第3章 统计描述
第三章总体数量的统计描述
• 第三章统计数 量的统计描述
• 第三章统计数 量的统计描述 Ex 根据表中各指标之间的关 系计算所缺数字。 系计算所缺数字。
工业总产值（万元） 工业总产值（万元） 计 划 完成计划% 实 际 完成计划 甲 乙 丙 合 计 680 600 2000 750 109．7 ．
2200
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• 第三章统计数 量的统计描述
(二)按照总量指标反映的时间状况不同，分为时期总量 二 按照总量指标反映的时间状况不同 按照总量指标反映的时间状况不同， 指标与时点总量指标。 指标与时点总量指标。 时期总量指标是反映总体在某一段时期内发展变化 结果的总量指标。 结果的总量指标。 时点总量指标是反映总体在某一时刻上呈现、 时点总量指标是反映总体在某一时刻上呈现、存在 或达到的总数量指标。 或达到的总数量指标。 时期指标和时点指标的区别 时期总量指标在不同时间内的数值可以相加， 时期总量指标在不同时间内的数值可以相加，数值 的大小与时间长短有着直接的联系，它具有时间长度； 的大小与时间长短有着直接的联系，它具有时间长度； 相反，时点总量指标在不同时刻上的数值则不能相加， 相反，时点总量指标在不同时刻上的数值则不能相加， 数值的大小与时间长短没有着直接的联系， 数值的大小与时间长短没有着直接的联系，它不具有 时间长度。 时间长度。
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• 第三章统计数 量的统计描述
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统计原理习题集 P22 EX14 ——21 P24——26 EX1 ——28 P36——38 全部练习
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• 第三章统计数 量的统计描述
1、简单算术平均数
x=
2、加权算术平均数
第03章描述统计
补充材料：累计求和运算规则求和算子定义：对于T 个观测值，x 1, x 2, …, x T ，求和可以简化地表示为x 1 + x 2 + …+ x T =∑=Tt t x 1其中∑⋅)(称作求和算子。
求和算子的运算规则如下： ① 变量观测值倍数的和等于变量观测值和的倍数。
∑=T t t kx 1= k ∑=Tt t x 1② 两个变量观测值和的总和等于它们分别求总和后再求和。
∑=+Tt t t y x 1)(= ∑=Tt t x 1+∑=Tt t y 1③ T 个常数求和等于该常数的T 倍。
∑=Tt k 1= kT其中k 是常数。
④ 定义双重求和为∑∑==T j ij T i x 11= ∑=Ti 1(x i 1 + x i 2 + …+ x iT )= (x 11 + x 12 + …+ x 1T ) +(x 21 + x 22 + …+ x 2T ) + … +(x T 1 + x T 2 + …+ x TT )⑤ 两个变量和的双重求和等于它们各自双重求和的和。
∑∑==+T j ij ij T i y x 11)(= ∑∑==T j ij T i x 11+∑∑==Tj ij T i y 11⑥ 两个不同单下标变量积的双重求和等于它们各自求和的乘积。
∑∑==Tj j i Ti y x 11= (∑=T i i x 1) (∑=Tj j y 1)证：∑∑==Tj j i T i y x 11= ∑=+++Ti T i y y y x 121)...(= (∑=T i i x 1) (∑=Tj j y 1)第3章 统计资料的综合（Data Summarization ）用频数分布表与统计图可以展示数据分布的大概特征。
为更准确的描述数据的特征，有必要用一些数值描述一组数据的特征，称这些数值为特征数。
特征数分三类：（1）表示集中位置；（2）表示分散程度；（3）表示偏斜程度；（4）相关程度。
3.1 表示集中位置的特征数： （1）平均数；（算术平均数，几何平均数，调和平均数） （2）中位数； （3）众数； （4）百分位数； 3.1.1 平均数（1）算术平均数（Arithmetic mean ） 对于不分组数据算术平均数定义：一组数据，（x 1, x 2, …, x n ），容量为n ，则算术平均数x 表示为x = n x x x n +++ (21)=n1∑=ni i x 1(1)例1：5个学生的英语考试分数是80, 70, 85, 90, 82。
第3章SPSS描述性统计分析
