第10讲 数列的实际应用
数列实际应用
数列实际应用
数列是按照一定规律排列的数的集合，它在数学中有广泛的应用，同时也在现实生活中有许多实际应用。
以下是一些数列在实际中的应用：
1.金融和经济学：在金融和经济学中，数列可以用于建模和分析投资回报、股票价格的变化、经济增长等。
例如，等差数列可以用来描述定期投资的增长，而等比数列可以用来建模复利效应。
2.工程：在工程领域，数列可以用于描述周期性变化。
例如，振动和波动的频率可以通过正弦或余弦函数的数列来表示。
这在机械工程、电子工程和声学等领域都有应用。
3.计算机科学：在计算机科学中，数列被广泛用于算法和数据结构。
例如，斐波那契数列常用于递归算法和动态规划，而等差数列和等比数列可以用于表示计算机内存中的数据结构。
4.统计学：在统计学中，数列可以用于建模和分析随机过程。
例如，随机游走模型中的数列描述了随机变量的变化。
这在风险管理、市场分析等方面有应用。
5.物理学：在物理学中，数列可以用于描述时间和空间中的变化。
例如，牛顿的运动定律中的等差数列描述了运动物体的位移随时间的变化。
6.生物学：在生物学中，数列可以用于描述生物体的生长、衰老和其他变化。
例如，菲波那契数列可以用于描述植物的分枝结构。
7.电信和通信：在通信领域，数列可以用于描述信号的变化。
例如，正弦数列可用于表示模拟信号，而二进制数列可用于表示数字信号。
8.交通规划：数列可以用于模拟交通流量的变化。
例如，等差数列可以用于描述车辆在道路上的运动，有助于交通规划和优化。
这些都只是数列在实际中的一些例子，数列的应用领域非常广泛，涵盖了几乎所有科学和工程领域。
数列在实际中的应用
数列在实际中的应用数列是数学中的重要概念，它是按照一定规律排列的一系列数字。
数列在实际生活中有着广泛的应用，从自然科学到社会科学，都离不开数列的运用。
本文将探讨数列在实际中的应用，并分析其在不同领域的具体应用案例。
一、自然科学中的数列应用1. 物理学中的数列应用物理学是研究物质和能量以及它们之间相互作用规律的学科。
数列在物理学中有着广泛的应用，例如在运动学中，常常会涉及到时间和位置、速度、加速度之间的关系。
当物体按照规律运动时，其位置、速度和加速度都可以表示为数列。
通过数列的分析，可以了解物体的运动规律和变化趋势。
2. 化学中的数列应用化学是研究物质的组成、结构、性质、变化以及它们之间的相互作用的学科。
数列在化学中的应用主要体现在化学反应的动力学研究上。
例如，在某些化学反应中，反应物的浓度随时间的变化可以用数列来表示。
通过数列的分析，可以研究反应速率、反应程度等化学动力学参数。
二、社会科学中的数列应用1. 统计学中的数列应用统计学是研究数据收集、整理、分析和解释的学科。
数列在统计学中的应用非常广泛，例如在人口统计研究中，常常会涉及到人口的年龄、性别、地区等信息。
这些信息可以通过数列进行统计和分析，从而得出人口结构、人口变化趋势等重要结果。
2. 经济学中的数列应用经济学是研究人类在有限资源下如何选择以满足无限需求的学科。
数列在经济学中的应用主要体现在经济指标的预测和分析上。
例如，国民经济中的GDP、通货膨胀率、失业率等指标的变化趋势可以用数列来表示和分析，通过数列的预测和分析，可以为经济决策提供参考。
三、数列在工程技术中的应用1. 电路中的数列应用在电子工程中，数列有着广泛的应用。
例如，在信号传输中，根据不同的调制方式，信号可以用二进制数列、多进制数列、矩阵数列等不同形式表示。
通过数列的编码和解码，可以实现信号的高效传输和正确解读。
2. 计算机科学中的数列应用数列在计算机科学中有着极为重要的应用。
高中数学第二章数列第10课时等差数列前n项和的性质与应用课件新人教B版
(4)设Sn＝An2＋BnA，B为常数，A＝d2，B＝a1－d2， nS＋n＋11＝An＋1n2＋＋1Bn＋1＝A(n＋1)＋B， Snn＝An2＋n Bn＝An＋B.
∴nS＋n＋11－Snn＝A(n＋1)＋B－An－B＝A＝d2.
∴Snn是首项为a1，公差为d2的等差数列.
讲重点 讨论等差数列前n项和Sn最值问题的方法及注意事 项
利用不等式组
an≤0， an＋1≥0
或
an≥0， an＋1≤0，
可以确定正整数n，
使得等差数列{an}的前n项和Sn最小或最大．用这一方法解决这
类问题时要注意两点：①n是正整数；②求出n后需验证an是否
为零，若an为零，则最值Sn＝Sn－1；若an不为零，则最值为Sn.
a1>a2>a3>…>ak≥0>ak＋1>…，则 S1<S2<S3<…≤Sk>Sk＋1>Sk＋2>…， 所以，此时Sn存在最大值，且最大值为Sk＝a1＋a2＋a3＋… ＋ak.
