上服从均匀分布求随机变量的概率密度函数解34页PPT
合集下载
3章-随机数与随机变量PPT
1
第三章 随机数与随机变量
2
①设置仿真钟=0 ②初始化系统状态与统计计数器 ③初始化事件列表
开始
主程序 (0)激活初始化程序
(0) (1)激活时间推进程序 (2)激活事件发生程序i
重复
(1) ①确定下一事件类型，如i ②推进仿真钟
i
(1)更新系统状态 (2)更新统计计数器 (3)产生将来事件并添加到事件列表中
设具有独立同分布的随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，令
Y X1 X2 L Xm
m
Y Y 则 的分布函数与 Xi 的分布函数相同，此时称 的 i1
分布为 X i 的 m 折卷积。为了生成 Y ，可先独立地
从相应分布函数产生随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，然后
利用上式得到 Y ，这就是卷积法。
14
例：特定供应商提供的发动机次品率为10%，求 批量为5的发动机中每批的次品数
❖binomial(0.1,5)
分布列如表
15
3.3 随机数发生器
❖ 对不同的系统或者过程进行仿真时，如果系 统或过程本身包含固有的随机组成成分，就 需要一定的方法来生成或者获得随机的数值。 例如，排队系统中的时间间隔，服务时间， 库存系统中的需求量等。在计算机仿真中， 能否产生具有一定性能要求的随机数是决定 仿真是否可信的重要因素之一。
逆变换法生成随机变量。
5
❖ 随机实验：一个可观察结果的人工或自然 过程，所产生的结果可能不止一个，但事 先不能确定会产生什么结果。例：骰子
❖ 样本空间：一个随机实验的全部可能出现 的结果的集合，记为Ω 。
❖ 随机事件：一个随机实验的一些可能的结 果，是样本空间的一个子集
❖ 概率分布：如果样本空间上的所有随机事 件都确定了概率，这些概率构成样本空间 的一个概率分布
第三章 随机数与随机变量
2
①设置仿真钟=0 ②初始化系统状态与统计计数器 ③初始化事件列表
开始
主程序 (0)激活初始化程序
(0) (1)激活时间推进程序 (2)激活事件发生程序i
重复
(1) ①确定下一事件类型，如i ②推进仿真钟
i
(1)更新系统状态 (2)更新统计计数器 (3)产生将来事件并添加到事件列表中
设具有独立同分布的随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，令
Y X1 X2 L Xm
m
Y Y 则 的分布函数与 Xi 的分布函数相同，此时称 的 i1
分布为 X i 的 m 折卷积。为了生成 Y ，可先独立地
从相应分布函数产生随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，然后
利用上式得到 Y ，这就是卷积法。
14
例：特定供应商提供的发动机次品率为10%，求 批量为5的发动机中每批的次品数
❖binomial(0.1,5)
分布列如表
15
3.3 随机数发生器
❖ 对不同的系统或者过程进行仿真时，如果系 统或过程本身包含固有的随机组成成分，就 需要一定的方法来生成或者获得随机的数值。 例如，排队系统中的时间间隔，服务时间， 库存系统中的需求量等。在计算机仿真中， 能否产生具有一定性能要求的随机数是决定 仿真是否可信的重要因素之一。
逆变换法生成随机变量。
5
❖ 随机实验：一个可观察结果的人工或自然 过程，所产生的结果可能不止一个，但事 先不能确定会产生什么结果。例：骰子
❖ 样本空间：一个随机实验的全部可能出现 的结果的集合，记为Ω 。
❖ 随机事件：一个随机实验的一些可能的结 果，是样本空间的一个子集
❖ 概率分布：如果样本空间上的所有随机事 件都确定了概率，这些概率构成样本空间 的一个概率分布
概率密度与随机变量函数的概率分布解读
(2)：规范性 若随机变量X的一切可能值都位于区间[a , b]内,则:
P(a X b) 1,即P(a X b) b f ( x)dx 1，且此时认为: a
x a, x b时，f ( x) 0
a
b
b
F () f ( x)dx 0dx f ( x)dx 0dx f ( x)dx 1
f
x
sin
x,
0
x
2
;
0, 其它.
即可.
注 意 ：x
0,
x
2
时f
(x)
0
(2)
sin xdx 2 1,
不是.
0
(3)
当
x
,
3 2
时,
sin x 0,
与 f x 0矛盾, 不是.
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
例6-1-2 (拉普拉斯分布) 连续随机变量X 的概率密度为
f x Ae x , x .
0
0
注意：x 0时f ( x) 0
指数分布 e 的分布函数为
F(x)
x
f (t)dt
0
0dt
x etdt et x ex 1
0
0
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
即：
F x
1 e
x,
x 0;
0,
x 0.
f x
F x
1
O
,
x
,
2
x 0; x 0.
讲授下例前，介绍常用的伽玛函数的定义：
x1e x dx 0
0
伽玛函数的性质： 1 ;
(n) (n 1)!
1 .
2
例如：( 3) ( 1 1) 1 (1) 1 0! 1
P(a X b) 1,即P(a X b) b f ( x)dx 1，且此时认为: a
x a, x b时，f ( x) 0
a
b
b
F () f ( x)dx 0dx f ( x)dx 0dx f ( x)dx 1
f
x
sin
x,
0
x
2
;
0, 其它.
即可.
注 意 ：x
0,
x
2
时f
(x)
0
(2)
sin xdx 2 1,
不是.
0
(3)
当
x
,
3 2
时,
sin x 0,
与 f x 0矛盾, 不是.
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
例6-1-2 (拉普拉斯分布) 连续随机变量X 的概率密度为
f x Ae x , x .