3.1.1 频数分析的基本原理
图3-14 【描述性】对话框
Step 02 在左侧的候选变量列表框中选择“male”和 “female”变量，将其添加至【变量】列表框中，表示它是 进行描述性统计分析的变量，如图3-15所示。
图3-15 选择分析变量
Step 03 单击【选项】按钮，其主要目的是选择需要输出 的描述性统计量，这里除了选择系统默认的统计量外，还勾 选了范围、偏度系数和峰度系数复选框；再单击【继续】按 钮，返回【描述性】对话框，如图3-16所示。 Step 04 单击【确定】按钮完成操作。
图3-13 【描述：选项】对话框
Step 04 在【描述性】对话框中，勾选【将标准化得分另 存为变量】复选框，表示对所选择的每一个变量进行标准化 处理，同时产生相应的Z得分，并作为新变量保存到数据窗 口中。
Step 05 单击【Bootstrap】按钮，弹出如图3-5所示的 【Bootstrap】对话框，在此对话框中可以进行均值、标准 差、方差、偏度和峰度的Bootstrap估计。
图3-17 【探索】对话框
Step 02 在对话框左侧的候选变量列表框中选取一个或多 个待分析变量，将它们移入右侧的【因变量列表】列表框中 ，表示要进行探索性分析的变量。 Step 03 在候选变量列表框中可以选取一个或多个分组变 量，将它们移入右侧的【因子列表】列表框中。分组变量的 选择可以将数据按该变量中的观测值进行分组分析。如果选 择的分组变量不止一个，那么会以分组变量的不同取值进行 组合分组。
研究生统计学讲义第2讲第3章定量资料的统计描述
现在我们把 X 转换为标准正态变量，因为μ=100， σ=10，所以
u X 90 100 1.0
10
因此90分能够用平均值下的1个标准差表示，见图 右图
P (X < 90)=P ( u <－1.0 )
附表3从u=0.00到u=4.99以增量0.01编成标准正态分布 的CDF表，沿着表的左边按所给u的一个小数找到u ，再从表的顶端找到u的第二位小数，在表内主要部
x2=78.6g/L时，u2 = (78.6－73.8)/3.9=1.23
2.查标准正态曲线下面积表（附表3）：u= －0.46时 ，在表的左侧找到-0.4，在表的上方找到0.06，二者相 交处为0.3228，标准正态曲线下，横轴上u值小于－ 0.46的面积为Ф(－0.46)= P(U<－0.46)=32.28％，即标 准正态变量u值小于－0.46的概率为32.28％；同样查 得u=1.23时，标准正态曲线下，横轴上u值小于1.23的 面积为Ф(1.23) =P(U<1.23)= 0.8907，即u值小于1.23的 概率为89.07％ 。
图3.16左边μ=100，σ=10，X≥125 右边μ=0，σ=1， u≥2.5，注意刻度不同
只有0.62%的得分将是125或更高．
补例2 假设女高血压患者舒张压大约集中在100mmHg
，标准差是16mmHg ，血压是正态分布．求：
1．P (X<90) 2．P (X>124) 3．P (96<X<104) 4．求
2.中位数M (Median)
中位数M是排序观察值的中间值．当一组数据按照 从小到大的顺序排列起来时，值的深度d=(n+1)/2， 是它相对于极端值（末端）所在的位置．它不是由全 部观察值综合计算出来的，而是由居中位置的观察值 所决定，因此它不受个别特小或特大的观察值的影响 ，应用范围较广。
SPSS统计分析第3章-描述性统计分析课件
3.4 探索性分析
➢描述性统计量表
科目 成 语 均值 绩文
均值的 95% 置信区间
5% 修整均值 中值 方差 标准差 极小值 极大值 范围 四分位距 偏度 峰度
描述
下限 上限
统计量 69.17
45.63
92.70 69.91 73.50 502.967 22.427
30 95 65 34 -1.085 1.617
打开“描述：选项”对话框，选中“均值”、“标准差” 、“最小值”、“最大值”、“峰度”、“偏度”及显示顺 序的“变量列表”等选项。
SPSS统计分析第3章-描述性统计分析
3.3 描述性分析
第3步 运行结果及分析： 描述性分析结果表
描述统计量
身高
N 极小值 极大值 均值 标准差
偏度
峰度
统计
标准 统计 标准
5
打开“图表”对话框，选中“直方图”及后
4
5
面的复选框
SPSS统计分析第3章-描述性统计分析
3.2 频率分析
第3步 主要结果及分析：
统计量表
统计量ห้องสมุดไป่ตู้
教育
收入
N
有效
缺失
众数
百分位数 30
60
90
835 1 5
4.00 5.00 5.00
836 0 3
3.00 4.00 7.00
