2018年湖南中考数学压轴题汇编：几何综合(解析版)

2018年全国各地中考数学压轴题汇编(湖南专版) 几何综合

参考答案与试题解析

1.( 2018?长沙)如图，在△ ABC中，AD 是边BC上的中线，/ BAD=Z CAD, CE// AD, CE 交BA的延长线于点E, BC=8 AD=3.

(1 )求CE的长;

(2)求证：△ ABC为等腰三角形.

(3)求厶ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.

(1 )解：：AD是边BC上的中线，

??? BD=CD

???CE// AD,

??? AD BCE的中位线，

??? CE=2AD=6

(2)证明：? CE// AD，

???/ BAD=Z E,Z CAD=Z ACE

而/ BAD=Z CAD,

???/ ACE W E,

??? AE=AC

而AB=AE

??? AB=AC

???△ABC为等腰三角形.

(3)如图，连接BP、BQ、CQ,

在Rt A ABD 中，AB= ' 「=5,

设。P的半径为R,O Q的半径为r,

25

在Rt A PBD 中，(R- 3) 2+42=F2，解得R=,

25

??? PD=PA- AD—■/ S A ABC+S\BCC+S A ACC F S X ABC,

???*?r?5召?r?8专?r?5^?3?8,解得r』.

即QD--, ??? PQ=PDW〒+「.

答：△ ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为丄.

2 . (2018?株洲)如图，在Rt A ABM和Rt A ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM二AN.

(1)求证：Rt A ABM^ Rt A AND;

(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT土门，求tan / ABM的值.

解:( 1 AD二AB AM二AN,/ AMB=Z AND=90

? Rt A ABM^ Rt A AND ( HL).

(2)由Rt A ABM^Rt A AND易得：/ DAN=/ BAM, DN=BM

v/ BAM+/ DAM=9° ; / DAN+/ ADN=90

???/ DAM=/ AND ? ND// AM

? _iL_J

T

T AT节■'.'=,

?工丄

T Rt A ABM

AM_M 1

BM _DN^3

3. （2018?长沙）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做十字形

（1）①在平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是十字形”的有菱形，正方形；

②在凸四边形ABCD中, AB=AD且C盼CD,则该四边形不是十字形”（填是”或不是”

（2）如图1, A，B，C, D是半径为1的。O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD 交于点E，Z ADB-Z CDB=Z ABD-/ CBD,当6< AG+BD2^ 7 时，求OE 的取值范围；（3）如图2,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c （a, b, c为常数，a>0, c

v0）与x轴交于A, C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，- ac）,记十字形” ABCD勺面积为§记厶AOB,A COD, △ AOD,A BOC 的面积分别为Si, S2, S3, S L求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

①：：=「：；②:'「；③十字形” ABC的周长为12 1 —

解：（1 ）????菱形，正方形的对角线互相垂直，

?菱形，正方形是：十字形”

???平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，

?平行四边形，矩形不是十字形”

故答案为：菱形，正方形；

②如图，

"AE 二 AD 当CB=CD 时，在△ ABC 和厶ADC 中，

応B=CD , L AC =AC

???△ ABC ^A ADC (SSS ,

???/ BACK DAC,

?/ AB=AD,

??? AC 丄 BD ,

???当C 時CD 时，四边形ABCD 不是十字形”

故答案为：不是；

(2)???/ ADB^Z CBD=/ ABD+Z CDB / CBD=Z CDB 玄 CAB

? / ADB+Z CAD=Z ABD+Z CAB

? 180° -Z AED=180 -Z AEB

? Z AED=Z AEB=90 ,

? AC 丄 BD ,

过点O 作OM 丄AC 于M , ON 丄BD 于N ,连接OA , OD ,

? OA=OD=1, OM 2=OA 2 - AM 2 , ON 2=OD 2 - DN 2 , AM=^AC, DN 丄 BD,四边形 OMEN 是 矩形， ? ON=ME ，OE?=OM 2+ME 2 ,

即(A&+BC 2), ??? :, + = , :： = ： + -,

? OE 2=OM 2+ON 2

=2-

??? 6 < AC 2+BD 2< 7 , 0“「,

—bdj A

,0) , B (0 , c ) , C ( ；| ,0) , D (0, - ac ),

■/ a > 0 , c v 0 ,

1 2a ? S 丄AC?BD=-亍(ac+c ) x 1 S3=

2 OA X OD= ? OA ,OD=- ac , AC ,OB=- c , OC — V A Q I ,S i =_OA?OB=—

3 /

1 ,S^=上 疸 a cC/Aj-b) 4a ,BD=- ac - c, ,OC?OD=-， c (VA^-b) 4a

? 2 - A ( (OE > 0);

2a

.寸+b) 讨氐D耳-匚(J△+?)s」c cyA

7Za 2 2 >/~4a

T=2，--a=1,

.S=-淀，$=，(号b), $='(灼七,

4 4

???「?■-,

.S=S+S b+2Q￡】S 2,

￡：：::= ',

.b=0,

? A ( - 一，0), B (0, c), C C . , 0), d (0,- c),

?四边形ABCD是菱形，

?4AD=12 I !i,

?AD=3(；［： i,

即：AD2=90,

?/ AD2=c2- c,

?c2- c=90,

?c=- 9 或c=10 (舍)，

即：y=?- 9.

4. (2018?湘潭)如图，在正方形ABCD中, AF=BE AE与DF相交于点O.

(1)求证：△ DAF^A ABE

(2)求/ AOD的度数.

AD=AB,

(

AD=AB ZDAF=ZABE=904 ,

???△ DAF ^A ABE ( SAS ,

(2 )由(1)知，△ DAF ^A ABE,

???/ ADF=/ BAE,

vZ ADF+/ DAO=/ BAE F / DAO=/ DAB=90,

???/ AOD=180 -(/ADF+DAO ) =90°.

5. (2018?株洲)如图，已知AB 为。O 的直径，AB=8,点C 和点D 是。O 上关于直线 AB 对称的两个点，连接OC AC,且/ BOC k 90°,直线BC 和直线AD 相交于点E ,过点 C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ,与直线AD 相交于点G,且/ GAF=Z GCE

(1) 求证：直线CG 为。O 的切线；

(2) 若点H 为线段OB 上一点，连接CH,满足CB=CH

① 厶 CBH^A OBC;

② 求OH+HC 的最大值.

???/ ACB=90

v OA=OC

在厶DAF 和厶ABE 中

, ABCD 是正方形,

???/ DAB=Z ABC=90, 解：(1 )由题意可知：/ CAB=/ GAF,

v AB 是。O 的直径，

???/ CAB=/ OCA