2008年全国高中数学联合竞赛试题与答案
08年全国高中数学联赛试题及答案
2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试一、选择题（每小题6分，共36分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）。
（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3)3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。
（A ）24181 （B ）26681 （C ）27481（D ） 6702434．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3（C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3 5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。
2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的最大值为答：[B]A. 2b a + B.ab C.222b a + D. 222b a + 解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到ab ny mx ≤+，当2a n m ==，2b y x ==时，ab ny mx =+. 选B.2. 设)(x f y =为指数函数x a y =. 在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，⎪⎭⎫⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 答：[D]A. PB. QC. MD. N 解 取161=a ，把坐标代入检验，4116121=⎪⎭⎫⎝⎛ ，而2116141=⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴公共点只可能是 点N . 选D.3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么zy x ++的值为答：[A]A. 1B. 2C. 3D. 41 2 0.5 1xyz解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的5.0=x ，165=y ，163=z ，则1=++z y x . 选A. 4. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么答：[B]A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-22A π，cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β答： [D]A. 不存在B. 有且只有一对C. 有且只有两对D. 有无数对解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线. b 与垂线确定的平面β垂直于α. 选D.二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则{}3,1-=B A .解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x ]=2-，则02=x 无解； 当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-； 当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32=x ，∴3=x . 所以31或-=x .7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是21691=P (结果要求写成既约 分数）.解 考虑对立事件，216916513=⎪⎭⎫⎝⎛-=P .8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为5：1.解 由图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为)0(82>=x x y 或 )0(0<=x y .解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、2-=x 为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82>=x x y ，或)0(0<=x y .10. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222cb a += 3 . 解 切割化弦，已知等式即CB CB C A C A B A B A cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin +=，亦即C B A C B A cos )sin(sin sin sin +=，即C C B A 2sin cos sin sin =1，即1cos 2=c C ab . 所以，122222=-+c c b a ，故3222=+cb a .三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分） 11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.解 由题 1)1(2)(2+--=x x f ， ……5分1)(≤∴x f ，11≤∴m，即1≥m ，[]n m x f ,)(在∴上单调减， m m m f 11)1(2)(2=+--=∴且nn n f 11)1(2)(2=+--=. ……10分m ∴，n 是方程xx x f 11)1(2)(2=+--=的两个解，方程即 )122)(1(2---x x x =0，解方程，得解为1，231+，231-. n m <≤∴1，1=∴m ，231+=n . ……15分12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题参考答案及评分标准
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 函数f (x )＝cos 4x ＋sin 2x (x ∈R )的最小正周期是( )A ．π 4B ．π2C ．πD ．2π2. 已知平面上点的集合M ＝{(x ，y )|y ＝2x －x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝k (x ＋1)}. 当M ∩N ≠∅时，k 的取值范围是( )A ．[－33，33] B ．[0，33] C ．[－33，0] D ．[33，＋∞) 3. “x 2＋y 2＜4”是“xy ＋4＞2x ＋2y ”成立的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件4. 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－4a ＝0至少有一个模为3的复数根，则实数a 的所有取值为( ) A ．1，9 B ．－1，9，2－13 C ．1，9，2＋13 D ．1，9，2－135. 设f (x )是一个三次函数，f '(x )为其导函数. 如图所示的是y ＝xf '(x )的图像的一部分. 则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)6. 已知等比数列{a n }的公比q ＜0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( )A ．a 9S 8＞a 8S 9B ．a 9S 8＜a 8S 9C ．a 9S 8＝a 8S 9D ．与a 1的值有关二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 集合A ＝{x |x ＝[5k6]，k ∈Z ，100≤k ≤999}，其中[x ]表示不大于x 的最大整数.则集合A 的元素个数为 ．8. 已知数列{a n }满足a 1＝5，a n ＝2a n －1－1a n －1－ 2(n ≥2，n ∈N *），则其前100项的和是 ．