 代数假设, 用字母代替未知数, 与已知数平等地参与运算;
( 2) 代数翻译, 把题中的自然语言表述的已知条件, 译成用符号化语言表述的方程。
( 3) 解代数方程。
把字母看成已知数, 并进行四则运算, 进而达到求解的目的。
解决这道题时,首先就应该进行代数假设, 用字母 x 代替四年级总人数, 这就是用字母代替未知数, 与已知数平等的参与运算; 其次, 把题中的自然语言表达的已知条件, 译成用符号化语言表述的方程 x×20%=60。
最后, 把字母看成已知数进行四则运算, 达到求解的目的。
整个分析, 解题过程, 都涉及到了用字母代表数, 变元思想等等, 可以说是符号化思想在数学中的集中体现, 对学生理解数学符号化思想及其意义都有重要价值。
代数式与方程的基本概念及解法
代数式与方程的基本概念及解法代数式和方程是数学中重要的概念，它们在各个领域中起着至关重要的作用。
在本文中，我们将探讨代数式与方程的基本概念以及解法，并通过实例来加深理解。
一、代数式的基本概念代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式。
它可以包含一个或多个变量，并通过运算符号（如 +、-、×、÷、^ 等）相互连接。
代数式可以表示各种各样的数学关系和问题，如数列、函数和几何图形等。
代数式的基本要素包括变量、常数、系数和指数。
变量表示未知数，常数是指已知的具体数值，系数是变量的前面的数字，指数表示变量的幂次。
例如，代数式 2x^2 + 3xy - 5z 表示了三个变量 x、y 和 z 之间的数学关系。
二、方程的基本概念方程是一个等式，它包含了一个或多个未知数，并且要求找到使等式成立的变量值。
方程的解就是满足方程的变量值。
方程可以分为一元方程和多元方程，一元方程只有一个未知数，而多元方程则有两个或更多的未知数。
解方程的过程就是确定未知数的值，使方程两边的值相等。
通过运用代数的运算法则，如合并同类项、展开式子、配方等，我们可以解决各种类型的方程。
三、一元一次方程的解法一元一次方程是最简单的方程形式，它的一般形式为 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，x 是未知数。
解一元一次方程的基本步骤如下：1. 将方程中的常数项移到等式右边，变为 ax = -b；2. 化简式子，将方程变为 x = -b/a；3. 求得 x 的值。
例如，解方程 2x + 3 = 7：1. 将方程变为 2x = 7 - 3；2. 化简得 2x = 4；3. 最终解为 x = 4/2 = 2。
四、一元二次方程的解法一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c 都是已知数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有多种，其中常用的方法是因式分解法和求根公式法。
1. 因式分解法通过因式分解，将方程转化为两个一元一次方程，并求解这两个方程来得到方程的解。
用代数法解方程
用代数法解方程
为了解决数学问题，我们常常需要解方程。
解方程是找到使方程等式成立的未知数的值。
在解方程的过程中，代数法是一种常用的方法。
代数法解方程的基本步骤如下：
1. 识别方程中的未知数和已知数。
2. 使用代数符号表示未知数，通常用字母表示，例如用 x 表示未知数。
3. 将方程中的已知数和未知数用代数符号表示。
4. 对方程进行变形和运算，将未知数从等式中分离出来。
可以通过加减乘除和其他代数运算进行变形。
5. 通过继续运算，找出未知数的特定值，使方程等式成立。
下面是一个例子来演示代数法解方程的过程：
假设我们要解方程 3x + 6 = 15。
1. 识别方程中的未知数和已知数：未知数是 x，已知数是 6 和15。
2. 使用代数符号表示未知数：x。
3. 将方程中的已知数和未知数用代数符号表示：3x + 6 = 15。
4. 对方程进行变形和运算：首先，我们可以将方程两边都减去6，得到3x = 9。
然后，我们可以将方程两边都除以3，得到x = 3。
5. 通过继续运算，我们找到了未知数的特定值 x = 3，使得方
程等式成立。
代数法解方程是一种简单而常用的方法，适用于各种数学问题。
通过识别和运用合适的代数运算，我们可以有效地解决方程并找到
未知数的值。
总结起来，代数法解方程的基本步骤包括识别未知数和已知数，使用代数符号表示未知数，变形和运算方程，求解未知数的特定值。
这种方法可以应用于各种数学问题，帮助我们解决方程并求出未知
数的值。
代数表达式与方程
代数表达式与方程代数表达式与方程在数学中起着重要的作用。
代数表达式是数字和变量通过运算符连接而成的数学式子，而方程是含有未知数的等式。
本文将介绍代数表达式与方程的定义、特点以及解题方法。
一、代数表达式代数表达式是由数字、字母和运算符号组成的式子。
它可以包含常数、变量、指数、系数、乘方、根号等元素。
用字母表示未知数，用运算符号表示加减乘除等运算。
代数表达式可以表示数学中的问题，帮助我们进行计算和推理。
例如，表达式3x + 2y - 5表示了两个变量x和y间的线性关系，其中x的系数为3，y的系数为2，常数项为-5。
