组合数学作业讲解
组合数学的基础知识：三年级教案详解
组合数学的基础知识：三年级教案详解组合数学是一种研究离散对象组合的数学分支。
它广泛应用于计算机科学、密码学、统计学、组合优化等领域。
在学习组合数学的基础知识时，需要了解基本概念、计数原理、排列组合以及组合恒等式等。
一、基本概念1.1 集合在组合数学中，集合是指由一些确定的、无序的、互异的对象组成的一个整体。
例如，{1，2，3}就是一个集合，其中的元素1、2和3互不相同。
1.2 全排列全排列是指一个集合中所有元素的不同排列方式。
例如，集合{1，2}中的全排列有{1，2}和{2，1}。
1.3 子集子集是源集合中选择部分元素组成的集合，可以为空集或全集。
例如，集合{1，2，3}的子集有{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}和{}。
二、计数原理2.1 乘法原理乘法原理是指如果一件事情要由A、B两个步骤成，而A步骤有a 种可能，B步骤有b种可能，这件事情的完成方法总共有a×b种可能。
例如，有4种口味的冰激凌和3个糖果要选，选择这些东西的总方法数是4×3=12种。
2.2 加法原理加法原理是指如果一件事情的完成有多个可能的方法，其中第一种方法有a种可能，第二种方法有b种可能，这件事情完成的总方法数是a+b种可能。
例如，在一家餐厅点餐，第一次有5种选择，第二次有3种选择，总共点餐方式的数量是5+3=8种。
三、排列组合3.1 排列排列是从n个元素中取r个元素，按照一定的顺序排列的方式，一共有多少种不同的排列方法的问题。
可以表示为P(n,r)。
例如，你有4件不同的T恤，但是你只有3个衣架来挂它们。
有多少种不同的挂法？根据排列的定义，这个问题可以表示为P(4,3)=24种方式。
3.2 组合组合是从n个元素中取r个元素，在不考虑顺序的情况下，一共有多少种不同的取法方式的问题。
可以表示为C(n,r)。
例如，你有7个不同的彩球，但你只能选5个。
有多少种不同的选法？这个问题就可以表示为C(7,5)=21种。
高中数学组合获奖优秀教案
高中数学组合获奖优秀教案
教案名称：解决问题的数学组合方法
教学目标：
1. 熟练掌握数学组合的基本概念和方法；
2. 能够运用数学组合的方法解决实际问题；
3. 培养学生的逻辑思维和创新能力。
教学内容：
1. 数学组合的定义和性质；
2. 数学组合的常见问题解法；
3. 实际问题的数学组合解决方法。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师出示一个问题：“班里有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个团队，问有多少种可能的组合方式？”引导学生思考，引出数学组合的概念。
二、讲解（15分钟）
1. 教师讲解数学组合的定义和性质；
2. 介绍数学组合的基本计算方法；
3. 演示数学组合在解决实际问题中的应用。
三、练习（20分钟）
1. 学生进行小组讨论，解决一些简单的数学组合问题；
2. 学生个人练习，完成几个实际问题的解答。
四、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调数学组合在解决问题中的重要性，并鼓励学生勤加练习。
五、作业布置（5分钟）
布置课后作业：解决一些更复杂的数学组合问题，加深对数学组合的理解。
教学评价：
通过这节课的教学，学生能够熟练掌握数学组合的基本概念和方法，能够灵活运用数学组合解决实际问题，培养了学生的逻辑思维和创新能力。
希望学生在实践中不断提高自己的解决问题能力，取得更好的成绩。
（教案结束）。
奥数专题：组合问题(教案)
奥数专题：组合问题(教案)介绍组合问题是奥数中的一个重要概念，涉及到各种排列组合和选择的方法。
在解决组合问题时，我们需要运用到排列组合的知识和逻辑思维能力。
研究目标本教案的研究目标如下：- 了解组合问题的基本概念和特点- 掌握解决组合问题的常用方法- 培养学生的逻辑思维和问题解决能力教学内容1. 组合问题的定义和基本概念- 组合问题是一种从给定的元素集合中选择若干元素进行排列的问题，不考虑元素的顺序。
- 掌握排列和组合的区别，理解组合问题的特点。
2. 解决组合问题的常用方法- 枚举法：逐个列举出所有的可能情况。
- 计数法：使用数学计数原理和组合公式进行推导和计算。
