组合数学1

组合数学1一、填空题1．从n 个不相同的元素里,每次取出m 个元素（可以重复）的组合.这样的组合叫做相异元素可重复的组合,其个数为 m n 。

2．从n 个不相同的元素里,每次取出m 个全不相同的元素,并且将这些元素放在圆周上进行排列,即排列好的元素列没有头尾,则其排列的个数为 ()!!n m n m -。

3．从88⨯的棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”型,如图问共有 196 种不同的取法.4．计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧2n = 121n -- 。

5．计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1n n = ()12n n - 。

6．计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧24= 11 。

7．6321)32(x x x +-中23231x x x 的系数是 1440- . 8、在多项式()7521...x x x +++的展开式中的项534321x x x x 的系数是 420 。

9．不定方程N x a x a x a n n =+++ 2211有整数解的充分必要条件是 ()1,2,0,n a a a N .二、选择题1．8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排队方法数是（ B ）。

A !63⋅ B !64⋅ C !66⋅ D !68⋅2．由一个正方体的三个顶点所构成的正三角形的个数为（ D ）.A 4B 8C 12D 24.3．把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有（ 16 ）种 A 45 B 36 C 28 D 204．从n 3个相邻的正整数中选出三个数，使它们的和能被3整除，共有不同选法种数为（ C ）.A 33n C ； B 313)(C ； C 333n C ； D 313)(3n n C C +.5．仅由数字1, 2, 3组成的七位数中, 相邻数字均不相同的七位数的个数是 ( D ). A 576 B 504 C 343 D 1926、8次射击，命中3次，其中恰有2次连续命中的情形共有（ A ）种. A 15； B 30 ； C 48 ； D 60.7．设x ，y 均为正整数且y x +≤20，则这样的有序数对),(y x 共有（ A ）个。

A 190B 200C 210D 2208．百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数是 ( A ).A 576B 504C 720D 3369．6321)32(x x x +-中23231x x x 的系数是（B ） A 1440 B –1440 C . 0 D 1三、计算题1．求6321)532(x x x +-的展开式中23231x x x 的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？2、求()7521...x x x +++的展开式中534321x x x x 的系数? 展开后合并同类项，则一共有多少项？3．求50!中2的最高次幂.4．求)(5x f 的展开式.5．在平面上,对任意自然数n ,连接原点O 与点(,3),n P n n +用)(n f 表示线段n OP 上除端点外的整点个数,试求(1)(2)(2004).f f f +++6．设{1,2,...,2001}A =,是判断是否存在集合A 的分划1234A A A A A =⋃⋃⋃,其中集合(14)i A i ≤≤中各数字的和组成等差数列，并说明理由。

7．试求两个最小正整数n ，使得集合{}n n 3,13,,2,1- 分划为n 个互不相交的,每个子集合只含三个数{},,,z y x 并且z y x 3=+.四、证明题1．证明：()011=-∑≥k n k k C k ,()010=-∑≥k k n r k kC C . 2．证明：在任意给出的1+n （n ≥2）个正整数中必有两个数，它们的差能被n 整除。

3.证明：0)1(02=-∑=nk k n k C k （2>n ） 4．在平面的任意5个整数点(横、纵坐标为整数的点)中,一定存在2个点,使其连线的中点也是整数点.5．证明：在任意给出的1998个自然数1a ，2a ，…，1998a 中，必存在若干个数，它们的和能被1998整除。

组合数学2一、填空题1．在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有 200 个。

2．令1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++,则()f x 的差分表中第1n +(1)n ≥+行为 0 .3．已知递推关系)3(1243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，则其通解为 ),2,1,0(3)2(2321 =+-+=n c c c a n n n n4．设n 是一个正整数，令n Q 表示在},...,2,1{n 中不允许出现两个连续数字的排列方法数，则我们有n Q =()()()! 11-!- 2C ! 1!11121-n 11----+-+--n n n n C n n C n 5．当1≥n 时,我们有n D =()()!!11...!31!21!111n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+- (其中n D 表示集合},...,2,1{n 的更列的个数)。

6．从1至1000的整数中，有 167 个整数能被5整除但不能被6整除.7．在边长为1的正方形内任意放入5个点，则其中至少有两个点的距离小于22. 二、选择题1．在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有（ D ）个。