这个表达式可以用来解决关于x和y的问题。
代数表达式有一些重要的特点。
首先，它可以进行各种数学运算，如加减乘除、整数运算、指数运算等。
其次，代数表达式可以用来描述实际问题，如物理、经济等领域的问题。
最后，代数表达式可以简化和变形，方便我们进行计算和推导。
二、代数方程代数方程是一种含有未知数的等式。
它可以通过代数表达式来表示，其中未知数通常用字母表示。
解方程就是找出使等式成立的未知数的值。
例如，方程2x - 5 = 7表示了一个未知数x的值，使得2x减去5等于7。
我们可以通过运算得知，x的值为6。
这个方程的解是x=6。
解方程的方法有很多种。
我们可以通过移项、化简、因式分解、开平方等方法来求解方程。
不同类型的方程可能需要使用不同的解题方法，因此我们需要根据具体情况进行选择。
代数方程在解决实际问题中起着关键作用。
例如，物理问题中的运动方程、经济问题中的成本方程等都可以用代数方程来表示和求解。
通过建立方程，我们可以求解出未知数的值，从而解决实际问题。
三、应用举例1. 线性方程线性方程是一种最简单的代数方程。
它的形式一般为ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
通过移项和化简，我们可以求解出x 的值。
例如，求解方程3x + 5 = 11。
我们首先将方程变形为3x = 11 - 5，得到3x = 6。
数学学习中的常见代数问题解析和方程求解
数学学习中的常见代数问题解析和方程求解数学是一门抽象而深奥的学科，其中代数是数学的重要分支之一，涉及到各种代数问题的解析和方程的求解。
本文将对数学学习中常见的代数问题以及解析和方程求解的方法进行分析和探讨。
一、代数问题的解析方法代数问题指的是通过代数符号来表示和解决实际问题。
解析方法是一种根据代数关系和问题的条件，运用代数技巧和思维，逐步推导和求解问题的方法。
在解析代数问题时，一般需要以下步骤：1. 理解问题：明确问题的具体条件和要求，分析问题的关键点和难点。
2. 建立代数模型：运用变量、参数等符号表示问题中的未知数和已知量，建立代数方程或不等式。
3. 解方程或不等式：根据代数模型，利用方程求解或不等式的性质，解出未知数的取值范围或具体值。
4. 验证和解释：将求得的解代入原问题，验证是否满足条件；根据实际情况解释代数解的意义和实际意义。
二、方程求解的常用方法方程是代数学中的重要概念，其解是指能够使方程成立的未知数的值。
下面介绍几种常见的方程求解方法。
1. 等式变形法：通过对方程进行等价变形，将方程化简为易解的形式。
常见的等式变形法包括合并同类项、移项、因式分解等。
例如，对于方程3x + 4 = 7，我们可以先将等式两边都减去4，得到3x = 3，再除以3，解得x = 1。
2. 代入法：将方程中的一个变量用另一个变量的值表示，代入到方程中求解。
适用于包含多个变量的方程。
例如，对于方程2x + 3y = 7，若已知x = 2，则可以将x的值代入方程，得到2*2 + 3y = 7，从而求解y的值。
3. 相消法：通过加减乘除等运算，使方程中某些项或因子相消，简化方程求解的步骤。
例如，对于方程2x + 3 = x + 7，我们可以将x的项相消，得到2x -x = 7 - 3，从而解得x = 4。
4. 因式分解法：对于可因式分解的方程，可以通过因式分解的方法，将方程分解为两个或多个乘积，然后令每个乘积等于零，求解出未知数的值。
代数表达与方程式
代数表达与方程式代数是数学中的一个重要分支，它使用符号和字母来表示数和运算，以便研究数的性质和关系。
在代数中，经常会用到代数表达和方程式来描述和解决实际问题。
本文将介绍代数表达和方程式的基本概念以及应用。
一、代数表达代数表达是指用代数符号和字母表示数和运算的组合。
通过代数表达式，我们可以简洁地描述数的关系和运算过程，方便进一步的计算和研究。
代数表达式通常包含数字、字母、运算符号以及括号等。
其中，字母通常用来表示未知数或变量。
例如，表达式2x表示一个数乘以未知数x，其中的2是系数。
在代数表达式中，常见的运算符号包括加法(+)，减法(-)，乘法(*)，除法(/)以及乘方(^)等。
例如，表达式3x^2+4y-5表示一个未知数x的平方乘以3，加上一个未知数y乘以4，再减去5。
在代数表达中，括号的使用非常重要。
括号可以改变运算顺序，同时也用于表示乘法分配律和代数式的整体性质。
例如，表达式(2x+3)(x-1)表示先计算括号内的乘法，然后将结果进行加法运算。
二、方程式方程式是一个数学等式，其中包含一个或多个未知数，我们需要找到未知数的值使等式成立。
方程式在代数中的应用非常广泛，能够帮助我们解决各种实际问题。
方程式通常由两个表达式通过等号连接而成。
例如，2x+3=7就是一个方程式，其中2x+3表示一个代数表达式，等号表示两个表达式相等，7表示方程式的结果。
解方程式的过程就是求使方程式成立的未知数的值。
在求解过程中，我们需要使用各种代数运算的方法和原理，例如移项、消去、合并同类项等。
方程式的解不止一个，可以有无穷多个解或者没有实数解。
根据方程式的形式和特点，我们可以使用不同的方法来求解，例如一次方程的解直接利用等式性质即可得到，而二次方程则需要应用求根公式等。
