华东理工大学本科生线性代数第八册

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华东理工大学本科生线性代数第六册

知（1）秩为 2，可取 1 , 2 为一个最大无关组；
1 0 由初等行变换的结果矩阵 0 0 1 1 1 2 ，知 0 0 0 0 0 0 0 2
（2）
3 21 2 , 4 1 2 2 .
（3）
为构成 R 4 的一个基，只需加入两个向量 1 , 2 ，使
k 0 k1 k 2 k n 1 k n 0 ，这说明 n+1 个向量 x, Ax, A2 x,
,
5
An 1 x, An x 是线性无关的，而这显然与“n+1 个 n 维向量必线性相
关”矛盾，故说明假设错误，即只有 An x 0 . 综合上述，知 An x 0与An 1 x 0 同解，进而有 r ( An ) r ( An 1 ) . 4.4 线性方程组解的结构 1．填空题 (1) 已知方程组 Ax b 有通解 x 1 0 1T t 1 2 3T , (t R), 则
T T
3 0 , 1 , 1T .
解：由于 V 是向量组 1 , 2 , 3 的生成子空间，故 V 的基及维数完全等价于向量组 1 , 2 , 3 的最大无关组及秩.由
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 , 2 , 3 1 0 1 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 4 3 1 0 1 1 0 0 0
T
）是 Ax 0 的解.
（B） 1 2 3 ；（D） 1 2 3 .
T
，
x 2 2 , 1 , 1 , 4 , 0 ， x3 2 , 8 , 1 , 1 , 1 ，试求该方程组的通解.

华东理工线性代数1-5初等变换 (2)

( 3 ) 把第 i 行 (列）的 k 倍加到第
记作 rij ( k（ cij ( k )) )
j 行（列） ,
定义2 初等行变换与列变换统称为初等变换
初等变换的逆变换仍为初等变换
rij
逆变换逆变换逆变换
ri (λ )
rij ( k )
rij 1 ri ( ) ;
λ
rij ( − k ) .
I
I
以 Rij ( k ) 左乘矩阵 A，得 a12 ⎛ a11 ⎜ M M ⎜ ⎜ a ai 2 i1 ⎜ M M Rij ( k ) A = ⎜ ⎜ a + ka a j 2 + kai 2 j1 i1 ⎜ M M ⎜ ⎜ a am 2 ⎝ m1
⎞ ⎟ M ⎟ ain ⎟ L ⎟ M ⎟ L a jn + ain ⎟ ⎟ M ⎟ L amn ⎟ ⎠
第一章矩阵
第五节
初等变换和初等矩阵
一、初等变换的引入 − −方程组的同解变换
二、矩阵的初等变换
三、初等矩阵的概念四、初等矩阵的应用五、小结、思考题
一、初等变换的引入-----方程组的同解变换
引例求解线性方程组
⎧ x1 + 2 x2 − x3 = 0 ⎪ 3 x1 + x2 = −1 ⎨ ⎪ − x − x − 2x = 1 1 2 3 ⎩
L
a1n
以 C ji ( k ) 右乘矩阵 A
AC ji ( k )
⎛ a11 L a1i + ka1 j L a1 j L a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a21 L a2 i + ka2 j L a2 j L a2 n ⎟ =⎜ L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎜a L ami + kamj L amj L amn ⎟ ⎠ ⎝ m1