- 递推法：通过寻找递推关系，将大问题转化为小问题进行解决。
3. 练与应用- 设计一些实际问题，并引导学生运用所学方法解决。
- 提供一些组合问题的练题，以 consolHidolidate 锻炼学生的能力。
4. 总结和拓展- 总结本节课所学的内容，并展示一些拓展问题，鼓励学生尝试挑战更复杂的组合问题。
教学步骤1. 导入：通过一个生活中的例子介绍组合问题的概念和应用。
2. 讲解：详细讲解组合问题的基本概念和解决方法。
3. 操练：通过一些简单的练题，让学生掌握细节并熟练应用所学方法。
4. 进阶：给出一些更复杂的组合问题，引导学生思考和解决。
5. 拓展：鼓励学生自己设计一些组合问题，并与同学互相分享解题思路。
6. 小结：总结本课的重点和要点，并鼓励学生继续巩固和拓展所学内容。
教学资源- 组合问题的练题和解析- 计算工具或公式表评估方式- 检查学生在课堂练中的表现和解答正确率。
- 提供一些组合问题的作业，评估学生的独立解题能力。
参考资料- 《奥数教材》- 《奥数题解大全》以上就是本教案关于奥数专题的组合问题的内容。
通过本课的学习，学生将掌握解决组合问题的基本方法和技巧，提高逻辑思维和问题解决能力。
希望本教案能对您的教学工作有所帮助！。
组合数学作业Dilworth定理的证明
Dilworth定理的证明摘要在本文中，我对Dilworth定理进行了证明。
先给出了一些证明定理需要的相关概念的解释，然后给出了详细的证明过程。
分别应用了数学分析中常用的删除找包含关系的方法和反证归纳的方法。
关键词 Dilworth定理证明偏序集正文1、Dilworth定理：令p是一个有限偏序集。
P中元素划分为不相交链的最小个数m，等于p的一个反链所包元素的最大个数M。
2、前言知识偏序集一个偏序集就是一个集合S连同S上的一个二元关系（这是一个抽象的符号，不代表小于等于或包含于），使其满足：（1）对于一切aS有aa（反射性）。
（2）若ab，bc，则ac（传递性）。
（3）若ab且ba，则a=b（反对称性）。
例如整数集及整数间的大小关系就构成一个偏序集；一个集合的子集及包含关系也构成一个偏序集。
（个人理解）链与反链如果S中任意两个元素a和b，或者ab或者ba，则称这个偏序为全序或线性序。
如果集合S的一个子集是全序的，那么这个子集就称为是一条链。
若一个集合中的元素是两两不可比较的，则这个集合称为反链。
3、证明过程：（1）先证m≥M。
这是显然的，由链与反链的定义得：因为最长链长度是M，M个元素中的任意两个都可以比较，因此它们必定两两属于不同的反链，因此反链个数≥M，即m≥M。
（2）再证M≥m。
第一种方法数学分析类的方法设X1=S。
找出X1的所有极小元组成集合Z1，将其从X1删之，得到X2，再找出X2的所有极小元组成集合Z2（特别注意Z2中的任何元素a2，在X1中必然存在一个元素a1使得a1≤a2，否则a2可以放到X1中，这与X1的选取矛盾），再将Z2从X2中删除，得到X3，……这样一直下去，总存在一个k使得XK不空但X(K+1)为空。
这样便得到一条链a1，a2，a3，……，ak，其中ai属于Xi。
由于M是最长链长度，因此M≥k。
另一方面，我们也得到了一个反链划分，即X1，X2，X3，……，XK。
由于m是最少反链划分，因此k≥m。
组合数学解析
组合数学解析在数学领域中，组合数学是研究离散结构的一门学科，它主要关注于物体的集合以及它们之间的排列、组合和选择方式。
组合数学广泛应用于计算机科学、信息技术、统计学、天文学等多个领域，在许多实际问题的建模和解决中都起到了重要的作用。
一、组合数学的基本概念1. 排列与组合在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念。
排列是指一组对象按照一定顺序进行排列的方式，而组合则是指从一组对象中选取一部分对象进行组合的方式。
排列和组合的计算公式为：排列公式：P(n,m) = n!/(n-m)!组合公式：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]其中，n表示对象的总数，m表示要排列或组合的对象的数量，n!表示n的阶乘。
2. 二项式系数在组合数学中，二项式系数表示的是两个数的二项式展开系数，它也是组合数学中的重要概念。
二项式系数的计算公式为：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]二项式系数在组合数学中起到了非常重要的作用，它们具有许多重要的性质和应用。