三、代数表达与方程式的应用代数表达和方程式在科学、工程、经济等领域均有广泛应用。
通过代数表达，我们可以对现象和问题进行数学建模，方便计算和分析。
例如，在物理学中，通过代数表达可以描述物体的运动状态和相互作用。
《计算机方程式》知识点归纳
《计算机方程式》知识点归纳1.方程式的表示：《计算机方程式》通过数学符号和计算机编程语言中的表达式来表示方程式。
可以用变量、常量、函数和运算符来构建表达式，用以描述数学关系。
2.方程式求解：《计算机方程式》主要用于解决方程式的求解问题。
根据方程式的类型和形式，可以采用不同的求解方法，如代数解法、数值解法和符号化解法等。
3.代数解法：代数解法是指通过代数运算来解决方程式的方法。
常见的代数解法有因式分解法、配方法、消元法和代数恒等式等。
代数解法适用于求解简单方程式和多项式方程式等。
4.数值解法：数值解法是通过数值计算来求解方程式的方法。
常见的数值解法有迭代法、二分法、牛顿法和高斯-塞德尔方法等。
数值解法适用于求解非线性方程式和微分方程等。
5.符号化解法：符号化解法是通过利用符号计算软件和代数运算来求解方程式的方法。
符号化解法可以得到方程式的精确解，但对于复杂的方程式求解可能存在局限性。
6.方程组求解：《计算机方程式》也可以用于求解方程组的问题。
方程组是由多个方程组成的数学模型，通常表示为一组线性方程或非线性方程。
方程组求解可以采用代数运算、矩阵运算和迭代算法等方法。
7.经典案例：《计算机方程式》的应用十分广泛，其中一些经典案例包括：-牛顿-拉弗森迭代法：用于求解非线性方程的一种迭代方法。
-高斯消元法：用于求解线性方程组的一种消元方法。
-多项式插值：利用已知数据点拟合出一个多项式函数的问题。
-数值微分和数值积分：用于近似计算函数的导数和定积分。
总之，《计算机方程式》是一种将数学理论和计算机算法相结合的求解方法，广泛应用于解决各种数学问题。
了解《计算机方程式》的知识点可以帮助我们更好地掌握和应用计算机求解方法，提高数学问题的解决效率和准确性。
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1世纪的波斯数学家海牙姆（约 1044~约1123）给出了三次方程的几何 解法。这种方法是在使用直尺和圆规作 图的前提下，再允许画某一特定的圆锥 曲线，便可以解得三次方程。
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4.2 代数的符号化
4.2.1 丢番图的缩记符号
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丢番图将未知量称为“题中的数”，并用记号δ表示， 相当于现在的x。未知量的平方记为△，“△”是希腊 单字“△YNAMIE”(dynami，幂)的第一个字母。未知量 的立方记为K，“K”是单词希腊单字“KYBOE” (cubos,立 方)的第一个字母。未知量的四次方，丢番图用△△来 表示，他称之为“平方平方”；五次方用△K表示，称 为“平方立方”；六次方用KK表示，称为“立方立方”， 以此类推。他还用一些符号表示分数，例如，他用s表 示，减号很像V的倒置，再加上这个角的平行线。在一 个表达式中，L表示等号，加法他是用并列来表示的， 而乘法和除法则通过累加累减去进行。在他的符号系统 中，没有加法、乘法和除法的运算记号。所有的负项集 中到一起，前面写一个减号。任何未知数之幂的数字系 数用相应的希腊字母来表示，写在表示这个幂的符号之 后。如果存在常数项，则用来表示，“”是希腊文中 “monads”（MONA△E∑，意为“单位”）一词的缩写。
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4.1.2《九章算术》的“方程术”
《九章算术》中的“方程章”，是世 界上最早的系统研究代数方程的专门论 著。它在世界数学历史上，最早创立了 多元一次方程组的筹式表示方法，以及 它的多种求解方法。 《九章算术》把这些线性方程组的解 法称为“方程术”，其实质相当于现今 的矩阵变形方法。方程术是通过对方程 的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即 连续相减）实现减元、获取方程解的过 程。
5
4.1.3 开方法解方程
中国古代把解二次方程x2 + bx = c 的方法称作“带从开方”；把解三次方 程x3 + bx2 + cx=d的方法称作“带从 开立方”。 北宋数学家刘益（公元11~12世纪人） 使用“增乘开方法”求解一元高次方程。
6
如，使用“增乘开方法”解 －x2 列三行横式 －1 60 补零（前移一位， －100 600 （2 说明商为二位数）， 首商得2，增乘一次 －200 —100 400 －200 再增乘一次， －100 200 去零（后移一位）， －1 20 （4 次商得4，增乘一次 4 －1 16 恰好减尽。故得方程根 x=24。
+60x = 864. 864 864 －800 64 64 64
_－64 0