10级华东理工大学本科生线性代数第三册

a b c d a D2 n =
⋱ ⋰
b a b c d
⋰ ⋱ =
a b D = (ad − bc ) D2 n− 2 c d 2 n− 2
c
d
= (ad − bc ) 2 D2 n − 4 = ... = (ad − bc ) n −1 D2 = (ad − bc ) n . 2.5 行列式的应用 1.设 A, B 为 n 阶方阵,则( )成立 .
1 ⋯ 1
1 1 ⋮ 1
1 Dn = ⋮ 1
n
n ⋮ n ⋯ 1 1 ⋯ 1
1 ⋯ ⋮ ⋱
1 1 ( n −1) n ⋮ = ( −1) 2 ⋮ 1 1 1 1
n ⋮ 1 1
⋯ 1 ⋱ ⋮ ⋯
n ⋯ 1
n
2n − 1 1 ⋯ 1 = ( − 1)
( n −1) n 2
1 1 ⋮ 1
2n − 1 n ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 2n − 1 1 ⋯ n 2n − 1 1 ⋯ 1
⎞ A ⎟ − 12 A* . ⎠
1 1 ∗ = , 及 A−1 = A ,得 9 A
4
次多项式.
a b 0 2．已知 a、b 为整数，且满足 − b a 0 =0，求 a 和 b. 1000 1 8
解： 8a 2 − − 8b 2 = 0
∴a = b = 0
(
)
2.2 n 阶行列式的展开 1. 已知四阶行列式 D 之值为 92 ，它的第 2 行元素依次为 1, 0, t + 3, 2 ，且第 2 行元素的余子式分别为 1,3, −5, 2 ，则
2 = 9⎡ ⎣ a1 , a2 , 2β1 + a1 , a2 , −5β 2 ⎤ ⎦ = 9⎡ ⎣ 2 A + (−5) | B |⎤ ⎦ = 9⎡ ⎣ 2 − 5 × 3⎤ ⎦ = −99 .

资料：华东理工大学本科生线性代数第二册

华东理工大学线性代数作业簿（第二册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________1.4 矩阵的分块1．设002000030400100A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1_____________________________________A -=. 解： 1211112001100041000210003A A A A A A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2. 已知分块矩阵111221W W W W O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则TW =( ).(A) 112112W W W O ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 121121W O W W ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(C) 111221TT TW W W O ⎛⎫⎪⎝⎭； (D) 112112T T T W W W O ⎛⎫⎪⎝⎭.解：D .3. (1) 设10a A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求nA ；(2)设2100020000310003C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求n C . 解：(1) 10100aA aI a ⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而 2010101,000000B B O ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以110()nn nni in inn nni a n a A C B aI a I n a B a ---=⎡⎤⋅==+⋅=⎢⎥⎣⎦∑， (2)将C 分块得：12C C C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中122131,,0203C C ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 于是由(1)得11122200020003303n n n nn n n n n n CC C n --⎡⎤⋅⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦.4. 求满足2AX X I A -+=的矩阵X ，其中101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：由原式，整理得))(()(2I A I A I A X I A +-=-=-，而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100I A 可逆，故由上式可得201030.102X A I ⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 设n 阶矩阵A ，B 满足A B AB +=.(1) 证明A I -可逆，且AB BA =；(2) 若已知130210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A . 解：（1）由,AB B A =+移项得O B A AB =--，即I I B A AB =+--，亦即,))((I I B I A =--从而得到I A -可逆；且由上式可得I I A I B =--))((，展开得,O B A BA =--即B A BA +=，结合条件知BA AB =.（2）由（1）知1)(--=-I B I A ，即,)(1I I B A +-=-而,1000031021010*******)(11⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=---I B 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=20001310211A . 6. 设()ij A a =是一个m n ⨯矩阵，(1)计算,,i j i j e A Ae e Ae T T，其中i e 为m 阶单位矩阵的第i 列，j e 为n 阶单位矩阵的第j 列；(2)试证：对任一m 维列向量,0x x A A O T =⇔=；(3)试证：对任一m 维列向量x 和任一n 维列向量y ，0x A y A O T =⇔=. 