此时，可以用不等式组aakk≥ ＋1≤0，0 确定正整数k的值．
③当公差d<0、首项a1>0时，等差数列{an}为正项递增数 列，故0<S1<S2<S3<…，所以不需要讨论其最值问题；同样，当 公差d<0、首项a1<0时，等差数列{an}是负项递减数列，故 0>S1>S2>S3>…，所以也不需要讨论其最值问题．
变式训练2 递减的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5＝S10， 则欲使Sn取最大值，n的值为( )
A．10
B．7
C．9
D．7或8
解析：方法一：∵S5＝S10， ∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，∴a8＝0.由于数列递减，故数列 前7项为正，从第9项开始为负． ∴Sn取最大值时，n＝7或8.
10等差数列应用
等差数列应用教学目标 班级________ 姓名______________ 1.掌握等差数列的相关性质.2.能够熟练应用等差数列的性质进行计算.教学过程一、等差数列前n 项和的最值问题.当0≠d 时，等差数列前n 项和n S 是关于n 的二次函数，在一定条件下，n S 有最值.（1）探索n S 取最值的条件：（填有或无）0,01>>d a 时：数列1，2，3，4，5，6，......此时n S ____最大值，____最小值. 0,01<>d a 时：数列2，1，0，-1，-2，-3，......此时n S ____最大值，____最小值. 0,01><d a 时：数列-1，0，1，2，3，4，......此时n S ____最大值，____最小值. 0,01<<d a 时：数列-1，-2，-3，-4，-5，-6，......此时n S ___最大值，___最小值. 结论：_______________________________________________________________（2）从函数的角度分析n S 的取值情况：n da n d d n n na S n )2(22)1(121-+=-+= 0>d 时，图象开口向上，n S 有最小值. 0<d 时，图象开口向下，n S 有最大值.注意：（1）等差数列前n 项和的最值不一定在顶点处取得，也不一定在1=n 处取得. （2）取最值时，n 的值一定要是正整数.（3）0=d 时，数列{}n a 为常数列，其前n 项和1na S n =，是关于n 的一次函数.例1：设等差数列{}n a 满足53=a ，910-=a . （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 取最大值的序号n.练习1：数列{}n a 是首项231=a ，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负.（1）求数列的公差；（2）求数列前n 项和n S 的最大值； （3）求0>n S 时，n 的最大值.规律总结（1）Bn An S n +=2，利用二次函数求最值，注意n 取正整数； （2）利用邻项变号法来求解：当0,01<>d a 时，满足0≥n a 且01≤+n a 的项数n ，使n S 取最大值； 当0,01><d a 时，满足0≤n a 且01≥+n a 的项数n ，使n S 取最小值. （3）使n S 取最值得n 可能不止一个（当{}n a 有一项为零时）.二、数列{}n a 的前n 项和问题.设数列{}n a 为等差数列，将数列{}n a 各项取绝对值构成数列{}n a .将数列{}na 的前n 项和记为nT ，即||...||||||321n na a a a T++++=.1.当0,01<<d a （或0,01>>d a ）时，数列{}n a 各项都为负（或正）.此时，数列{}n a 的前n 项和为n S -（或n S ）.2.当0,01><d a 时，存在正整数m ，使得m n ≤时，0≤n a ，m n >时，0>n a （即前m 项为负，后面各项为正）.则当m n ≤时，n n S T -=，当m n >时，m n n S S T 2-=. 即 =n T n S -， m n ≤,m n S S 2-， m n >.3.当0,01<>d a 时，存在正整数m ，使得m n ≤时，0≥n a ，m n >时，0<n a （即前m 项为正，后面各项为负）.则当m n ≤时，n n S T =， 当m n >时，m n n S S T 2+-=. 即=n T n S ， m n ≤，m n S S 2+-， m n >.特别提醒：求数列{}n a 的前n 项和n T 的关注点： （1）当数列中含有负项时，注意对n 的讨论； （2）数列{}n a 的前n 项和n T 要以分段函数的形式表示.例2：已知数列{}n a 的通项公式为302-=n a n ，n T 是{}||n a 的前n 项和，则=10S _______.练习2：已知数列{}n a 中，601-=a ，41+=+n n a a ，求{}||n a 的前n 项和n T .三、等差数列前n 项和综合应用.1.判断一个数列为等差数列有哪些方法？_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________特别注意：通项公式和前n 项和公式只能用来判断，要证明用定义和等差中项的性质.2.由等差数列前n 项和，可解决那些问题？_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________特别注意：（1）涉及n S 与n a 关系时，要分2≥n 和1=n 进行讨论. （2）利用性质解题，有时很简单. （3）方程思想的应用.例3：在各项均不为零的等差数列n a 中，若0121=+--+n n n a a a )2(≥n ，则______412=--n S n .练习3：已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2)21(+=n n a S ，设)(10*∈-=N n a b n n .（1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式. （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最大值.反思_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
数列在实际问题中的应用
数列在实际问题中的应用在我们的日常生活和众多领域中，数列的身影无处不在。
从金融投资到生物繁殖，从工程建设到资源分配，数列都发挥着重要的作用。
它不仅是数学中的一个重要概念，更是解决实际问题的有力工具。
