关于牙膏销售量的数学模型课程设计
关于牙膏销售量的数学模型课程设计
统计12-1 李本恩
一、 课题名称：牙膏销售量的影响因素 二、
课题条件
参考文献：：《MATLAB 从入门到精通》 三、
设计任务
本文从收集有关牙膏的销售量开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出 发，分别经过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案，最后再综合这 三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
四、论文内容
摘要内容 ：本文从收集有关牙膏的销售量开始，从牙膏销售量和价格、广告投入 之间的关系出发，分别经过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案， 最后再综合这三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
模块Ⅰ中，我们假设在x 1和x 2对y 的影响独立 ，从而得到了方程
εββββ++++=2
2322110x x x y
模块Ⅱ中，我们假设x 1和x 2对y 的影响有交互作用，进一步得到新的方程
20112232412y x x x x x βββββε=+++++
关键词：线性回归模型相关系数
问题重述：某大型牙膏制造企业为了更好的拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量价格，广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏销量，销售价格，投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的平均销售价格，见表1。
试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制定价格策略和广告投入策略提供数据依据。
（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）
1.实验设计方案
1) 前期分析：
由于牙膏是生活必须品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多的会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。
因此，在研究各个因素对销售量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其它厂家平均价格更为合适。
记牙膏销售量为y，其它厂家平均价格与公司销售价格之差（价格差）为x1
公司投入的广告费用为x 2 ,其它厂家平均价格与公司销售价格分别为x 3和x 4 ，x 1=x 3-x 4。
基于上面的分析，我们尽利用x 1和x 2来建立y 的预测模型。
2) 模型假设：
1 在一定时期内假设市场总需求量没有太大的变化。
2 同类产品在一定时期内价格无明显变化。
3 经过调节本公司的价格调整都能够达到理想的价格差 3) 建立模型：εββββ++++=22322110x x x y
4) 编写程序：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
5) 对结果进行分析，讨论诸如：结果的合理性、正确性，算法的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与误差等。
2.基本模型
为了大致分析y 与1x 和2x 的关系，首先利用散点图观察销售量y 与价格差1x 及y 与广告投入量2x 之间的关系。
y 与1x 的关系： y 与2x 的关系：
图1 y 对1x 散点图（1） 图2 y 正确2x 散点图。
数学模型_牙膏的销售量
估计x3 调整x4 控制x1
通过x1, x2预测y
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元
y ˆˆ0ˆ1 x 1ˆ2x 2ˆ3 x 2 2 8 .29(百3 万支3)
销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度95%）
上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
y ˆˆ0ˆ1x 1ˆ2x2ˆ3x2 2 yˆ 8.2933(百万支) 区间 [7.8230，8.7636]
yˆ 8.3272(百万支)
y ˆ0 ˆ 1 x 1 ˆ2 x 2 ˆ3 x 2 2 ˆ4 x 1 x 2
yˆ
10 9.5
9 8.5
8 7.5
5
0
0.2
0.4
6
7
0.6 x1
x1=0.2
8 x2
7.5 -0.2
yˆ
10.5 10 9.5 9 8.5 8 5
0
0.2
0.4
6
7
0.6 x1 8 x2
交互作用影响的讨论 y ˆ0 ˆ 1 x 1 ˆ2 x 2 ˆ3 x 2 2 ˆ4 x 1 x 2
y~被解释变量（因变量）
y 10
9.5
x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量) 9 8.5
0, 1 , 2 , 3 ~回归系数
8
7.5
~随机误差（均值为零的
正态分布随机变量）
7 5
5.5
6
6.5
x 7
7.5
2
y01x22x2 2
模型求解 MATLAB 统计工具箱
y01 x 12 x 23 x 2 2由数据 y,x1,x2估计
牙膏销售问题
b,bint,stats
3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；
Matlab程序：
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55]';
表2模型（3）的计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
17.3244
[5.7282，28.9206]
1.3070
[0.6829，19311]
-3.6956
[-7.4989,0.1077]
0.3486
[0.0379,0.6594]
=0.9054 F=82.9409 p<0.0001 =0.0490
结果分析：表2显示， =0.9054指因变量y（销售量）的90.54%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p远小于 ，因而模型（3）从整体来看时可用的。
佛山科学技术学院
上机报告
课程名称数学建模
上机项目牙膏销售问题
专业班级
一、问题提出
根据牙膏销售量与价格、广告费等表格1中的数据，建立三个模型，要求：
1）画出散点图：y对x1的散点图1；y对x2的散点图2；
2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；
3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55];
M10-统计回归模型
x2
从输出 Export 可得 ˆ( ˆ0, ˆ1, ˆ2, ˆ3, ˆ4, ˆ5)
10.2 软件开发人员的薪金
建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系
分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考
46名软件开发人员的档案资料
编 薪金 资 管 教 编 薪金 资 管 教
号
历理育 号
历理育
01 13876 1 1 1 42 27837 16 1 2 02 11608 1 0 3 43 18838 16 0 2 03 18701 1 1 3 44 17483 16 0 1 04 11283 1 0 2 45 19207 17 0 2 46 19346 20 0 1
价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4
估计x3 调整x4 控制x1
通过x1, x2预测y
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元
y ˆˆ0ˆ1 x 1ˆ2x 2ˆ3 x 2 2 8 .29(百3 万支3)
销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度95%）
上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流
3.80 4.00 3.85 4.25
广告费用 (百万元)
5.50 6.75 5.80 6.80
价格差 （元） -0.05
0.25 0.05 0.55
销售量 (百万支)
7.38 8.51 7.93 9.26
基本模型
y 10
y ~公司牙膏销售量
9.5
9
x1~其它厂家与本公司价格差
8.5
8
x2~公司广告费用
10844
4
1
2
a0+a2+a4+a6
统计模型在数学建模的应用
对因变量的影响是否显著.