二、组合数学的应用领域1. 组合数学在计算机科学中的应用在计算机科学中，组合数学是一门非常重要的学科。
组合数学的许多概念和方法被广泛应用于算法设计、图论、密码学、数据压缩等领域。
例如，在算法设计中，对于排列和组合的问题，组合数学可以提供有效的算法和优化策略。
在密码学中，组合数学的概念被用于设计和分析密码算法的安全性。
2. 组合数学在信息技术中的应用在信息技术领域中，组合数学也扮演着重要的角色。
例如，编码理论中的纠错码和压缩码的设计就依赖于组合数学的概念和方法。
另外，在网络优化、通信网络设计等问题中，组合数学的知识也能够提供宝贵的解决思路。
3. 组合数学在统计学中的应用在统计学中，组合数学可以用于描述和统计样本空间以及事件的可能性。
组合数学中的概率论和统计学概念有紧密的联系，例如样本空间的总数、事件的发生概率等都可以通过组合数学的方法进行计算和分析。
此外，组合数学还在实验设计、随机模型等方面发挥着重要作用。
组合数学详解教案
组合数学详解教案教案标题：组合数学详解教案教案目标：1. 了解组合数学的基本概念和原理；2. 掌握组合数学的常见方法和技巧；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力；4. 培养学生的团队合作和沟通能力。
教案内容安排：一、导入（5分钟）1. 介绍组合数学的定义和应用领域，引发学生对组合数学的兴趣；2. 提出一个简单的组合问题，让学生思考如何解决。
二、基本概念讲解（15分钟）1. 介绍组合数学中的排列和组合的概念及其区别；2. 解释组合数学中常见的术语，如阶乘、二项式系数等；3. 通过例题演示，让学生理解基本概念的应用方法。
三、组合数学方法与技巧（30分钟）1. 讲解常见的组合数学方法，如乘法原理、加法原理、容斥原理等；2. 指导学生运用这些方法解决实际问题；3. 给予学生练习机会，加深对方法和技巧的理解和掌握。
四、拓展应用（20分钟）1. 引导学生思考组合数学在实际生活中的应用，如概率计算、密码学等；2. 提供一些拓展问题，让学生运用所学知识解决；3. 鼓励学生展示解题过程和思路，促进团队合作和交流。
五、总结与反思（10分钟）1. 总结本节课所学的组合数学知识点和方法；2. 让学生回顾自己在解题过程中的困惑和收获；3. 鼓励学生提出问题和建议，以便改进教学。
教案评估方式：1. 课堂练习：布置一些组合数学的练习题，检验学生对所学知识的掌握程度；2. 课堂表现：观察学生在课堂中的参与度、思考能力和团队合作精神；3. 反馈问卷：向学生发放问卷，收集他们对本节课教学内容和方式的评价。
教案拓展：1. 将组合数学与其他数学分支进行联系，如概率论、图论等；2. 引导学生进行小组研究，深入探究组合数学在不同领域的应用；3. 组织学生参加数学竞赛或编写数学研究报告，提高他们的数学思维和创新能力。
教案注意事项：1. 教师应提前准备好教案所需的教具和例题；2. 在教学过程中，注重学生的参与和思考，引导他们主动探索和解决问题；3. 鼓励学生展示自己的解题思路和方法，促进互动交流；4. 根据学生的实际情况，适当调整教学内容和难度，确保教学效果。
组合数c例题讲解
组合数c例题讲解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：组合数学在数学中是一个非常重要的分支，它研究的是集合元素之间的组合方式。
组合数在实际问题中的运用非常广泛，涉及到排列、选择、概率等方面。
本文将就组合数的基本概念和计算方法进行讲解，并附上一些相关的例题，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1.1：组合数在数学中，组合数表示从n个不同元素中取出m个元素的方式的数量，常用符号表示为C(n,m)。
其中n为总的元素个数，m为取出的元素个数。
组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)其中n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1。
而m!表示m的阶乘，即m*(m-1)*(m-2)*...*1。
组合数的计算方法非常简单，只需要将上述公式代入即可求得结果。
