第三章 量子力学导论

闽江学院教案课程名称：原子物理课程代码： 21100430授课专业班级： 2010级物理学（师范类）授课教师：翁铭华系别：电子系2012年8 月30 日第三章量子力学导论教学目的和要求：1．了解量子化物质波粒二象性的概念。

2．理解测不准原理；3．掌握波函数及物理意义；4．了解薛定谔方程；了解量子力学问题的几个简例；5．了解氢原子的薛定谔方程；了解量子力学对氢原子的描述。

教学重点和难点:1. 教学重点：波函数及统计解释2．教学难点：波函数及统计解释教学内容：1. 玻尔理论的困难2. 波粒二象性3. 不确定关系4. 波函数及其统计解释5. 薛定谔方程及应用19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。

1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。

此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。

至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。

在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。

量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。

量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想；3)解决具体问题的方法。

§3-1玻尔理论的困难玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。

如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？）玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。

……§3-2波粒二象性1.经典物理中的波和粒子经典物理学中，波和粒子各自独立，在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象。

粒子可视为质点，具有定域性，有确定的质量、动量、速度和电荷等，波可以在空间无限扩展，波有确定的波长和频率。

视为质点的粒子位置可无限精确地被测定，而在无限空间传播的波的波长和频率也能被精确地测定(因为波不能被约束)。

2.光的波粒二象性1672年牛顿提出光的微粒说，1678年惠更斯(荷兰)提出光的波动说，两种学说长期论战。

到19世纪初，菲涅尔、夫琅和费、杨氏等人通过光的干涉、衍射实验证实光的波动性。

19世纪末麦克斯韦和赫兹证明光是电磁波。

20世纪初，爱因斯坦于1905年用光的量子说解释了光电效应，提出光子的能量为νh E =，并于1917年指出光子有动量λh p =。

1923年康普顿的散射实验中，根据波动的衍射现象用晶体谱仪测定X 射线的波长，但散射对波长的影响方式又只能把X 射线作为粒子来解释。

可见，光在传播时显示波性，在传递能量时显示粒子性。

(两者不会同时出现)3.德布罗意假设（1924）：所有物质粒子均具有波粒二象性，认为“任何物质伴随以波，而且不可能将物体的运动同波的传播分开”。

并给出粒子动量与伴随着的波的波长之间的关系为：ph =λ（德布罗意关系式，不论粒子静质量是否为0，此式均成立）德布罗意(法，当时刚从历史学研究转向物理学研究，获1929年诺贝尔奖)将波粒二象性推广到所有物质粒子。

他在1923年9-10月间一连写了3篇论文，并于1924年11月向巴黎大学提交《量子理论的研究》的博士论文，在这些论文中提出了所有物质粒子都具有波粒二象性的假设，并给出了著名的德布罗意假设：与具有能量E (动能和势能)和动量p 的粒子相联系，有一物质波。

其频率和波长分别为：⎪⎩⎪⎨⎧==p h h E λν。

引入波矢λπ2=k 概念，则德布罗意关系式p h =λ可表示为k p =。

波动的传播方向是粒子的动量方向。

德布罗意关系式通过普朗克常数把粒子性和波动性联系起来。

实际上，任何表达式中，只要有h 出现，就意味其具有量子力学特征。

普朗克常数h 的意义：量子化的量度，是不连续程度的最小量度单位；在物质的波性和粒子性间起着桥梁作用；在量子化和波粒二象性这两个重要概念中都起关键作用。

*4.戴维孙-革末实验（1925）：晶体对电子束衍射的第一个实验。

如图示，被加速的电子束垂直入射到Ni 单晶上观察散射电子束的强度与散射角θ的关系，观察到加速电压050,54==θV U 时反射束强度极大。

此结果无法用粒子的运动来说明，但能用干涉来解释，因此它显示了电子的波动性。

（20世纪30年代后的实验发现一切实物粒子均有衍射现象，进一步证实了德布罗意假设的正确性）按德布罗意假设，质量为m ，速率为v 的实物粒子的德布罗意波长为20)(1c v v m h mv h -==λ，如c v <<则有vm h 0=λ，由此可知一般的实物粒子的λ甚小。

德布罗意波长nm 1.0=λ所对应的粒子的动能：光子 电子 中子 氦原子12.4keV 150eV 0.081eV 0.02eV由上表知，讨论质量较He 重的粒子的德布罗意波已没意义了。

5.德布罗意波和量子态在此之前，玻尔用定态条件、频率条件和相应原理得到角动量的量子化条件 n L =，并据此导出氢原子的第一玻尔半径、能量和动量的量子化结果。

以下介绍德布罗意将原子中的定态和驻波联系起来，自然地得到角动量的量子化条件。

电子波动性的波长为mvh p h ==λ。

将此关系用于氢原子中电子上，欲使电子稳定存在，与电子相应的波就必须是一个驻波，即电子绕核一圈后其位相不变(见教材中图示)。

显然，电子绕核一圈的周长与其波长的关系为： ,2,1,2===n mvh n n r λπ 将上式改写后即得角动量量子化条件： ,2,1,==n n L由此知，只有驻波可被束缚起来，而驻波的条件就是角动量量子化条件。