9. 在正八边形的八个顶点中任取三个顶点，则这三个点成为一个直角三角形的顶点的概率是 ．10. 关于x 的方程x 2＋a |x |＋a 2－3＝0(a ∈R )有惟一的实数解，则a ＝ ．11. 直线L ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的最短弦长为 ．12. 设以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点的椭圆的离心率为e . 以F 1为顶点、F 2为焦点的抛物线与该椭圆的一个交点是P . 若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值为 ．三、 解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数f (x )＝x －k x 2－1(x ≥1)，其中k 为给定的实数，0＜k ＜1. 试求f (x )的值域.14．从双曲线x 2 9 －y 216＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T . 延长FT 交双曲线右支于点P . 若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，求|MO |－|MT |的值.15．已知△ABC 的外接圆的直径为25，三条边的长度都是整数，圆心O 到边AB 、BC 的距离也都是整数，AB ＞BC . 求△ABC 的三边的长度.OABCDE2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷加 试一. (本题满分50分)已知点O 为凸四边形ABCD 内的一点，AO ＝OB ，CO ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝120°. 点E 、F 、G 分别是线段AB 、BC 、CD 的中点，求证：∆EFG 为正三角形.二. (本题满分50分)已知a ，b ，c ，d 为正实数，a ＋b ＋c ＋d ＝4，求证：a 2bc ＋b 2da ＋c 2da ＋d 2bc ≤4.三. (本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数n ：存在一个n ＋1项的数列a 0，a 1，…，a n ，满足a 0＝0，a n ＝2008，且|a i －a i －1|＝i 2，i ＝1，2，…，n .E F GB CD A O2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 函数f (x )＝cos 4x ＋sin 2x (x ∈R )的最小正周期是( )A ．π 4B ．π2 C ．π D ．2π选B ．解：法一 由f (x ＋π2 )＝sin 4x ＋cos 2x ＝sin 4x ＋cos 4x ＋cos 2x sin 2x ＝cos 4x ＋sin 2x ＝f (x )；又f (0)＝1、f (π 4 )＝1 4 ＋12≠f (0)；选B .法二 由f (x )＝cos 4x ＋1－cos 2x ＝cos 2x (cos 2x －1)＋1＝1－cos 2x sin 2x ＝1－1 4 sin 22x ＝1 8 cos4x ＋78 ．可知f (x )的最小正周期为2π 4 ＝π2. 选B .2. 已知平面上点的集合M ＝{(x ，y )|y ＝2x －x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝k (x ＋1)}. 当M ∩N ≠∅时，k 的取值范围是( )A ．[－33，33] B ．[0，33] C ．[－33，0] D ．[33，＋∞) 选B ．解：集合M 的图形为以(1，0)为圆心、1为半径的圆的上半圆，集合N 的图形为过(－1，0)的直线．若直线与圆有公共点，则易得其倾斜角在[0，π6]内，故k ∈[0，33]．3. “x 2＋y 2＜4”是“xy ＋4＞2x ＋2y ”成立的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件 选A ．解：由xy ＋4＞2x ＋2y ⇔(x －2)(y －2)＞0⇔x ＜2，y ＜2或x ＞2，y ＞2； 而 x 2＋y 2＜4⇒－2＜x ＜2且－2＜y ＜2⇒xy ＋4＞2x ＋2y .4. 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－4a ＝0至少有一个模为3的复数根，则实数a 的所有取值为( ) A ．1，9 B ．－1，9，2－13 C ．1，9，2＋13 D ．1，9，2－13 选D ．解：将方程写为(x －a )2＝4a . 当a ≥0时，此时方程有实根，该实根之模为3，故方程有一根为3或－3. 代入，由(a ±3)2＝4a ，得a ＝1或9；当a ＜0时，得x ＝a ±2|a |i ，故|x |2＝a 2－4a ＝9，得a ＝2－13．故选D .5. 设f (x )是一个三次函数，f '(x )为其导函数. 如图所示的是y ＝xf '(x )的图像的一部分. 则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)选C ．解：如图，y ＝xf '(x )有三个零点，x ＝0，±2； 因为f '(x )为二次函数，所以它有两个零点，x ＝±2.由图像易知，当0＜x ＜2时，f '(x )＜0；当x ＞2时，f '(x )＞0. 故f (2)是极小值. 类似地可知，f (－2)是极大值. 选C ．6. 已知等比数列{a n }的公比q ＜0，其前n 项和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( ) A ．a 9S 8＞a 8S 9 B ．a 9S 8＜a 8S 9 C ．a 9S 8＝a 8S 9 D ．与a 1的值有关 选A ．解：a 9S 8－a 8S 9＝a 12q 71－q(q (1－q 8)－(1－q 9))＝－a 12q 7＞0，选A ．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 集合A ＝{x |x ＝[5k6]，k ∈Z ，100≤k ≤999}，其中[x ]表示不大于x 的最大整数.则集合A 的元素个数为 ．填750．解：当k ＝100时，[5k 6 ]＝83，当k ＝999时，[5k6 ]＝832. 又易知，对于100≤k ≤999，有0≤[5(k ＋1) 6]－[5k6]≤1，故A 中元素可以取遍从83到832中的所有整数，所以共有750个元素. 8. 已知数列{a n }满足a 1＝5，a n ＝2a n －1－1a n －1－ 2 (n ≥2，n ∈N *），则其前100项的和是 ．填400 .解：a 1＝5，则a 2＝3，a 3＝5，a 4＝3，数列周期为2，故前100项和是400.9. 在正八边形的八个顶点中任取三个顶点，则这三个点成为一个直角三角形的顶点的概率是 ．填3 7. 解：连接正八边形的三个顶点共可得C 83＝56个三角形，其中4条直径为一边的三角形是直角三角形，共有4×6＝24个直角三角形，所以p ＝37.10. 关于x 的方程x 2＋a |x |＋a 2－3＝0(a ∈R )有惟一的实数解，则a ＝ ．填3.解：f (x )＝x 2＋a |x |＋a 2－3是偶函数，惟一的实数解必为0，所以a 2－3＝0且a ＞0，故a ＝3.11. 直线L ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的最短弦长为 ．填4 5 .解：直线L 过点D (3，1). 圆心为C (1，2). 最短弦垂直于CD ，且CD 2＝5；又圆的半弦长为25，故弦长为45.12. 设以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点的椭圆的离心率为e . 以F 1为顶点、F 2为焦点的抛物线与该椭圆的一个交点是P . 若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值为 ．填33．解：在抛物线中，p ＝2，准线x ＝－3，|PF 2|就是P 到准线的距离；在椭圆中，|PF 1||PF 2|＝e ，|PF 2|也是P 到左准线的距离，故抛物线准线与椭圆左准线重合，所以a 2 c ＝3. 因为c ＝1，故易知e ＝33.