高中数学复合函数练习试题整理(最新整理)
高中试卷-5.2.3简单复合函数的导数 -A基础练(含答案)
5.2.3简单复合函数的导数-A 基础练一、选择题1．（2021·湖北潜江市高二期末）已知()3sin 3f x x x =+，则其导函数()'f x =（）A ．233cos x x +B ．33cos x x +C ．33cos3x x +D ．233cos3x x+【答案】D【详解】22()3cos3(3)33cos3f x x x x x x ¢¢=+×=+,故选：D.2．（2021·山东高二专题练习）已知函数()sin 2cos 2f x x x =+，那么2f p æö¢=ç÷èø（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】A【详解】由题意，()2cos 22sin 2f x x x ¢=-，所以2cos 22sin 2f p p p æö¢=ç÷ø-=-è.故选：A.3．（2020·全国高二课时练）函数3(20208)y x =-的导数y ¢=（ ）A ．23(20208)x -B ．24x-C ．224(20208)x --D ．224(20208)x -【答案】C【详解】2223(20208)(20208)3(20208)(8)24(20208)y x x x x =-´-=´-´-=--¢¢.4．（2020·河北石家庄市高二月考）原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系240()2tN t N -=，其中N 0为0t =时钍234的含量．已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln 2-，则()120N =（ ）A ．12贝克B ．12 ln2贝克C ．6贝克D ．6 ln2贝克【答案】A【详解】解：240ln 2()224tN t N -¢=-××，所以00ln 218ln 2,384242N N -=-××=，24240()23842tt N t N --==×，12024(120)384212N -=×=(贝克)，故选：A.5．（多选题）（2020·江苏常州市高二期末）下列求导数运算不正确的是（）A ．(sin )cos x x¢=-B ．2ln 2(log )x x¢=C ．2ln 1ln ()x xx x +¢=D ．2121(e )2e x x ++¢=【答案】ABC【详解】选项A ，(sin )cos x x ¢=，故A 错误；选项B ，21(log )ln 2x x ¢=，故B 错误；选项C ，2ln 1ln (x x x x-¢=，故C 错误；选项D ，212121(e )e (21)'2e +++¢=×+=x x x x 正确.6．（多选题）（2020·全国高二专题练习）下列结论中不正确的是（ ）A ．若1cosy x =，则11sin y x x¢=-B ．若2sin y x =，则22cos y x x ¢=C ．若cos5y x =，则sin 5y x ¢=-D ．若1sin 22y x x =，则sin 2y x x ¢=【答案】ACD【详解】对于A ，1cos y x =，则211sin y x x¢=，故错误；对于B ，2sin y x =，则22cos y x x ¢=，故正确；对于C ，cos5y x =，则5sin 5y x ¢=-，故错误；对于D ，1sin 22y x x =，则1sin 2cos 22y x x x ¢=+，故错误．故选：ACD二、填空题7．（2021·江苏省丰县中学高二期末）函数51y x x æö=+ç÷èø的导数为________．【答案】421151y x x x æöæö¢=+-ç÷ç÷èøèø【详解】函数51y x x æö=+ç÷èø是函数5y u =与1u x x =+的复合函数，则421151x u x y u y x x x æöæö¢+-¢¢=ç÷ç÷èøè=ø×.8．（2021·全国高二课时练）函数cos2()xxf x e=的导函数()f x ¢=_________．【答案】2sin 2cos2xx xe +-【详解】由cos2()xxf x e =，得22sin 2cos 22sin 2cos 22sin 2cos 2()x x x x xe x e x x x x xf x e e e----==-¢+=.9．（2020·沙坪坝区重庆南开中学高二月考）已知函数()πsin cos 23f x f x x æö¢=ç÷èø（其中()f x ¢为()f x 的导函数），则π2f æö=ç÷èø______.【答案】0【详解】()()()()(sin cos 2sin cos 2(cos cos 22sin sin 233f x f x x x x f x x x x p péù¢¢¢¢¢=+=-êúëûQ ，227()(cos cos 2sin sin(33333343f f f p p p p p pp æö¢¢¢\=-=-ç÷èø，(03f p ¢\=，()0f x \=，π02f æö\=ç÷èø.10．（2021·全国高二专题练习）函数()sin2xf x x e =+在()0,1处的切线方程为______【答案】310x y -+=【详解】求导得()2cos2xf x x e ¢=+，所以()0213f ¢=+=，所以函数()f x 在()0,1处的切线方程为13y x -=，即310x y -+=.三、解答题11．（2021·江苏高二）求下列函数的导函数：（1）5(21)y x =+；（2）()132a y og x =+．【详解】（1）445(21)210(21)y x x ¢=+´=+；（2）133(32)ln (32)ln y x a x a¢=´=++．12．（2020·洮南市第一中学高二月考）已知函数()1ln1xf x x+=-．（1）求函数()y f x =的定义域；（2）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程.【详解】解：（1）由题知：101xx+>-，所以()()110x x +->，解得11x -<<.所以函数()y f x =的定义域为()-1,1.（2）因为()()()()()()()2111121111x x x f x x x x x--+×--¢==+-×+-，所以()()()2021010f ¢==-×+，又因为()100lnln1010f +===-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-，即2y x =.。
复合函数测试题及答案
复合函数测试题及答案1. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求复合函数f(g(x))的解析式，其中g(x) = 2x - 1。
解析：要求复合函数f(g(x))，需要将g(x)的表达式代入f(x)中。
将g(x) = 2x - 1代入f(x) = x^2 + 3x + 2得到：f(g(x)) = (2x - 1)^2 + 3(2x - 1) + 2展开并化简得：f(g(x)) = 4x^2 - 4x + 1 + 6x - 3 + 2 = 4x^2 + 2x答案：f(g(x)) = 4x^2 + 2x。
2. 函数h(x) = √(x+1)的定义域是什么？解析：函数h(x) = √(x+1)中，根号下的表达式必须大于等于0，因此有x+1≥0，解得x≥-1。
答案：h(x)的定义域为[-1, +∞)。
3. 若f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2，求复合函数f(g(x))的值域。
解析：首先求g(x) = x^2的值域，由于x^2≥0，所以g(x)的值域为[0, +∞)。
然后求f(g(x)) = 2g(x) + 1的值域，由于g(x)的值域为[0, +∞)，所以f(g(x))的值域为[1, +∞)。
答案：f(g(x))的值域为[1, +∞)。
4. 已知复合函数f(g(x)) = sin(2x + π/6)，求g(x)的解析式。
解析：要求g(x)的解析式，需要将f(g(x))中的g(x)部分单独表示出来。
由于f(g(x)) = sin(2x + π/6)，所以g(x) = 2x + π/6。
答案：g(x) = 2x + π/6。
5. 若f(x) = ln(x)，g(x) = e^x，求复合函数f(g(x))的导数。
解析：要求复合函数f(g(x))的导数，需要使用链式法则。