• 模型改进, 如增添二次项、交互项等. • 对因变量进行预测.
2 软件开发人员的薪金
建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系 . 分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考. 46名软件开发人员的档案资料
编 号 01 02 03 04 薪金 13876 11608 18701 11283 资 历 1 1 1 1 管 理 1 0 1 0 教 育 1 3 3 2 编 号 42 43 44 45 46 薪金 27837 18838 17483 19207 19346 资 历 16 16 16 17 20 管 理 1 0 0 0 0 教 育 2 2 1 2 1
销售 周期 1 2
29 30
3.80 3.70
3.85 4.25
5.80 6.80
0.05 0.55
7.93 9.26
基本模型
y ~公司牙膏销售量 x1~其他厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5 7 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
e 与资历x1的关系
2000 1000
2000 1000 0 -1000
0
-1000
-2000
0
5
10
15
20
-2000
1
2
3
4
5
6
残差大概分成3个水平, 6种管理—教育组合混在 一起，未正确反映.
残差全为正,或全为负,管 理—教育组合处理不当. 应在模型中增加管理x2与 教育x3, x4的交互项 .
1 牙膏的销售量
问 题
建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量. 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价 .
5.1相关分析的概念及数学模型
5.1相关分析的概念及数学模型武汉大学引例某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期(每个销售周期为4周)公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格。
数据集：yagao.sas7bdat销售周期公司销售价格(元)x4其它厂家平均价格(元)x3广告费用(百万元)x2价格差(元)x1销售量(百万支)y1 3.85 3.80 5.50 -0.05 7.382 3.75 4.00 6.75 0.25 8.513 3.70 4.30 7.25 0.60 9.524 3.70 3.70 5.50 0 7.505 3.60 3.70 7.00 0.25 9.336 3.60 3.85 6.50 0.20 8.287 3.60 3.80 6.75 0.15 8.758 3.80 3.75 5.25 0.05 7.879 3.80 3.85 5.25 -0.15 7.1010 3.85 3.65 6.00 0.15 8.0011 3.90 4.00 6.50 0.20 7.8912 3.90 4.10 6.25 0.10 8.1513 3.70 4.00 7.00 0.40 9.1014 3.75 4.10 6.90 0.45 8.8615 3.75 4.20 6.80 0.35 8.90销售周期公司销售价格(元) 其它厂家平均价格(元)广告费用(百万元)价格差(元)销售量(百万支)16 3.80 4.10 6.80 0.30 8.8717 3.70 4.20 7.10 0.50 9.2618 3.80 4.30 7.00 0.50 9.0019 3.70 4.10 6.80 0.40 8.7520 3.80 3.75 6.50 -0.05 7.9521 3.80 3.75 6.25 -0.05 7.6522 3.75 3.65 6.00 -0.10 7.2723 3.70 3.90 6.50 0.20 8.0024 3.55 3.65 7.00 0.10 8.5025 3.60 4.10 6.80 0.50 8.7526 3.65 4.25 6.80 0.60 9.2127 3.70 3.65 6.50 -0.05 8.2728 3.75 3.75 5.75 0 7.6729 3.80 3.85 5.80 0.05 7.9330 3.70 4.25 6.80 0.55 9.26 分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订销售策略提供数量依据。
数学模型_牙膏的销售量
yˆ 略有增加
预测区间长度更短
两模型yˆ 与x1,x2关系的比较
y ˆˆ0ˆ1x 1ˆ2x2ˆ3x2 2 y ˆ0 ˆ 1 x 1 ˆ2 x 2 ˆ3 x 2 2 ˆ4 x 1 x 2
yˆ
yˆ
9
9
8.5
x2=6.5 8.5
8
8
7.5 -0.2
y~被解释变量（因变量）
y 10
9.5
x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量) 9 8.5
0, 1 , 2 , 3 ~回归系数
8
7.5
~随机误差（均值为零的
正态分布随机变量）
7 5
5.5
6
6.5
x 7
7.5
2
y01x22x2 2
模型求解 MATLAB 统计工具箱
y01 x 12 x 23 x 2 2由数据 y,x1,x2估计
销售量 (百万支)
7.38
2
3.75
4.00
6.75
0.25
8.51
29
3.80
3.85
5.80
0.05
7.93
30
3.70
4.25
6.80
0.55
9.26
基本模型
y 10
9.5
y ~公司牙膏销售量
9
x1~其它厂家与本公司价格差
8.5 8
x2~公司广告费用