先来说说银行存款中的复利计算。
假设你在银行存入一笔本金 P，年利率为 r，存款期限为 n 年。
如果每年复利一次，那么 n 年后你的存款总额 A 就可以用等比数列的通项公式来计算：A ＝ P(1 ＋ r)＾n 。
比如说，你存入 10000 元，年利率为 5%，存 5 年，那么 5 年后你的存款总额就是 10000×（1 ＋ 005)＾5 ≈ 1276282 元。
这里的每年的存款金额就构成了一个等比数列，通过这个数列的计算，我们可以清晰地了解到资金的增长情况，从而更好地规划自己的财务。
在房屋贷款的计算中，数列也同样有着重要的应用。
假设你向银行贷款 P 元，月利率为 r，还款期限为 n 个月。
等额本息还款方式下，每月还款额 M 可以通过等差数列和等比数列的知识来推导得出。
通过这样的计算，你可以清楚地知道每个月需要还款的金额，以及在还款过程中本金和利息的比例变化。
这有助于你合理安排每月的收支，避免出现逾期还款等问题。
数列在资源分配问题中也大显身手。
比如，一家公司有一定数量的资源要分配给不同的项目。
假设公司共有资源 R，有 n 个项目需要分配资源，每个项目的资源需求按照一定的比例增长或减少。
通过构建等差数列或等比数列，可以找到最优的资源分配方案，使得资源得到最有效的利用，从而实现公司的最大效益。
再看人口增长问题。
在理想情况下，人口的增长可以看作是一个等比数列。
假设初始人口为 P₀，年增长率为 r，经过 n 年后，人口数量P ＝ P₀(1 ＋ r)＾n 。
通过对这个数列的分析，可以预测未来人口的变化趋势，为政府制定相关的政策，如教育、医疗、就业等方面的规划，提供重要的参考依据。
在工程建设中，数列也有着广泛的应用。
数列的实际应用
乙方案逐年获利组成一个等差数列，10 年共获利 1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝10×5.5＋1＝32.50(万元)，
2 而贷款本息为 1.1×[1＋(1＋10% )＋…＋(1＋10% )9] ＝1.1×11.1.110－－11≈17.53(万元)， ∴乙方案扣除贷款本息后，净获利为 32.50－17.53≈15.0(万 元)． 比较可知，甲方案获利多于乙方案获利． 即甲方案比乙方案获利多．
一位老太太A与一位老太太B在路上相遇．老 太太说A，她住了一辈子的宽敞房子，也辛 苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷 款．而老太太B却叹息地说，她三代同堂一 辈子，昨天刚把买房的钱攒足．我国现代都 市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今
天的梦对我们已不再陌生；贷款购物，分期 付款已深入我们生活．但是面对商家和银行 提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样 的方式好呢？
[尝试解答] 甲方案 10 年获利是每年获利数组成的数列的前 10 项的和 1＋(1＋30% )＋(1＋30% )2＋…＋(1＋30% )9 ＝11.3.31－0－11≈42.62(万元)． 到期时银行贷款的本息为 10(1＋10% )10≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后净获利 42．62－25.94≈16.7(万元)；
例 2 学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐，每周星期一有 A，B 两种菜谱可供选择(每人选择一种)，调查资料表明，凡是在星 期一选 A 菜谱的，下周星期一会有 20%的人改选 B 菜谱．而选 B 菜谱的人，下周星期一会有 30%的人改选 A 菜谱． (1)如果第一周选 A 种菜谱的有 600 人，问第 10 周有多少人？ (2)请问不论原来选 A 菜谱的人数有多少，随着时间的推移，选 A 菜谱的人数是否能稳定下来？请说明你的理由．
数列的概念与应用
数列的概念与应用数列是指按照一定规律排列的一组数。
在数学中，数列广泛应用于各个领域，包括代数、微积分、离散数学等等。
本文将对数列的概念进行介绍，并探讨其在现实生活中的应用。
一、数列的概念数列是一组有序的数字按照特定规律排列而成的序列。
一般以 { }来表示，其中的每个数字被称为该数列的项。
项的顺序从左到右依次增加，我们通常使用下标来表示每个项的位置。
例如，数列 {a₁, a₂,a₃, …, an} 中的 a₁表示第一个项，a₂表示第二个项，以此类推。
在数学中，数列可以分为等差数列和等比数列两种常见类型。
等差数列中，每个项之间的差值相等；而等比数列中，每个项与前一项的比值相等。
二、数列的应用数列在各个领域都有着广泛的应用，下面将介绍数列在代数、微积分和离散数学中的一些典型应用。
1. 代数中的数列应用在代数中，数列的应用主要体现在求和的问题上。
例如，求等差数列{2, 5, 8, 11, …} 的前 n 项和。
设该等差数列的首项为 a₁，公差为 d，则第 n 项可表示为 aₙ = a₁ + (n-1)d。
前 n 项和 Sn 可表示为 Sn = (a₁ +aₙ) * n / 2。
通过这些公式，我们可以快速求解数列的前 n 项和，提高计算效率。
2. 微积分中的数列应用在微积分中，数列的应用主要涉及到收敛性和极限的概念。
例如，我们可以利用数列的收敛性来求解一些无法用其他方法直接计算的问题。
数列的极限也被广泛应用于函数极限以及无穷级数等数学概念的推导与证明中。
3. 离散数学中的数列应用在离散数学中，数列的应用主要体现在排列组合和概率论的问题上。
例如，在概率论中，我们可以利用数列的排列组合性质来计算事件发生的概率，从而帮助我们理解和解决实际生活中的概率问题。
数列的应用不仅限于以上三个领域，它还在其他学科中发挥着重要作用，为我们理解和解决实际问题提供了有效的数学工具和方法。
三、数列的拓展应用除了在学科领域中的应用外，数列在现实生活中也有着广泛的应用，下面列举几个例子。
高一数学中的数列在实际问题中的应用有哪些
高一数学中的数列在实际问题中的应用有哪些在高一数学的学习中，数列作为一个重要的知识板块，不仅在数学理论中具有重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
通过数列，我们可以更好地理解和解决许多现实世界中的问题，从经济领域的投资和贷款计算，到自然科学中的生物繁殖和放射性物质衰变，再到日常生活中的排队和资源分配等。
接下来，让我们深入探讨一下高一数学中数列在实际问题中的具体应用。
一、经济领域1、储蓄与利息计算在银行储蓄中，常常会涉及到利息的计算。
假设我们将一笔本金 P存入银行，年利率为 r，存期为 n 年。