首先求f(x)和g(x)的导数，f'(x) = 1/x，g'(x) = e^x。
然后应用链式法则，得到(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x) = 1/g(x) * e^x = e^x/e^x = 1。
高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案
高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数y ＝(2a −1)x 在R 上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A.a >1B.12<a <1C.a ≤1D.a >122. 函数f(x)=(14)x +(12)x −1，x ∈[0, +∞)的值域为( )A.(−54, 1]B.[−54, 1]C.(−1, 1]D.[−1, 1]3. 函数f(x)=a x−3+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为（ ）A.(3, 3)B.(3, 2)C.(3, 6)D.(3, 7)4. 函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间为（ ）A.(−∞, −1)B.(−∞, 0)C.(0, +∞)D.(−1, +∞)5. 函数f(x)=(a 2−4a +4)a x 是指数函数，则a 等于（ ）A.a >0，且a ≠1B.1或3C.3D.16.设α∈R ，函数f(x)=(13)x−1−a 的图象一定经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. 函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)的图象过定点（ ）A.(0, 23)B.(0, 1)C.(23, 1)D.(1, 0)8. 已知函数f(x)=13x +2，则函数在(0, +∞)上（ ）A.单调递减且无最小值B.单调递减且有最小值C.单调递增且无最大值D.单调递增且有最大值9. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=3x−2，则不等式f(2−x)>1的解集为( )A.{x|x<1或x>3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}10. 函数y=21x2+1的值域为()A.(1,2]B.(0,2]C.(−∞,2]D.[1,2]11. 函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是( )A.a≤−4B.a≤−2C.a≥−2D.a>−412. 关于x的方程9x+(a+4)⋅3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A.[0, +∞)B.(−∞, −8]C.(−∞, −8]∪[0, +∞)D.以上都不对13. 已知函数y=a x+b(a>1,b>0)的图象经过点P(1, 3)，则4a−1+1b的最小值为________．14. 函数f(x)=a x−3+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点，则定点P的坐标是________．15. 函数y=(13)x2−3x+2的单调递增区间为________．16. 函数y=(13)|2−x|−m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为________．17. 函数y=2x−1在[0, 4)上的值域为________．18. 函数y=32−3x2的单调递减区间是________．19. 已知函数f(x)=a x+b(a>0且, a≠1)的定义域和值域都是[−1, 0]，则a−b=________．20. 若方程4x +(m −3)⋅2x +m =0有两个不相同的实根，则m 的取值范围是________．21. 已知函数y =(14)x −(12)x +1的定义域为[−3, 2]，则该函数的值域为________．22. 函数y =1+2x +4x a 在x ∈(−∞, 1]上y >0恒成立，则a 的取值范围是________．23. 方程4x −3⋅2x+1+8=0的解集为________．24. 函数y =(12)x2−2x+2的值域为________．25. 已知关于x 的方程9x −(4+a)⋅3x +4=0有两个实数解x 1，x 2，则x 12+x 22x 1x 2的最小值是________．26. 求函数y =2x+2−3⋅4x ，x ∈[−1, 0]的值域．27. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）证明是 上的增函数.28. 已知函数y =4x −2x+1+2，x ∈[−1, 2]．（1）设t =2x ，求t 的取值范围；（2）求函数的最值，并求出取得最值时对应的x 的值．29. 设函数f(x)=2（n−1）x 在全体实数范围内为减函数，求n 的取值范围．30. 若函数y=a2x+2a x，(a>0且a≠1)在区间[−1, 1]上的最大值为35，求a的值．31. 已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象过点(0,−2)，(2,0).(1)求a与b的值；(2)当x∈[−2,2]时，求f(x)的值域．32. 已知：函数g(x)＝ax2−2ax+1+b(a≠0, b<1)，在区间[2, 3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)．x（1）求a、b的值及函数f(x)的解析式；（2）若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1, 1]时恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】指数函数y ＝a x ，当0<a <1时为定义域上的减函数，故依题意只需0<2a −1<1，即可解得a 的范围【解答】函数y ＝(2a −1)x 在R 上为单调减函数，∴ 0<2a −1<1解得12<a <1 2.【答案】C【考点】二次函数在闭区间上的最值指数型复合函数的性质及应用【解析】令t =(12)x (0<t ≤1)，则y =t 2+t −1=(t +12)2−54，由y 在(0, 1]递增，计算即可得到值域．【解答】解：令t =(12)x (0<t ≤1)，则y =t 2+t −1=(t +12)2−54，且在(0, 1]上单调递增，则有−1<y ≤1，则值域为(−1, 1]．故选C ．3.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】解析式中的指数x −3=0求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标．【解答】解：由于指数函数y =a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(0, 1)，故令x −3=0，解得x =3，当x =3时，f(3)=2，即无论a 为何值时，x =3，y =2都成立，因此，函数f(x)=a x−3+1的图象恒过定点的(3, 2)，故选B ．4.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：f(x)=2−|x+1|=(12)|x+1|， 设t =|x +1|，则y =(12)t ，为减函数，∴ 要求函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间，即求函数t =|x +1|的单调递减区间，∵ 函数t =|x +1|的单调递减区间是(−∞, −1)，∴ 函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间为(−∞, −1)，故选：A5.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的定义可得{a 2−4a +4=1a >0且a ≠1求解即可． 【解答】解：根据指数函数的定义可得{a 2−4a +4=1a >0且a ≠1∴ {a 2−4a +3=0a >0,a ≠1解得a =3故选C6.