信号与系统3.11抽样定理
信号与系统第三章
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
信号抽样与抽样定理
（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，
抽样间隔为 ω0＝2π/T。 （2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，
重复周期为 ωS＝2π/TS 。
四、频域抽样与频域抽样定理
矩形单脉冲信号的频谱 F ( ) E Sa 0
2
m0 Sa 2 m
( ns m0 )
四、频域抽样与频域抽样定理
f 0 t
E
F0 ( )
E
2
0
a
E
2
t
2
0
2
f1 t
b
F1
E 0
T 0
2
T
c
E
2
t
2
0
2
d
f s t
E 0 Ts
T
Fs
二、时域抽样定理
时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据 , m m
的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值
样间隔 Ts 不大于 2f
1
m
f (nTs ) 唯一地表示，只要抽
，其中 f m为信号的最高频率，
或者说，抽样频率 f s 满足条件
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 f s 2 f m 称为奈奎斯特频率， 1 1 把最大允许的抽样间隔 Ts 称为奈奎斯特间隔 。 fs 2 fm
如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失
真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精 辟的回答。
抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十 分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、 数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么 可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。
信号与系统 抽样定理实验
信号与系统实验报告实验六抽样定理实验六抽样定理一、实验内容：（60分）1、阅读并输入实验原理中介绍的例题程序，观察输出的数据和图形，结合基本原理理解每一条语句的含义。
2、已知一个连续时间信号f(t)=sinc(t)，取最高有限带宽频率f m=1Hz。
（1）分别显示原连续信号波形和F s=f m、F s=2f m、F s=3f m 三种情况下抽样信号的波形；程序如下：dt=0.1;f0=0.2;T0=1/f0;fm=5*f0;Tm=1/fm;t=-10:dt:10;f=sinc(t);subplot(4,1,1);plot(t,f);axis([min(t),max(t),1.1*min(f),1.1*max(f)]);title('ÔÁ¬ÐøÐźźͳéÑùÐźÅ');for i=1:3;fs=i*fm;Ts=1/fs;n=-10:Ts:10;f=sinc(n);subplot(4,1,i+1);stem(n,f,'filled');axis([min(n),max(n),1.1*min(f),1.1*max(f)]); end运行结果如下：（2）求解原连续信号和抽样信号的幅度谱；程序： dt=0.1;fm=1;t=-8:dt:8;N=length(t);f=sinc(t);wm=2*pi*fm;k=0:N-1;w1=k*wm/N;F1=f*exp(-j*t'*w1)*dt;subplot(4,1,1);plot(w1/(2* pi),abs(F1));axis([0,max(4*fm),1.1*min(abs(F1)),1.1*max(abs(F1))]);for i=1:3;if i<=2 c=0;else c=1;endfs=(i+c)*fm;Ts=1/fs;n=-6:Ts:6;N=length(n);f=sinc(n);wm=2*pi*fs;k=0:N-1;w=k*wm/N;F=f*exp(-1i*n'*w)*Ts;subplot(4,1,i+1);plot(w/(2*pi),abs(F));axis([0,max(4*fm),0.5*min(abs(F)),1.1*max(abs(F) )]);end波形如下：（3）用时域卷积的方法（内插公式）重建信号。
信号与系统-取样定理..