三、 解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数f (x )＝x －k x 2－1(x ≥1)，其中k 为给定的实数，0＜k ＜1. 试求f (x )的值域. 解： 当x ＞1时，f (x )的导数是f '(x )＝1－kxx 2－1. ……5分令f '(t )＝0. 因为t ＞1时，解得t ＝11－k 2. ……10分f (t )＝f (11－k 2)……15分当x →＋∞时，f (x )→－∞，所以f (x )的值域为[1－k 2，＋∞). ……20分又解：令x ＝sec θ，θ∈[0，π2)，则x 2－1＝tan θ．f (x )＝u ＝sec θ－k tan θ＝1－k sin θcos θ⇒u cos θ＋k sin θ＝1⇒sin(θ＋φ)＝1u 2＋k 2．其中sin φ＝uu 2＋k 2，cos φ＝ku 2＋k2．又u ＞0．由|sin θ|≤1，得u 2≥1－k 2⇒u ≥1－k 2， 又对于一切不小于1－k 2的u 值，都有1u 2＋k 2≤1，从而存在φ与θ，使sin φ＝u u 2＋k 2，cos φ＝ku 2＋k2，sin(θ＋φ)＝1u 2＋k2成立．从而u ＝sec θ－k tan θ，即存在x ＝sec θ，使x －k x 2－1＝u 成立．故所求值域为[1－k 2，＋∞)14．从双曲线x 2 9 －y 216＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T . 延长FT 交双曲线右支于点P . 若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，求|MO |－|MT |的值.解： 不失一般性，将P 点置于第一象限. 设F '是双曲线的右焦点，连PF '.因为M 、O 分别为FP 与FF '的中点，所以|MO |＝12|PF'|. 又由双曲线的定义得：|PF |－|PF '|＝6，|FT |＝|OF |2－|OT |2＝4. ……10分故|MO |－|MT |＝1 2 |PF '|－|MF |＋|FT |＝12(|PF '|－|PF |)＋|FT |＝－3＋4＝1． ……20分15．已知△ABC 的外接圆的直径为25，三条边的长度都是整数，圆心O 到边AB 、BC 的距离也都是整数，AB ＞BC . 求△ABC 的三边的长度.解： 如图，过圆心O 作AB ，BC 的垂线，垂足为D ，E .设AB ＝a ，BC ＝b ，OD ＝d ，OE ＝e ，则BD ＝a 2 ，BE ＝b2，其中a ，b 、d 、e 都是正整数，且a ＞b ．因DB 2＋OD 2＝OB 2，故a 2＋(2d )2＝252， ①同理， b 2＋(2e )2＝252． ② 取不定方程 x 2＋(2y )2＝252．得两组正整数解(x ，y )＝(15，10)，(7，12)． ……10分 由a ＞b ，故得a ＝15，b ＝7．即AB ＝15，BC ＝7，而OD ＝10，OE ＝12．……15分又因OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，所以O ，D ，B ，E 共圆. 由托勒密定理，DE ·OB ＝OD ·BE ＋OE ·DB ，得DE ＝OD ·BE ＋OE ·DBOB＝10.由于D 、E 分别为AB 、BC 中点，所以DE 是△ABC 的中位线，因此AC ＝20，即三角形三边的长度分别为15，7，20. ……20分又解：cos ∠OBA ＝3 5 ，sin ∠OBA ＝4 5 ，cos ∠OBC ＝7 25 ，sin ∠OBC ＝2425 ．∴ cos ∠ABC ＝3 5 ×7 25 －4 5 ×24 25 ＝－35．∴AC 2＝152＋72＋2×15×7×35＝400 AC ＝20．OABCDE2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一. (本题满分50分)已知点O 为凸四边形ABCD 内的一点，AO ＝OB ，CO ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝120°. 点E 、F 、G 分别是线段AB 、BC 、CD 的中点，求证：∆EFG 为正三角形.证：连AC 、BD ，则EF ∥AC ，EF ＝1 2 AC ；FG ∥BD ，FG ＝12B D ．因为OA ＝OB ，OC ＝OD ，且∠AOB ＝∠COD ＝120°，所以以O 为心、逆时针旋转120°，则△AOC 成为△BOD .……20分 因此AC ＝BD ，并且BD 逆时针转到AC 的角为60°，从而EF ＝FG ，并且∠GFE ＝60°. 故△EFG 为正三角形. ……50分 注 若不用旋转的方法，证法如下:在△AOC 与△BOD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ＝120°＋∠BOC ；所以，△AOC ≌△BOD ，∴AC ＝BD ，并且∠OAC ＝∠OBD . ……20分 设AC 分别交BD 、BO 于P 、Q ，则∠DP A ＝∠OBD ＋∠PQB ＝∠OAC ＋∠OQA ＝180°－∠BOA ＝60°，由此易知∠GFE ＝∠DP A ＝60°. 又易知EF ＝FG ，因此，△EFG 为正三角形. ……50分又注：该证明是在A 、O 、C 不共线的假设下证明的，若A 、O 、C 共线，则△AOC 、△BOD 均不存在，故应补充证明：若A 、O 、C 共线，则∠BOC ＝60°，于是B 、O 、D 也共线．显然AC ＝BD ，于是易得EF ＝FG ，且∠EFG ＝∠BOC ＝60°．从而△EFG 为正三角形．证法三：前已证△AOC ≌△BOD ，得AC ＝B D ．∠OBP ＝∠OAP ． 取AD 中点K ，连EK 、GK ．则得EFGK 为菱形．且B 、P 、O 、A 共圆，∴ ∠APB ＝∠AOB ＝120°，故∠BPC ＝60°，∴ ∠EFG ＝60°，从而△EFG 为正三角形．证法四：前已证△AOC ≌△BOD ，得AC ＝B D ．取OB 、OC 中点K 、L ，连OE 、OG 、KE 、KF 、LG 、LF ．由已知得，OE ⊥AB ，∠OBE ＝30°，∴ EK ＝OE ＝1 2 OB ，同理，OG ＝OL ＝12 O C ．∵ F 、K 是OB 、OC 中点，FK ＝12OC ＝OG ，∵ ∠EOG ＝∠EOB ＋∠BOC ＋∠COG ＝60°＋∠BOC ＋60°＝120°＋∠BOC ＝∠AOC ＝∠EKF ，同理，∠FLG ＝∠EOG ，∴ △EKF ≌△EOG ，∴ EF ＝EG ，同理，FG ＝EG ．从而△EFG 为正三角形． 证法五：以O 为原点，与AB 平行的直线为实轴建立复平面． 设点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 表示复数a 、b 、c 、d 、e 、f ．则b ＝aω，d ＝cω(其中ω＝cos 2π 3 ＋i sin 2π3)．P Q OAD CB GF EK E F GB CD A O P K LEF GB CDAO于是，e ＝1 2 (a ＋b )，f ＝1 2 (b ＋c )，g ＝12(c ＋d )．向量→FE 表示复数e －f ＝1 2 (a －c )，→FG ＝g －f ＝1 2 (d －b )＝－1 2 (a －c )ω．∴e －fg －f＝－1ω＝－[cos(－2π 3 )＋i sin(－2π 3 )]＝cos π 3 ＋i sin π3 ．∴ 向量→FE 由→FG 旋转π 3得到，故△EFG 为正三角形．二. (本题满分50分)已知a ，b ，c ，d 为正实数，a ＋b ＋c ＋d ＝4，求证：a 2bc ＋b 2da ＋c 2da ＋d 2bc ≤4.证明：a 2bc ＋b 2da ＋c 2da ＋d 2bc ＝ab (ac ＋bd )＋cd (ac ＋bd )＝(ab ＋cd )(ac ＋bd )≤(ab ＋cd ＋ac ＋bd 2)2……20分＝[(a ＋d )(b ＋c )]2 4 ≤1 4 (a ＋b ＋c ＋d 2)4＝4． ……50分三. (本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数n ：存在一个n ＋1项的数列a 0，a 1，…，a n ，满足a 0＝0，a n ＝2008，且|a i －a i －1|＝i 2，i ＝1，2，…，n .解：若n ≤17，则a n ＝i ＝1Σn (a i －a i －1)＋a 0≤i ＝1Σn|a i －a i －1|＝1 6 n (n ＋1)(2n ＋1)≤16×17×18×35＜2008．矛盾. ……15分若n ＝18，则a n ＝i ＝1Σn(a i－ai －1)＋a 0≡i ＝1Σn|a i－ai －1|≡i ＝1Σni 2≡1(mod 2)这与a n ＝2008矛盾. ……30分若n ＝19，注意到 2008＝12＋22＋…＋192－2(22＋52＋92＋112)，取a 0，a 1，…，a 19如下：0，1，－3，6，22，－3，33，82，146，65，165，44，188，357，553，778，1034，1323，1647，2008． 由此知n ＝19可行.综上，n min ＝19. ……50分 注 例子不惟一，如：2008＝12＋22＋…＋192－2(12＋32＋102＋112)＝12＋22＋…＋192－2(22＋32＋42＋92＋112)． ＝12＋22＋…＋192－2(12＋32＋52＋142) ＝12＋22＋…＋192－2(22＋32＋72＋132)等等．。