解：（1）[]1212,,,,,,,,Ti i i in j j j mj i j ij e A a a a Ae a a a e Ae a TT⎡⎤===⎣⎦(2)“⇐”显然；“⇒” 由向量x 的任意性，取(1,2,...,i x e i m ==且i e 为m 阶单位矩阵的第i 列），则由(1)得[]12,,...,0i i i im e A a a a ==T ，即A 的第i 行为零向量，取遍1,2,...,i m = 知A 的每一行均为零向量，即O A =. (3) “⇐”显然；“⇒” 由x 与y 的任意性，取,i j x e y e ==i e n j m i ;,...2,1,,...2,1(==与j e 分别为n m ,阶单位阵的第j i ,列），则由(1)得0==T ij j i a Ae e ，即A 的每一个元素都为零，亦即O A =. 7．设n 阶矩阵[]ij A a =，n 维向量T [1,1,,1]=α，(1)计算A α； (2)若A 可逆，其每一行元素之和都等于常数c ，试证：1A -的每一行元素之和也都相等，且等于1c .解：（1）设i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，则有T 12[1,1,,1]n e e e ==+++α又设i α为A 的第i 列，则有A α＝112112121n k k n kk n n n nkk a a Ae Ae Ae a ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑ααα(2)由题设及(1)的结论可得：11A c A c-=⇒=αααα，即1A -的每一行元素之和都等于1c.1.5初等变换与初等矩阵1. 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.（1）1234⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）1122401611-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 解：（1）构造分块矩阵12103401⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，并对其进行初等行变换2121()(3)1010121012101231340101031011010r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦21(2)4210101001311010r -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即得112421;343110--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （2）11122102401213611418--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.2. 已知211123120204212015A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，,且有XA X B =+，求X . 解：1()()XA X B X A I B X B A I -=+⇒-=⇒=-111100111100[]110010~021110211001031201111100100121111~010~010111222001132113001222A I I --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦1123121295()2041112860151324149X B A I ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 3.已知123001100456,010,001789100010A P Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则100101___________________________P AQ =.解： 132465798⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 4. 设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 12010100100,010001101P P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则有（）. (A ) 12APP B =；(B ) 21AP P B =；(C ) 12PP A B =；(D ) 21P PA B =. 解：C .5. 解矩阵方程：010100143100001201001010120X -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 解：X 左右的两个矩阵均为初等矩阵，故而可逆且其逆也是初等矩阵，于是有11010143100100201001001120010X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦= 010143100100201001001120010-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=210134102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.6. 已知1231021001010,001,20010101P P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求1123()PP P -.解：1111123321110210010211()00101000.220100011010PP P P P P -----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦7. 设矩阵A 可逆，且A~ijr B . 试证：（1）矩阵B 可逆；（2）求1AB -；（3）试证1A -交换i 、j 列后可得矩阵1B -.解：（1）依题意，有ij B R A =，其中ij R 为对应于初等变换ij r 的行初等矩阵，则由ij R 及A 均可逆知B 必可逆.（2）由（1），得11111()ij ij ij B R A A R A R -----===,故而11()ij ij AB A A R R --==.（3）由（1），得11ij B A R --=，而ij ij R C =，故11ij A C B --=，即11ijc A B --.。