如果按照单利计算，到期后的本息和 A 可以用数列公式表示为：A ＝ P(1 ＋ nr) ；而如果按照复利计算，到期后的本息和 A 则为：A ＝ P(1 ＋ r)＾n 。
通过这样的数列公式，我们可以清楚地计算出不同储蓄方式下的最终收益，帮助我们做出更明智的理财决策。
2、分期付款在购买一些价格较高的商品时，如汽车、房屋等，我们可能会选择分期付款。
假设购买一件价格为 P 的商品，分 n 期付款，每期利率为 r。
每期的还款金额可以通过数列计算得出，从而帮助我们规划好每月的财务支出，避免逾期还款和额外的利息费用。
3、投资回报在投资领域，数列也发挥着重要作用。
例如，我们投资一项每年回报率为 r 的项目，初始投资为 P，经过 n 年后的投资总额可以用数列公式计算。
通过对不同投资项目的回报进行数列分析，我们可以评估其风险和收益，选择最适合自己的投资组合。
二、科学研究1、生物繁殖在生物学中，许多生物的繁殖现象可以用数列来描述。
比如，某种细菌每小时繁殖的数量是前一小时的 2 倍，如果初始时有 x 个细菌，经过 n 小时后的细菌数量就是一个等比数列。
通过数列的计算，我们可以预测生物种群的增长趋势，为生态保护和资源管理提供重要依据。
2、放射性物质衰变放射性物质的衰变过程也符合数列规律。
假设某种放射性物质的半衰期为 T，初始质量为 M，经过 n 个半衰期后的剩余质量可以用数列公式表示为：M(1/2)＾（n/T) 。
数列在日常生活中的应用PPT课件
• [例1] 某人有七位朋友．第一位朋友每天 晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个 晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上 去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去 他家做客，依次类推，直至第七位朋友每 隔六个晚上在他家出现．这七位朋友昨晚 在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在 主人家中碰面吗？
• 解析：第一位朋友每天晚上在主人家；第 二位朋友以后在主人家的天数为第： 2,4,6,8，„，这些数构成以2为首项，公差 为2的等差数列，通项公式为：an＝2n；第 三位朋友以后在主人家的天数为第：3,6,9 ，„，这些数构成以3为首项，公差为3的 等差数列，通项公式为：an＝3n；第四、 五、六、七位朋友晚上在主人家的天数构 成以4、5、6、7为首项，公差为4、5、6 、7的等差数列，通项公式分别为an＝4n， an＝5n，an＝6n，an＝7n；他们要在同一 晚上出现，这个数应为这七个数列的公共
• (1)等差数列的实际应用 • 在数列应用题中，若an＋1与an的关系满足 an＋1－an＝d(d为常数)时，则可以应用等差 数列模型解决． • 说明：要通过对题意的分析，说明数列为 等差数列，然后设出有关符号，如an，d等 的意义，这样才能使阅卷者迅速了解你的 解答思路．
(2)等比数列的实际应用 在数列应用题中，通过阅读题目题意，发现 an＋1 与 an an＋1 之间的关系满足 ＝q(q 为常数，且 q≠0)，则数列{an} an 为等比数列．故这一类题目可用等比数列的模型解决． 说明：解题时，可通过不完全归纳法，先列出一些简 单的具体的情况，然后再写出一般关系式！
• 5．模型法 • 模型法就是在实际问题中，构造数列模型 或其他模型，再进而构造数学模型，通过 构造模型使问题顺利得到解决． • 运用模型法来解决问题时，应广泛搜集信 息，抓住关键词，准确理解题意，要善于 抓主要矛盾，类比联想，从而建立相应模 型． • (1)解决数列的应用问题必须准确探索问题 所涉及的数列的模型(如等差数列、等比数 列、或与等差、等比数列有关的数列)，或
数列求和的几种方法、数列的实际应用问题
数列求和的⼏种⽅法、数列的实际应⽤问题数列求和的⼏种⽅法、数列的实际应⽤问题⼀. 教学难点：数列的实际应⽤问题⼆. 课标要求：1. 探索并掌握⼀些基本的数列求前n 项和的⽅法；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的通项和递推关系，并能⽤有关等差、等⽐数列知识解决相应的实际问题．三. 命题⾛向：数列求和和数列综合及实际问题在⾼考中占有重要的地位，⼀般情况下都是出⼀道解答题，解答题⼤多以数列为⼯具，综合运⽤函数、⽅程、不等式等知识，通过运⽤逆推思想、函数与⽅程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想⽅法，这些题⽬都考查考⽣灵活运⽤数学知识分析问题和解决问题的能⼒，它们都属于中、⾼档题⽬．有关命题趋势：1. 数列是⼀种特殊的函数，⽽不等式则是深刻认识函数和数列的有效⼯具，三者的综合题是对基础和能⼒的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是⾼考的重点；2. 数列推理题将继续成为数列命题的⼀个亮点，这是由于此类题⽬能突出考查学⽣的逻辑思维能⼒，能区分学⽣思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3. 数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析⼏何的结合等；4. 有关数列的应⽤问题也⼀直备受关注．【教学过程】⼀、基本知识回顾 1. 数列求通项与和（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n ＝--11s s s n n 12=≥n n ．（2）求通项常⽤⽅法①作新数列法．作等差数列与等⽐数列．②累差叠加法．最基本的形式是：a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1＋a n －2）＋…＋（a 2－a 1）＋a 1．③归纳、猜想法．（3）数列前n 项和①重要公式：等差和等⽐数列的求和公式1＋2＋…＋n ＝21n （n ＋1）；12＋22＋…＋n 2＝61n （n ＋1）（2n ＋1）；13＋23＋…＋n 3＝（1＋2＋…＋n ）2＝41n 2（n ＋1）2；②裂项相消法将数列的通项分成两个式⼦的代数和，即a n ＝f （n ＋1）－f （n ），然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．⽤裂项法求和，需要掌握⼀些常见的裂项，如：)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=、)1(1+n n ＝n 1－11+n 等．