组合数具有一些特定的性质，包括：- C(n,0) = C(n,n) = 1- C(n,1) = C(n,n-1) = n- C(n,m) = C(n,n-m)- C(n,m) + C(n,m-1) = C(n+1,m)这些性质在组合数的计算中经常被用到，可以帮助简化计算过程。
组合数在实际中有着广泛的应用，包括排列组合、概率统计、组合优化等方面。
在日常生活中，我们经常遇到各种涉及组合数的问题，比如抽奖活动中中奖的概率、排列组合密码的破解等。
掌握组合数的知识能帮助我们更好地理解和解决这些问题。
二、例题讲解下面我们来看几个关于组合数的例题，通过实际问题来巩固所学的知识。
2.1：例题一某班有10名学生，其中4名男生和6名女生。
从中选出3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选法？解：根据组合数的定义，我们可以直接计算C(10,3)，即10个学生中选3名学生的方式的数量。
代入公式计算，得到结果为C(10,3) = 120。
有120种不同的选法。
假设有5种颜色的球，每种颜色各有3个，现在从中选出4个球，问选法的种数是多少？有5本不同的书，现在从中任选3本，问有多少种不同的选法？通过以上例题的讲解，相信读者对组合数的计算方法和应用有了更深入的理解。
《组合数学》教案1章讲解
《组合数学》教案1章讲解组合数学教案第一章讲解一、教学目标：1.了解组合数学的基本概念和方法2.掌握排列和组合的计算方法3.学会应用排列和组合解决问题二、教学重点：1.排列和组合的基本概念2.排列和组合的计算方法三、教学难点：1.排列和组合的应用问题的解决四、教学准备：1.教材《组合数学》2.课件3.黑板、粉笔五、教学过程：1.导入通过举例引入排列和组合的概念，引发学生对组合数学的兴趣。
例如：小明有5本不同的书，他想从这些书中选出三本看。
那么他有多少种不同的选择方法？2.引入通过引入数学公式引出排列和组合的计算方法以及其应用。
首先引入乘法原理，介绍排列的概念和计算方法。
然后引入除法原理，介绍组合的概念和计算方法。
3.排列的概念和计算方法从实际问题中引出排列的概念，如小红有4个不同的糖果，她想把这些糖果排成一排，一共有多少种不同的排列方法？然后介绍排列的计算方法，如何计算排列的种数。
4.组合的概念和计算方法从实际问题中引出组合的概念，如小明有8个不同的苹果，他想从中选出3个苹果吃，一共有多少种不同的选择方法？然后介绍组合的计算方法，如何计算组合的种数。
5.排列和组合的应用问题解决通过实际问题的解决引出排列和组合的应用。
如有5个不同的音乐家，要从中选出3人组成一支乐队，一共有多少种不同的组合方法？然后引出组合计数原理，帮助学生解决应用问题。
6.练习和总结让学生通过练习巩固排列和组合的计算方法，解决应用问题。
然后总结排列和组合的基本概念和计算方法。
七、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了组合数学的基本概念和计算方法，掌握了排列和组合的计算方法，并学会应用排列和组合解决问题。
八、作业布置布置相关习题作业，巩固所学知识。
九、课后拓展鼓励学生自学相关拓展内容，如组合数学的其他应用等。
以上是《组合数学》第一章的教案讲解，通过本节课的学习，相信学生能够掌握排列和组合的基本概念和计算方法，并能够应用排列和组合解决问题。
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习题三 [2.18(a)] a −6a +8a = 0 n n−1 n−2 解:设 G( x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ...... 则 D( x) = 1 − 6x + 8x2
D( x) G( x) = (1 − 6x + 8x2 )(a0 + a1 x + a2 x2 + ...) = a0 + (a1 − 6a0 ) x
1 1− x2 （2） G x) = −x − x3 − x5 −... = − x ( 2 1− x
（3）G x) =1− x + x2 − x3 + x4 − x5 +... = (
1 1+ x
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离散数学