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的性质求出函数的取值范围即可．【解答】解：∵ f(x)=(13)x−1−a 为减函数，∴ 当a =0时，函数f(x)>0，则函数不经过第四象限，若a =3，则f(0)=1−1=0，此时函数不经过第三象限，若a <3，则f(0)=1−a <0，则函数不经过第一象限，故函数f(x)的图象一定经过第二象限.故选B .7.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据函数的解析式和a 0=1令3x −2=0，即可函数图象过的定点坐标．【解答】解：由题意得，函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)，令3x −2=0得，x =23， ∴ 函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)的图象过定点是(23, 1)，故选：C ．8.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵ y =3x +2在(0, +∞)是为增函数，且y >2，∴ f(x)=13x +2在(0, +∞)上为减函数，则0<y <12，则函数在(0, +∞)上为减函数，无最大值和无最小值，故选：A9.【答案】A【考点】绝对值不等式指数型复合函数的性质及应用奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：当x ≥0时， f (x )=3x −2，此时函数y =f (x )单调递增.因为函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数，且f(1)=31−2=1，由f(2−x)>1，得f(|x−2|)>f(1)，所以|x−2|>1，解得x<1或x>3，因此，不等式f(2−x)>1的解集为{x|x<1或x>3}. 故选A.10.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由二次函数的性质可得，x2+1≥1，∴1x2+1∈(0,1]，由指数函数的性质可得，21x2+1∈(1,2].故选A.11.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象指数型复合函数的性质及应用【解析】先求出二次函数的对称轴方程，再根据二次函数的图象和性质列出不等式求解．【解答】解：记u(x)=x2+ax=(x+a2)2−a24，其图象为抛物线，对称轴为x=−a2，且开口向上，∵函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，∴函数u(x)在区间[1, 2]上是单调增函数，而u(x)在[−a2, +∞)上单调递增，所以，−a2≤1，解得a≥−2.故选C．12.B【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系指数型复合函数的性质及应用【解析】可分离出a ，转化为函数f(x)=−4−9x 3x −4的值域问题，令3x =t ，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可．【解答】解：a =−4−9x3x−4，令3x =t(t >0)，则a =−−4−t 2t −4=−(t +4t )−4 因为t +4t ≥4，所以−4−9x 3x −4≤−8所以a 的范围为(−∞, −8]．故选B ．二、 填空题 （本题共计 13 小题 ，每题 3 分 ，共计39分 ） 13.【答案】92【考点】指数型复合函数的性质及应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】函数y =a x +b(b >0)的图象经过点P(1, 3)，可得3=a +b ，a >1，b >0．即(a −1)+b =2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵ 函数y =a x +b(b >0)的图象经过点P(1, 3)， ∴ 3=a +b ，a >1，b >0．∴ (a −1)+b =2．∴ 4a−1+1b =12(a −1+b)(4a−1+1b )=12(5+4b a −1+a −1b) ≥12(5+2√4b a−1⋅a−1b )=92， 当且仅当a −1=2b =43时取等号．故答案为：92．14.【答案】(3, 4)【考点】指数型复合函数的性质及应用根据指数函数过定点的性质，令指数幂等于0即可．【解答】解：由x −3=0得x =3，此时y =a 0+3=1+3=4， 故图象恒过定点P(3, 4)，故答案为：(3, 4)15.【答案】(−∞, 32] 【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】利用复合函数的单调性判断函数的单调区间．【解答】解：∵ y =x 2−3x +2在(−∞, 32]上是减函数， 在(32, +∞)上是增函数；又∵ y =(13)x 在R 上是减函数； 故函数y =(13)x 2−3x+2的单调递增区间为(−∞, 32]； 故答案为：(−∞, 32]．16.【答案】(0, 1]【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】函数y =(13)|2−x|−m 的图象与x 轴有交点可化为方程(13)|2−x|−m =0有解，从而可得m =(13)|2−x|，从而求函数的值域即可．【解答】解：由题意，∵ (13)|2−x|−m =0有解， ∴ m =(13)|2−x|，∵ |2−x|≥0，∴ 0<(13)|2−x|≤1，故0<m ≤1，故答案为：(0, 1]．17.【答案】{y|12≤y<8}【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得2−1<2x−1<23，即可求函数的值域【解答】解：∵0≤x<4∴−1≤x−1<3∴2−1<2x−1<23即12≤y<8故答案为：{y|12≤y<8}18.【答案】[0, +∞)【考点】指数函数的单调性与特殊点指数型复合函数的性质及应用【解析】原函数可看作由y=3t，t=2−3x2复合得到，复合函数单调性判断规则，原函数在定义域上的单调递减区间即为函数t=2−3x2的单调递减区间，根据二次函数图象与性质可求．【解答】解：由题意，函数y=32−3x2的是一个复合函数，定义域为R，外层函数是y=3t，内层函数是t=2−3x2，由于外层函数y=3t是增函数，内层函数t=x2+2x在(−∞, 0)上是增函数，在(0, +∞)上是减函数，故复合函数y=32−3x2的单调递减区间是：(0, +∞).故答案为：[0, +∞).19.【答案】52【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域指数型复合函数的性质及应用【解析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a>1时，函数f(x)=a x+b在定义域上是增函数，所以{1+b=0，1a+b=−1，解得b =−1，1a =0不符合题意舍去；当0<a <1时，函数f(x)=a x +b 在定义域上是减函数， 所以{1+b =−1，1a+b =0， 解得b =−2，a =12，符合题意， 综上a −b =52.故答案为：52. 20.【答案】(0, 1) 【考点】函数的零点与方程根的关系 指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得方程t 2+(m −3)t +m =0有两个不相同的正实数实根，故有△>0，且两根之和3−m >0，两根之积m >0，由此求得m 的取值范围． 【解答】解：令t =2x ，则由题意可得方程t 2+(m −3)t +m =0有两个不相同的正实数实根， 故有 Δ=(m −3)2−4m >0，且两根之和3−m >0，两根之积m >0， 解得0<m <1. 故答案为：(0, 1)． 21. 【答案】[34,57] 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】由于x ∈[−3, 2]，可得14≤(12)x ≤8，令t =(12)x ，有y =t 2−t +1=(t −12)2+34，再利用二次函数的性质求出它的最值． 