华东理工大学线性代数册答案届版

华东理工大学线性代数作业簿（第一册）学院__________ 专业____________ 班级_______________ 学号__________ 姓名____________ 任课教师___________ 1.1 矩阵的概念1. 矩阵 A a ij 2i j 2 3.解：A2．设1 0 00 1 0 0 3 0 05 2A ,B 0 1 0 0 ,C 2 3 0, D0 3 00 40 0 10 0 4 1 0 0 3其中对角阵为___ ，三角阵有_解：对角阵为D；三角阵有A，C， D.1.2 矩阵的运算3 1 1 2 1 11. 已知2 3X O ，求矩阵X .2 0 23 1 1解：依题意，由3X 6422421311 4 3 3，1 1 1 5 ，41 1即得X 31 13 32. 如果矩阵A m n 与B t s 满足AB BA，试求m,n,t,s 之间的关系解：m nt s.3. 填空：4 3 1 7(1) 1 2 3 25 7 0 11(2) 1, 2, 3 23 ___________1(3) 2 1, 2 ;3__________________1 3 1214 0 0 1 2(4)1 1 3 4 1 3 14 0 235 1 2解：(1) 6 ；(2) 14；(3) 2 4 ；(4) 6 7820 5649 3 60104. 已知矩阵 A 0 0 1 ，试求与 A 可交换的所有矩阵 000解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为 abc其为 B d e f ，于是有ghi010aAB 0 0 1 d000g abc0BA d e f 0ghi0def由 AB BA ，即得 g h i000由相应元素相等，则得 d gabc故 B 0 a b （a,b,c 均为任意常数）为与 A 可交换的所有矩阵00a2a 33x 3 (a 12 a 21 )x 1x 2 (a 13 a 31) x 1 x 3 (a 23 a 32)x 2x 33 阶方阵，不妨设b c d e fe f = ghi ，h i 0 0 0 1 0 0 a b 0 1 0 d e ， 0 00 g h0ab0 d e ，0gh h 0,a e i,b f ,a 11 a 12 a 13 x 1(1)x 1, x 2, x 3 a 21a 22 a 23 x 2 ；a 31a 32a 33x 35. 计算下列各题：解：原式等于： 2 a11x1 2 a22x21 33(2) A，求A 2008解：记 A，则A 2A 3 ，Q 2008 3669(3) 解： A9 200820071,1,13)669A .A 9.1,1,1 23 1,1,1 2328A2561 26. 利用等式17 62 3 2 0 7 335 1257 0 3 5 273 2 31 0,5 2 5 70 1,计算 1756.3512 .55解： 176 2 3 2 0 73 3197 12663512 5 7 0 3 527385 29227. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该公司现有 2000 人正在脱产轮训，而不脱产职工有 8000人，若每年从不脱产职工中抽调 30%的人脱产轮训，同时又有 60%脱产轮训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令资料个人收集整理，勿做商业用途0.7 0.6 8000 A , X0.3 0.42000试用 A 与 X 通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人 . 解：一年后职工状况为： AX 3200不脱产职工 6800 人，轮训职工 3200 人.6800 2 6680 两年后职工状况为： A A 2 X3200 3320不脱产职工 6680 人，轮训职工 3320 人. 218. 设矩阵 A 24 12 ，B求:(1) A T B T B T A T ; (2) A 2 B 2.解： (1) A T B T B T A T10 20 0 0 10 20 5 10 0 0 5 10 (2) A 2 B 22 1 2 13 1 314 24 2 6 2 620 0 15 5 15 5.0 0301030 10 .9. 设 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵，则( )是反对称矩阵(A ) AB BA; (B ) AB BA; (C ) (AB)2 ; (D ) BAB . 解：B.1 2 110．试将矩阵 A 3 0 12 23 解：11. 设 A 是反对称矩阵， B 是对称矩阵，试证： AB 是反对称矩阵的充分必要条件为 AB BA. 证：必要性 :由(AB)Τ AB 及(AB)Τ B ΤA Τ B( A) BA 即得 AB BA. 充分性: 若 AB BA ，则(AB)Τ B ΤA Τ B( A) BA AB ，知 AB 是反对称阵 .表示成对称矩阵与反对称矩阵之和11A 12(A A T ) 12(A A T )1 5 3 0 1 12 2 2 2 53 1 0122 223 331 12 22212. 设 f (x) a m x m项式，f (A)1)2) 设A解：(1)f(a mm1am 1 1m a m 1xm a m A1L a1xm1a m 1A L证明 f (证明f (A)a0，记 f (A) 为方阵A的多a1A a0If ( 1)f ( 2)Pf ( )Pf(1) 0f ( 2)2) A A kf(A) f(P 1)Pf ( )P 13．设矩阵A a 1a m Pm11m12a1a1001aam 1m12 a1 a0k P 1mP1ma m 1P1P1a1P a0PP 1T2 T ，其中I 为n 阶单位阵，为n 维列向量，试证 A 为对称矩阵，且A2 I .证：A T(I 2 T )T I T2( T )T T2(T)T I 2 T 故 A 是对称矩阵，且T 2A2（I 2 T ）（IT2T) 4T4 (( T T ))2 T I .(T)21.3 逆矩阵1. 设A为n 阶矩阵，且满足A2A ，则下列命题中正确的是（）.A) A O ；B) A I ；（C）若 A 不可逆，解：D.则A O ；（ D ）若 A 可逆，则A I.2. 设n阶矩阵A、（A）CA2B B、I；C 满足ABAC I ，则必有（）.（B）A T B T A T C T I ；（C）解：B.BA2C I；D)A2B2A2C2I .3．已知矩阵A 111111111111111，求A n及A 1（n是正整数）.11证：由A2 4I ，即可得nnA n (A 2)2(4I)2 2nI, n 为偶数 An 1A n 1A (4I) 2 A 2n 1A, n 为奇数及 A (1A ) I ，亦即 A 1 1A . 444. 已知 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A 3I O ，求: A 1, (A 2I) 1, (A 4I) 1.( A 2I ) 解：依题意，有 A (A 2I ) 3I ，即 A(A 2I)I ，故311A 1 (A 2I )；( A 2I )1A ，33再由已知凑出 (A 4I)(A 2I) 5I ，即得11(A 4I) 1 1(A 2I).55. 设 A 、 B、ABI 为同阶可逆阵，试证： (1) A B 1 可逆；(2) AB 11A 1也可逆，且有AB1111A 1ABA 证：(1) AB 1ABB 1B 1(A B I)B1A B 1 可逆(2)证法一：AB 11A 1A B11A B11A B 1 A 1AB11I IB1A 1AB A B 1(ABAA)1AB 11A 1可逆，且 AB 1 1A 11ABA A .证法二：由（1）得 AB 11B(AB I） 1 ，因此1A B 1 A 1(ABA A) B(AB I) 1 A 1 (ABA A) 11B(AB I) 1(AB I)A A 1A(BA I) BA BA I I1 1 1 11A B 1 A 1可逆，且 A B 1 A 1 ABA A .。

