复合函数的导数
《复合函数的导数》课件
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
复合导数的求导
复合导数的求导
复合函数指的是由两个或多个函数构成的函数，例如f（x）= g（h（x））就是一个复合函数。
对于复合函数的求导，我们需要运用链式法则。
链式法则：如果y = f（g（x）），那么y的导数可以表示为dy/dx = dg/dx * df/dg。
换句话说，链式法则告诉我们，如果y是由两个或多个函数g和f组合而成的，那么y 的导数可以通过对每个函数执行单独的导数计算，然后将它们相乘得到。
二、复合函数的高阶导数
复合函数的高阶导数可以通过重复应用链式法则来计算。
首先，我们需要计算的是一阶导数，然后再利用这一阶导数计算二阶导数，以此类推。
然后，二阶导数可以计算如下：
y'' = f''（g（x））* g'（x）^2 + f'（g（x））* g''（x）
依此类推，我们可以计算出更高阶的导数。
三、复合函数的实例
下面通过一个实例来演示如何求解复合函数的导数。
例： y = e^(x^2-1)
首先，我们需要将y表示为复合函数，其中一个函数为g（x）= x^2 – 1，另一个函数为f（x）= e^x。
然后，我们需要分别计算出g（x）和f（x）的导数，并带入链式法则公式中来计算y 对x的导数：
g’（x）=2x
f’（x）=e^x
因此，y对x的导数为2xe^(x^2-1)。
接下来，我们可以通过重复应用链式法则来计算复合函数的高阶导数。
例如，我们想求解y对x的二阶导数，可以进行如下计算：
y'' = 2e^(x^2-1) + 4xe^(x^2-1)
四、总结。
复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
求导是微积分中的一个重要概念，它是求函数的变化率的一种方法。
求导的公式有很多，其中复合函数求导公式也是很重要的一种。
首先，复合函数求导的基本公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
这是复合函数求导的基本公式，也是最常用的公式。
其次，复合函数求导的链式法则是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)，其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，g'(x)表示g(x)在x 处的导数。
再次，复合函数求导的指数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为指数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)*ln(a)，其中a为指数函数的底数。
最后，复合函数求导的对数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为对数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)/x，其中x为对数函数的底数。
以上就是复合函数求导的公式大全，它们是微积分中的重要概念，也是求函数的变化率的一种方法。
学习这些公式，可以帮助我们更好地理解复合函数求导的概念，从而更好地掌握微积分的知识。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
复合函数的求导法则
复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数的组合构成的函数。
在数学中，复合函数的求导法则是一种用于计算复合函数导数的规则。
对于一对函数u(x)和v(x)，其中u(x)是v(x)的内函数，即v(x)=u(f(x))，我们可以使用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则的表述如下：若y=u(v(x))，其中u(t)和v(x)均可导，则y对x的导数等于u对v的导数乘以v对x的导数，即：dy/dx = du/dv * dv/dx下面我们通过具体的例子来解释复合函数的求导法则，并应用链式法则来计算复合函数的导数。
假设我们想要求解函数y=(2x+1)^3的导数。
我们可以将该函数看作是一个复合函数，其中u(t)=t^3，v(x)=2x+1，即y=u(v(x))。
首先，我们求解 u(t) 对 t 的导数 du/dt。
根据幂函数的导数公式，我们有 du/dt = 3t^2然后，我们求解 v(x) 对 x 的导数 dv/dx。
由于 v(x) = 2x + 1，我们可以直接应用导数的线性性质得到 dv/dx = 2最后，我们将 du/dt 和 dv/dx 相乘，得到 dy/dx = du/dv * dv/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2所以，函数 y = (2x + 1)^3 对 x 的导数为 dy/dx = 6(2x + 1)^2以下是一些其他常见的复合函数的导数求解例子：1.y=e^x^2首先，设置u(t)=e^t，v(x)=x^2求导得到 du/dt = e^t，dv/dx = 2x。
最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = e^(x^2) * 2x。
2. y = ln(2x + 1)首先，设置 u(t) = ln(t)，v(x) = 2x + 1求导得到 du/dt = 1/t，dv/dx = 2最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = (1/(2x + 1)) * 2 = 2/(2x + 1)。
复合函数的求导法则.