∞ 1+ x [2.12]已知 [2.12]已知 an = ∑k2， ，求序列{ = ∑(n+1)2xn 求序列{an}的母函数 3 (1− x) n=0 k=1 是序列{ 的母函数， 解：令 B(x) = 1+ x 是序列{bn}的母函数， (1− x)3 即有 bn = (n+1)2 n+1
2011-9-6
离散数学
5
习题一
[1.38] 给出 r +r +1 +r + 2 +... +n = n+1 的组合意义？ 的组合意义？
组合意义一： 组合意义一：
r r r
r r +1
从{a1, a2, … , an+1}不可重复的取r +1个的组合数为 n+1 不可重复的取r +1个的组合数为
4 5 6
习题三 [2.18(a)] a −6a +8a = 0 n n−1 n−2
解:特征方程为 x2 − 6x + 8 = 0 特征根 r1 = 2 , r2 = 4 递推关系通解an = A1 2n + A2 ⋅ 4n（其中A1 , A2为待定常数） 为待定常数）
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离散数学
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另解：序列{ 另解：序列{an}的母函数
A x) = a0 +a1x +a2x2 +a3x3 +... ( =12 +(12 + 22)x +(12 +22 +32)x2 +(12 +22 +32 +42)x3 +... =12(1+ x + x2 + x3 +...) + 22 x(1+ x + x2 + x3 +...) +32 x2(1+ x + x2 + x3 +...) +... 1 2 2 (1 +2 x + 32 x2 +...) = 1− x 1 ∞ 1+ x 2 n = ∑(n+1) x = (1− x)4 1− x n=0
(0, 0)
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(r, 1) (r, 0) x
离散数学 7
习题二 [2.3] 已知母函数 G x) = ( 解：
3+78x 7 −4 G(x) = = + 2 1−3x −54x 1−9x 1+6x = 7∑(9x)n +(−4)∑(−6x)n = ∑(7⋅ 9n +(−1)n+14⋅ 6n)xn
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离散数学
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习题一 [1.27] 6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐， 6位男宾 位女宾围一圆桌而坐， 位男宾， (a)女宾不相邻有多少种方案？ (a)女宾不相邻有多少种方案？ 女宾不相邻有多少种方案 (b)所有女宾在一起有多少种方案？ (b)所有女宾在一起有多少种方案？ 所有女宾在一起有多少种方案 (c)一女宾A和两位男宾相邻有多少种方案？ (c)一女宾 和两位男宾相邻有多少种方案？ 一女宾A 解：(a)先圆排列男宾，然后女宾在间隔位排列 (a)先圆排列男宾 先圆排列男宾， 所求为 5! P56 = 86400 (b)女宾看做一个整体，所求为 6!⋅ 5! = 86400 (b)女宾看做一个整体， 女宾看做一个整体 (c)选择两位男宾和女宾 组成一个整体， (c)选择两位男宾和女宾A组成一个整体， 选择两位男宾和女宾A 所求为 P26 ⋅ 8! = 1209600
中x 系 为 其 8的 数 中 3+8-1 -3+4-1 -3+ 3-1 -3+ 2-1 8 4 3 2 = 45-15-10- 6 =14
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1− x 1− x 1− x = ⋅ ⋅ 1− x 1− x 1− x 4 5 6 9 1− x − x − x + x +... = (1− x)3
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习题一 [1.8] 求1040和2030的公因数数目？ 的公因数数目？ 解： 1040＝240×540 2030＝260×530 1040和2030 的最大公约数为240×530 的最大公约数为2 1040和2030 的公因数数目也即240×530的因子数 的公因数数目也即2 所求为(40+1)(30+1)=1271 所求为(40+1)(30+1)=1271 [1.16] n个完全一样的球放到r个有标志的盒(n≥r)中，无一空盒， n个完全一样的球放到 个有标志的盒(n≥r)中 无一空盒， 个完全一样的球放到r 试求方案数？ 试求方案数？
