随机变量的数学期望与方差说课讲解
《数学期望与方差》课件
相关系数在统计学、金融等领域有广泛应用，如股票价格与市场指数的相关性分析、回归分析等。
相关系数的应用
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性质、可乘性质等，这些性质在概率论和统计学中有重要应用。
05
数学期望与方差的实例分析
总结词
数学期望和方差在投资组合的风险与回报分析中具有重要应用。
总结词
利用数学期望和方差可以对赌博游戏的概率进行分析。
详细描述
在赌博游戏中，玩家需要根据游戏规则和概率计算每种可能结果的数学期望和方差，以评估游戏的风险和潜在收益。通过比较不同赌博游戏的数学期望和方差，玩家可以做出更明智的决策。
数学期望
对于赌博游戏而言，数学期望计算的是长期玩家的平均收益。如果数学期望为正数，则表示长期玩家将获得正收益；如果数学期望为负数，则表示长期玩家将面临亏损。
方差
在赌博游戏中，方差反映了玩家实际收益与预期收益之间的波动范围。较小的方差表示实际收益相对稳定，而较大的方差则表示实际收益可能存在较大的波动。
01
02
03
04
总结词：数学期望和方差可用于预测市场的表现。
THANK YOU
数学期望和方差在某些情况下可以相互转化，如当随机变量服从正态分布时。
变量同时变动的情况，即一个变量增加或减少时，另一个变量也相应地增加或减少的概率。
协方差的概念
协方差 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的数学期望，X和Y是随机变量。
协方差的计算公式
协方差可以用于分析投资组合的风险，如果两个资产的收益率呈正相关，则它们的协方差为正；如果呈负相关，则协方差为负。
协方差的应用
1
随机变量的期望值与方差
随机变量的期望值与方差随机变量是概率论中的重要概念，描述了随机试验结果的数值特征。
在概率论与数理统计中，随机变量的期望值与方差是两个重要的统计量，它们能够帮助我们更好地理解随机变量的分布特征和波动情况。
本文将介绍随机变量的期望值与方差的定义、性质以及计算方法，帮助读者更深入地理解这两个概念。
一、期望值的定义与性质1. 期望值的定义随机变量的期望值，也称为均值，是对随机变量取值的加权平均，反映了随机变量的平均水平。
对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：E(X) = Σx * P(X=x)其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示随机变量X可能取到的值，P(X=x)表示随机变量X取到值x的概率。
对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示随机变量X可能取到的值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
2. 期望值的性质（1）常数性质：对于常数a，E(a) = a。
（2）线性性质：对于任意常数a、b，以及随机变量X、Y，有E(aX +bY) = aE(X) + bE(Y)。
（3）非负性质：对于非负随机变量X，有E(X) ≥ 0。
（4）单调性质：若随机变量X ≤ Y，则E(X) ≤ E(Y)。
二、方差的定义与性质1. 方差的定义随机变量的方差是衡量随机变量离散程度的指标，是随机变量与其期望值之间偏离程度的平方的加权平均。
方差的计算公式为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]2. 方差的性质（1）非负性质：方差是非负的，即Var(X) ≥ 0。
（2）常数性质：对于常数a，Var(a) = 0。
（3）线性性质：对于任意常数a、b，以及随机变量X、Y，有Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)。
（4）方差与期望值的关系：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。
三、期望值与方差的计算方法1. 离散型随机变量的期望值与方差计算对于离散型随机变量，可以通过期望值的定义公式计算期望值，再利用方差的定义公式计算方差。
高中数学教案——离散型随机变量的期望与方差(一)
课题：1．2离散型随机变量的期望与方差（一）教学目的：1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ B（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望教学重点：离散型随机变量的期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ记作g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1.则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 4. 期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)(5.若ξ B （n,p ），则E ξ=np证明如下：∵ k n k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ，∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×k n k k n qp C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC ， ∴ =ξE (np 0011n n C p q--＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例3. 有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：85.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：根据以上的概率分布，可得ξ的期望.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE 例4. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E 例5．随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．所以 =ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5． 抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例6．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习： 1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（ ）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望；⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4．⑶ξ的概率分布为所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求E ξ.