③错位相减法（可⽤于推导等⽐数列前n 项和公式）对⼀个由等差数列及等⽐数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常⽤错位相减法．n n n c b a ?=，其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等⽐数列，记n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211，则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++，…④分组转化求和把数列的某些项放在⼀起先求和，然后再求S n ．⑤倒序相加法（可⽤于推导等差数列前n 项和公式） 2. 递归数列数列的连续若⼲项满⾜的等量关系a n ＋k ＝f （a n ＋k －1，a n ＋k －2，…，a n ）称为数列的递归关系．由递归关系及k 个初始值可以确定的⼀个数列叫做递归数列．如由a n ＋1＝2a n ＋1，及a 1＝1，确定的数列}12{-n 即为递归数列．递归数列的通项的求法⼀般说来有以下⼏种：（1）归纳、猜想．（2）迭代法．（3）代换法．包括代数代换，对数代数，三⾓代数．（4）作新数列法．最常见的是作成等差数列或等⽐数列来解决问题．【典型例题】例1. 已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，⾸项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111．解：⾸先考虑=∑=+n i i i a a 111∑=+-n i i i a a d 11)11(1，则∑=+ni i i a a 111＝1111)11(1++=-n n a a na a d ．点评：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，⾸项也不为0，下列求和11nni i ===也可⽤裂项求和法．例2. 求)(,32114321132112111*N n n ∈+++++++++++++++．解：)1(2211+=+?++=k k k a k ， ])1n (n 1321211[2S n ++?+?+?=∴.1n n 21n 1121n 1n 131212112+=??+-= ??+-+?+??-+ -= 点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单⼀些．例3. 设221)(+=x x f ，利⽤课本中推导等差数列前n 项和的⽅法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f ++++-+- 的值为____________解：课本中推导等差数列前n 项和的⽅法为倒序相加法.因为22221221)1()(1=+++=-+-x x x f x f所以22)1()0()5()4()6()5(=+==+-=+-f f f f f f原式＝622＝23点评：本题曾为上海⾼考题，主要考查考⽣对课本的熟练程度和倒序相加法的应⽤，其中有函数式⼦的变化，计算能⼒的考查．例4. 已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是⾸项为a ，公⽐也为a 的等⽐数列，令)(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：,lg n nn n a a b n a a ==? ， 232341(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a na a +∴=++++=++++ ……①……②①－②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=- ，[]nn ana n a a a S )1(1)1(lg 2-+--=∴点评：设数列{}n a 是等⽐数列，数列{}n b 是等差数列，则对数列{}n n b a 的前n 项和nS 进⾏求解，均可⽤错位相减．例 5. 数列),60cos 1000lg(),...60cos 1000lg(),60cos 1000lg(,1000lg 1n 2-…的前多少项和为最⼤？解：{}3(1)lg2,n n a n a =--是以3为⾸项，以lg 2-为公差的等差数列，2lg 26lg 2[33(1)lg 2],222n n S n n n +=+--=-+对称轴*6lg 210.47,,10,112lg 2n n N +=≈∈⽐较起来10更靠近对称轴∴前10项和为最⼤另法：由100n n a a +≥??点评：求和的最值关键在于找分界点.例6. 求数列1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n的各项的和．解：其和为（1＋3＋ (3)）＋（13132+＋…＋13n ）＝3121321n n +--+-＝12（3n ＋1－3－n ）．点评：分组转化法求和.例7. （2006年浙江卷20）已知函数()f x ＝x 3＋x 2，数列{x n }．（x n ＞ 0）的第⼀项x 1＝1，以后各项按如下⽅式取定：曲线y ＝()f x 在11(())n n x f x ++?处的切线与经过（0，0）和（x n ，f （x n ））两点的直线平⾏（如图）．求证：当n ∈*N 时：（I ）221132n n n n x x xx -++=+；（II ）1211()()22n n n x --≤≤．解：（I ）因为'2 ()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率121132.n n n k x x +++=+因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n n x x +所以221132n n n n x x x x +++=+.（II ）因为函数2()h x x x =+当0x >时单调递增，⽽221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+所以12nn x x +≤，即11,2n n x x +≥ 因此1121211().2n n n n n n x x x x x x x ----=≥⼜因为12212(),n n n n x x x x +++≥+ 令2,n n n y x x =+则11.2n ny y +≤ 因为21112,y x x =+=所以12111()().22n n n y y --≤?