n (1)含a1的组合数为 (1)含
将上述组合问题分为n +1类 将上述组合问题分为n-r +1类：
r +1
r n−1 (2)不含a1含a2的组合数为 r (2)不含 不含a n−2 (3)不含a1a2，含a3的组合数为 (3)不含 不含a r
n
将其代入 a −2a +a = 5 ，得 A= 5 n n−1 n−2
3 5 所求为 C 2 + 2 ⋅ C 3 + 3 = 560
y
P C A B x
3 4 (b)按O→AB →P路径，所求为 C 2 + 2 ⋅ C 3 + 3 = 350 (b)按 →P路径 路径，
3 2 (c)按 (c)按O→A → C →P路径，所求为 C 2 + 2 ⋅ C 13 + 1 ⋅ C 2 + 2 = 240 →P路径 路径， 8 (d)所有路径去除(b)中路径，所求为 C 5 + 5 − 350 = 937 (d)所有路径去除 中路径 所有路径去除(b)中路径，
r +( n −1 − 解：所求为 C n − r n − r )−1 = C n − r = C rn−11
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离散数学
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习题一 [1.22] 求从O到P的路径数？ 求从O 的路径数？ (a)路径必须过A点； (a)路径必须过 路径必须过A (b)路径必须过道路 ； (b)路径必须过道路AB； 路径必须过道路AB (c)路径必须过A和C； (c)路径必须过 路径必须过A (d)道路 封锁 (d)道路AB封锁(但A、B两点开放)。 道路AB封锁( 两点开放) O (a)按 →P路径 路径， 解：(a)按O→A →P路径，
1 a − a 2a − 1 a 0 a0 + (a1 − 6a0 ) x 2 1 0 2 1 G( x) = = + 2 1 − 4x 1 − 2x 1 − 6x + 8x ∞ ∞ 1 a − a ) (4x)n + (2a − 1 a ) (2x)n =( 1 0 ∑ ∑ 0 2 2 1 n=0 n=0 ∞ = ∑[( 1 a1 − a0 )4n + (2a0 − 1 a1 )2n ]xn 2 n=0 2 ∴ an = ( 1 a1 − a0 )4n + (2a0 − 1 a1 )2n 2 2
n
2 所以非齐次递推关系的通解为 a = A + A n + 5 n2 n 1 2 2 代入初始值 a = 1, a = 2后，得到方程组 0 1
A1 = 1 A1 = 1 A A 5 2 ⇔ A = − 3 1+ 2+2= 2 2 所以递推关系的解为 a = 1 − 3 n &n =
∑k = ∑b
2 k=1 i=0
n+1
n
i
由母函数性质3 由母函数性质3知
B(x) 1+ x 序列{ 序列{an}的母函数 A x) = ( = 1− x (1− x)4
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习题二
∞ 1+ x [2.12]已知 [2.12]已知 an = ∑k2， ，求序列{ = ∑(n+1)2xn 求序列{an}的母函数 3 (1− x) n=0 k=1 n+1
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习题一
[1.38] 给出 r +r +1 +r + 2 +... +n = n+1 的组合意义？ 的组合意义？
组合意义二： 组合意义二：
r r r
r r +1
从(0, 0)到(r+1, n-r)的路径数=从(0, 0)经过所有点 (r, i)与 0)到 n-r)的路径数 的路径数= 0)经过所有点 i)与 (r+1, i)之间的边的路径数之和(其中0≤i ≤n-r) i)之间的边的路径数之和 其中0≤i ≤n之间的边的路径数之和( (r, n-r) y (r+1, n-r) r+1, (r, n-r-1)