解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m 1． ∴ P (ξ=k )=P n (k )=C kn m 1)k (1－m1)n －k （k =0,1,2,….,n ）． ∴ ξ～B (n ,m 1)，故 E ξ =n ×m 1=mn 五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np六、课后作业：1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为于是 E （ξ）=0×103+1×53+2×101=0.8 故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C C ξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=914 3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3)=p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2)= p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3)= p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1)= p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为2.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所高中数学教案 第三册(选修Ⅱ)第一章概率与统计(第3课时) 第 11页（共11页） 得分分别为ξ，η（1）求ξ，η的概率分布； （2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知3=+ηξ，所以()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ； 因为3=+ηξ,所以15233=-=ξηE E 七、板书设计（略）八、课后记：。
【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差
8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产 品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现 废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽 查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为 所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终， 显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件
最新文档-第一讲期望方差的定义-PPT精品文档
例1 设x概率分布表为 求 E(x) D(x)
X P
0 0.2
1 0.4
2 0.4
解 EX .2 1 0 .4 2 0 . 4 00 1.2
( 2 1 .2 ) 0 .4 ( 1 1 .2 ) 0 .4 DX ( 0 1 .2 ) 0 .2
2
2
2
0 .56
问: 如何评价甲和乙的技术? 下面从(一)平均命中环数和(二)从命中环数
的集中或离散程度角度进行分析
X 10 9 8 7 6 5 0 一 分析平均命中环数 P 0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 0
给甲100发子弹则 Y 10 甲命中总环数大约为:
9
8
7
6
5
0
P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2
第一讲
随机变量的数学期望和方差 P89 P98
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及 其分布，如果知道了随机变量x的概率分布， 那么x的全部概率特征也就知道了
然而，在实际问题中，概率分布一般是 较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并 不需要知道随机变量的一切概率性质，只要 知道它的某些数字特征就够了
例2 设x概率分布表为 求 E(x) D(x)
X
P
0
q
1 (p+q=1) p
解 EX 0 q 1 p p
DX (0p)2 q ( 1p )2 p pq
例3 P90 按规定某车站每天8:00-9:00, 9:00-
10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随 机的,且相互独立,其规律为 到站 8:10 8:30 8:50 时刻 9:10 9:30 9:50 概率 1/6 3/6 2/6 旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望
高二数学高三新课：离散型随机变量的期望和方差人教版知识精讲.doc
高二数学高三新课：离散型随机变量的期望和方差人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：高三新课：离散型随机变量的期望和方差二. 本周教学重、难点： 1. 期望：（1）计算公式： ++++=n n p x p x p x E 2211ξ （2）性质：① b aE b a E +=+ξξ)( ② 若B ~ξ（p n ,），则np E =ξ③ 若ξ服从几何分布且),()(p k g k p ==ξ，则pE 1=ξ 2. 方差：（1）计算公式： +⋅-++⋅-+⋅-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ （2）性质：① ξξD a b a D 2)(=+② 若),(~p n B ξ，则)1(p q npq D -==ξ ③ 若ξ服从几何分布且),()(p k g k p ==ξ，则2pq D =ξ ④ 22)(ξξξE E D -=【典型例题】[例1] 某射手射击所得环数ξ的分布列ξ4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 试估计该射手n 次射击的平均环数。
解：根据这名射手射击所得环数的分布列，在n 次射击中预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ次得4环，n n P 04.0)5(=⨯=ξ次得5环，n n P 22.0)10(=⨯=ξ次得10环，n 次射击总环数约等于n n n 22.01004.0502.04⨯++⨯+⨯)22.01004.0502.04(⨯++⨯+⨯= n ，从而平均环数等于32.822.01004.0502.04=⨯++⨯+⨯ ， 即32.8=ξE[例2] 某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习。
若某射手在某组练习中射击一次的命中概率为0.8，求在这组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望值和方差值。
【高中数学说课稿】选修2-3第二章 2.3《离散型随机变量的期望与方差》说课稿
《离散型随机变量的期望与方差》说课稿一、教材分析教材的地位和作用期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。
同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。
教学重点与难点重点：离散型随机变量期望的概念及其实际含义。
难点：离散型随机变量期望的实际应用。
[理论依据]本课是一节概念新授课，而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解，因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。