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4.1.4 几何方法解方程
开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商 加后商”）的几 何推导方法
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图4.4 面积法开平方 由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其 边长是三位数。 (100 a+ 10 b+ c)2 = 55225. 为此，先估计a = 2，如图4.4，于是在AB上截取AE = 200, 以A为一边做 正放形AEFG, 从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF 的面积： 55225 — 40000 = 15225。 为估计b，用EF 的2倍（定法）去试除这个余数，得b = 3。 在EB 上截取 EH = 30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知： 矩形FH的面积 = 矩形FJ的面积=30×EF =300×200. 正方形的 FI的面积=302。 因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更 细的“曲尺形”的面积为 15225 —（2×30×200 +302）= 2325。 最后估计个位数，用HI＝230的2倍去试除这个 余数，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK为一 边做正方形AKLM ，从正方形ABCD减去它，得 2325 —（2×5×230 + 52）= 0。 即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的 平方根：2352 = 55225。
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古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程
一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例项：a∶b=1∶x， 因而可以用尺规作图的方法求得x图4.5解方程x2－ px+q2=0的几何方法 假如r和s表示二次方程x2－px+q2=0的两个根，其中p和q 是正整数，且q≤p/2（这后一个条件，保证r和s都为正 数）。用几何方法求解这个方程的根，就等价于由给定线 段P和q求出线段r和s。用现代数学中的韦达定理可知 r+s=p，rs=q2。于是相应的几何方法可以是： 作一个正方形，使它的面积等于给 定的正方形，而它的相邻两边的乘 积等于给定的一个线段长。为此， 可由图4.5得到上述的方程几何求 解方法。
13
4.2.2花拉子米的“代数学”
“代数学”（algebra）这个词来源 于花拉子米所著的一本书。原意是“还 原”，专指把负项移到方程另一边使之 变成正项的方法。 花拉子米的还原和对消运算分别 对应于现在方程的移项和合并同类相运 算。其中的配方法，给出了解一元二次 方程的公式，并得到了二次方程的两个 根。尽管这些方法在花拉子米的著作中 是用实际问题的解法被纪录下来的，但 它们具有求解方程的一般方法的意义
x
p / 2
2
q p/2
图4.1 普林顿322号泥版 这个问题相当于求解方程 x2+（2/3） x=35/60。古巴比伦人的解法则相当于将方程 x2 + px = q的系数代入公式
2
古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程 的解法，这些解法则记录在一些数表上。
图4。1普林顿第322号泥版——勾股数表
第四章 方程求解与代数符号化
方程求解问题的研究是代数学产生的重要源 泉。 代数学的基本方法：用符号表示研究对象以 及这些对象间的关 系。代数学发展的历史，就是代数学符号化 的历史：文字表示、缩记代数、符号代数学
1
4.1早期的方程求解方法
4.1.1 配方法与数表法 古巴比伦的第13901号泥版，记述了这样 一个问题： “把正方形的面积加上正方形边长的三分 之二得35/60①，求该正方形的边长。”
4
在“方程章”问题的解法中还可以发现下 述方程变形的性质： 如果方程的两边都加上（或减去）同一数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方 程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。 刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有 数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三 物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之 方程。”法。