实用数值计算方法-7-方程求根共40页

0
x * x2 x1
x0
x
0
x * x0 x1 x2
x
3 迭代法
迭代法的收敛速度（收敛阶）
定义 记 ek xk x* ，若
lim k
ek 1 ekp
c
0
（其中 p 为一正数）
称序列{xk }p 阶收敛。显然，p 越大收敛越快。
p=1，且0<|c|<1，称为线性收敛 p=2，称为平方收敛
定理1
方程求根
1 问题的提出 2 二分法 3 迭代法 4 牛顿法及割线法
预备知识
1. Taylor公式
f(x)f(x0)f(x0)(x-x0)1 2f(x0)(x-x0)2...f(kk)(!x0)(x-x0)k...
i k0f(i)i(!x0)(x-x0)i rk(x)
拉格朗日余项： rk(x)f(k (k 1)1 ()!)(x-x0)k 1, (ksi) [x,x0]
y2 (x)
y1 x
0
x * x2 x1
x0
x
0
x * x0 x1 x2
x
定理1
假设迭代函数 φ(x) 在[a, b]上具有一阶连续的导数，且满足
当 x[a, b] 时，φ(x)[a, b]；
存在正常数 L < 1， 使得 |φ’(x) | L ;
则
方程在[a, b]上有唯一根 x*
对任意x0 [a, b]，迭代格式xk+1 = φ(xk)都收敛到 x*
2 二分法
二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根 方法，属于区间法求根类型。
设函数f(x)在[a, b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)<0， 则在[a, b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。
2 二分法 误差估计
xkx*1 2(bkak)21 k 1(ba) 对于所给定的精度 ε，则可得
序列有极限：迭代公式收敛 序列无极限：迭代公式发散
3 迭代法 用迭代法求下列方程在区间[2, 4]的根。
收敛
f(x)x22x30
x2 x 3 x k 12 x k 3
取x0 =4，则 x12x03113.317 x22 x 1 39 .6 3 4 3 .1 0 4 x 32 x 2 39 .2 0 8 3 .0 3 4 x42 x3 39 .0 6 83 .0 1 1 x 52 x4 39 .0 2 23 .0 0 4
S = {x | x [x* - δ, x* + δ]} 内存在一阶连续导数，则 当|φ’(x*) |<1时，迭代格式xk+1 =φ(xk)局部收敛 当|φ’(x*) |>1时，迭代格式xk+1 =φ(xk)发散
y
y1 x
y
y2 (x)
(x0,(x0))
p
(x1,(x1))
y2 (x)
y1 x
1 问题的提出 方程求根步骤：
求根的隔离区间 ，即确定根所在区间
根的精确化。粗糙的近似值--->满足精度的近似值
1 问题的提出 求根的隔离区间
设函数f(x)在[a, b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)<0， 则在[a, b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。
函数y=f(x)与横轴(y=0)交点 f(x)=0 → f1(x)=f2(x)，函数f1(x)与f2(x)的交点 区间[a, b]内选择x1, x2, x3, x4 ……，根据f(x)在这些 点上值的符号确定
2 1 k 1(b a ) k ln (b ln a ) 2 ln 1
2 二分法 例3 用二分法求下列方程在区间[0, 1]内的实根，要 求有3位有效数字。
f(x)x3x22x 10
1 .f( 0 ) 1 0 ,f( 1 ) 1 0 2.f(x)3(x1)270,x [0,1 ]
23 3.f(0.1)0 x*[0.1,1]
x ( a ,b ) ,f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 )
1 问题的提出 方程的一般形式：f(x)=0 ，满足方程的x值通常 叫做方程的根或解，也叫函数f(x)的零点。
实际问题 代数方程5次以上的方程无求根公式 超越方程：包含超越函数，如 sinx, lnx, ex
近似求解
x*x21 k 1(ba)1 2 10 3
3 迭代法 基本ห้องสมุดไป่ตู้想：逐次逼近
粗糙的初值
迭代公式 不满足精度
校正后的近似值
满足精度
END
3 迭代法
f(x)0 x(x)
取 x 0 [a ,b ],用 递 推 公 式
xk1 (xk) → 迭代公式
可得序列 {xk}: x0, x1, x2, x3, …… 如果当k→∞时，序列{xk}有极限x*，则x*是方程 f(x)=0的根。
假设迭代函数 φ(x)在[a, b]上具有一阶连续的导数，且满足
当 x[a, b] 时， φ(x)[a, b]；
xkx* 1 LLxkxk1
xk
x*
Lk 1L
x1
x0
limxk1 x* (x*)
k xk x*
f(x)x22x30
x 2x3(x)
x1(x2 3)(x)
2
(x) 1
2x 3
(x) x
x [2, 4] ( x) (2) 1 1
7
x[2,4] (x) (2) 2
3 迭代法
预备知识
2. 拉格朗日中值定理 若f(x)在[a, b]上连续，且f(x)在(a, b)内可导，则存在 ξ∈[a, b]，使：
f() f(b)f(a)
ba 或
f ( b ) f ( a ) f () ( b a ) , [ a , b ]
预备知识 3. 函数的单调性 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则 f(x)在[a, b]上单调递增(递减)的充要条件是
定义1 ：局部收敛性 对于方程 x= φ(x)，若在 x* 的某个领域
S = {x | x [x* - δ, x* + δ]} 内，对任意初值x0S，迭代格式xk+1 = φ(xk) 都收敛， 则称该迭代格式在 x* 的附近是局部收敛的。
定理3 设方程 x= φ(x)有根x*，且在 x* 的某个领域
3 迭代法
x1 2(x23 ) xk 11 2(xk23 )
取x0 =4，则 x1 6.5
发散
x2 19.625
x3 191.070
3 迭代法 几何意义
f(x)0 x(x)
c
y
2
y1
f
2
f1 ( (x
x )
)
x (
x
)
y
y1 x
y
y2 (x)
(x0,(x0))
p
(x1,(x1))