椭圆几条重要性质的应用
椭圆几个重要知识点总结
椭圆几个重要知识点总结椭圆的定义：椭圆是一个平面上所有到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距。
椭圆还有一个重要的参数称为长轴，它是焦点之间的距离的二倍。
长轴的端点称为顶点，椭圆的中心点在长轴的中点上。
椭圆的性质：1. 椭圆的定义中提到了一个重要的参数——焦距。
焦距的大小决定了椭圆的形状，其值越大，椭圆越“扁”，越接近于一个圆形。
2. 椭圆具有镜像对称性，任意一点关于椭圆的长轴、短轴或中心对称。
3. 椭圆中心点到任意一点的距离之和等于椭圆的长轴。
4. 椭圆的焦点是其上所有点到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合，这意味着椭圆上不同点之间的距离具有特定的性质。
椭圆的方程：椭圆的标准方程为\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]其中，(h, k)为椭圆的中心点，a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。
如果椭圆的中心点在原点上，则可简化为\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]椭圆的方程可以通过焦点和长轴的长度来确定，因此，通过方程可以推导出椭圆的性质和形状。
椭圆的参数方程为\[ x = a\cos t \]\[ y = b\sin t \]其中t为变量，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半，根据参数t的取值范围，可以得到椭圆的形状。
椭圆的极坐标方程为\[ r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta} \]其中r为点到椭圆焦点的距离，e为离心率，确定了椭圆的形状。
极坐标方程可以帮助推导椭圆的性质和形状。
椭圆的应用：1. 在天体力学中，椭圆常用来描述天体绕着其他天体运动的轨道。
2. 在工程学中，椭圆的形状和性质经常被用来设计机械零件、仪器零部件的运动轨迹和运动规律。
3. 在生物学和医学中，椭圆的形状和性质被用来描述细胞生长、器官血液循环等生物现象。
椭圆的常用性质的推导及其应用
ⅲ双曲线的内切圆
解： 令PF1 m, PF2 n
y
y
x z
x
2c
z
2a
y
a
c
切点为A, 所以xI a
变式练习
1、已知：1
m
4, F1, F2为曲线C：x42
y2 4m
1的左右焦点，点P为曲线C与x2
y2 m 1
1
在第一象限的交点，直线 l 为曲线 C 在点 P 出的切线，如 F2 PF2的内心为M，
⑥焦点三角形的面积
解：
m
2
n2
2mn cos
4c 2
4a 2
2mn1 cos
4c 2
m n 2a
mn
1
2b 2 cos
SБайду номын сангаас
1 mn sin 2
sin 1 cos
b2
b2
tan
2
双曲线焦点三角形面积为 S
b2
cot
2
⑦焦半径和离心率的关系
ⅰ、由④可知 cos 1 2e2 e2 1 cos e sin
PM PN , F2 M F2T , F1N F1T F1P PN F1F2 F2T F1P PN F2 N F2 F1 F2T F2 N 2a 2c 2F2T F2T a c T与A重合 ⅱ内切圆的性质 MI F1M F2 M F1M F2 M 2c e PI F1P F2 P F1P F2 P 2a
直线F1M与直线l交于N点，则M , N横坐标之差为 ____ 1
2、已知： x 2 9
y2 8
1的焦点为F1, F2 , P为椭圆上任意一点，PF1F2的内心为I，过I 作平行于
椭圆与双曲线性质
椭圆与双曲线性质椭圆和双曲线是解析几何中重要的曲线类型，它们具有各自独特的几何性质和特点。
在本文中，我们将探讨椭圆和双曲线的性质及其在数学和实际应用中的重要性。
椭圆椭圆是一个平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之和等于常数的特定条件。
以下是椭圆的一些重要性质：1. 主轴和副轴：椭圆的两个焦点之间的距离是椭圆的主轴的长度。
主轴的中点是椭圆的中心点。
与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。
2. 离心率：椭圆的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。
离心率介于0和1之间，其中0表示圆形，1表示无限大的线段。
3. 焦距定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的主轴的长度。
4. 方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。
双曲线双曲线也是平面上的几何图形，其定义基于两个焦点和一条连接两个焦点的线段的长度之差等于常数的特定条件。
以下是双曲线的一些重要性质：1. 主轴和副轴：双曲线的两个焦点之间的距离是双曲线的主轴的长度。
主轴的中点是双曲线的中心点。
与主轴垂直且通过中心的线段称为副轴。
2. 离心率：双曲线的离心率定义为焦点与中心之间的距离与主轴长度之比。
离心率大于1。
3. 焦距定理：双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的主轴的长度。
4. 方程：双曲线的标准方程是(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是主轴和副轴的长度。
椭圆与双曲线的数学性质椭圆和双曲线在数学中具有广泛的应用和研究价值。
它们是椭圆函数和双曲函数的基础，这些函数在数学物理学、工程学和其他领域中起着重要作用。
椭圆和双曲线的形状和属性使它们适用于模拟、图像处理、信号处理和通信等领域。
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。
下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。
一、基本概念：1.椭圆的定义：椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。
2.椭圆的元素：椭圆的两个给定点叫做焦点，连接两焦点的线段长度叫做主轴；主轴的中点叫做椭圆的中心；主轴的一半长度叫做半轴长度；椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。
3.椭圆的方程：标准椭圆的方程形式为：(x/a)²+(y/b)²=1其中，a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。
二、性质：1.对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的。
2.焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
3.离心率：椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。