0
0
注意：x 0时f ( x) 0
指数分布 e 的分布函数为
F(x)
x
f (t)dt
0
0dt
x etdt et x ex 1
0
0
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
即：
F x
1 e
x,
x 0;
0,
x 0.
f x
F x
1
O
,
x
,
2
x 0; x 0.
讲授下例前，介绍常用的伽玛函数的定义：
x1e x dx 0
0
伽玛函数的性质： 1 ;
(n) (n 1)!
1 .
2
例如：( 3) ( 1 1) 1 (1) 1 0! 1
概率论随机变量的分布函数ppt课件
因此， A 是不可能事件
P{A} 0.
ppt课件
12
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke 3 x
x0
f (x)
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于
f (x)dx
ke3xdx k 1
，解得k=3.
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x)
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x)
ppt课件
1
2
e dt x
(t )2 2 2
28
标准正态分布
当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).
例3 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧～1000
欧，求R的概率密度及R落在850欧～950欧的概率.
解: 由题意，R的概率密度为
1 f (r) 1000 800
， 800 r 1000
0
, 其它
950 1
而 P{850 X 950}
dr 0.5
200 ppt课件
850
18
2. 指数分布
注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示 了分布函数与概率密度间的两个关系．利用这些 关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推 出另一个．
ppt课件
10
连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：
1. F(x)等于曲线f(x)在(-∞,x]上的曲边梯形的面积。
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
随机变量函数的分布密度
y fX
f aX
f aX b
x
第一步，计算aX的密度函数。aX的值域比X的值域大a倍。所 以，aX的密度函数是将X的密度函数在x轴方向拉长a倍。但为 了使aX的密度函数与x轴围成的面积为1，必须将X的密度函数 下拉到原来的1/a. 随机变量aX+b与aX一样,只是将图形平移了b个单位。 最后，得到随机变量Y=aX+b的密度函数为：
1 180
30 y 2
6 y2
例设随机变量X的密度函数为
f X (x)
求 Y eX 的密度函数. （教材P65）
1
x2
e2
2
解 y ex 是单调增加的函数，其导函数恒不为零，
值域为y>0， 反函数为 x ln y , dx 1
dy y
由定理可得，当 y 0 时，概率密度为
fY ( y)
f X (ln
y) 1 y
1
ln 2 y
e2
1
2
y
1
ln 2 y
e2
2 y
当 y 0 时，Y的概率密度 fY ( y) 0
从而 Y e X 的概率密度为
fY ( y)
1
ln2 y
e 2,
2 y
0,
y0 y0
P(180 y
X)
180 1 FX ( y )
1,若y 180/ 30
1
(180 y
30) /
30,若 180 60
y
180 30
0,若y 180/ 60
0,若y 3
概率论与数理统计图文课件最新版-第2章-随机变量及其分布
一. 连续型随机变量的概率密度 1.定义 若对于随机变量 X 的分布函数，存在非负
函数 f ( x)，使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量，f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型： P( X xk ) 0 连续型：P( X xk ) 0
机
多，而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举，而是充满一个区间
例如，“电视机的寿命”，实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足： (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x)，
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量，它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间，则：
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
函数 f ( x)，使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量，f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型： P( X xk ) 0 连续型：P( X xk ) 0
机
多，而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举，而是充满一个区间
例如，“电视机的寿命”，实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足： (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x)，
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量，它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间，则：
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
大学概率论均匀分布·指数分布
当 X 在 [a,b] 上服从分布U (a,b) 时，记为: X ~ U (a,b).
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页 下一页
返回
结束
§2.7 均匀分布 • 指数分布
均匀分布的概率密度与分布函数
(1) 概率密度
在区间[a,b]上概率密度 f (x) C(常数)，于是
b
C d x C(b a) 1 C
P(x1 X x2)
x2 f (x) dx.
x1
f (x)
P(x1 x x2 )
x
O
x1
x2
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页 下一页
返回
结束
§2.6 连续随机变量的概率密度
[例2] 设连续随机变量 X 的概率密度
f
(x)
A 1 x2
,
x .
求： (1) 常数 A 的值；
x0
x
F(x);
x
(2) F (x) P( X x) f (x) dx.
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页 下一页
返回
结束
§2.6 连续随机变量的概率密度
[例 1] 设随机变量 X 的概率密度为：
f
(x)
1 2
cos
x,
0,
求 X 的分布函数 F (x).
1 (arctan x π) 1 1 arctan x.
π
2 2π
[柯西(Cauchy)分布]
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页 下一页
返回
结束
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页 下一页
返回
结束
§2.7 均匀分布 • 指数分布
均匀分布的概率密度与分布函数
(1) 概率密度
在区间[a,b]上概率密度 f (x) C(常数)，于是
b
C d x C(b a) 1 C
P(x1 X x2)
x2 f (x) dx.
x1
f (x)
P(x1 x x2 )
x
O
x1
x2
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页 下一页
返回
结束
§2.6 连续随机变量的概率密度
[例2] 设连续随机变量 X 的概率密度
f
(x)
A 1 x2
,
x .
求： (1) 常数 A 的值；
x0
x
F(x);
x
(2) F (x) P( X x) f (x) dx.
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页 下一页
返回
结束
§2.6 连续随机变量的概率密度
[例 1] 设随机变量 X 的概率密度为：
f
(x)
1 2
cos
x,
0,
求 X 的分布函数 F (x).
1 (arctan x π) 1 1 arctan x.
π
2 2π
[柯西(Cauchy)分布]
概率论与数理统计教程（第四版）
目录
上一页 下一页
返回
结束