飞机追击问题数学建模

飞机追击问题
摘要
本文讨论的是关于我方飞机追及不明敌机的问题。

其大概的思路是建立平面直角坐标系，建立微分方程模型，得到一个二阶方程, 通过降阶法化为一阶方程，使用微分思想，推导出所求的方程表达式，因而得到我方飞机追击敌机的轨迹方程。

通过分析假设敌我双方飞机形成固定夹角下在不同时刻下双方的位置，进而推导出求解公式。

关键词：追击、平面直角坐标系、微分方程、降阶法
1. 问题重述：
我军飞机在基地巡航飞行时，发现正北方向120 km 处有一敌机以90 km/h 的速度向正东方向行驶. 我方飞机立即追击敌机, 我方飞机速度为450 km/h ，自动导航系统使飞机在任一时刻都能对准敌机。

求出我飞机在何时何处能拦截敌机以及当敌机以135km/h 的速度与我飞机成固定夹角的方向逃逸时，我方飞机在何时何处能拦截敌机。

2. 模型假设
1.假设我方飞机以及敌机的运动为质点运动。

2.假设双方飞机为匀速率运动。

3.假设飞机的运动速度跟风速和空气阻力没有关系，但是实际飞机运动过程中阻力影响和飞行速度有关系。

在运动的过程中也忽略了重力的影响。

3. 符号说明：
Ve ：敌机飞行速度。

Vw ：我方飞机飞行速度。

O ：我方飞机初始位置。

A ：敌机初始位置。

B ：我方飞机机追击到敌机的位置。

S ：两机初始位置之间的距离。

4.问题的分析：
我方飞机在追击的过程中始终指向敌机，即我方飞机的飞行方向随着时间的改变而改变，建立起平面直角坐标系有
(图
1)
5．模型的建立
5.1. 问题1：
当t = 0时,我方飞机位于点O ,敌机位于(0，A)点。

设我方飞机在t 时刻的位置为P (x,y)。

飞机速度恒定，则有
x
t v y
S dx dy e --=
由于我方飞机飞行轨迹的切线方向必须指向敌机,即直线PM 的方向就是飞
行轨迹上点P 的切线方向，故有
τn T yd xd n n =),(
5.2．问题2：
如果敌机以135km/h 速度与我巡航飞机方向成固定夹角方向逃逸，设逃逸方向与我方飞机速度方向夹角为θ，如图2建立坐标
y
（0，S
O
x
图2
6. 模型的求解：
6.1.问题1求解过程：
建立微分方程模型，通过降阶法化把推导出的二阶方程转为一阶方程，然后用分离变量法求解。

第一步：
建坐标系，取我方飞机起飞处为原点O (0,0), 轴指向正东方, 轴指向正北方。

设当t = 0时, 我方飞机位于点O ,敌机位于(0, A )点，其中H = 120 (km)。

我方飞机在t 时刻的位置为P (x (t ),y (t ))，如(图1)。

第二步： 由题意可知
2
22w v dt dy dt dx =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛ (1) 其中h km v w
/450=；而在时刻,敌机的位置为),(S t v M e ,其中
h km v e /90=。

由于我方飞机轨迹的切线方向必须指向敌机,即直线的方向就是我方飞机轨迹上点的切线方向，故有
x
t v y
S dx dy e --=或写为
x t v y S dx
dy
e -=-)( (2) 第三步：
将(2)式两边对t 求导得到
t x
v t y y x y S t
y y x e d d )d d (d d )(d d d d 2
2
-=-+-
既有
e v y S t
y
y x =-)(d d d d 2
2
(3)
因为t
y
y x t x d d d d d d =，(1)式可化为
12+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=dy dx v dt
dy
w
(4)
第四步：
将(4)式代入(3)式得到一个二阶微分方程
w
e v v y
x y S y
x =+-1)d d ()(d d 222 （5）
而方程的初始条件为
0|0=
=y x ,0|0==y dy
dx
即可对方程进行降阶法求解。

第五步：
令y x
p d d =,w
e v v =
λ，则(5)式可化为一阶可分离变量方程
y
S p y p -+=1
d d 2λ
即 1
)(2
+=
--p dp y
S y S d λ
积分解得
)1()(2
++=--p p C y S λ
由初始条件得00
==y p
，导出λ
-=H
C ，从而
λ
-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=++y S S p p 12
(6)
第六步：
(6)式可改写为
λ
)(12
S
y S p p --=+-
于是由上两式得到⎥⎥⎦
⎤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλ
S y
S y S S p 21 这样又得到一个可分离变量方程
⎥⎥⎦
⎤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλS y S y S S dy dx 21 (7) 第七步：
积分得
1111)()1()(21C y S S S y S x +⎥⎦
⎤---⎢⎣⎡+-=-+λλλλλλ
利用
00
==y x
,知2
11λλ-=
H C ,于是我方飞机轨迹方程为
2
1111)()1()(21λλλλλλλλ-+
⎥⎦⎤---⎢⎣⎡+-=-+S y S S S y S x (8)
第八步：
设我方飞机拦截中敌机于),(S L B ,以S
y
=代入(8)式,得
2
221e
w e w v v v Sv S L -=-=λλ (9)
而我方飞机拦截中敌机的时刻
2
2
e w w
e v v Sv v L T -== (10)
将数据120=S (km)，90=e v (km/h)，450=w v (km/h)代入(9)，
(10)式得)(25km L
≈，)(2778.0h T ≈。

即我方飞机经过约0.2778小
时在距基地水平位移为25千米处拦截中敌机。

6.2.问题2求解过程
设我方飞机的坐标为)(,k k yd xd ，敌机的坐标为)(,k k yj xj ，敌机逃逸
时和我方飞机所成的角度为θ。

当
τ=t 时，τ
w v yd xd ==11,0，
S
v yj v xj e e +==θτθτcos ,sin 11
当
τ2=t 时，
1
11
12arctan
xd xj yd yj --=α，
212212sin ,cos ατατw w v yd yd v xd xd +=+=，
)
sin(),cos(212212θατθατ-+=-+=e e v yj yj v xj xj …………..
以此类推可以得到下面的规律：
τ
w v yd xd ==11,0S v yj v xj w e +==θτθτcos ,sin 11
k
k k
k k xd xj yd yj --=+arctan
1α
1111cos ,cos +++++=+=k w k k k w k k v yd yd v xd xd ατατ
),cos(11θατ-+=++k e k k v xj xj
)sin(11θατ-+=++k e k k v yj yj 。

当式子
1)()(22≤-+-n n n n yj yd xj xd 时，理想状态下双方飞机
距离小于一米时，可认为我方飞机追上敌机，此时追击点位置为),(n n yd xd ，
时间为τ
n T
=。

7. 模型的分析评价：
模型虽然通过对二阶微分方程降阶为一阶微分方程，最后求解出解析方程。

可是由于很多假设条件在现实中并不是每次都能够同时出现，比如空气阻力气流的存在会影响飞机的速度，敌机在逃逸时和我方飞机不成固定角度飞行等等。

而一旦假设条件变化，二阶微分方程就不一定能够进行降阶求解，也不能简单类推出规律。

另外求解微分方程的求解办法，可以通过计算机模拟求得具体数值，即微分方程的数值解，求解的过程会更简单一些。