华东理工大学线性代数习题答案-第二章

第二章行列式一、习题解答2．1（1）解：逆序数(4132)4τ= （2）解：(36195)4τ= （3）解：(3)(2)(21(1)...3)12n n n n τ---=+2．2解：根据行列式的定义，每个乘积均由来自不同行不同列的元素组成，当来自不同行不同列的元素的行标为自然排列时，其列标的逆序数决定了该乘积项的符号，根据观察，出现4x 的只有主对角线上的四个元素的相乘项11223344a a a a ，该项为(1234)(1)236x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=，故4x 的系数为6，而可以出现3x 的乘积项有两项，它们是1221334414223341,,a a a a a a a a 即分别为3)4231(3)1234(33)1(,331)1(x x x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅-ττ两项相加，即知3x 的系数为6-。

2．3（1）解：将行列式的2，3，4列全加到第一列后，再提公因子，得原式=121314(1)(1)(1)3111111111113011101101003331(1)(1)(1)3310111010010311011100001r r r ----===⋅⋅-⋅-⋅-=--- （2）解：原式=5514000100200275(1)51(1)036036941011410115++⋅-=⋅⋅--=130352(1)10(01043)120410+-⋅⋅-=-⋅⋅-⋅=（3）解：原式=1213142112312311(1)359(1)(1)3293(1)32581752418252212215+++⋅-+-⋅-+⋅-=--=-----（4）解：原式=342312222222222222(1)22222222(1)(1)222222221234213243543243546543546576r r r -------=--------=14916149163579357905791122227911132222==（5）解：原式=12312312456133310025789333=⋅=⋅= 2．4（1）解：原式=2()12()2()12()1x y yx y yx y x y x yxx y x yx x y xyxy+++++=+++=12()02()10yx yx yx y xy x y x y xx yx+-+-=+⋅⋅----=22332()()2()x y x xy y x y ⎡⎤+--+=-+⎣⎦（2）解：原式=1411(1)0a b cb ac b a cb ac b a cc a a b b c c a a b b c b c ab c a+------=⋅------- =1()11ab c a b cbcc aa b b c c a b a b c a b bc a b c a c a -------==++ =21()0()()()()0bca b c a b b c a b c a b a c b c c b a c⎡⎤++--=++--+-⎣⎦--=3333a b c abc ++-（3）解：原式2143(1)(1)0011001111111100001111111111r r x x x xxyy y y y----==--= 22111111111100110000110011y x y x xy yx xy=--=--2．5（1）证：将左端行列式的底2，3列加到第一列，则第一列元素全为零，由行列式性质，得证。