2008年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试+二试AB卷)(学生版)
2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3（C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3 5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 46．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则的取值范围是（ ）。
（A ）(0,)+∞ （B ） 51+ （C ）5151()-+ （D ）51)-+∞ 二、填空题（每小题9分，共54分）11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = .12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．加 试（A 卷）一、（本题满分50分）如图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（1）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C 、、、四点共圆；（2）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB上一点，满足：32AE AB =，31BC EC=-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值． 二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明：（1）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>> (1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： 答一图1（1）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（2）lim n n x →∞存在； （3）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．2008年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）试题参考答案说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与BD 的交点为P ，E 是弧AB 上一点，连接EP 并延长交DC 于点F ，点,G H分别在CE ，DE 的延长线上，满足EAG FAD ∠=∠，EBH FBC ∠=∠，求证：,,,C D G H 四点共圆．二、（本题满分50分）求满足下列关系式组 2222,50,x y z z y z ⎧+=⎨<≤+⎩的正整数解组(,,)x y z 的个数．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件： （ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在； （ⅲ）200820071110n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．题一图。
高中数学竞赛二试试题答案B卷
题一图答一图2008年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）试题参考答案说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与BD 的交点为P ，E 是弧AB 上一点，连接EP 并延长交DC 于点F ，点,G H 分别在CE ，DE 的延长线上，满足EAG FAD ∠=∠，EBH FBC ∠=∠，求证：,,,C D G H 四点共圆．[证] 由已知条件知FAG FAE EAG FAE FAD DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．又 180DAE DCE ∠+∠=︒， 所以 180FAG DCE ∠+∠=︒， 从而,,,A F C G 四点共圆，此圆记为1Γ．同理可证：,,,B F D H 四点共圆，此圆记为2Γ． 点E 在圆1Γ，2Γ内．延长FE 与圆1Γ相交于点I ，则 IP PF AP PC DP PB ⋅=⋅=⋅， 故,,,B F D I 四点共圆．所以I 在BFD ∆的外接圆上，故I 在2Γ上． 再用相交弦定理： E C E G E F E I E D⋅=⋅=⋅， 故,,,C D G H 四点共圆． 二、（本题满分50分）求满足下列关系式组 的正整数解组(,,)x y z 的个数．[解] 令r y z =-，由条件知050r <≤，方程化为222()2x z r z ++=，即2222x zr r z ++=． （1）因0y z r -=>，故22222z x y z x =+->，从而z x >．设0p z x =->．因此（1）化为22220zp p zr r -+++=． （2）下分r 为奇偶讨论，（ⅰ）当r 为奇数时，由（2）知p 为奇数． 令121r r =+，121p p =+，代入（2）得221111112()10p p zp zr r r +-++++=． （3）（3）式明显无整数解．故当r 为奇数时，原方程无正整数解． （ⅱ）当r 为偶数时，设12r r =，由方程（2）知p 也为偶数．从而可设12p p =，代入（2）化简得2211110p zp zr r -++=． （4）由（4）式有221111()0z p r p r -=+>，故11p r >，从而可设11p r a =+，则（4）可化为2211()0r a za r +-+=，2211220r ar za a +-+=． （5）因21122r z r a a=++为整数，故212a r ． 又1122()z z x p r a >-==+，因此22111()2()r a r za r a a ++=>+，得2212a r <，a <．因此，对给定的11,2,,25r =⋅⋅⋅，解的个数恰是满足条件a 的212r 的正因数a 的个数1()N r ．因212r 不是完全平方数，从而1()N r 为212r 的正因数的个数21(2)r σ的一半．即211()(2)/2N r r σ=．由题设条件，1125r ≤≤．而25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：：012341{2,2,2,2,2}A =，2{23,25,27,211}A =⨯⨯⨯⨯， 223{23,25}A =⨯⨯， 34{23}A =⨯， 25{23}A =⨯，1{3,5,7,11,13,17,19,23}B =， 222{3,5}B =，3{35,37}B =⨯⨯，从而易知012341()(2)(2)(2)(2)(2)1234515N A N N N N N =++++=++++=，2()(23)46424N A N =⨯⨯=⨯=， 3()9218N A =⨯=， 4()12N A =， 5()10N A =， 1()3824N B =⨯=， 2()5210N B =⨯=， 3()9218N B =⨯=，将以上数相加，共131个．因此解的个数共131． 三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-．由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑．充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s +→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，已证得存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．。
