第六单元_第四节_数列实际应用举例
§6-4数列实际应用举例
03
解题步骤
将贷款总额$P=100000$，年利率$r=6%$换算成月利率，还款总期数
$n=3 times 12$代入公式，计算得出每期还款额$M$。
物品增长或衰减问题
物品增长或衰减公式
$N = N_0 times (1 pm r)^t$，其中$N$表示最终数量，$N_0$表示初始数量，$r$表示增 长率或衰减率，$t$表示时间。
跨学科综合应用能力的提升
未来社会将更加注重人才的综合素质和跨学科应用能力，学生需要 提高将数列知识与其他学科知识相结合解决问题的能力。
创新思维与实践能力的培养
在解决实际问题时，需要具备创新思维和实践能力。因此，学生需 要在学习过程中注重培养自己的创新意识和实践能力。
THANKS FOR WATCHING
根据学生的学习方法和态度，给出针对性建议，引导学生树立正确 的学习观念，培养良好的学习习惯。
实际应用能力指导
针对学生在实际应用中的表现，提供解题思路和方法指导，帮助学 生提高解题能力。
展望未来发展趋势
数列知识的深化与拓展
随着数学学科的不断发展，数列知识将在更广泛的领域得到应用， 学生需要不断深化和拓展数列知识。
判断周期性数列
通过图表观察数列是否存在周期性 变化规律，如三角函数型数列等。
图表法在复杂问题中优势
直观性强
图表法能够将抽象的数列问题具体化、形象化，降低理解难度。
易于发现规律
通过图表可以更容易地发现数列中的隐含规律和性质。
便于比较和分析
在解决多个数列问题时，利用图表进行比较和分析可以更加高效 和准确。
VS
解题步骤
可以先观察销售额的增长趋势，尝试建立 递推关系或拟合曲线进行预测。如果数据 呈现等差或等比数列的特点，也可以直接 应用相应数列的求和公式进行求解。
第4节：数列求和
Step3：由 － 得：
Step4：化简： .
例4.(2020年新课标全国卷 17)设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项.
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和.
解析：（1）设公比为 ，得 即 ， 得 （舍去）， .
（2）设 为 的前n项和，由（1）及题设可得， ，所以
三类应用： 裂相求和； 证明不等式； 求范围.
例3.(2015年全国2卷) 为数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和.
解析：（1） 与已知作差得： ， ，当 时， ， .
（2） ， .
类型3：错位相减
型如 的数列求和，其基本解题步骤如下：
Step1：由题可得：
例2.（2020新高考2卷）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
解析：（1）设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ， ，数列的通项公式为： .
（2）由于： ，故：
.
类型2．裂项求和
1.分母是等差数列相邻两项乘积，则： ，则：
.
2.有理化后求和： .
3.指数式裂相求和： .
数列求和的四种常见类型
类型1．公式法求和：用等差（等比）数列求和公式.
例1.(2018年全国2卷)记 为等差数列 的前n项和，已知 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值.
解析：（1）设 的公差为 ，由题意得 ，由 ，得 ，所以 的通项公式为 .
（2）代入等差数列求和公式，得 ，所以当 时， 取到最小值，且最小值为 .