=因此221(),2n n n n x x x -≤+≤故1211()().22n n n x --≤≤点评：数列与解析⼏何问题结合在⼀块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建⽴起联系．例8. （2005上海⾼考20.）假设某市2004年新建住房400万平⽅⽶，其中有250万平⽅⽶是中低价房.预计在今后的若⼲年内，该市每年新建住房⾯积平均⽐上⼀年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的⾯积均⽐上⼀年增加50万平⽅⽶.那么，到哪⼀年底，（1）该市历年所建中低价房的累计⾯积（以2004年为累计的第⼀年）将⾸次不少于4750万平⽅⽶?（2）当年建造的中低价房的⾯积占该年建造住房⾯积的⽐例⾸次⼤于85%? 解：（1）设中低价房⾯积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋502)1(?-n n ＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4750，即n 2＋9n －190≥0，⽽n 是正整数，∴n ≥10．到2013年底，该市历年所建中低价房的累计⾯积将⾸次不少于4750万平⽅⽶．（2）设新建住房⾯积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等⽐数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·（1.08）n －1·0.85．由题意可知a n ＞0.85 b n ，有250＋（n －1）·50＞400·（1.08）n －1·0.85．由计算器解得满⾜上述不等式的最⼩正整数n ＝6．到2009年底，当年建造的中低价房的⾯积占该年建造住房⾯积的⽐例⾸次⼤于85%．点评：本题考查等差、等⽐数列的应⽤题，关键是如何把实际问题转化为数列问题，注意解应⽤题的设、列、解、答四个步骤．例9. 某企业进⾏技术改造，有两种⽅案，甲⽅案：⼀次性贷款10万元，第⼀年便可获利1万元，以后每年⽐前⼀年增加30%的利润；⼄⽅案：每年贷款1万元，第⼀年可获利1万元，以后每年⽐前⼀年增加5千元；两种⽅案的使⽤期都是10年，到期⼀次性归还本息．若银⾏两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试⽐较两种⽅案中，哪种获利更多？（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010===）解：甲⽅案是等⽐数列，⼄⽅案是等差数列，①甲⽅案获利：63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092≈-=+++++++ （万元），银⾏贷款本息：29.16%)51(1010≈+（万元），故甲⽅案纯利：34.2629.1663.42=-（万元），②⼄⽅案获利：5.02910110)5.091()5.021()5.01(1??+=+++++++50.32=（万元）；银⾏本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++? 21.1305.0105.105.110≈-?=（万元）故⼄⽅案纯利：29.1921.1350.32=-（万元）；综上可知，甲⽅案更好．点评：这是⼀道⽐较简单的数列应⽤问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建⽴通项公式并运⽤所学过的公式求解．例10. （2007⼭东理17）设数列{}n a 满⾜211233333n n na a a a -++++=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（I ）2112333...3,3n n na a a a -+++= 221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥1(2).3n n a n =≥验证1n =时也满⾜上式，*1().3n n a n N =∈（II ）3nn b n =?，23132333...3n n S n =?+?+?+?231233333n n n S n +-=+++-?11332313n n n S n ++--=-?-，111333244n n n n S ++=?-?+?例11. （2007⼭东⽂18）设{}n a 是公⽐⼤于1的等⽐数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T n ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=??+++=，解得22a =．设数列{}n a 的公⽐为q ，由22a =，可得1322a a qq ==，．227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312nn a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==⼜2ln 3b b n 1n =-+{}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++.2ln 2)1n (n 32)2ln n 32ln 3(n 2)b b (n n 1+=+=+=故3(1)ln 22n n n T +=．点评：2007年⼭东⾼考⽂科和理科数列的题⽬都在⼤题的前两题的位置，理科考查的是错位相减法求和，⽂科为等差和等⽐数列公式的应⽤，都考查了考⽣的运算能⼒．例12. （2007福建⽂21）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）12n n a S += ，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=．⼜111S a == ，∴数列{}n S 是⾸项为1，公⽐为3的等⽐数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时， )2(32221≥?==--n S a n n n ，≥?==∴-2,321,12n n a n n （Ⅱ）12323n n T a a a na =++++ ，当1n =时，11T =；当2n ≥时，2103236341-?++?+?+=n n n T ，…………①12132363433-?++?+?+=n n n T ………………………②-①②得：122132)333(2422--?-+++++-=-n n n n T123231)31(322--?