【解答】解：由于x ∈[−3, 2]， ∴ 14≤(12)x ≤8. 令t =(12)x ，则有y =t 2−t +1=(t −12)2+34， 故当t =12时，y 有最小值为34；当t =8时，y 有最大值为57. 故答案为：[34,57]．22. 【答案】(−34, +∞) 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】由题设条件可化为∴ a >−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上恒成立，求出−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上的最大值即可． 【解答】解：由题意，得1+2x +4x a >0在x ∈(−∞, 1]上恒成立， ∴ a >−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上恒成立．又∵ t =−1+2x 4x=−(12)2x −(12)x =−[(12)x +12]2+14，当x ∈(−∞, 1]时t 的值域为(−∞, −34]， ∴ a >−34；即a 的取值范围是(−34, +∞)； 故答案为：(−34, +∞)．23.【答案】 {1, 2} 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】先将方程转化为关于2x 的二次方程，再利用因式分解法求二次方程的根，最后通过解简单的指数方程得方程的解集 【解答】解：4x −3⋅2x+1+8=0 ⇔(2x )2−6×2x +8=0 ⇔(2x −2)(2x −4)=0 ⇔2x =2或2x =4 即x =1或x =2 故答案为{1, 2} 24. 【答案】 (0, 12]【解析】先利用配方法求出指数的取值范围，然后根据指数函数的单调性求出值域即可． 【解答】解：∵ x 2−2x +2=(x −1)2+1≥1 ∴ 函数y =(12)x2−2x+2的值域为(0, 12]故答案为：(0, 12] 25.【答案】 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根与系数的关系指数型复合函数的性质及应用【解析】由题设可先将3x 看作一个整体，将方程整理为一元二次方程，由根与系数的关系得到3x 1⋅3x 2=4，即可得到x 1+x 2=2log 32，进而再得到x 1x 2≤(log 32)2．代入即可求得x 12+x 22x 1x 2的最小值【解答】解：原方程可化为(3x )2−(4+a)⋅3x +4=0， ∴ 3x 1⋅3x 2=4， ∴ x 1+x 2=2log 32， 又(x 1+x 2)2≥4x 1x 2， ∴ x 1x 2≤(log 32)2．∴ x 12+x 22x1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=4(log 32)2x 1x 2−2≥2．故答案为2三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ） 26.【答案】解：∵ 函数y =2x+2−3⋅4x =22⋅2x −3•(2x )2 =−3[(2x )2−43⋅2x +49]+43=−3(2x −23)2+43，∴ 当x ∈[−1, 0]时，2x ∈[12, 1]，∴ 当2x =23，即x =log 223=1−log 23时，函数y 取得最大值43， 当2x =1，即x =0时，函数y 取得最小值1； ∴ 函数y 的值域是[1, 43]．【解析】根据函数y 的解析式与自变量的取值范围，求出函数y 的最大、最小值即可． 【解答】解：∵ 函数y =2x+2−3⋅4x =22⋅2x −3•(2x )2 =−3[(2x )2−43⋅2x +49]+43=−3(2x −23)2+43，∴ 当x ∈[−1, 0]时，2x ∈[12, 1]，∴ 当2x =23，即x =log 223=1−log 23时，函数y 取得最大值43，当2x =1，即x =0时，函数y 取得最小值1； ∴ 函数y 的值域是[1, 43]． 27.【答案】解：∵ f(x)定义域为 ，关于原点对称。
人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数 同步练习(含解析)
5.2.3简单复合函数的导数基础过关练题组一复合函数的求导法则1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=()A.3(2020-8x)2B.-24xC.-24(2020-8x)2D.24(2020-8x)22.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=()A.e x ln2x+e 2B.e x ln2x-eC.e x ln2x+eD.2e x·13.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.14.若函数f(x)=4 -3,则f'(x)=.5.函数f(x)=cos2 e 的导函数f'(x)=.6.求下列函数的导数.(1)y= 2(2 +1)3;(2)y=e-x sin2x;(3)y=ln2 +1-1;(4)y=cos(-2x)+32x+1.深度解析题组二复合函数求导的综合运用7.曲线f(x)=e 4x -x-2在点(0,f(0))处的切线方程是()A.3x+y+1=0B.3x+y-1=0C.3x-y+1=0D.3x-y-1=08.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=10 ,则在时刻t=40min 的降雨强度为()A.20mm/minB.400mm/minC.12mm/min D.14mm/min 9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则lim Δ →0(1-2Δ )- (1)Δ的值为()A.10B.-10C.-20D.2010.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a 的值为()A.1B.2C.-1D.-211.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=+1,则(0)'(0)=()A.2B.-2C.1D.e+112.设曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.13.已知f(x)为偶函数,当x ≤0时,f(x)=e -x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为.14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a ∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y 轴交于点(0,6),试确定a 的值.能力提升练题组复合函数的导数及其应用1.()已知y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的是()A.x>0时,f'(x)=1 ,x<0时,f'(x)=-1B.x>0时,f'(x)=1 ,x<0时,f'(x)无意义C.x≠0时,都有f'(x)=1D.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-15B.0C.15D.53.()已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=()A.nB.n-1C. ( -1)2D. ( +1)24.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x 为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-y=0D.4x+y=05.()定义方程f(x)=f'(x)的实数根x 0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a6.(多选)()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)B.