7.5 7
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
y01 x 12 x 23 x 2 2 y01x1x1
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
牙膏包装模型 数学建模
实验报告
五邑大学数学建模课程组 2009 年 9 月
学生姓名：谭倩倩 一、实验题目名称: 牙膏包装模型
学 号：3213004034
二、实验内容：探究牙膏重量和牙膏价格的关系 三、问题分析和建模方向: 从两个方面进行研究： 1、牙膏价格和牙膏重量的关系。我们分别探究价格与生产成本、包装成本和其他成本 之间的关系，在这些成本中，生产成本与牙膏重量成正比；包装成本与包装的表面积 成正比，进而可以总结出牙膏包装的成本与重量的关系；而生产牙膏还需要涉及的其 他一系列费用为其他成本，它与重量无关，可看做常量处理。综合分析，得出： 商品 价格 = 生产成本+ 包装成本+ 其他成本+ 利润， 可建立牙膏价格与牙膏重量的数学模 型。 2、 牙膏单位重量的价格与牙膏重量的关系。得出牙膏单位重量价格 c 与重量 w 的函数 模型，作出其函数图象，进行图象分析。
七、评价与改进方向: 1、牙膏包装的表面积分外包装和内包装面积，且形状也不尽相同，这点没有分析到。 2、建立的模型仅是牙膏的成本价格 C 与重量 w 的关系，必须要考虑到出售前牙膏对 于自身成本价格的利润，所以不能直接对牙膏的市场售价进行估计。
八、总结及心得体会：针对此问题做出相应牙膏包装模型可以大体上对消费者购买牙 膏，以及具有类似现象的其他商品起到指导作用。通过此次实验模型建立，能大体了 解数学模型建立的作用，步骤以及方法，可以更好的为一些实际问题通过数学模型的 方法加以分析，得出结论。
六、结果分析与模型检验: （1）商品价格与商品重量的关系即为C=α W+β W2/3+γ ，随着商品重量的增加，商 品价格也会增加。 （2）单位商品价格： c=α +β+γ （3）c(W)函数的一阶导数 由单位商品价格c 的一阶导数看出，c < 0 恒成立。这表示以重量为自变量的 单价函数为减函数，即单价随商品的重量增加而减少。当W 很大时， c →0，这时c 不再减小。 （4）c(W)函数的二阶导数 由商品单位价格c 的二阶导数看出，c > 0 恒成立。这表示单价的减少速度随着重 量的增加而变小。
数学建模牙膏模型
Stats~ 检验统计量 R2,F, p
2 结果分析 y 0 1 x1 2 x2 3 x2
参数
参数估计值 置信区间 0 17.3244 [5.7282 28.9206] 1 1.3070 [0.6829 1.9311 ] 2 -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 3 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
9
ˆ y
9
ˆ y
8.5
x2=6.5
0 0.2 0.4 0.6
8.5
8
87.5 -0.2x17.5 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
x1
10 9.5 9 8.5 8 7.5 5
ˆ y
10.5 10
ˆ y
x1=0.2
6 7 8
9.5 9 8.5
x2
8
5
6
7
8
x2
交互作用影响的讨论
价格差 x1=0.1
ˆ y
参数
2 y 0 1 x1 2 x2 3 x2 4 x1 x2
参数估计值 置信区间 0 17.3244 [5.7282 28.9206] 1 1.3070 [0.6829 1.9311 ] 2 -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 3 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 参数估计值 置信区间 29.1133 [13.7013 44.5252] 11.1342 [1.9778 20.2906 ] -7.6080 [-12.6932 -2.5228 ] 0.6712 [0.2538 1.0887 ] -1.4777 [-2.8518 -0.1037 ] R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0000
牙膏商品价格与重量--数学建模 - 副本
牙膏商品价格与重量的关系摘要 在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如洁银牙膏50装的每支1.50元，120装的每支3.00元。
我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析这个问题。
问题一，分析商品价格C 与商品重量W 的关系。
价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素。
问题二，求单位重量c 价格与W 的关系，可以用简图分析。
最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议。
一、问题分析商品价格是由成本决定的，成本可分为生产成本、包装成本和其他成本。
生产成本与重量W 成正比, 包装成本与表面积成正比，其他成本与W 无关。
单位重量商品价格c=总价格/总重量。
牙膏可以近似为圆柱体来思考。
二、模型假设设如下变量：商品价格：C 商品重量：W 单位重量价格：c商品包装面积：S 生产成本：C 1 包装成本：C 2 其它成本：C 3三、模型建立与求解商品价格由成本决定，商品成本=生产成本+包装成本+其他成本故 321C C C C ++=生产成本与重量W 成正比，设 W k C 11= ( k 1为大于0的常数 )包装成本与表面积S 成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，牙膏盒包装面积S 2。