华东理工大学本科生线性代数第三册

11
1 1 1 1 0, 0 1 1 1 0 1 0, 0 0
A21 1, A22 1, A23 0, A24 0, A31 0, A32 1, A33 1, A34 0, A41 0, A42 0, A43 1, A44 1.
.
x
解：原式
r21 ( 1)
1 1 x 1 0 1
r43 ( 1)
1 1 y
1 1 y
1
= xy
1 1 x 0 0 0
1 1 y
2.4 行列式的计算 1. 计算下列 n 阶行列式 1 3 3 3
1 1
1 n n 1
.
3 2 3 （1） 3 3 3 3 3 3
3 1 1 3 ；（2） Dn n 1 n n 1
1 x 1 1 x 1 1 0 y 0 1 0 0 1 xy 1 1 1 1 1 1 x 1 1 y x2 y2 . 0 1 y xy 1 1 1 y 1 1 0 1 1 1 1 1y 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 x 1
8. 计算行列式
1 1 1 x 0 1 1 0 0
a b
c c
d a a c
3. 设 4 阶行列式 D4
c d
b d b
，则 A13 A23 A33 A43 ____.
a b d
解：0 4. 设 A 1,2 , 1 , B 1,2 , 2 均为 3 阶矩阵，若已知
| A | 2, | B | 3 ，求 2 A 5B 的值.
和. 解：解法一：直接计算各代数余子式
1 1 1 0 1 2 A11 (1) 0 1 1 1, A12 (1) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 3 1 4 A13 (1) 0 0 1 0, A14 (1) 0 0 0 1 0

华东理工初试参考书目

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对于准备参加华东理工大学初试的考生来说，选择合适的参考书目是非常重要的。

下面是一份为考生推荐的华东理工初试参考书目，希望能够帮助考生更好地备考。

1.数学类-《高等数学》（上、下册）：作者：林鼎立等。

这是一本系统完整的高等数学教材，涵盖了华东理工大学初试所需的数学知识点。

-《线性代数》：作者：李尚志。

这本书详细介绍了线性代数的基本概念和方法，对于理解矩阵和向量空间等内容非常有帮助。

-《概率论与数理统计》：作者：吴喜之。

这本书介绍了概率论和数理统计的基本理论和应用方法，是初试考生进行数学统计分析的必备参考。

2.专业课-《物理学原理》：作者：郭硕鸿等。

这本书系统地介绍了物理学的基本原理和概念，适合初试考生夯实物理基础知识。

-《化学原理》：作者：王雪峰等。

这本书全面地介绍了化学的基本原理和实验方法，对于理解化学知识和解题能力的提升有很大帮助。

-《计算机科学导论》：作者：唐敬宇。

这本书系统地介绍了计算机科学的基本概念和技术，对于计算机类专业初试考生特别适用。

3.英语类-《新视野大学英语》（第三版）：作者：徐洪磊等。

这是一套为大学英语学习编写的教材，包含了听力、口语、阅读、写作等方面的训练，对于提高英语水平非常有帮助。

-《剑桥商务英语》：作者：Ian MacKenzie等。

这本书主要针对商务英语的学习，包括商务会话、商务写作等内容，适合商科类专业初试考生参考。

总的来说，以上是一些适合华东理工大学初试考生参考的书目。

当然，考生在备考过程中还需要结合自身情况和专业要求，选择适合自己的参考资料。

希望考生们能够利用好这些参考书目，取得优异的成绩，顺利进入华东理工大学。

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华东理工大学
线性代数作业簿（第八册）
1.设矩阵A 与B 合同，则下述选项正确的是（）.
(A) r(A)=r(B) ； ( B) |A|=|B|；
(C) tr(A)=tr(B) ；
( D) A 与B 有相同特征值.
解：A.提示：A 与B 合同即存在可逆矩阵C ，使得C T
AC=B ，故 r(A) =r(B).
n n
2 .设二次型f(X 1,X 2，…;X n) = X i 2
-(2 X i )2
,则此二次型的矩
i=1 i=1
交变换标准型为
任课教师
6.1
二次型及其标准型 ,二次型的秩为
,二次型的正
提示：二次型的秩就是
二次型的矩阵的秩，也
是其标准型中非零项的
个数（注：标准型不唯
一）。