函数g(x)的最大值为2C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为π27.()已知y= 1−1− ,则y'=.8.()若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.9.()设函数f(x)=ae x ln x+ e -1 .(1)求导函数f'(x);(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C y'=3(2020-8x)2×(2020-8x)'=3×(2020-8x)2×(-8)=-24(2020-8x)2.故选C.2.C f'(x)=(e x)'·ln2x+e x·(ln2x)'=e x ln2x+e .故选C.3.B由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)= -1,由f'(2)=2,可得 2 -1=2,解得a=23.故选B.4.答案24 -34 -3解析∵f(x)=4 -3=(4x-3)12,∴f'(x)=12(4x-3)-12·(4x-3)'=24 -34 -3.5.答案-2sin2 +cos2e解析由f(x)=cos2 e ,得f'(x)=-2sin2 +cos2e .6.解析(1)∵y= 2(2 +1)3,∴y'=2 ·(2 +1)3- 2·3(2x+1)2·2(2 +1)6=2 -2 2(2 +1)4.(2)y'=-e-x sin2x+2e-x cos2x=e-x(2cos2x-sin2x).(3)∵y=ln2 +1-1=12ln(2x+1)-1,∴y'=12×12 +1×(2x+1)'=12 +1.(4)y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3=-2sin 2x+2·32x+1ln 3.易错警示分析函数的运算结构,以基本初等函数的导数为基础,利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可.7.D ∵f'(x)=4e 4x -1,∴k=f'(0)=3.又f(0)=-1,∴切线方程为y+1=3x,即3x-y-1=0.故选D.8.D 由f(t)=10 ,得10(10t)'=10,所以10=14.9.C ∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=2+8,∴f'(1)=10,∴limΔ →0(1-2Δ )- (1)Δ =-2limΔ →0(1-2Δ )- (1)-2Δ=-2f'(1)=-20.故选C.10.B 设切点为P(x 0,y 0),则y 0=x 0+1,y 0=ln(x 0+a),∵y'= 0=10+a=1,∴x 0+a=1,∴y 0=ln(x 0+a)=0,∴x 0=y 0-1=-1.∴a=1-x 0=2.故选B.11.B 令ln x=t,则x=e t,代入f(ln x)=+1得y=e +1e=1+1e =1+e -t ,∴y'=-1e ,∴ (0) '(0)=1+1-1=-2.故选B.12.答案2解析令y=f(x),则曲线y=e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=e ax,所以f'(x)=(e ax)'=(e ax)·(ax)'=ae ax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.13.答案y=2x-1解析设x>0,则-x<0,∴f(-x)=e x-2+x,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=e x-2+x,则f'(x)=e x-2+1,∴f'(2)=2,又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1.14.解析因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,所以f'(x)=2a(x-5)+6 .令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6,解得a=12.能力提升练1.C根据题意得f(x)=ln ( >0),ln(− )( <0).分两种情况讨论:(1)x>0时,f(x)=ln x⇒f'(x)=(ln x)'=1 ;(2)x<0时,f(x)=ln(-x)⇒f'(x)=[ln(-x)]'=1- ·(-1)=1 .故选C.2.B由题设可知f(x+5)=f(x),∴f'(x+5)=f'(x),∴f'(5)=f'(0),又f(-x)=f(x),∴f'(-x)(-1)=f'(x),即f'(-x)=-f'(x),∴f'(0)=0,∴f'(5)=f'(0)=0.故选B.3.D f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1,则f'(0)=1+2+3+4+…+n= ( +1)2.故选D.4.A因为函数f(x)=e x+a·e-x是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立,所以e-x+a·e x=-e x-a·e-x对一切x∈R恒成立,即(a+1)(e x+e-x)=0对一切x∈R恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,因此f(x)=e x-e-x,故f'(x)=e x+e-x.由曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,得f(x)=e x-e-x=0,解得x=0.所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0),切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.5.C由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=1 +2,设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-1 +2,当x=-1时,F(-1)=-1<0,当x=0时,F(0)=ln2-12=ln4-ln e>0,故-1<b<0.由φ(x)=cos x(x∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x,令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0,则2sin +又x∈(0,π),所以x+π4=π,得x=3π4,即c=3π4.综上可知,b<a<c.故选C.6.AD根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2, 4=2π3-π6=π2,∴T=2π,ω=2π =1.根据五点法画图知,当x=π6时,ωx+φ=π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,∵|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=2sin +∴f'(x)=2cos +∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin + +=22sin +π=22sin +令x+7π12=π2+kπ,k∈Z,解得x=-π12+kπ,k∈Z,∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-π12+kπ,k∈Z,A正确;当x+7π12=π2+2kπ,k∈Z时,函数g(x)取得最大值22,B错误;g'(x)=22cos +∵g'(x)≤22<3,∴不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;方程g(x)=2,即22sin +∴sin +=22,∴x+7π12=π4+2kπ,k∈Z或x+7π12=3π4+2kπ,k∈Z,∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为π2,D正确.故选AD.7.答案解析 1−1−·(1+1− )(1-1− )·1− )= (1+1− )1−(1− )=1+1− .设y=1+ ,u=1-x,则y'x=y'u·u'x=(1+ )'·(1-x)'=12 ·8.