，
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标1. 理解数列的概念及其性质2. 掌握数列的通项公式和求和公式3. 能够运用数列解决实际问题二、教学内容1. 数列的概念及其性质2. 数列的通项公式和求和公式3. 数列在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念、性质、通项公式和求和公式2. 教学难点：数列在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解数列的概念和性质2. 采用示例法，教授数列的通项公式和求和公式3. 采用案例分析法，让学生学会运用数列解决实际问题五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如等差数列“每月工资”、“每分钟心跳次数”等，引导学生认识数列的概念和性质。
2. 讲解：讲解数列的概念、性质、通项公式和求和公式，通过示例让学生理解并掌握这些知识点。
3. 练习：布置一些练习题，让学生运用所学的数列知识解决问题，巩固所学内容。
4. 案例分析：选取一些实际问题，如“等差数列投资”、“数列在数据处理中的应用”等，让学生学会运用数列知识解决实际问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调数列在实际中的应用价值。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生对数列概念和性质的理解程度。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，检查学生对数列通项公式和求和公式的掌握情况。
3. 案例分析评价：评估学生在案例分析中的表现，判断其能否将数列知识应用于实际问题中。
七、教学拓展1. 数列在数学其他领域的应用：介绍数列在代数、几何、概率等领域中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 数列与其他学科的交叉：探讨数列在其他学科如物理、化学、生物等方面的应用，拓宽学生的知识视野。
八、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、教学方法的适用性、学生对数列知识的掌握程度等，以便对后续教学进行调整和改进。
九、课后作业布置一些有关数列的练习题，包括填空题、选择题和解答题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
数列在实际问题中的应用
数列在实际问题中的应用在我们的日常生活和众多领域中，数列的身影无处不在。
从金融投资到生物繁殖，从工程建设到资源分配，数列都发挥着重要的作用。
它不仅是数学中的一个重要概念，更是解决实际问题的有力工具。
先来说说银行存款中的复利计算。
假设你在银行存入一笔本金 P，年利率为 r，存款期限为 n 年。
如果每年复利一次，那么 n 年后你的存款总额 A 就可以用等比数列的通项公式来计算：A ＝ P(1 ＋ r)＾n 。
比如说，你存入 10000 元，年利率为 5%，存 5 年，那么 5 年后你的存款总额就是 10000×（1 ＋ 005)＾5 ≈ 1276282 元。
这里的每年的存款金额就构成了一个等比数列，通过这个数列的计算，我们可以清晰地了解到资金的增长情况，从而更好地规划自己的财务。
在房屋贷款的计算中，数列也同样有着重要的应用。
假设你向银行贷款 P 元，月利率为 r，还款期限为 n 个月。
等额本息还款方式下，每月还款额 M 可以通过等差数列和等比数列的知识来推导得出。
通过这样的计算，你可以清楚地知道每个月需要还款的金额，以及在还款过程中本金和利息的比例变化。
这有助于你合理安排每月的收支，避免出现逾期还款等问题。
数列在资源分配问题中也大显身手。
比如，一家公司有一定数量的资源要分配给不同的项目。
假设公司共有资源 R，有 n 个项目需要分配资源，每个项目的资源需求按照一定的比例增长或减少。
通过构建等差数列或等比数列，可以找到最优的资源分配方案，使得资源得到最有效的利用，从而实现公司的最大效益。
再看人口增长问题。
在理想情况下，人口的增长可以看作是一个等比数列。
假设初始人口为 P₀，年增长率为 r，经过 n 年后，人口数量P ＝ P₀(1 ＋ r)＾n 。
通过对这个数列的分析，可以预测未来人口的变化趋势，为政府制定相关的政策，如教育、医疗、就业等方面的规划，提供重要的参考依据。
在工程建设中，数列也有着广泛的应用。
高三复习 第四节 等差、等比数列的应用
【提示】 ∵每年的产量构成以1为首项，1＋7%为公比
的等比数列{an}，∴a6＝a1(1＋7%)5，由此可得2023年的产
量比2018年的产量增加 a1 1 7%5 a1 ＝(1＋7%)5－1.
a1
【思路点拨】 每年的产量构成等比数列，且此 等比数列的首项a1＝1，公比q＝1＋7%.
解：(1)购买时交付150元，欠款为1000元，按题意应分 20次付清．
设每次所付欠款顺次构成数列{an}，则 a1＝50＋1000×0.01＝60， a2＝50＋(1000－50)×0.01＝59.5，
典例解析
a3＝50＋(1000－50×2)×0.01＝59， …
an＝60－(n－1)·0.5， ∴数列{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，故 a10＝60－9×0.5＝55.5(元)． 则20次分期付款的总和为
S280＝198年×公50交0＋车保82有7 ×量2为002＝00961001，.58 ＋(10000－9600)≈10252(辆)． 11.5
同步精练
10．某城镇2009年年底的住房面积为800万平方米，建 设局从2010年开始，每年新建住房面积是上一年底住房面 积的10%，并且每年拆除一定面积的旧住房．
(1)该市到2019年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到2019年底该市各种公交车的保有量共多少？
解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列
{an}，其中a1＝200，q＝1.5， 则在2019年应该投入的电力型公交车为a8＝a1q7≈3417(辆)．
同步精练
(2)该市逐年淘汰的燃油型公交车的数量组成等差数列， 记作{bn}，b1＝500，d＝200， 到2019年共淘汰燃油型公交车辆数
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
2025届高考数学一轮总复习第六章数列第四节数列求和
41 + 2 ×
= 32,
1 = 5,
S4=32,T3=16,得
解得
所以
= 2.
