三角形的基本性质一

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第5讲 三角形的基本性质（一）
小测试 总分10分 得分___________
1．（4分）如图，AD 、BC 相交于O 点，∠A ＝20°，∠B ＝40°，∠C ＝40°， 则∠D ＝_________°．20º 2．（6分）如图，直线l 1∥l 2，∠3＝∠4，∠1＝40°，则∠2＝_________°．40°
【教学目标】
1．理解掌握三角形三边关系；
2．能够利用三角形的三边关系进行简单的推理和计算．
【教学重难点】
重难点：
1．重点：三角形三边之间的关系；
2．难点：应用三角形的三边关系解决实际问题．
考点：平行线的判定 知识点与方法技巧梳理：
1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形有三条边、三个内角和三个顶点．“三角形”可以用符号“△”表示，如图中顶点是A ，B ，C 的三角形，记作“△ABC ”．△ABC 的三边，有时也用a ，b ，c 来表示．如图中，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、边AB 分别用b ，c 来表示．
2．有两边相等的三角形叫做等腰三角形，如图．三边都相等的三角形是等边
三角形，也叫正三角形．
3．线段公理：在连接两点所有的线中，线段最短： 4．三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差，小于第三边．
5．中线、高线
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线；
三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
注意：三角形的角平分线、中线和高线不是直线，也不是射线，它们都是线段．
6．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心；三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心；三角形的三条高所在的直线交于一点，这点称为三角形的垂心．
【例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）D
A ．1cm ，3cm ，5cm
B ．2cm ，4cm ，6cm
C ．6cm ，6cm ，16cm
D ．7cm ，9cm ，11cm 【变式】
1．已知三角形的两边长分别为5和9，则第三边长的范围是_________．4＜x ＜14
2．若△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，则BC 的取值范围是__2＜x ＜12_；若△ABC 中，AB ＝AC ＝8，则BC 的取值范围是_0＜x ＜16_．
3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，a ＝3，b ＝5且三角形的周长是奇数，则c ＝_________．3，5，7
l 2
l
1
底角底角顶角c a
b
C
B
A
C
D
2
4．设a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简a b c a b c +-+--＝_________．2b 5．若等腰三角形的两边长分别为7cm 和10cm ，则它的周长是_________ cm ．24，27
6．三边不相等的三角形的三边长均为整数a 、b 、c ，且2212440a b a b +--+＝0，则c ＝_________．5，7 Tips ：配方得(
a －6)2＋(
b －2
)2＝0，∴a ＝6，b ＝2，∴4＜c ＜8，c ＝5，7
7．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是中线，△ABC 的周长为17cm ，△ABD 的周长为13cm ，△CBD 的周长为12cm ，则BD 的长为 cm. 4
8．在△ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 把△ABC 的周长分成两部分，分别为12cm 和18cm ，则△ABC 的周长为 cm ．30
【例2】如图，湖边上有A 、B 两个村庄A ，从A 到B 有两条路可走，即A →P →B 和A →Q →B ， 试判断哪条路更短，并说明理由． 解：延长AQ 交PB 于C 在△APC 中，AP ＋PC ＞AC ① 在△BQC 中，QC ＋BC ＞BQ ②
①＋②得，AP ＋PC ＋QC ＋BC ＞AC ＋BQ AP ＋（PC ＋BC ）＋QC ＞AQ ＋QC ＋BQ
AP ＋PB ＞AQ ＋BQ
故A →Q →B 线路更短 【变式】
1．国家惠民工程中，为解决西部边区4个村庄（如下图）居民的饮水困难，民政部计划为这4个村庄打一口机井，请在图中标出打井的位置，使它到4个村庄的距离之和最小，并说明理由． 解：如图，连接AC 、BD 交于P
由两点之间线段最短，可知机井打在P 点，它到4个村庄的距离之和最小
2．如图△ABC 中，D 是BC 上一点．求证：（1）2AB BC CA AD ++>；（2）2BC AD AB AC +>+．
证明：（1）在△ABD 中，AB ＋BD ＞AD ① 在△ADC 中，AC ＋CD ＞AD ②
①＋②得，AB ＋BD ＋AC ＋CD ＞AD ＋AD ∴AB ＋BC ＋AC ＞2AD
（2）在△ABD 中，AD ＋BD ＞AB ① 在△ADC 中，AD ＋CD ＞AC ②
①＋②得，AD ＋BD ＋AD ＋CD ＞AB ＋AC ∴BC ＋2AD ＞AB ＋AC
3．如图，点P 是△ABC 内一点，求证：1
()2
PA PB PC AB BC AC ++>
++． A
B
C
D
A
P
Q P B A
湖泊C Q P B A 湖泊
村
3
证明：（1）在△ABP 中，AP ＋BP ＞AB ① 在△APC 中，AP ＋PC ＞AC ② 在△BPC 中，BP ＋PC ＞BC ③
①＋②＋③得，2（AP ＋BP ＋PC ）＞AB ＋AC ＋BC ∴ AP ＋BP ＋PC ＞1
2
（AB ＋AC ＋BC ） 4．如图，A 、C 两点在直线l 上，AC ＝6，D 为射线CM 上一点，CD ＝7．若在A 、C 两点之间栓一根橡皮筋，“奋力牛”Q 拉动橡皮筋在平面内爬行，爬行过程中始终保持QA ＝2QC ． （1）若Q 点在直线l 上，请在图中标出点Q 的位置，并直接写出QC 的长度； （2）在“奋力牛”爬行过程，2QD ＋QA 的最小值是 ．
解：（1）图所示：点Q 即为所求；CQ ＝6或2．
Tips ：（Ⅰ）当点Q 在点C 的左侧
∵QA ＝2QC ∴CQ ＝AC ＝6
（Ⅱ）当点Q 在点C 的右侧
∵QA ＝2QC
∴CQ ＝1
3
AC ＝2
（2）14
Tips ：∵QA ＝2QC
∴2QD +QA ＝2QD +2QC ∵QD +QC ≥CD
∴QD +QC 的最小值＝CD ＝7 ∴2QD +QA 的最小值为14
【家庭作业】
1．已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 个．3
2．在△ABC 中，AD 是中线，则△ABD 的面积 △ACD 的面积．＝
3．△ABC 的周长为15cm ，且a －b ＝c －1，a －3c ＝1，则a ＝ 7 ，b ＝ 6 ，c ＝ 2 ． 4．已知：在△ABC 中，AB>AC ，P 是△ABC 内部任意一点，求证：AB －PC ＞BP －AC ．
解：延长BP 交AC 于Q
在△ABQ 中，AB ＋AQ ＞BQ ① 在△PQC 中，PQ ＋QC ＞PC ② ①＋②得，AB ＋AQ ＋PQ ＋QC ＞BQ ＋PC
AB ＋（AQ ＋QC ）＋PQ ＞BP ＋PQ ＋
PC AB ＋AC ＞BP ＋PC
∴AB -PC ＞BP -AC
A
C D P
Q Q 1Q 2
A
B
C
D
P。