答案1-ln2解析设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),则f'(x)=1 ,g'(x)=1 +1.设f(x)上的切点为(x1,y1),g(x)上的切点为(x2,y2),则k=1 1=1 2+1,则x2+1=x1.又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k= 1- 2 1- 2=2,故x1=1 =12,y1=ln12+2=2-ln2.故b=y1-kx1=2-ln2-1=1-ln2.9.解析(1)由f(x)=ae x ln x+ e -1 ,得f'(x)=(ae x ln=ae x ln x+ e + e -1x-be -1 2.(2)由题意得,切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程,得y=2,将x=1代入函数y=f(x),得f(1)=b,所以b=2.将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=ae=e,所以a=1.10.解析由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,则π2+2cosπ2=1.由y=x3得y'=3x2.当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当P点不是切点时,设切点坐标为(x0, 03),此时切线的斜率k'=302,∴切线方程为y-03=3 02(x-x0).∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,∴b=1,将P(1,1)代入切线方程,得1-03=3 02(1-x0),∴203-3 02+1=0,∴2 03-2 02- 02+1=0,∴(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=-12(x0=1舍去),∴切点坐标为-12,-8又切线的斜率为3×-=3,∴切线方程为y+18=34 +即3x-4y+1=0.综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.。
复合函数(习题)
复合函数（习题）1. 若函数2()2f x x =+，21()1x x g x x x -+<⎧=⎨⎩≥，，，则函数(())g f x 的解析式是_______________________．2. 已知2(1)45f x x x -=+-，则(1)f x +=_______________．3. （1）若函数(3)f x +的定义域为[52]--，，则()(1)(1)F x f x f x =++-的定义域为_______________．（2）已知2()4x y f =的定义域为，则1()2x y f += 的定义域为_______________．4. （1）函数()432301x x f x x =-+<⋅≤（）的值域是_______．（2）函数3()1log f x x =+的定义域是(19]，，则函数22()[()]()g x f x f x =+的值域是_______________．5. （1）函数2431()3x x y -+-=的单调递增区间为______________．（2）函数22log (231)y x x =-+的单调递减区间为________．（3）函数4287y x x =--的单调递减区间是_____________．（4）函数222(log )2log 314y x x x =--≤≤（）的单调递增区间是______________．（5）函数1421x x y +=-+-的单调递增区间是____________．6. （1）函数34()24x f x x -=-的单调递增区间是______________．（2）函数()f x =的单调递增区间是____________．（3）函数y =____________．7. 函数y =的单调递减区间是____________．8. 已知函数1()log (2)a f x x =-在其定义域上单调递减，则函数2()log (1)a g x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(10)-，B ．[0)+∞，C ．(0]-∞，D ．[01)，9. 若函数22(1)1()2xa x f x --+=在区间[5)+∞，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(6)+∞，B ．[6)+∞，C ．(6)-∞，D ．(6]-∞，10. 已知函数()log (2)x a f x a =-在区间(1]-∞，上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．(12)，B．(01)，C．(01)(12)，，D．(01)(2)+∞，，【参考答案】1.2(())2g f x x=+2.x2+8x+73.（1）[-1，0]；（2）[0，3]4.（1）3[1]4，；（2）(2，7]5.（1）(2，+∞)；（2）1 ()2-∞，；（3）(0，2)，(-∞，-2)；（4）(2，4)；（5）(-∞，0)6.（1）(-∞，2)，(2，+∞)；（2）3(2)4，；（3）(-∞，1)7.(3，+∞)8. A9. D10.A。
复合函数的导数练习题
复合函数的导数练习题-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1技能演练 基 础 强 化1．函数y ＝cos n x 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝cos x n B ．y ＝t ，t ＝cos n x C ．y ＝t n ，t ＝cos x D ．y ＝cos t ，t ＝x n 答案 C2．y ＝e x 2－1的导数是( ) A ．y ′＝(x 2－1)e x2－1B ．y ′＝2x e x 2－1C ．y ′＝(x 2－1)e xD ．y ′＝e x2－1解析y ′＝e x 2－1 (x 2－1)′＝e x2－1·2x .答案 B3．下列函数在x ＝0处没有切线的是( ) A ．y ＝3x 2＋cos x B ．y ＝x sin x C ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x解析 因为y ＝1x ＋2x 在x ＝0处没定义，所以y ＝1x ＋2x 在x ＝0处没有切线． 答案 C4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析 设切点为(x 0，x 20)，则斜率k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，∴切点为(1,1)．故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 答案 D5．y ＝log a (2x 2－1)的导数是( )解析 y ′＝12x 2－1?ln a (2x 2－1)′＝4x 2x 2－1?ln a .答案 A6．已知函数f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．a ＝1B ．a ＝2C ．a ＝ 2D ．a >0解析 f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′ ＝12ax 2－1·2ax＝axax 2－1. 由f ′(1)＝2， 得aa －1＝2，∴a ＝2. 答案 B7．曲线y ＝sin2x 在点M (π，0)处的切线方程是________． 解析 y ′＝(sin2x )′＝cos2x ·(2x )′＝2cos2x ， ∴k ＝y ′|x ＝π＝2.又过点(π，0)，所以切线方程为y ＝2(x －π)． 答案 y ＝2(x －π)8．f (x )＝e 2x －2x ，则f ′xe x －1＝________.解析 f ′(x )＝(e 2x )′－(2x )′＝2e 2x －2＝2(e 2x －1)． ∴f ′xe x －1＝2?e 2x －1?e x －1＝2(e x ＋1)． 答案 2(e x ＋1)能 力 提 升9．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有相同的切线．