复合函数的求导法则是指对于一个复合函数而言，求导时
需要将自变量和函数进行分离，分别对自变量和函数求导，
再求和。
具体来说，复合函数的求导法则可以分为两种情况:
1. 直接求导法则
如果复合函数的内层函数是简单函数(即只包含一个自变
量的函数)，那么可以直接按照求导法则对内层函数进行求导，然后利用链式法则对外层函数进行求导。
例如，对于函数
f(x)=x^2+2x,求f(x)的导数，可以按照以下步骤进行:
f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + 2(x^2)'x = x^2 + 4x
其中，x^2的导数为2x,2x的导数为2,x的导数为1。
2. 间接求导法则
如果复合函数的内层函数是复合函数，那么需要先将内层
函数转化为简单函数，然后再按照求导法则对简单函数进行
求导。
例如，对于函数f(x)=sin(wx+b),求f(x)的导数，可
以按照以下步骤进行:
f'(x) = (sin(wx+b))' = (sin(wx+b))'w·cos(wx+b) + (sin(wx+b))'b·sin(wx+b) = w·cos(wx+b) + b·sin(wx+b)
其中，w为常数，表示角速度，cos(wx+b)为在wx+b方向
上的余弦函数，sin(wx+b)为在wx+b方向上的正弦函数。
复合函数求导方法
复合函数求导方法在微积分中，复合函数是一种十分常见的函数形式，它由两个或多个函数组合而成。
对于复合函数的求导，我们需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍复合函数求导的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下基本的导数求法。
对于一个函数y=f(x)，它的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这是导数的定义式，也是我们求导的基本方法。
而对于复合函数，我们需要使用链式法则来进行求导。
链式法则的表述如下，若函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))可导，并且有。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]这就是链式法则的数学表达形式。
简单来说，就是先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
下面我们通过实例来具体说明复合函数求导的方法。
假设我们要求函数y=(x^2+1)^3的导数。
首先，我们可以将这个函数看作外层函数f(u)=u^3，内层函数u=g(x)=x^2+1。
按照链式法则，我们先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
首先，对外层函数f(u)=u^3求导，得到f'(u)=3u^2。
然后，对内层函数u=g(x)=x^2+1求导，得到g'(x)=2x。
最后，将两者相乘，得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为：\[ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2 \]这就是复合函数求导的具体步骤和结果。
通过这个例子，我们可以看到，复合函数求导并不难，只需要按照链式法则的步骤进行，便可以得到结果。
除了链式法则，我们在求导复合函数时还可以使用其他方法，比如对数导数法则、指数导数法则等。
导数的复合求导法则
导数的复合求导法则导数的复合求导法则是微积分中的重要内容，它可以帮助我们计算含有复合函数的导数。
在复合函数中，一个函数嵌套在另一个函数内部，我们需要利用复合求导法则来计算这个复合函数的导数。
复合求导法则有两个部分：链式法则和指数法则。
一、链式法则：链式法则是计算复合函数导数的一种方法，它适用于函数嵌套的情况。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)其中，(dy/du)表示外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，(du/dx)表示内函数u=g(x)对自变量x的导数。
链式法则的推导过程如下：1.设复合函数为y=f(g(x))，其中u=g(x)。
2. 通过求导的定义，可以计算出dy/du，即外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数。
3. 通过求导的定义，可以计算出du/dx，即内函数u=g(x)对自变量x的导数。
4. 接着，将dy/du和du/dx相乘即可得到复合函数y=f(g(x))的导数：dy/dx = dy/du * du/dx。
链式法则的一个重要应用是计算嵌套函数的高阶导数。
利用链式法则，我们可以推导出计算嵌套函数高阶导数的公式。
例如，对于二阶导数，我们可以将链式法则应用两次来计算。
二、指数法则：指数法则是计算含有指数函数的复合函数导数的一种方法。
指数函数是指以常数e为底的自然指数函数，例如f(x) = e^x。
对于指数函数e^x，其导数等于其本身。
即d(e^x)/dx = e^x。
当复合函数中出现指数函数时，我们可以利用指数法则来计算其导数。
指数法则有两种形式：1. 对于一般形式的复合函数：y = e^(g(x))，其中u = g(x)。
则该复合函数的导数为dy/dx = (e^(g(x))) * g'(x)。
2. 对于特殊情况：y = a^(g(x))，其中a为常数。
则该复合函数的导数为dy/dx = (a^(g(x))) * ln(a) * g'(x)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
lim y lim y u lim y lim u x0 x x0 u x x0 u x0 x
y u z u
u x
2
u y
2
u z
2
x2
y2 u2
z2
u2 u2
1,
所以有
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
eu sec2 x sec2 x etanx .
复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必 写出.
例 4 设 y 1 x2 , 求 y .
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
yu (
u )
1
1
u2
1 (1
x
2
)
1 2
也在心中运算
.
2
2
这样可以直接写出下式
yx
1 2
(1
x
2
1
(x
ex
1
)2
(1
ex
).
2
例 8 设 y x ,求 y . 1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
lim
u0
y lim u x0
u x
yu
ux，
即 yx yu ux .
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均 可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导， 且
二、复合函数求导举例
例 1 设 y = (2x + 1)5，求 y .
解 把 2x + 1 看成中间变量 u，将 y = (2x + 1)5
ex
ex 2
1 2
[(e x
)
(e x
)]
1 (ex ex ( x)) 2
1 (ex ex ) chx. 2
即
(sh x) = ch x .
同理可得
(ch x) = sh x .
补证一下 (x) = x -1 .
因为 x eln x e ln x ，
所以
(x) = (elnx)
1
3
(1 x2 )2
.
例 9 设 y = sin(xln x)， 求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
例 10 求 [ln(x 1 x2 )]
yx ( x)
1 sin
(sin x
x )x
1 cos sin x
x(
x
) x
2
1 x
cot
x.
例 7 设 y x ex , 求 y .
解
yx
1 (x 2
e
x
)
1 2
(
x
e x ) x
1
(
x
e
x
)
1 2
2
( x)x
(e x ) x
1 (x 2
e
x
)
1 2
1 ex
( x)x
)
1 2
(1
x 2 ) x
x . 1 x2
例 5 设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x).
解
f ( x)
1 1 x4
( x2 )x
2x . 1 x4
例 6 设 y ln sin x , 求 y . 解 这个复合函数有三个复合步骤
y ln u, u sinv, v x . 把这些中间变量都记在脑子中．
看成是
y = u5，u = 2x + 1
复合而成， 由于
yu (u5 ) 5u4 ,
所以
ux (2x 1) 2. yx yu ux 5u4 2 10(2 x 1)4 .
例 2 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而