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题参考答案及评分标准
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆； （Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：AE AB =，1BC EC =，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O的切线，AC =，求()f P 的最小值． [解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅．又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆．（Ⅱ）记ECB α∠=，则2E C Aα∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==，从而s i n 32s i n 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=，解得cos αcos α=， 故30α=，60ACE ∠=． 答一图1由已知1BCEC ==()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC∠-∠=∠，整理得1cos 2EACEAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=， 从而45E ∠=，45DAC DCA E ∠=∠=∠=，ADC ∆为等腰直角三角形．因AC 1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故BC =，212215BD=+-⋅=，BD =故min ()f P BD AC =⋅= [解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）． 过,,A C D 分别作000,,P A PC P D的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC∆之三内角分别为x y z ，，，则0180APC y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A PC ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=， 所以111A B C ∆∽ABC ∆．设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有 0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA BC MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点． 由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值 11102()A B C f P S λ∆=答一图22ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=，34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=，解得cosαcos α=，故30α=，60ACE ∠=．由已知1BCEC ==()sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=，所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ==故λ=min ()21f P =[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 P A B C P C A B P A B C P C A B⋅+⋅≥⋅+⋅， 所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A P B A C =--=⋅， 从而 P A B C P C A B PD C A⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅． （2）（1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 a r g ()a r g ()A PB AC PC B--=--， 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB 所成的角， 从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． （Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)n a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1ma nb +=． 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期． 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期．（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……．由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-．由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得 112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑．充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s+→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
2008年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
图1
⊥BC 于 F ,则 △AFE 为直角三角形 . 因为 ∠AEF = 30° ,所以 , 1 5 3 AF = AE = , 2 2 5 3 即梯形 ABCD 的高 AF = . 2 又四边形 AEBD 为平行四边形 ,因此 , AD = EB . 1 1 故 S = ( AD + BC ) AF = EC・ AF 2 2 1 5 3 25 3 = × 10 × = . 2 2 2 四、 原不等式两边同乘以 30 得 15(3 x -1 ) -10 (4 x -2 ) ≥ 6 (6 x -3 ) -39 . 解得 x ≤ 2. 记 y = 2| x -1|+| x +4| . ( 1) 当 x ≤- 4 时 , y =- 2 ( x -1 ) - ( x +4 ) =-3 x -2 . 所以 , y 的最小值为 ( - 3) ×( -4 ) -2= 10 ,此时 x =-4 . ( 2) 当 -4 ≤x ≤ 1时,
2 13. 设函数 f ( x ) = x - k x - 1 ( x ≥ 1, k 为 给 定 的 实 数 ,0< k <1 ) . 试 求 f ( x ) 的 值域 .
参考答案
第一试
一、 1. B. 注意到 π 4 2 f x+ = sin x + cos x 2 4 4 2 2 = sin x + cos x + cos x ・ sin x 4 2 = cos x + sin x = f ( x ) . π 1 1 ≠ 又 f ( 0) =1 、 f = + f ( 0) , 故 4 4 2 选 (B) . 2. B. 由点集 M 、 N 的几何意义易知 . 3. A. xy + 4>2 x +2 y Ζ ( x - 2) ( y -2 ) >0 Ζ x < 2 , y <2 或 x >2 , y >2 .