此外，学生初次应用概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。
二、教学目标[知识与技能目标]通过实例，让学生理解离散型随机变量期望的概念，了解其实际含义。
会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决一些实际问题。
[过程与方法目标]经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。
通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
[情感与态度目标]通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。
在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。
三、教法选择引导发现法四、学法指导“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。
五、教学的基本流程设计七、评价分析1、评价学生学习过程本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法。
2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上。
离散型随机变量的期望值和方差讲义
离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x n P n+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。
E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=n P2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(x n-Eξ)2·P n+…称为随机变量ξ的方差。
D=δξ叫做随机变量的标准差。
Dξ的算术平方根ξ随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是（）A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。
B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。
C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。
D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。
（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。
例2、设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ练习：已知ξ的分布列为(1)求E ξ, D ξ, δξ，(2) 若η=2ξ+3,求E η,D η例3、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是1p ，非意外死亡的概率为2p ，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利例4：把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ例5、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元）试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
随机变量的数学期望与方差第9讲随机变量的数学期望与方差教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。
2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。
教学重点：1．随机变量的数学期望For personal use only in study and research; not for commercial use2．随机变量函数的数学期望3．数学期望的性质4．方差的定义For personal use only in study and research; not for commercial use5．方差的性质教学难点：数学期望与方差的统计意义。
教学学时：2学时。
For personal use only in study and research; not for commercial use教学过程：第三章随机变量的数字特征§3.1 数学期望For personal use only in study and research; not for commercial use在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。
因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。
1．离散随机变量的数学期望我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。
车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量，如何定义X 取值的平均值呢？若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。
这样可以得到这100天中每天的平均废品数为27.1100213100172100301100320=⨯+⨯+⨯+⨯ 这个数能作为X 取值的平均值吗？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。
对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为,,21P P ，则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。
但是，如果试验次数很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近∑∞=1k k k p x由此引入离散随机变量数学期望的定义。
定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k如果 ∑∞=1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为∑∞==1)(k k k p x X E也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。
例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门。
若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望。
解 设试开次数为X ，则n k X p 1)(==，n , ,2 ,1 =k于是 ∑=⋅=n k n k X E 11)(2)1(1n n n +⋅=21+=n 2. 连续随机变量的数学期望为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X 是连续随机变量，其密度函数为)(x f ，把区间) , (∞+-∞分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X 落在任意小区间] , (dx x x +内的概率，则有)(dx x X x p +≤<=⎰+dxx x dx t f )(dx x f )(≈由于区间] , (dx x x +的长度非常小，随机变量X 在] , (dx x x +内的全部取值都可近似为x ，而取值的概率可近似为dx x f )(。