(1 -6) + 2(1 + ) + (1 + 2-6) = 16,
an=a1+(n-1)d=2n+3.
(2)证明 由(1)可得
[5+(2+3)]
Sn=
=n2+4n.
2
当 n 为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6
×…× ×a2= × ×…× ×1=n-1.
-2
2
1
-2 -3
显然 a1=0 满足,∴an=n-1(n∈N*).
(2)由(1)可知 an=n-1(n∈N*),
+1
1
1 1
1 2
1 3
1
∴an+1=n,∴ =n· ,∴Tn=1×
+2×
+3×
+…+n· ,
2
2
2
2
2
2
1
1 2
1 3
1
2
2
+(
1
2
2
−
1
2 )+…+
3
1
1
1
2 - 2 =1-81
8 9
=
80
.
81
=
1
2
−
1
(+1)
2,
增素能 精准突破
6.4数列的实际应用(1)
课题
§6历数学建模的过程,培养学生应用数学的能力.
2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题,提高学生数学地提出、分析、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识.
教学重点
用等差数列和等比数列相关知识,解决银行存款等生活实际问题.
教学难点
练习：P23练习1,2
三、课堂小结
用等差数列和等比数列相关知识,解决银行存款等生活实际问题
学生活动
回顾、识记
讨论、交流
师生共同分析例题，学生完成练习
回顾、总结
教学过程
教学内容
教师活动
学生活动
课后作业
P25习题：1、2
教后记
建立数列模型
教学准备
教学过程
教学内容
复习引入
讲授新知
课堂小结
教 师 活 动
一、复习引入
1、等差数列、等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式；
2、等比数列、等比数列的通项公式、等比数列前n项和公式；
3、生活中的存款贷款等实际问题，都可以用等差数列和等比数列的知识加以解决。
二、讲授新知
数列实际应用
探究
某人欲通过中介公司出售一辆原价20万元、已经行驶了50000km的家用轿车。中介公司提供了两种估价方法，一是按汽车每行驶5000km折价1.5万元；二是按汽车每行驶5000km折价10%。请你算一算，按哪一种折价方法卖主收益更多？
例1某人从1月1日起，每月1日将1000元存入银行，银行年利率为6%（按月计息），利息税为20%，连存一年后，到第2年的1月1日，把存款连同利息一起取出，问：此人可从银行取回多少钱？
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时间 第1月 第2月
… 第12月
到期的利息 100× 0.3%× 12 100× 0.3%× 11
… 100× 0.3%× 1
到期的本利和 100+100× 0.3%× 12 100+100× 0.3%× 11
… 100+100× 0.3%× 1
由等差数列求和公式
答：需要15个月才能还清全部贷款．
归纳小结 整体建构
解答数列应用题的基本步骤： (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意； (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问
题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么； (3)求解——求出该问题的数学解； (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．
答：需要支付车费23.2元 .
教学情景创设 林场植树，大地变成绿色.
案例讲解
例3 某林场今年计划造林10公顷，以后每年比上一年多造林 10%，那么从今年起，几年内可以使林场造林达到60公顷？ （结果保留到个位）
解：由题意知，每年计划造林的公顷数构成一个等比数列，
设为{an}，则a1=10，q=1+10%=1.1，Sn=60.
案例讲解
解：由题意知，每个月存入的100元钱的到期本利构成一个
等差数列，设为{an}, 则a1=100+100× 0.3%× 12=103.60,
a12=100+100× 0.3%× 1=100.30, n=1 2,
S12=
n(a1
2
a12 )
12 (103.60 100.30) 2
1223.40
10(11.1n ) 60. 1 1.1
整理，得 1.1n=1.6， 两边取对数，得 nlg1.1=lg1.6，
利用计算器计算，得
n lg1.6 0.2041 5 lg1.1 0.0414
答：5年内可以使林场造林达到60公顷.