因此求二次型
的秩有两种方法，1）直接求二次型的矩阵A 的秩，2）先求A 的特征值，A 有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几.
3.设实二次型f （x ）=x T Ax,其中A T
H A ，则二次型的矩阵为
解：0, -1.提示：A 的特征值为扎1 =1, A 2 = —2，入3 =…== 0，
n
n
根据送h =tr(A), n "T A 易得.
i
=1
i
「n -1 -1
...-1 -1
n —1
...-1
L-
-1 ...n — 1
2 .
丄
2
ny2 +…+ n
标准型为y 12 -2y f ，则A -
，矩阵A 的迹为
秩为2,则参数C 的值为 ,f （X 1，X 2，X 3）=1表示的曲面为解:
2
，n-1，nyi +
2 2 2
Z1 +Z2 +…+Zn 」.
解：3,椭圆柱面.提示：二次型的矩阵A3涣的秩为2,故|A|=0 , 由此可求得c
=3。

再求出A 的特征值为7叭=0,
几2 = 4,
/"G = 9
，即
标准型为f =4y ；+9yj ，由此知f 区兀^) =1为椭圆柱面。

2 2 2
6.已知二次型 f 区^2必)=2x , + 3x 2 +3X 3 +2ax 2x 3 (a>0)通
正交变换矩阵.
A =片兀2兀3即2(9 — a 2
) = 10 得
1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。

分别求出属于这三个特征值的特征向量匕=[0,1,—1]T ,匕2 =[1,0,0]T , J
=[0,1,1]T
并把它们单位化，得正交变换矩阵为 Q =
7. 已知二次曲面方程 X 2 + ay 2 +z 2 + 2bxy + 2xz + 2yz =4 可以通过正交变换
过正交变换化成标准型 f = y i 2 2
+ 2y 2 +5y 3，求参数a 及所用的
解：二次型的矩阵为
A =
a = 2。

求a, b的值和正交矩阵P.
A的线性无
关的
特征向量匕 1 =[1,0,_1]T,上
2 =[1,-1,1]T, 5 =[121]T,并
把它们单位
化，可得正交变换矩阵为P =
6.2正定二次型与正定矩阵
tr(A) =tr(B) =5 ,
1.设n阶方阵A,B都正定, 则下述结论不正确的是（）.
（A）A+B正定；
正定;
（B） AB正定;
（C）r B丿
解: B. AB未必对称,
(D) A+B」正定.
故不正定.
（D
）解：
解：由A =
B =0,进而得 a = 3, b = 1.
3.若用A<0表示A为负定矩阵，则下述结论正确的是(). 贝U |A<0;
若 A<0,
若 AvO, 则 A <0;
若 AvO, 则对任意与A同阶的可逆阵C都有C T AC <0；
若人+民+...+代<0,则其中至少有一个 A i <0.
提示：根据惯性定理可知第三个选项成立.事实上，
= X T
C T
AC X c 0 (XH 0),又等价于 y T Ayc0 (y HO)，等价于 A<0.
4.设 f(X i ,X 2,X 3)=2x ； +x ； +x 1 + 2X I X 2 +tx 2X 3是正定二次型，则 t 的取值范围是 __________ .
解：-72<t <72.提示：根据二次型矩阵的各阶顺序主子式大于零求解. 5.设A 为一个三阶矩阵，其特征值为-1 ,-1 ,2,则当k 满足 _____ 条件时，f(X)=x T (A + kl)3x 为正定二次型,此时的规范型为
解：k >1 , X i 2 + X ； +x 2 .提示：由A 的特征值为-1，-1，2知
(A + kl)3
的特征值为(―1 +k)3
,(—1 +k)3
,(2 +k)3
, 又
f(x) =x T
(A + kl)3
x 为正定二次型，其特征值必须全部都大于零,
故得k >1 .
1 .与“实二次型f （x ）=x T Ax （其中A T =A ）是正定的”等价的是 .
对任意X ，恒有f （X ）＞■ 0 ；二次型的负惯性指数为零；存在可逆阵P,使得A = P T
P ；
A 的特征值均不小于零.
解：C.
C T
AC <0
等价于f
6.设二次型f(x)=x T Ax 经正交变换x = Py 可化为标准型
+…中打丫2，证明：二次型g(x) =X T A X +kx T x (k 亡R)
经相同的正交变换x = Py 可化为标准型
2 2 2
(打 + k)y i +(兀2 +k)y 2 +…+k)y n . 证明：g(x) = (Py)T A( Py) +k(Py)T ( Py)
=y T (P T AP)y +ky T ( P T P)y
=(為 y 2 + 兀2 y ； + …中 A n 『1) + ( kyf + ky ； + …+ ky 2
)
=(再 +k)y i 2 +仏2 +k)y ； + …+&+k)y 2 .
2 2 2
7.设二次型 f (X i ,X 2, X 3)=tX i + tX 2 +tX 3 -4X I X 2 -4X I X 3 +4X 2X 3，试用正交变换化二次型f 为标准型，并讨论当t 取何值时，f 为负定二次型.
解：根据上一题的结论，我们只需先求出二次型
f =
YX I X 2 -4X I X 3 +4X 2X 3的正交变换矩阵及其标准型。