参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义。
定义2 设X 是连续随机变量，其密度函数为)(x f 。
如果⎰∞∞-dx x f x )(||收敛，定义连续随机变量X 的数学期望为⎰∞∞-=dx x f x X E )()( 也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。
由连续随机变量数学期望的定义不难计算：若),(~b a U X ，即X 服从), (b a 上的均匀分布,则2)(b a X E += 若X 服从参数为的泊松分布，则λλ=)(X E若X 服从则 ),,(2σμNμ=)(X E3.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是随机变量X 的数学期望，而是X 的某个函数的数学期望，比如说)(X g 的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量函数的数学期望计算问题。
一种方法是，因为)(X g 也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来。
一旦我们知道了)(X g 的分布，就可以按照数学期望的定义把)]([X g E 计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数)(X g 的分布，一般是比较复杂的。
那么是否可以不先求)(X g 的分布，而只根据X 的分布求得)]([X g E 呢？答案是肯定的，其基本公式如下：设X 是一个随机变量，)(X g Y =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞-∞=连续离散X dx x f x g X p x g X g E Y E k k k ,)()(,)()]([)(1 当X 是离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ；当X 是连续时，X 的密度函数为)(x f 。
该公式的重要性在于，当我们求E [g (X )]时,不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。
4.数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。
（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。
（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。
推广到n 个随机变量有∑∑===ni i n i i X E X E 11)(][。
（4）设X 、Y 相互独立，则有 E (XY )=E (X )E (Y )。
推广到n 个随机变量有 ∏∏===ni i n i i X E X E 11)(][5.数学期望性质的应用例2 求二项分布的数学期望。
解 若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。
若设⎩⎨⎧=次试验失败如第次试验成功如第i i X i 01 i =1,2，…，n 则n X X X X +++= 21，因为 P X P i ==)1(，q P X P i =-==1)0(所以p p q X E i =*+*=10)(，则=)(X E np X E X E ni i n i i ==∑∑==11)(][可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np 。
需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。
例3 设随机变量X 服从柯西分布,概率密度为 +∞<<-∞=+x x f x ,)()1(12π 求数学期望)(X E 。
解 依数学期望的计算公式有 dx X E x x ⎰+∞∞-+=112)(π 因为广义积分dx x x⎰+∞∞-+12不收敛，所以数学期望)(X E 不存在。
§3.2 方差前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。
但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是我们要学习的方差的概念。
1. 方差的定义定义3 设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E - (3.1)为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。
方差的算术平方根)(X D 称为随机变量X 的标准差，记作)(X σ，即)()(X D X =σ由于)(X σ与X 具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。
若方差)(X D =0，则随机变量X 以概率1取常数值。
由定义1知，方差是随机变量X 的函数2)]([)(X E X X g -=的数学期望，故⎪⎩⎪⎨⎧--=⎰∑∞∞-∞=连续时当离散时当X dx x f X E x p X E x X D k k k k ,)()]([X ,)]([)(212 当X 离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ；当X 连续时，X 的密度函数为)(x f 。
计算方差的一个简单公式：22)]([)()(X E X E X D -=证22222)]([)(])]([)(2[]))([()(X E X E x E X XE X E X E X E X D -=+-=-=请用此公式计算常见分布的方差。
例4 设随机变量X 服从几何分布，概率函数为1)1(--=k k p p P , k =1,2,…,n其中0<p <1，求)(X D 。
解 记q =1-p∑∞=-=11)(k k kpqX E ∑∞==1)'(k k q p ∑∞==1)'(k k q p )'1(q q p -=p 1= ∑∞=-=1122)(k k pqk X E ])1([1111∑∑∞=-∞=-+-=k k k k kq q k k p ∑∞=''=1)(k k q qp +E (X ) p q q qp 1)1(+''-=p q qp 1)1(23+-=pp q 122+= 22)]([)()(X E X E X D -=22pp -=21p -21p p -= 2. 方差的性质（1）设C 是常数,则D (C )=0。
（2）若C 是常数,则)()(2X D C CX D =。
（3）若X 与Y 独立，则)()()(Y D X D Y X D +=+。
证 由数学期望的性质及求方差的公式得{}{})()()]([)()]([)()()(2)]([)]([)()(2)()()]()([]2[)]([])[()(2222222222222Y D X D Y E Y E X E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E x E XY Y X E Y X E Y X E Y X D +=-+-=---++=+-++=+-+=+ 可推广为：若1X ,2X ，…，n X 相互独立，则∑∑===ni i n i i X D X D 11)(][∑∑===ni i i n i i i X D C X C D 121)(][（4） D (X )=0 ⇔P (X = C )=1， 这里C =E (X )。