离心率e的取值范围是0到1之间，当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一个抛物线。
4.焦半径性质：椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P，以焦点为中心，过点P作圆的切线，切点和焦点之间的距离等于焦距。
5.弦长性质：椭圆上取一点P，过点P作两直线段与椭圆相交，分别与圆交于A、B两点，则线段AB的长度等于弦长。
6.空间对称性：椭圆的三维空间图形是椭球，具有空间对称性。
三、应用：1.天体运动：开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。
2.光学：反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。
3.通信：在无线通信中，椭圆是天线和信号传播路径的数学模型，用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。
4.机械工程：在机械零件的设计中，椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。
5.地理测量学：地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面，用于定位和测量地球上的位置。
6.统计学：椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形，如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。
总结起来，椭圆是数学中一个重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。
椭圆十大性质
椭圆十大性质椭圆十大性质（一）任意相等，（二）中心对称轴是对称中心，（三）面积关系。
这里的“面积”指的是内接正六边形的面积，正六边形是特殊的等腰梯形，所以“正六边形的面积”是中心对称面积。
如果不相等，就违背了性质1：若两个角互补则它们的和大于180°。
（二）中心对称轴是对称中心，即它有一条对称轴。
这就好像“长方体”一样，四条棱的交点叫做中心，所以把中心定为原点。
当然，长方体的中心还有垂直于各条棱的线段与之相连，构成中心对称图形，另外还有中心点。
在同一平面内，若两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形也关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。
对称轴既不是直线也不是虚线，它是一条线段。
证明：设，，则得到。
这是任意的，当然可以是别的数。
这样就把椭圆的性质1和性质2证明完了。
但要注意，性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半。
在平面内，若两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形也关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。
椭圆的中心对称图形是由关于一条直线对称的两个部分组成的，其中对称轴是过椭圆两焦点的直线，另一部分是由关于该直线对称的两个椭圆组成的。
（四）单调有界不可能发生在椭圆上，我们先从长方形和正方形的性质来看：首先必须知道正方形面积的公式： s=a^2，而且s^2≥s，另外正方形的性质：正方形的中心是对称中心，关于边中点连线垂直平分对角线的直线垂直平分对角线；边中点连线平行对角线；有三条边平行，则此三角形全等。
根据上面的论述可得：面积≥边长（ a=b），长方形面积=长×宽，长方形的中心是对称中心，关于边中点连线垂直平分对角线的直线垂直平分对角线。
我们再从椭圆的性质来看：椭圆面积的公式： s=a^2，已经知道a^2≥s，根据性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半。
所以：1、性质1：，且a=b。
性质2：，且s=a^2；2、性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半；3、若s=s^2，那么面积也应该等于a^2，只不过s^2≥s，因为：，所以s=a^2。
椭圆的性质及其用法
椭圆的性质及其用法⑴椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=＞＞ 焦点为12(,0),(,0)F c F c -。
焦点为12(0,),(0,)F c F c -的椭圆的方程：22221y x a b+=(0)a b ＞＞ 122PF PF a +=。
以上两种方程都叫做椭圆的标准方程（其中222b ac =-）。
例：已知一个贮油罐横截面的轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程。
解：以两焦点12,F F 所在直线为x 轴，线段12,F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则这个椭圆的标准方程为： 22221(0)x y a b a b+=＞＞ 根据题意23a =，2 2.4c =即： 1.5a =， 1.2c =∴222221.5 1.20.81b a c =-=-=因此，这个椭圆的标准方程： 2212.250.81x y +=。
⑵椭圆的几何性质：①范围： 由方程22221x y a b+=可知，椭圆上任意一点的坐标(,)x y 都满足222211x y a b =-≤ 即：22x a ≤∴a x a -≤≤ b y b -≤≤②对称性：椭圆是关于x 轴、y 轴和原点都对称的图形，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
③顶点：在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，这说明点12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点；点12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点。
这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆的顶点。
线段1212,,,A A B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b 。
④离心率： 焦距与长轴长的比c a叫做椭圆的离心率，记为(0,1)e ∈。
当c a 越接近于0时，椭圆越接近于圆；当c a 越接近于1时，椭圆越扁，随着c a 的增大，椭圆越来越扁。
椭圆的知识点总结笔记
椭圆的知识点总结笔记一、椭圆的定义椭圆可以有多种定义方式，其中最常见的一种是：设定一个固定点F1和F2，椭圆定义为平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于一个常数2a的点的轨迹。
这两个点分别称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