---?+=n n n13)21(1-?-+-=n n ． 1113(2)22n n T n n -??∴=+- ≥．⼜111T a == 也满⾜上式，1*113()22n n T n n -??∴=+-∈ N ．点评：本⼩题考查数列的基本知识，考查等⽐数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想⽅法，以及推理和运算能⼒．满分12分．［思维⼩结］1. 数列求和的常⽤⽅法（1）公式法：适⽤于等差、等⽐数列或可转化为等差、等⽐数列的数列；（2）裂项相消法：适⽤于+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分⽆理数列、含阶乘的数列等；（3）错位相减法：适⽤于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等⽐数列．（4）倒序相加法：类似于等差数列前n 项和公式的推导⽅法. （5）分组求和法 2. 常⽤结论nk k ==∑1＋2＋3＋...＋n ＝ 2)1(+n n（2）1(21)nk k =-=∑1＋3＋5＋...＋（2n －1）＝2n（3）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n（4）111)1(1+-=+n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n（5）)()11(11q p q p p q pq <--=3. 数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导⽅法）若1(),(2)n n a a f n n --=≥，则……；（2）迭乘累乘（等⽐数列的通项公式的推导⽅法）若1()(2)nn a g n n a -=≥，则……；（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导⽅法）；（4）错位相减（等⽐数列求和公式的推导⽅法）．4. 应⽤题注意审清题意，把实际问题转化为数列中的问题．设、列、解、答四步骤不可少．【模拟试题】1. 数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（）项之和等于9.A. 98B. 99C. 96D. 972. 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（）A. 9D. 173. 在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ，则1a 为（）A. 22.5-B. 21.5-C. 20.5-D. 20-4. 已知等差数列n a n 的前}{项和m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,12211==-+>-+-等于（）A. 38B. 20C. 10D. 95. 等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若231n n S nT n =+，则n n a b ＝（）A. 23B. 2131n n --C. 2131n n ++D. 2134n n -+6. 已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++＝_____________．7. 在等差数列{}n a 中，公差21=d ，前100项的和45100=S ，则99531...a a a a ++++＝_____________．8. 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则13__________.S =9. ⼀个等⽐数列各项均为正数，且它的任何⼀项都等于它的后⾯两项的和，则公⽐q 为_______________．10. （2007北京理）若数列{}n a 的前n 项和210(123)nS n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最⼩的项是第项．11. 已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，求n a ．170，求此数列的公⽐和项数．13. 数列),60cos 1000lg(),...60cos 1000lg(),60cos 1000lg(,1000lg 1n 2-…的前多少项和为最⼤？14. 已知数列{}n a 的前n 项和)34()1( (139511)--++-+-=-n S n n，求312215S S S -+的值．【试题答案】1. B...n n a S ===+110,99n S n ====2. A 4841,3,S S S =-=⽽48412816122016,,,,,S S S S S S S S S ----成等差数列即1,3,5,7,9,1718192020169a a a a S S +++=-=3. C501505027002005050,1,()2002d d S a a -=?==+=，1501118,2498,241,20.5a a a d a a +=+==-=- 4. C 20,(2)0,2,m m m m m m a a a a a a +-=-==21121221()(21)38,21192m m m m S a a m am --+=-=-=，m ＝10．5. B 121212112121()22(21)21223(21)131()2n n n n n n n n n a a a a S n n b b T n n b b -----+--=====-+-+6. 100228910111212712121(771)100a a a a a S S ++++=-=++-++= 7. 10 100110011001991100100()45,0.9,0.4,2S a a a a a a a a d =+=+=+=+-="1995050()0.41022S a a =+=?=8.156371011431110471311371312,,12,()132a a a a a a a a a a S a a a +-+-=+=+==+=9.设2212,10,0,n n n n n a a a qa q a q q q q ++=+=++-=>=10. 211n - 3 11. 解：111132,32,2(2)n n n nn n n n S S a S S n ----=+=+=-=≥ ⽽115a S ==，∴≥==-)2(,2)1(,51n n a n n 12. 