求实数a ，b ，c 的值．解 ∵函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×23＋2a ＝0，b ×22＋c ＝0，得a ＝－8,4b ＋c ＝0， ∴f (x )＝2x 3－8x ，f ′(x )＝6x 2－8. 又当x ＝2时，f ′(2)＝16，g ′(2)＝4b ， ∴4b ＝16，∴b ＝4，c ＝－16. ∴a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋a (a 为常数)，直线l 与函数f (x )、g (x )的图像都相切，且l 与函数f (x )图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a 的值．解 ∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1， 即直线l 的斜率为1，切点为(1,0)． ∴直线l 的方程为y ＝x －1.又l 与g (x )的图像也相切，等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2＋a 只有一解，即方程12x 2－x ＋1＋a＝0有两个相等的实根，∴Δ＝1－4×12(1＋a )＝0，∴a ＝－12.品 味 高 考11．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )B ．－12 D ．1解析 ∵y ′＝(－2x )′e－2x＝－2e－2x，∴k ＝y ′|x ＝0＝－2e 0＝－2， ∴切线方程为y －2＝－2(x －0)， 即y ＝－2x ＋2.如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得交点坐标为(23，23)，y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1,0)， ∴所求面积为S ＝12×1×23＝13. 答案 A12．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a.∵在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，∴f′(0)＝a＝1.又0－b＋1＝0，∴b＝1.答案A。
高三数学复合函数与反函数题库
高三数学复合函数与反函数题库题目1：求复合函数的解析式已知函数 f(x) = x^2 + 3 和 g(x) = 2x - 1，求复合函数 f(g(x)) 的解析式。
解析：要求复合函数 f(g(x)) 的解析式，就是将 g(x) 的表达式代入f(x) 中，然后进行化简。
首先，将 g(x) 的表达式代入 f(x) 中得到：f(g(x)) = (2x - 1)^2 + 3接下来，展开并化简这个表达式：f(g(x)) = (2x - 1)(2x - 1) + 3= 4x^2 - 4x + 1 + 3= 4x^2 - 4x + 4因此，复合函数 f(g(x)) 的解析式为 4x^2 - 4x + 4。
题目2：判断函数的反函数是否存在已知函数 f(x) = 2x + 1，判断函数 f(x) 的反函数是否存在，并给出存在时反函数的解析式。
解析：函数 f(x) 的反函数存在的条件是，f(x) 必须为一对一函数，即每个 y 值对应唯一的 x 值。
对于函数 f(x) = 2x + 1，其中任意两个不同的 x 值，经过 f(x) 的运算得到的结果 y 总是不同的。
因此，函数 f(x) 是一对一函数，反函数存在。
接下来，我们使用代换法求反函数的解析式。
设反函数为 f^(-1)(x)，则有：y = 2x + 1将 x 和 y 交换位置：x = 2y + 1解方程，得到反函数的解析式为：f^(-1)(x) = (x - 1) / 2因此，函数 f(x) 的反函数存在，并且反函数的解析式为 (x - 1) / 2。
题目3：求反函数的导数已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5，判断函数 f(x) 的反函数是否存在，并求反函数的导数。
解析：根据题目2的解析，函数 f(x) 的反函数存在，因此我们可以求出反函数的解析式，然后利用导数的定义进行计算。
首先，设反函数为 f^(-1)(x)，则有：y = 2x^2 + 3x - 5将 x 和 y 交换位置：x = 2y^2 + 3y - 5解方程，得到反函数的解析式为：f^(-1)(x) = (-3 ± √(25 + 8x)) / 4接下来，我们利用导数的定义来计算反函数的导数。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题精品资料欢迎下载复合函数求导练题一、选择题（共26小题）1.设$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$，则$f'(2)=\frac{1}{9}$。
2.设函数$f(x)=g(x)+x+\ln x$，曲线$y=g(x)$在点$(1,g(1))$处的切线方程为$y=2x+1$，则曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x+2$。
3.下列式子不正确的是$(2sin2x)'=2cos2x$。
4.设$f(x)=sin2x$，则$f''(\frac{\pi}{4})=-1$。
5.函数$y=cos(2x+1)$的导数是$y'=-2sin(2x+1)$。
6.下列导数运算正确的是$(x^2)'=2x$。
7.下列式子不正确的是$(3x^2+xcosx)'=6x+cosx-xsinx$。
8.已知函数$f(x)=e^{2x}-3x$，则$f'(0)=2$。
9.函数$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$的导数是$f'(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$。
10.已知函数$f(x)=sin2x$，则$f'(x)=2cos2x$。
11.$y=e^{sinx\ cosx\ sinx}$，则$y'=\frac{d}{dx}(e^{sinx\ cosx\ sinx})=cosx\ cos^2x\ e^{sinx\ cosx\ sinx}$，所以$y'(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
12.下列求导运算正确的是$(e^{2x})'=2e^{2x}$。
13.若$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}$，则函数$f(x)$可以是$ln\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。
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三、解答题
2
3－2x
10．设函数 f（x）＝
＋ lg
，
3x＋5 3＋2x
（1）求函数 f（x）的定义域；（2）判断函数 f（x）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数 f（x）的反函数 f－1（x），问函数 y＝f－1（x）的图象与 x 轴有交点吗?若有，求出交
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A．（1，＋∞）
B．（2，＋∞） C．（－∞，2）
D． (1，2]
解析：要保证真数大于 0，还要保证偶次根式下的式子大于等于 0，
x－1＞0
所以
log
1 2
( x－1)
0
解得
1＜x≤2． 答案：D
2．函数 y＝ log 1 （x2－3x＋2）的单调递减区间是（ ）
2
A．（－∞，1）
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第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的 y=f
［g(x)］叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：
(1)、已知 f ( x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域
例 4.