课堂练习 1.某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m)是：
7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500
数学课程
知识点65 数列实际应用举例
第六单元 数列
6.4.1 数列实际应用举例
问题情景创设
求解数列应用题的基本步骤是什么？ (1)设： 哪些量构成数列？
数列的起始年份或起始值是什么？ 已知条件或者求解的量在数列中是第几项？ (2)列: 先求数列的通项公式 该数列是什么数列？ 用什么方法求通项公式？ (3)解： (4)答：
零存整取开户手续与活期储蓄相同，只是每月要按开户时 的金额进行续存．
教学情景创设 教学情景创设
计息公式：利息=本金×存期×利率 月利率=年利率/12 日利率=年利率/360
本 利 和= 本 金 + 利 息
教学情景创设
近期内中国人民币储蓄的年利率如下： 单位 %
项目
活期存款
整存整取 三个月 半年 一年 两年 三年 五年
(元)
答：12个月的本利和是1223.40元.
教学情景创设
出租车计价器是一种专用的计量仪器，它安装在出租 汽车上，能连续累加，并指出行程中任一时刻乘客应付费 用的总数，其金额是计程的函数．
案例讲解
例2 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元， 即最初的4km（不含4km）计费10元。如果某人乘坐该市的 出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，
需要支付多少车费？
分析：根据题意，我们知道“出租车的计价标准为1.2元/km”, 当行程达到4km时，车费为10+1.2=11.2元， 行程达到5km时，车费11.2+1.2=12.4元，…. 显然，当行程大于等于4km时，每公里所付的车费
构成一个公差为1.2的等差数列， 本题就是求此等差数列的第11项 ，这是从实际问
题出发转化为了数学模型----等差数列.
案例讲解
解：由题意知，当该出租车的行程大于或等于4km时， 每增加1km，乘客需支付1.2元，所以我们可以建立
一个等差数列{an}的模型来计算车费.
令a1=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2， 那么当车行至14km处时，n=11，
此时需支付的车费
a11=11.2+（11-1）× 1.2=3.2（元）教学情景创设
零存整取是银行定期储蓄的一种基本类型，所谓定期储蓄 即为储户在存款时约定存期，一次或按期分次存入本金，整笔 或分期、分次支取本金或利息的一种储蓄方式．
零存整取，是指储户在进行银行存款时约定存期、每月固 定存款、到期一次支取本息的一种储蓄方式．零存整取计息按 实存金额和实际存期计算，具体利率标准按利率表执行；
年利率%
0.36
1.71 1.95 2.25 2.79 3.33 3.6
项目 零存整取 整存零取 存本取息
一年
三年
五年
年利率%
1.71 1.98 2.25
定活两便
按一年以内 整存整取同 档次利率打6
折执行
案例讲解
例1 银行有一种储蓄业务叫做零存整取，即每月定时存入 一笔相同数目的现金，到约定日期可以取出全部本利和.规定 每次存入的钱不计复利.若某人每月初存入100元，月利率为 0.3%，问到第12个月末整取时本利和是多少？
书6.4训练题； (3)探寻生活中数列实际应用的实例．
注意: 数列知识在实际问题中的应用，对于教育储蓄、
零存整取、分期付款等实际问题，能够透过条件发现其 中隐含的等差（比）关系，将实际问题转变成等差（比） 数列问题进行解决．通过对数列的应用问题及探索性问题 的学习提高学生的运算能力、逻辑思维能力以及分析问题 和解决问题的能力．
布置作业
(1)阅读理解： 教材6.4； (2)书面作业： 教材6.4后习题四，学生学习指导用
这位长跑运动员7天共跑了多少米？ 解：每天跑步的长度构成了等差数列，
根据等差数列的求和公式
答：这位长跑运动员7天共跑了63000米.
课堂练习
2.银行给予养鸡场无息贷款36000元，还款方式是一年后的 第一个月还1000元，以后每月比前一个月多还200元，请
问需要多少个月才能还清全部贷款？
解：每个月的还款数构成了等差数列，其中a1=1000, d=200,还款总数是等差数列的和Sn,