2018/10/8
信号信息与处理 取样定理
22
连续时间信号的离散时间处理
设计一个连续时间带限微分器的离散时间实现
d t h t 微分器单位冲激响应： dt j , c 微分器频率响应： H c j 0 , c
c
Hd e
关键问题
一种解决思路
利用零阶保持电路替代冲激串，即在t=nT取 样后，该幅度一直保持到t=(n+1)T 必须解决零阶取样保持电路的恢复问题
信号信息与处理 取样定理 10
2018/10/8
零阶保持取样
傅立叶变换过程分析
x t
x t
零阶 保持
x0 t
x0 t
x t
若x(t)是一个带限信号，满足| ω |>ωM时， X(jω)=0.则当ωs>2ωM，其中ωs=2π/T，则 x(t)可以唯一的用样本x(nT)所确定,n取遍 所有的整数。 2ωM称为奈奎斯特频率 构造方法： 产生一个周期脉冲串，冲激串幅度 为取样样本值；将冲激串序列通过一个 幅度为T,截止频率大于ωM，小于2ωM 低通滤波器，该滤波器输出就是x(t)
c
p t
xp t p t x t
xd [n]
0 T 2T
xp t p t x t
xd [n]
0 T 2T
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信号信息与处理 取样定理
18
连续时间信号的离散化处理频谱变换
1
X c j
xp t
n
x nT t nT
n c
jn
信号与系统第3章傅里叶变换
*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之 间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广 阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函 数的乘积在区间的积分等于零，即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中
信号抽样定理实验报告
一、实验目的1. 理解并验证信号抽样定理的基本原理。
2. 学习信号抽样过程中频谱的变换规律。
3. 掌握信号从抽样信号中恢复的基本方法。
4. 通过实验加深对信号处理理论的理解。
二、实验原理信号抽样定理，也称为奈奎斯特定理，指出如果一个带限信号的最高频率分量小于抽样频率的一半，那么通过适当的方法可以将这个信号从其抽样信号中完全恢复出来。
具体来说，如果一个连续信号 \( x(t) \) 的最高频率分量为 \( f_{max} \)，那么为了不失真地恢复原信号，抽样频率 \( f_s \) 必须满足 \( f_s > 2f_{max} \)。
三、实验设备与软件1. 实验设备：信号发生器、示波器、信号源、滤波器等。
2. 实验软件：MATLAB或其他信号处理软件。
四、实验步骤1. 信号生成：使用信号发生器生成一个连续的带限信号，例如正弦波、方波等，并记录其频率和幅度。
2. 信号抽样：使用信号源对生成的带限信号进行抽样，设定抽样频率 \( f_s \)，并记录抽样后的信号。
3. 频谱分析：对原始信号和抽样信号分别进行傅里叶变换，分析其频谱，观察抽样频率对信号频谱的影响。
4. 信号恢复：使用滤波器对抽样信号进行低通滤波，去除高频分量，然后对滤波后的信号进行逆傅里叶变换，观察恢复后的信号与原始信号的一致性。
5. 改变抽样频率：重复步骤2-4，分别使用不同的抽样频率进行实验，比较不同抽样频率对信号恢复效果的影响。
五、实验结果与分析1. 频谱分析：通过实验发现，当抽样频率 \( f_s \) 小于 \( 2f_{max} \) 时，抽样信号的频谱会发生混叠，无法恢复出原始信号。
当 \( f_s \) 大于\( 2f_{max} \) 时，抽样信号的频谱不会发生混叠，可以恢复出原始信号。
2. 信号恢复：通过低通滤波器对抽样信号进行滤波，可以有效地去除高频分量，从而恢复出原始信号。
滤波器的截止频率应设置在 \( f_{max} \) 以下。
信号与系统抽样与抽样定理
连续时间系统的频率响应
连续信号通过系统响应的频域分析
无失真系统与理想低通
抽样与抽样定理
调制与解调
连续时间信号的时域抽样
信号抽样的理论分析 时域抽样定理
抽样定理的工程应用
信号重建
实际应用举例
1、信号抽样的理论分析
f (t)
fs (t)
T (t)
冲激串 ->序列
f [k ]
2p F T t T
n
w nw
s
f s (t ) f (t ) T (t )
1 2p F FS jw [ F jw 2p T
n
w nw ]
s
1 Fs ( jw ) F [ j(w nws )] T n
wm 0 wm
w
ws 1.5wm
Fs ( jw )
1 T
混叠 (aliasing)
F[j(wws)] ...
ws ws wm
F(jw)
0
F[ j(w ws )] ...