2008年全国高中数学联赛天津市预赛试题及答案.doc
2008年天津市高中数学联赛预赛2008年高中数学联赛天津赛区预赛于2008年9月21日举行，共有五千多名中学生参加此次预赛，并从中选拔出九百多名学生参加于10月12日举行的全国高中数学联赛.天津赛区预赛所涉及的知识范围基本参照现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，但在方法的要求上有所提高. 主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力. 试卷包括6道选择题，6道填空题和3道解答题，全卷满分150分，考试时间为两小时.天津赛区预赛的命题工作由学会负责，组织工作由科协五学科竞赛管理委员会办公室负责，阅卷及报送参加全国高中数学联赛的名单由各区县教研室具体实施.2008年高中数学联合竞赛天津地区预赛试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确结论的代号填在对应题号的表格内） 1. 已知二次函数()232f x x x =-+，则方程()()0ff x =不同实数根的数目为（ ）.()1A ()2B ()3C ()4D2. 抛物线21y ax bx =++的参数,a b 满足2384a ab b +=，则当,a b 变动时，抛物线的顶点一定在（ ）上.()A 抛物线 ()B 双曲线 ()C 圆或椭圆 ()D 直线3. 如右图，已知,,L M N 分别为ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，,D E 分别是,BC AB 上的点，并满足,AD CE 均平分ABC ∆的周长，,P Q 分别是,D E 关于,L N 的对称点，PQ 与LM 交于点F ，若AB AC >，则AF 一定过ABC ∆的（ ）.()A 内心 ()B 外心 ()C 重心 ()D 垂心4. 若方程()2400,1xa x a a +-=>≠的所有根为12,,,k u u u ，其中k 为正整数，方程()()log 2200,1a x x a a +-=>≠的所有根为12,,,l v v v ，其中l 为正整数，则1212k lu u u v v v k l ++++++++ 的值为（ ）.()14A ()12B ()1C ()2D5. 考虑集合{}1,2,,10S = 的所有非空子集，若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集”，则“好子集”的数目有（ ）个.()631A ()633B ()635C ()637D6. 设不定方程222100x y z xyz ++-+=的正整数解(),,x y z 中满足,,x y z 均大于2008的不同解的数目为k ，则k 满足（ ）.()0A k = ()12008B k ≤≤ ()2008C k >，但k 是有限的数 ()D k 是无穷大二、填空题：（本大题共6小题，每小题9分，共54分． 请将答案写在题中横线上） 7. 函数()()()[]s i n 45,0,90s i n 60x fx x x +︒=∈︒︒+︒，则()f x 的最大值与最小值的乘积为 . 8. 若方程2009200810zz ++=有模为1的根，则所有模为1的根的和为 .9. 考虑44⨯的正方形方格表中的25个格点，则通过至少3个格点的不同直线的数目为 . 10. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，则2008120082009k k =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑的值是 . 11. 已知长方体1111ABCD A BC D -满足12,3,251AA AD AB ===，平面1A BD 分别与11111,,CC C B C D 交于点,,L M N ，则四面体1C L M N 的体积为 .12. 已知半径为R 的圆O 外一条直线l ，O 在l 上的投影为H ，OH d =，OH 与圆O 交于点,,C D CH DH >. 设,P Q 为l 上的点，,P Q 在H 的同侧，且,,PH a QH b a b ==>，圆O 中有2008条平行于l 的弦()1,2,,2008i i AB i = ，且这2008条弦与CD 的交点均分CD ，则()20082222112008i i i i i PA PB QA QB =+++∑的值为（用,,,a b d R 表述） .三、 解答题（本大题共3小题,共60分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 13. 已知锐角ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点分别为,,D E F ，在,,EF FD DE 的延长线上分别取点,,P Q R ，若AP BQ CR ==，证明PQR ∆的外心为ABC ∆的垂心.14. 已知数列12,,,,n a a a 满足：()()221212151,1,21n n n n a a a a n n a +-+===≥-，求n a 的通项公式.15. 有10个选手1210,,,A A A ，他们的积分分别为9,8,7,6,5,4,3,2,1,0，名次分别为第1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 现进行单循环比赛，即任意两个选手之间都恰进行一场比赛，且每场比赛都要分出胜负. 若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，则胜者得1分，负者得0分；若名次靠后的选手胜了名次靠前的选手，则胜者得2分，负者得0分，全部比赛结束后计算每个选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并根据累计积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（名次并列是允许的）.参考答案一、选择题 1. 因为()()()()2224323233226103ff x x x x x x x x x=-+--++=-+-，所以有()()2123,433310,0,3,2x x x x x x x ±--+====，因此原方程有4个不同实根. 故选D 。
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题及解答
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3)3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ） A. 24181 B. 26681 C. 27481D. 6702434．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 35．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞二、填空题（本题满分54分，每小题9分）题15图7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =L ，若7()128381f x x =+，则a b += .8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a = ．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种．10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =L ，则通项n a = ．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = ．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+．14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．2008年全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准（A卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a ，解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ）A.24181 B. 26681 C. 27481 D. 670243 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==， 4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =． 若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但。