经计算得
二次型f 的矩阵的特征值为-2,-2,4. 对应的线性无关的特征向量为[1,1,O]T ,[1,O,1]T ,[-1,1,1]T .经施密特正交化，单位化可得所求 pA/2 I A/G -1/JT
的正交变换矩阵为p 91/72 -i /76 '—'
[0 2/76
〜 2 2 2 下的标准型为f =-2y-2y2+4y3. f (X I , X 2,X 3)=tX i 2
+tx ； +tx 2
-4X 1X 2 -4X 1X 3 +4X 2X 3 在正交变换
在正交变换
故有:
2 2 2
X = Py 下的标准型为(t -2) % + (t -2)
y^(^4) y 3
.
二次型f 为负定二次型，即t-2c0, t +4c 0,故有t v-4 （也可用顺序主子式来解）
8.
设f （X ）= X T A X （其中A T =A ）为一个n 元实
二次型，
心Z , <…兰為为A 的特征值，P 为正交矩阵，
P T
AP= diag （打，兀2「浊n ）.试证明:
2 2
(1)吋 x <f(x)<Xj x | ；
⑵f （x ）在II x | =1时取到的最大值就等于A 的最大特征值证明：1)令 X = Py ，贝U f = y T PAPy =2； +心 y ； + …•+ 扎Jn ，
f （X ）<入，故f （x ）在I x = 1
时取到的最大值就等于A 的最大特征值
入（同理取X = P[1,0,0,「0]T ，知f （x ）在I x =1时取到的最小值就等于A 的最小特征值）1）.
9. 证明对任意的实对称阵A, —定存在实数t ，使得tl+A 是正定矩阵.
证明：tl +A:>0等价于二次型 f （x ） =x T
（tl+A>X >0 （ xHO ）,由第 8 题的结论知：f(x)=x T
(tl+A)x=tx T
x+x T
Ax>tx T
x+Z1X T
x (其中為为 A 的最小特征值），故取t >一打时有f （x ） =x T
（tl +A ）x 》0 （ X 北0）.
2 2 2
5.若二次型 f (X i ,X 2, X 3)=5x i 中5x 2 中CX 3 -2X I X 2 +6x 1X 3 —6X 2X 3 的
r
A n
2 2
故训y 兰f 兰砧,，又II X
T y ，故1）得证.
2 )令 X = P[0,0,0，…;1]T
，显然x = 1，代入得f （X ）=打•由
1）得。