ws
wm ws
w
2、时域取样定理
若带限信号f(t)的最高角频率为ωm，则信号f(t) 可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T 需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于2fm。
例5－9 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)f(2t)， f(t)f(2t) 抽样不混叠的最小抽样频率。 解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得： 对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
信号与系统§3.11 抽样定理
当s 2m时，不满足抽样定理，fs t 的频谱出现混叠，
在 时 域 图 形 中 ， 因Ts过 大 使 冲 激 响 应Sa函 数 的 各 波 形 在 时
间 轴 上 相 隔 较 远 ， 无 论如 何 选 择 c 都 不 可 能 使 迭 加 后 的 波
形恢复f t。
由于要产生接近冲激序列的信号和接近理想低通的 系统都相当困难，因而在数字通信系统中广泛采用零阶 抽样保持来产生和传输信号，在收端利用补偿滤波器恢 复连续时间信号。
§3.11 抽样定理
பைடு நூலகம்
主要内容
抽样定理 由抽样信号恢复原信号
重点 抽样定理 难点 由抽样信号恢复原信号
一．抽样定理
1．对信号抽样 （1）抽样前滤波→有限频带 （2）抽样率足够高 （3）抽样后接理想低通滤波器，滤除高频分量
2．抽样定理
一个频率受限的信号f(t) ,若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f(t)可用等间隔的抽样值来唯一地表示.其
二．由抽样信号恢复原信号
理想低通滤波器
S 2m 1 F S
TS
H T0s
c c
S
F Fs H f t fs t ht
om
S
S m
H
TS
滤除高频成分，即可恢复原信号 从时域运算时域解释
C o C
F
1
o
m
m
时域运算
以理想抽样为例
时 域 ： f s (t) f (t) T (t) f (nTs ) (t nTs )
n
频 域 ：Fs
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（其中m＝2
fm），或者说，最低抽样频率为2f
。
m
第3章 傅里叶变换
从上一节可以
看出，假定信号f(t)
的频谱F( )限制在
-m～ m范围内，
若以间隔T（s 或重复
频率s＝
2
Ts
）对f(t)
进行抽样，抽样后
信号fs (t)的频谱
Fs ()是F ()以s为
周期重复。
只有满足抽样定理，才不会产生“频谱混叠”的现象。这样，抽样信号 保留了原来连续信号的全部信息，完全可以用fs(t)恢复出f(t)。
由前面的例题已知它是抽样函数（Sa函数）。
第3章 傅里叶变换
h t
c
Sa(c t)
因为 fs t பைடு நூலகம் nTs t nTs n
所以
f t fs tht
n
f
nTs
t
nTs
c
Sa(c t)
= c
n
f
nTs Sa[c t nTs ]
这说明ft 可以展开成正交抽样函数Sa函数的无穷级数，级数的系数等于
2tm
则抽样后的频谱F1()可以唯一地表示原信号。
从物理概念上不难理解，因为在频域中对F 进行抽样， 等效于f t 在时域中重复。只要抽样间隔不大于 1 ，则在时
2tm 域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号就可以无失真 地恢复出原信号f(t)。
（Nyquist）频率”，把最大允许的抽样间隔
Ts＝
m
＝1 2fm
称为“奈奎斯特间隔”。
(二第3)章由傅抽里叶样变换信号恢复原连续信号
从前图可以看出，在满足抽样定理的条件下，
为了从频谱Fs ()在无失真地选出F()，可以用如 下的矩形函数H()与Fs ()相乘，即
F()＝Fs ()H()
其中
抽样值fnTs 。也可以说若在抽样信号fs t 的每个抽样值上画一个峰值为f nTs 的Sa波形，则合成的波形就是ft 。
(三第)3章频傅域里叶抽变样换定理
频域抽样定理的内容是：
若信号f(t)是时间受限信号，它集中在-t
～
m
t
的时间范围内，
m
若在频域中以不大于 1 的频率间隔对f(t)的频谱F()进行抽样，
第3章 傅里叶变换
3.11 抽样定理
如何从抽样信号中恢复原连续信号？ 在什么条件下才可以无失真地完成这 种恢复作用？
第3章 傅里叶变换
(一) 时域抽样定理
一个频谱受限的信号f(t)，如果频谱只占据
-m～ m的范围，则信号f(t)可以用等间隔的
抽样值唯一的表示。而抽样间隔必须不大于 1 2fm
H()＝Ts
0
<m >m
该方法就是将抽样信号fs 施加于
“理想低通滤波器”。此滤波器的传递函
数为H()，这样，在滤波器的输出端可
以得到频谱为F 的连续信号f t 。
第3章 傅里叶变换
从时域看如何从抽样信号恢复原信号呢？
因为滤波器的输出频谱为：
F()＝Fs ()H()
由时域卷积定理知：
f t fs (t) h(t) 其中，h t 为H 的傅里叶逆变换（原函数）。
第3章 傅里叶变换
物理概念上解释：
由于一个频带受限的信号波形决不可能在很短的
时间内产生独立的、实质的变化，它的最高变换速度
受最高频率分量m的限制。
因此为了保留这一频率的分量的全部信息，一个
周期的间隔内至少抽样两次，即必须满足s 2m或
fs
2f
。
m
通常把最低允许的抽样率fs＝2fm称为“奈奎斯特