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：AE AB =，1BC EC =，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O的切线，AC =，求()f P 的最小值． [解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在 AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． …10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）记ECB α∠=，则2E C Aα∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==，从而s i n 32s i n 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=， …30分解得cos αcos α=， 故30α= ，60ACE ∠= ．答一图1由已知1BCEC ==()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=， …40分 从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因AC 1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故BC =，212215BD =+-⋅=，BD =故min ()f P BD AC =⋅= …50分 [解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）． 过,,A C D 分别作000,,P A PC P D 的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC∆之三内角分别为x y z ，，，则0180APC y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A⊥，110B A PC ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=， 所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有 0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA BC MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点． 由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值 11102()A B C f P S λ∆=答一图22ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=，34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=， …30分解得cosαcos α=，故30α= ，60ACE ∠= ．由已知1BCEC ==()sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=， …40分所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ==故λ=min ()21f P == …50分[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 P A B C P C A B P A B C P C A B⋅+⋅≥⋅+⋅， 所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A=-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A P B A C =--=⋅ ，从而 P A B C P C A B P D C A ⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅． （2） …10分（1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 a r g ()a r g ()A PB AC P C B--=--， 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC旋转到AB 所成的角，从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)na n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1ma nb +=． 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期． …10分 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期． …20分（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……． …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k = ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n = ； （ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n = ．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++- ． …10分 由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑． …20分充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =． …30分下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n = ，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s+→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分。
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sin B b = sin A = a = q ∈
5 − 1, 5 + 1 . 所以选 C.
2
2
二、填空题 (本题满分 54 分，每小题 9 分)
7. 设 f (x) = ax + b，其中 a, b 为实数，f1(x) = f (x), fn+1(x) = f (fn(x))，
n = 1, 2, · · · ，若 f7(x) = 128x + 381，则 a + b =
于是
a + b > c, b + c > a
⇒
q2 q2
− +
q q
− −
1 1
< >
0, 0
⇒
√ 5− 2
1
<
q
<
√ 5+ 2
1.
sin A cot C + cos A sin A cos C + cos A sin C sin(A + C)
sin B cot C + cos B =√sin B co√s C + cos B sin C = sin(B + C)
负的 1 局在前 2 局. 于是需要比赛 6 局的情况是在前 4 局中，甲或乙在 1, 2
局和 3, 4 局中均为 1 胜 1 负. 相应分布列为
局数ξ 概率P
2
4
6
22 +
3
12 3
C21
·
1 3
2 3
3
+
C21
·
2 3
13 3
4
12 3
22 3
于是
Eξ
=
2
×
5 9
+
4
×
20 81
+
6
×
16 81
=
266 . 81
所以选
B.