例：将玻尔第一速度c v α=代入mv h p h ==λ得到απλmc 2=，而αmc 是折合电子康普顿波长的137倍，即第一玻尔半径1a ，故12a πλ=。

在此之前所得的结果满足驻波条件。

6.一维刚性盒子中的驻波设想一个速度为v 的粒子在宽为d 的刚性盒子中作一维运动，由经典理论知，粒子的动能恒为221mv ，运动周期vd T 2=。

现用量子观点分析。

与粒子对应的德布罗意波被约束在盒内，此粒子要在盒内永远存在下去，其德布罗意波必为驻波，d x x ==,0必为驻波的波节。

其波长必满足 ,2,1,2==n d nλ，即盒子的宽度至少为半波长。

代上式至德布罗意关系式λh p =和非相对论动能公式m p E k 22=，得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22282md hn E d nh p k 可见动量和能量均呈量子化。

即使T=0，此粒子的最低能量1E 仍存在。

此特性只有在微观尺度中才体现出来。

但并不意味着宏观中不存在，这一观点已为大量事实所证明。

以上内容可归纳为：禁闭的波必然导出量子化条件。

7.波和非定域性波的特性之一是波的非定域性，即可在空间无限扩展。

从德布罗意波的角度来看，氢原子实际上是一个德布罗意波被关在库仑场中的情形。

假设氢原子中的粒子(电子)在库仑场中是一简单的正弦波，而匣子近似为刚性边界(∞→V )，假设匣子的线度是半波长，即粒子处于基态(详见教材中氢原子的波函数及势能函数)，在此假设下，可得粒子的动能为：2222288mrh md h E k π== + 总能量为动能和势能之和，为r ke mrh E 22228-=π 由0=dr dE 求得122min a mke r == ，再将代入上式即得氢原子基态能量为eV me E 6.13222-=-=。

显然，所求结果与玻尔所给出的结果相同。

§3-3 不确定关系(测不准关系)1.不确定关系的表述和含义(1927年由海森堡提出)不确定关系反映了微观粒子运动的基本规律，有多种表示式，其中两个是：⎩⎨⎧≥∆∆≥∆∆hE t h p x x含义：1式表示当粒子被限于在x 方向的一个有限范围x ∆内时，它相应的动量分量必有一个不确定的范围x p ∆。

换言之，如x 的位置完全确定(0→∆x )，则粒子相应的动量就完全不确定(∞→∆x p )；反之亦然。

2式表明，若粒子在能量状态E 只能停留t ∆时间，则这段时间内粒子的能量状态并非完全确定，它有一个弥散th E ∆≥∆，只有当粒子的停留时间为无限长时(稳态)，其能量状态才是完全确定的(0=∆E )。

认为不能同时测准粒子的位置坐标x 及相应的动量x p 的解释是不确切的，易误认为不确定关系是测量过程的一个限制。

在确定关系揭示了一条重要的规律：粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量。

因而“不能同时精确地测量它们”只是这一客观规律的一个必然结果。

从这个意义上看，“测不准关系”这一名称有不妥之处。

不确定关系在宏观世界不能得到直接体现，但它并不为0。

1)微观例子：氢原子中电子的玻尔第一半径0153.0A r =，玻尔第一速度c v α=1，相应的动量为c m p α=1，从不确定关系看，电子在轨道上如果位置确定了，假定电子在1r 范围内运动，即0153.0A r x ==∆，则相应的动量不确定度3.6/2=∆=∆=∆xmc hc p x h p p α，可见动量的不确定程度甚大，以致无法确切地说明在1r 范围内运动的电子动量为多大。

2)宏观例子：一个10g 的小球以10s cm /速度运动，小球的瞬间位置可精确确定，如cm x 410-=∆(已是很高的精度)，则相应的动量不确定度25106.6/-⨯=∆=∆px h p p ，可见动量的不确定度甚小，目前没有任何方法可觉察，完全可忽略不计。

2.不确定关系的简单导出方法一：从经典波动理论出发，利用⎩⎨⎧≥∆∆≥∆∆21λλνx t ，它表明为得到一个位置确定的孤立波(即波包)(详见教材中图示)，须用多个波去叠加，即x ∆越小，λ∆就越大。

反之，要精确测量其波长(0→∆λ)，则须在无限扩展的空间观察(∞→∆x )，要精确测定频率(0→∆ν)，则需无限长的时间(∞→∆t )。

将以上经典关系式用于微观粒子，并加入德布罗意关系式p h =λ，可得到⎩⎨⎧≥∆∆≥∆∆hE t h p x x方法二：从经典波的单缝衍射导出(详见教材中图示。

设缝宽为d ，入射波波长为λ，λ与d 相近时才会发生衍射，而d <<λ时衍射现象消失。