已知
f (x2
4)
lg
x2 x2
8
，则函数
f
(x)
的定义域为______________。
解析：先求 f 的作用范围，由
f (x2
4)
lg
x2
x2
，知
x2 8 x2 8
0
f ( x) 的定义域为
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(4， )
（3）、已知 f g(x) 的定义域，求 f h(x) 的定义域
3
（x）＝2x－x2 在（0，1）上单调递增，则 f［ （x）］在（0，1）上单调递减； （x）＝2x－x2 在（1，2）上单调递减，则 f［ （x）］在［1，2）上单调递增．
所以 f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1）
1
8．已知定义域为 R 的偶函数 f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且 f（ ）＝0，
思路：设 f g( x) 的定义域为 D，即 x D ，由此得 g( x) E ， f 的作用范围为 E，又 f 对 h( x) 作用，作用范围不变，所以 h( x) E ，解得 x F ，F 为 f h( x) 的定义域。
例 5. 若函数 f (2 x ) 的定义域为 1，1 ，则 f (log2 x) 的定义域为____________。
3
B．（2，＋∞） C．（－∞， ）
2
3
D．（ ，＋∞）
2
解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令 t（x）＝x2＋3x＋2，函数 t（x）在（－∞，1）
上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数 y＝ log 1 （x2－3x＋2）在（2，＋
2
∞）上单调递减．答案：B
1－x
1－x
1－x
为奇函数．答案：C
二、填空题
已知 y＝ log a （2－ax）在［0，1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是__________．
解析：a＞0 且 a≠1 （x）＝2－ax 是减函数，要使 y＝ log a （2－ax）是减函数，则 a＞1，又 2－ax＞
0 a＜ 2 （0＜x＜1） a＜2，所以 a∈（1，2）． 答案：a∈（1，2） 3
函数），则复合后的函数 y f (g(x)) 为减函数。
（4）例题演练
例 1、 求函数 y log 1 (x 2 2x 3) 的单调区间，并用单调定义给予证明
2
解 ： 定 义 域 x2 2x 3 0 x 3或x 1。 单 调 减 区 间 是 (3,)
设
x1, x2 (3,)且x1 x2 则 y1 log 1 (x12 2x1 3)
1
7．函数 f（x）的图象与 g（x）＝（ ）x 的图象关于直线 y＝x 对称，则 f（2x－x2）的单调递减区
3
间为______．
解析：因为 f（x）与 g（x）互为反函数，所以 f（x）＝ log 1 x
3
则 f（2x－x2）＝ log 1 （2x－x2），令 （x）＝2x－x2＞0，解得 0＜x＜2．
证明：在区间 (a, b ）内任取两个数 x1, x2 ，使 a x1 x2 b 因为 u g(x) 在区间 (a, b ）上是减函数，所以 g(x1 ) g(x2 ) ,记 u1 g(x1 ) , u2 g(x2 ) 即 u1 u2,且u1, u2 (c, d ) 因为函数 y f (u) 在区间(c,d)上是减函数，所以 f (u1 ) f (u2 ) ,即 f (g(x1 )) f (g(x2 )) ， 故函数 y f (g(x)) 在区间 (a, b ）上是增函数.
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4．若定义在区间（－1，0）内的函数 f（x）＝ log 2a （x＋1）满足 f（x）＞0，则 a 的取值范围为（ ）
1
1
1
A．（0， ） B．（0， ） C．（ ，＋∞）
2
2
2
D．（0，＋∞）
解析：因为 x∈（－1，0），所以 x＋1∈（0，1）．当 f（x）＞0 时，根据图象只有 0＜2a＜l，解得 0＜a＜
思路：设函数 f ( x) 的定义域为 D，即 x D ，所以 f 的作用范围为 D，又 f 对 g(x) 作用，作用范
围不变，所以 g(x) D ，解得 x E ，E 为 f g(x) 的定义域。
例 1. 设函数 f (u) 的定义域为（0，1），则函数 f (ln x) 的定义域为_____________。
2
y2 log 1 (x22 2x2 3)
2
(x12 2x1 3) (x22 2x2 3) = (x2 x1 )(x2 x1 2) ∵ x2 x1 3
∴ x2 x1 0
x2 x1 2 0 ∴ (x12 2x1 3) > (x22 2x2 3)
又底数 0 1 1 2
若
x
1 3
，∵ u
3x2
2x
1 为减函数.∴
f
(x)
loga(3x2
2x
1)
为减函数。
当 0 a 1时 ， 若
x 1， 则
f (x) loga(3x2 2x 1) 为 减 函 数 ， 若
x1， 则 3
f (x) loga(3x2 2x 1) 为增函数.
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（5）同步练习：
1
（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．答案：A
2
2
5．函数 y＝ lg （
－1）的图象关于（ ）
1－x
A．y 轴对称 B．x 轴对称 C．原点对称 D．直线 y＝x 对称
2
1＋x
1＋x
1＋x
解析：y＝ lg （
－1）＝ lg
，所以为奇函数．形如 y＝ lg
或 y＝ lg
的函数都
1－x
解析：函数 f (u) 的定义域为（0，1）即 u (0，1) ，所以 f 的作用范围为（0，1） 又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以 0 ln x 1 解得 x (1，e) ，故函数 f (ln x) 的定义域为（1，e）
例 2. 若函数 f ( x) 1 ，则函数 f f ( x) 的定义域为______________。
2
则不等式 f（log4x）的解集是______．
1
1
解析：因为 f（x）是偶函数，所以 f（－ ）＝f（ ）＝0．又 f（x）在［0，＋∞］上是增函数，
2
2
所以 f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以 f（log4x）＞0 log4x＞ 1 或 log4x＜－ 1 ．
2
2
1
1
解得 x＞2 或 0＜x＜ ． 答案：x＞2 或 0＜x＜
（2）．复合函数单调性的判断
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复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
y f (u)
增↗
减↘
u g(x)
增↗
减↘
增↗
减↘
y f (g(x))
增↗
减↘
减↘
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）、复合函数 y f (g(x)) 的单调性判断步骤：
点坐标；若无交点，说明理由．
解析：
f
(2 x ) 的定义域为
1，1
，即 x
1，1
，由此得 2 x
1 2
，2
f
1 的作用范围为 2
，2 又
f 对 log2
x
作用，所以 log2
x
1 2
，2
，解得
x
2，4
即 f (log2 x) 的定义域为 2，4
（二）同步练习：
1、 已知函数 f (x) 的定义域为[0, 1] ，求函数 f (x 2 ) 的定义域。答案：[1, 1] 2、 已知函数 f (3 2x) 的定义域为[3, 3] ，求 f (x) 的定义域。答案：[3, 9] 3、 已知函数 y f (x 2) 的定义域为 (1, 0) ，求 f (| 2x 1|) 的定义域。答案：
∴ y2 y1 0
即 y2 y1 ∴ y 在 (3,) 上是减函数 同理可证： y 在 (,1) 上是增函数
［例］2、讨论函数 f (x) loga(3x2 2x 1) 的单调性.
［解］由 3x2 2x 1 0 得函数的定义域为{x | x 1,或x 1}. 3