4. 若三个棱长均为整数 (单位： cm) 的正方体的表面积之和为 564 cm2，则这三
个正方体的体积之和为 A. 764 cm3或586 cm3
B. 764 cm3
()
C. 586 cm3或564 cm3
D. 586 cm3
解答
设三个正方体的棱长分别为 a, b, c，则 6(a2 + b2 + c2) = 564 ⇒ a2 + b2 + c2 = 94.
6.
设
△ABC
的内角
A、B、C
所对的边
a、b、c
成等比数列，则
sin A cot C sin B cot C
+ +
cos A cos B
的取值范围是
A. (0, +∞)
√
√
C.
5
−
1 ,
5+1
2
2
√
B. 0, 5 + 1
√2
D.
5
−
1 ,
+∞
2
()
解答
设等比数列 a, b, c 的公比为 q，则 b = aq, c = aq2.
a > 1,
a < −1,
Байду номын сангаас
于是
2
− a2
−
2a
−
1
=
1 −
或
2
1
−
4a
=
1 −
或
2
1
=
1 −.
解得
a
=
2 −2
±
√ 3(−2
−
√2 3
舍去).
所以
a
2 = −2
+
√ 3.
2
9. 将 24 个志愿者名额分配给 3 所学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不
相同的分配方法共有
种.
解答
将 24 个志愿者名额分配给 3 所学校，每校至少有一个名额的分配方法有 C223 =
由于 ∆ = a2 + 16 > 0，于是 fa(∈4)[=−21,24−) 4a > 0, ⇒ a ∈ [0, 3). 所以选 D. 2
3. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到
有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止. 设甲在每局中获胜的概率为 2，乙在 3
2. 设 A = [−2, 4), B = {x|x2 − ax − 4 ⩽ 0}，若 B ⊆ A，则实数 a 的取值范围为
()
A. [−1, 2) 解答
B. [−1, 2]
C. [0, 3]
D. [0, 3)
设
f (x)
=
x2
−
ax
−
4，依题意
f (x)
=
0
的两根
x1, x2
∈
[−2, 4).
f (−2) = 2a ⩾ 0,
⇒
y
=
0
或 y = 1.
(x + y)2 = y − 1,
当
xy
=
−1
时， xy
=
−1
⇒
1 y−
y
2
=
y
−
1
⇒
y2
+
1 y2
=
y
+
1
⇒ y4 − y3 − y2 + 1 = (y − 1)(y3 − y − 1) = 0. 由于 y3 − y − 1 = 0 没有有理根，
则 y = 1 ⇒ x = −1. 于是有理解 (x, y, z) 的个数为 2，所以选 B.
.
解答
f2(x)
=
a(ax
+
b)
+
b
=
a2x
+
ab
+
b
=
a2x
+
b(1 1
− −
a2) ， a
f3(x)
=
a(a2x
+
ab
+
b)
+
b
=
a3x
+
a2b
+
ab
+
b
=
a3x
+
b(1 1
− −
a3) ，· a
·
·
，
f7(x)
=
a7x
+
b(1 1
− −
a7) a
=
128x
+
381
⇒
a
=
2, b
=
3.
所以
a
+
b
2008年全国高中数学联合竞赛试题
一、选择题 (本题满分 36 分，每小题 6 分) 1. 函数 f (x) = 5 − 4x + x2 在 (−∞, 2) 上的最小值是
2−x
()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解答
f (x) = 2 − x + 1 ⩾ 2，等号成立时 x = 1. 所以选 C. 2−x
5.
方程组
xxyyz++yzz
= +
0, xz
+
y
=
0
的有理数解
(x, y, z)
的个数为
()
A. 1 解答
B. 2
C. 3
D. 4
xyz + z = z(xy+ 1) = 0 ⇒ z = 0 或 xy =−1.
x + y = 0,
x = 0, x = −1,
当
z
=
0
时， xy
+
y
=
y(x
+
1)
=
0
=
5.
8.
设
f (x)
=
cos 2x
−
2a(1
+ cos x)
的最小值为
−
1 2
，则
a
=
.
解答
设 t = cos x ∈ [−1, 1]，则 f (x) = 2t2 − 1 − 2a(1 + t) = 2t2 − 2at − 2a − 1
=2
a t−
2 − a2 − 2a − 1.
2
2
a ∈ [−1, 1],
由于 (3k ± 1)2 ≡ 1 (mod 3)，于是 a, b, c 中必有 2 个数为 3 的倍数，不妨设为
a, b. 检验得 32 + 62 = 45 ⇒ c = 7；32 + 92 = 90 ⇒ c = 2.
从而 a3 + b3 + c3 = 586 或 764. 所以选 A.
x + y + z = 0,
每局中获胜的概率为 1，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 ξ 的期 3
望 Eξ 为
()
A. 241 81
解答
B. 266 81
C. 274 81
D. 670 243
由于比赛不满 6 局时胜者比对方多 2 分，则比赛局数只能是 2, 4, 6. 其中 2 局
分胜负的情况为甲或乙胜 2 局；4 局分胜负的情况为甲或乙胜 3 局负 1 局，且