另外一种定义方式是：设定一个固定点F和一条线段L，椭圆定义为平面上到这个点F距离的总和等于这条线段L的点的轨迹。
这个固定点称为椭圆的焦点，线段L称为椭圆的准线。
二、椭圆的性质1. 对称性：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，即椭圆关于长轴对称和关于短轴对称。
2. 离心率：椭圆的离心率e是一个常数，表示焦点F到椭圆上任意一点P的距离与点P 到准线的距离的比值。
离心率的取值范围为0到1，当e=0时，是一个圆，当e=1时，是一个双曲线。
3. 焦点：椭圆上到焦点的距离与到准线的距离相等。
4. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b是长轴和短轴的长度。
5. 参数表示：椭圆上的点可以用参数方程表示为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t为参数。
6. 周长和面积：椭圆的周长和面积公式分别为2πa(1-e^2)和πab。
三、椭圆的方程椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0，其中A、B、C、D、E为常数。
如果方程可以化为标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，则表示这个方程描述的是一个椭圆。
四、椭圆的参数表示椭圆的参数表示是描述椭圆上的点的一种方式，参数方程为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t为参数。
参数t的取值范围通常是0到2π。
五、椭圆的焦点和直径1. 焦点：椭圆的焦点是椭圆的一个重要性质，它是椭圆上到焦点的距离与到准线的距离相等的点。
2. 直径：椭圆的直径是椭圆上的一个特殊直线段，它通过椭圆的中心并且与椭圆的两个端点相接。
六、椭圆的离心率椭圆的离心率e是描述椭圆形状的一个重要参数，它表示焦点到椭圆上任意一点的距离与这个点到准线的距离的比值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆几条重要性质的应用 椭圆的性质表述了椭圆的曲线特征，在解题中有重要的作用.如果在解题中能抓住问题的实质，利用椭圆的性质，常常能简化解题过程.下面就椭圆的几条重要性质的应用举例分析.
一﹑变量范围的应用
椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中，|x|≤a,|y|≤b. 例1椭圆x 24
＋y 2=1与圆(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)有公共点，则r 的最大值与最小值分别为( )
A.3，63
B.3，62
C.2，63
D.2，62 解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2=1 ①(x －1)2＋y 2＝r 2 ②
消去y 得r 2＝14(3x 2－8x ＋8)＝34(x －43)2＋23， 由于－2≤x ≤2，则当x ＝－2时，r 2的最大值为9，当x ＝43时，r 2的最大值为23
， 所以r 2的最大值为3，当x ＝43时，r 2的最大值为63
，故选A. 点评：本题涉及最值问题，此类问题一般需要建立目标函数，再求函数的最值.但要注意函数的自变量的范围.上述解法中所涉及的函数的自变量是x ，因此x 的范围是－2≤x ≤2.
二、通径的应用
过焦点垂直于坐标轴的直线交椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)于P 1P 2，则|P 1P 2|＝2b 2a
， 例2设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率为_____________.
解析：∵PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2为等腰三角形，∴|F 1F 2|＝|PF 2|，则2c ＝b 2
a
， ∴2ac ＝b 2＝a 2－c 2，∴e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.
点评：本题运用了方程的思想求离心率.同时提醒我们，记住一些常用结论，有助于快速解题，如焦点三角形面积公式、定值结论等.这里用到椭圆的通径（即过焦点且垂直于对称轴的弦）.
三、焦半径的应用
椭圆上任一点到焦点的距离为焦半径，当焦点在x 轴上时，设椭圆上任一点P(x 0,y 0)，则|PF 1|＝a ＋ex 0,|PF 2|＝a －ex 0.
例3椭圆x 29＋y 2
4
＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当已知∠F 1PF 2为钝角，点P 的横坐标的取值范围为____________．
解：由已知，a ＝3，b ＝2，∴c ＝5，e ＝53
， 设点P 的横坐标为x P ，则由椭圆焦半径公式|PF 1|＝3＋
53x P ，
|PF 2|＝3－53
x P ，又cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＜0， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2＜0，即109x 2P －2＜0，∴x 2P ＜95，∴－355＜x P ＜355
得解． 点评：本题的靓点是以焦点三角形F 1PF 2为基础，紧紧抓住∠F 1PF 2是钝角，利用余弦定理得到一个不等式，再结合焦半径就不难求出点P 的横坐标了，真是太妙了．
四﹑中点弦的斜率公式的应用
设A(x 1，y 1),B(x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上不同的两点，M(x 0，y 0)是弦AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝－b 2a 2.若椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，则k AB ·k OM ＝－a 2
b
2. 例4中心在原点，一个焦点为F 1(0，50)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点M 横坐标为12
，求椭圆的方程. 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，由F 1(50，0)得a 2－b 2＝50 ①，
由直线的方程得点M(12，－12
)，则k OM ＝－1， 又已经直线的斜率为3，由性质知3×(－1)＝－a 2
b
2，即a 2＝3b 2 ②. 由①②解得a 2＝75，b 2＝25.
故所求椭圆的方程为：x 275＋y 2
25
＝1. 点评：本题解答如果利用常规法，需要结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式，其过程较为繁琐.同时启示我们：如果涉及到弦的中点及直线的斜率，那么利用此条性质则可以起到简化作用.。