牙膏可以近似为无底的圆柱体，则牙膏包装面积S 1即圆柱体侧面积，设此圆柱体的半径为R ，高为L ，RL S π21= ……………………①由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故我们将牙膏体积V 近似为圆柱体积的一半，则L R V 221π= ……………② 设牙膏密度为ρ，则 ρW V = …………………………③一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：设 R=k 2L （ k 2为大于0的常数 ） ……………………④根据②③④，可以得出： 半径312)W 2(ρπk R = ……………………⑤ 由①④⑤，得出： 32221)W 2(2ρππk k S =我们可以把牙膏盒看成一个长为L ，宽高都为2R 的长方体，故牙膏盒包装面积RL R S 8822+= 再根据④⑤求得：32222)W 2)(11(8ρπk k S += 则包装成本 +=322232)W 2(2ρππk k k C 32224)W 2)(11(8ρπk k k + , k 3 、k 4 为大于0的常数，是包装价格与包装面积的比值其他成本3C 为固定常数，与W 、S 无关。
回归分析案例
身高 0.75 0.85 0.95 1.08 1.12 1.16 1.35 1.51 1.55 1.6 1.63 1.67 1.71 1.78 1.85 体重 101215172022354148505154596675Matlab 实现：h=[0.75 0.85 0.95 1.08 1.12 1.16 1.35 1.51 1.55 1.6 1.63 1.67 1.71 1.78 1.85]; m=[10 12 15 17 20 22 35 41 48 50 51 54 59 66 75]; plot(x,y,'*')可令：adh m =,求系数可用p=polyfit(x,y,n), 其中h x m y ln ,ln ==,n=1,结果：p=[2.3,2.823]由此得d=16.8,a=2.3,即有经验公式：3..28.16h m =。
也直接利用Matlab 统计工具箱中的命令regress 求解，使用格式：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha) alpha 为置信水平，r 为残差向量βˆx y -，stats 为回归模型的检验统计量，有3个值，第一个是回归方程的决定系数2R ，第二个是F 统计量值，第三个是与F 统计量对应的概率值p 。
上例可如下操作：y=log(m)';x=[ones(length(y),1),log(h)'];[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,x)b =2.82282.3000 stat =1 1024 0.0000残差分析：rcoplot(r,rint)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例2：施肥效果分析（1992建模赛题）磷肥施用量 0244973 98 147 196 245 294 342 土豆产量 33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73 磷肥施用量 0244973 98 147 196 245 294 342 土豆产量33.46 34.76 36.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.73氮肥施用量 0244973 98 147 196 245 294 342 土豆产量33.46 34.76 36.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.73对于磷肥-----土豆：可选择函数xbea y -+=1 或威布尔函数 0,≥-=-x Be A y cx对于氮肥-----土豆：可选择函数0,2210≥++=x x b x b b y2)模型的参数估计:可如下操作：x=[0 34 67 101 135 202 259 336 404 471]';y=[15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75]';X=[ones(length(y),1),x,x.^2];[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,X)b =14.74160.1971-0.0003stat =0.9863 251.7971 0.0000 即20003.01971.07416.14x x y -+=拟合曲线图：3) 显著性检验: (仅以氮肥-----土豆模型为例说明)A):回归方程的显著性检验:检验的概率p=0,说明方程是高度显著的.B):回归系数的的显著性检验:对1β: 0:110=βH 检验统计量 =T 对2β: 0:220=βH检验统计量 =T -1004341.84343142都有 8945.1)7(05.0=>t T ,所以,均应拒绝原假设,认为系数)2,1(=i i β显著地不为0.4)残差诊断:标准化残差图如下12345678910标准化残差基本上均匀分布于-2至2之间,可以认为模型拟合是合理的.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 案例：牙膏的销售量某牙膏制造企业要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。