A 100 B 120 C 140 D 1602．递推关系⎩⎨⎧=≥+=-3)1( 2201a n a a n n n 的解为（ D ） A 32+⋅=n n n a B 22)1(++=n n n aC 12)2(++=n n n aD n n n a 2)3(+=3．递推关系⎩⎨⎧=≥+=-3)1( 2201a n a a n n n 的解为（ D ） A 32+⋅=n n n a B 22)1(++=n n n aC 12)2(++=n n n aD n n n a 2)3(+=4．已知0)}({≥n n f 是Fibonacci 数列且21)7(=f ，34)8(=f ，则=)10(f （ A ）A 89B 110C 144D 2885．递推关系)3(4331≥-=--n a a a n n n 的特征方程是（ C ）A 0432=+-x xB 0432=-+x xC 04323=+-x xD 04322=-+x x6．已知),2,1,0(232 =⋅+=n a n n ，则当n ≥2时，=n a （ D ）A 2123--+n n a aB 2123---n n a aC. 2123--+-n n a a D 2123----n n a a7．在32⨯矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ C ）.A 24；B 38 ；C 46 ；D 50.8．设x ，y 均为正整数且y x +≤20，则这样的有序数对),(y x 共有（ A ）个。

A 190 B 200 C 210 D 2209．不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是（ A ）A 26B 28C 30D 3210．设x ，y 均为正整数且y x +≤20，则这样的有序数对),(y x 共有（ A ）个。

A 190 B 200 C 210 D 220三、计算题1．从1至2000的整数中，至少能被2，3，5中的两个数整除的整数有多少个？解：设所求为N ，令}2000,,2,1{ =S ，以A ，B ，C 分别表示S 中能被32⨯，52⨯，53⨯整除的整数所成之集，则53466663133200333 532200053220003532000522000322000 =+⨯-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=+---++==CB AC B C A B A C B A CB A N 2．求从1至1000的整数中能被14或21整除的整数的个数。

解：设所求为N ，令}1000,,2,1{ =S ，以A ，B 分别表示S 中能被14和能被21整除的整数所成之集，则95234771 3141000211000141000 =-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+==BA B A B A N 4．从1至1000的整数中，有多少个整数能被6整除，但不能被9也不能被15整除？解：设所求为N ，令}1000,,3,2,1{ =S ，以A ，B ，C 分别表示S 中能被6，9，15整除的整数所成之集，则C B A N -=，由容斥原理得CB AC A B A A C A B A A C B A A N +--=-=-= )()( )(因为6与9的最小公倍数为8，6与15的最小公倍数为30，6、9、15这3个数的最小公倍数为90，故166661000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A ，55181000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A ， 33301000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C A ，11901000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A 从而 89113355166=+--=N3．设0n ,求在平面区域{(,)0,0,}T x y x y xy n =≤且内的整数点(坐标为整数的点)的个数。

解： 令1{(,)0,0}n T x y x n y x =≤≤ 2{(,)0,0}n T x y y n x y=≤≤. 则12T T T =⋃,12{(,)0,0}T T x y x n y n ⋂=≤≤.于是由容斥原理有121212T T T T T T T =⋃=+-⋂ =200[][][]x n y n x N y N n n n x y ≤≤∈∈+-∑∑ =202[][]x n x Nn n x ≤∈-∑.4．一次宴会，7位来宾寄存他们的帽子，在取回他们的帽子时，问有多少种可能使得（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子？（2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子？解：记7个来宾为1A ，2A ，…，7A ，则7个来宾的取帽子方法可看成是由1A ，2A ，…，7A 作成的这样的全排列：如果i A （1≤i ≤7）拿了j A 的帽子，则把i A 排在第j 位，于是（1）没有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于7元重排数7D ，即等于1854。

（2）至少有一位来宾取回的是他自己的帽子的取法种数等于由1A ，2A ，…，7A 作成的至少有一个元保位的全排列数，为318618545040!77=-=-D5．解递推关系：⎩⎨⎧===≥-+=---24,2,8)3( 842210321a a a n a a a a n n n n 解：所给递推关系的特征方程为084223=+--x x x ，特征根为21-=x ，22=x ，23=x 。