解：设此数列的公⽐为,(1)q q ≠，项数为2n ，则,170q 1)q 1(a S ,85q 1)q 1(a S 2n 222n 21=--=偶奇2221122,85,2256,28,14n n S a q n S a -======-偶奇∴,2=q 项数为813. 解：{}3(1)lg2,n n a n a =--是以3为⾸项，以lg 2-为公差的等差数列，2lg 26lg 2[33(1)lg 2],222n n S n n n +=+--=-+对称轴*6lg 210.47,,10,112lg 2n n N +=≈∈⽐较起来10更靠近对称轴∴前10项和为最⼤．另法：由100n n a a +≥??14. 解：(4),2,2121,(4)43,2n n nn n n S S n n n n n ??-?-??==??---+-??为偶数为偶数，，为奇数为奇数15223129,44,61,S S S ==-=15223176S S S +-=-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列的实际应用
主讲教师：庄肃钦
【知识概述】
数列是反映自然规律的重要数学模型，日常生活中的大量实际问题都可以转化为数列问题解决，如增长率、减少率、银行信贷、工厂的生产量、浓度匹配、养老保险、存款利息、出租车收费、校园网问题、放射性物质的衰变等。
通过这节课的学习，希望同学们能够掌握数列作为生活工具的应用方法，解决问题。
实际应用题常见的数列模型：
1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y =a(1+r)n.
2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y = N (1 + p)n.
3．递推猜证型：递推型有a n+1 = f (a n)与S n+1 = f (S n)或S n = f (a n)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明.
【学前诊断】
1．[难度] 易
某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次（一次分裂两个），经过3小时，这种细菌由一个可以繁殖为（）
A．511个B．512个C．1023 D．1024个
2．[难度] 易
某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价_______.
3．[难度] 中
某工厂连续数年的产值月平均增长率为p%，则它的年平均增长率为_______.
【经典例题】
例1. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本
金，这种计算利息的方法叫复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一
年增加30%的利润；
乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获
利5千元.
两方案使用贷款期限均为10年，到期一次性归还本息.若银行贷款利息均按
年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多？（计算结果精确到千元，
参考数据：10101.1 2.594,1.313.768==）
例2． 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产
业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15
，本年度当地旅游业估计收入为400万元，由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14。
（1） 设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写
出,n n a b 的表达式；
（2） 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
例3. 某城市2009年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的
6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
例4.
【本课总结】
对于数列应用题的考查，主要考查学生运用观察、归纳、猜想等手段，建立有关等差(比)数列、递推数列的数学模型，再综合其他相关知识来解决问题的能力.解答数列应用性问题，既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析与解决问题的能力.
解题方法
1.主要模型：
（1） 等差数列模型(增加的量或减少的量相同)；
（2） 等比数列模型(增长率相同或减少率相同)；
（3） 等差数列与等比数列综合模型；
（4） 递推数列模型等等.
2.勇闯四关：
（1）阅读关：读懂题意，明确问题的实际背景；
（2）语言关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；
（3）模型关：通过对数学知识的检索，认定或构建相应的数学模型，如等差(比)数列、递推数列模型，完成从实际问题向数学问题的转化；
（4）计算关：构建出数学模型后，综合其他相关知识，通过正确的计算得到问题的解答.
【活学活用】
1．[难度] 中
一个家庭为了给孩子将来上大学付学费，从孩子一出生起，每年到银行储蓄一笔钱，假设大学四年学费共需5万元，银行储蓄利率为月息4.725‰，每年按复利计算，为了使孩子到18岁上大学时本利共有5万元，他们每年要存入银行元钱.（精确到1元）
2．[难度] 难
假设某市2009年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2009年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？3．[难度] 难
某市位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2008年底全市的绿地已占总面积的30%．从2009年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．
（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全市绿地面积超过80%？
（Ⅱ）至少在多少年底，该市的绿地面积才能超过总面积的60%？。