变量“教育”的频率分布表
3.3 描述性分析 3.3.1 基本概念及统计原理
描述性分析主要用于输出变量的各类描述性统计量 的值，通过上一节的学习可知，频率分析同样可以做到， 都是以计算数值型单变量的统计量为主。描述性统计分析 没有图形功能，也不能生成频率表，但描述性分析可以将 原始数据标准化为Z分数，并以变量形式存入数据文件中， 以便后续分析时应用。
概率与数理统计第3章数据分布特征的描述
概率与数理统计第3章数据分布特征的描述概率与数理统计是一门关于随机现象的描述和分析的学科。
在实际问题中，我们经常需要对数据进行分析和描述，以便更好地理解数据的特征和规律。
第三章主要介绍了数据分布的特征描述，包括中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量。
首先是中心位置度量，它用来描述数据集的平均水平。
一般来说，我们关心的是数据集的平均值和中位数。
平均值是数据的加权平均，它能够反映数据集的集中趋势。
平均值的计算公式是：```平均值=总和/观测数```中位数是按照数据的大小顺序排列后，处于中间位置的观测值。
中位数的计算方法是：```如果数据集的观测数为奇数，中位数为第(n+1)/2个观测值如果数据集的观测数为偶数，中位数为第n/2和(n/2+1)个观测值的平均值```其次是离散程度度量，它用来描述数据集的变异程度。
我们常用的度量指标有极差、方差和标准差。
极差是数据集中最大观测值与最小观测值之间的差距，它反映了数据的全局离散程度。
方差是每个观测值与数据集平均值的差的平方的平均值，它度量了数据的局部离散程度。
标准差是方差的平方根，它与方差具有相同的单位，能够更好地反映数据的离散程度。
最后是分布形状度量，它用来描述数据分布的偏度和峰度。
偏度是描述数据分布对称性的度量，正偏表示数据集的右尾较重，负偏表示数据集的左尾较重。
峰度是描述数据分布峰态的度量，正峰表示数据集的峰部较陡，负峰表示数据集的峰部较平。
偏度和峰度能够帮助我们了解数据分布的形态特征，从而判断数据集是否服从其中一种特定的分布。
在实际应用中，我们可以通过对数据集进行描述统计分析来了解数据的特征。
通过计算平均值、中位数、方差、标准差、偏度和峰度等指标，我们能够更好地理解数据的分布情况。
此外，我们还可以通过绘制直方图、箱线图、概率密度函数等图形来展示数据的分布特征，进一步加深对数据的认识。
总之，数据分布特征的描述是概率与数理统计中重要的内容之一、通过中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量，我们能够充分了解数据的平均水平、变异程度和形态特征，为进一步的数据分析和决策提供有力的支持。
统计学第3章数据分布特征描述
xi fi i1
xf
f1 f2 ... fn
n
fi
f
x x f
i 1
f
举例
表3-3 节能灯泡使用寿命数据
使用寿命 组中 数量 （小时） 值x f
xf
频率 f /Σf
xf/Σf
1000以下 900 2 1800 0.020 18
1000-1200 1100 8 8800 0.080 88
n（xi x) 0
i1
（3）各变量值与算术平均数的离差平方之总和最小。 （从全 部数据看，算术平均数最接近所有变量值）
n（xi x)2 min
i1
性质（3）证明：
（三）调和平均数（Harmonic mean）
➢ 调和平均数，也称倒数平均数。 ➢ 各变量值倒数（1/xi）的算术平均数的倒数。 ➢ 计算公式为：
➢由一组数据的总和（总体标志总量）除以 该组数据的项数（总体单位总量）得到; 算术平均数=总体标志总量/总体单位总量
➢是最常用的数值平均数；
➢根据掌握资料不同，其有多种计算公式。
1．简单算术平均数 ➢对未分组数据，采用简单算术平均数公式。即 把各项数据直接加总，然后除以总项数。 ➢计算公式：
N
xi x i1
例如，改变教师职称结构，而不改变各种职 称教师课时费标准，会改变平均课时费水平。
权数实质
➢权数的实质在于其结构，即结构比例形式（比重 权数）。
➢其更能清晰表明权数之权衡轻重的作用。
权数形式有2种：
➢ 绝对数形式
Mp
➢ 结构比例形式
k
N
xik wi
i 1
N
wi
i 1
k
N
i 1
医学统计学参考答案 颜虹第二版
《医学统计学》部分习题参考答案颜虹主编第二版第三章统计描述一、最佳选择题1.C2.A3.D4.B5.E6.E7.C8.D9.C10.C11.A12.D三、计算分析题P53-1素食前X1素食后X2X1-X2平均187.75平均168.25平均19.5中位数179中位数165中位数19标准差33.18885标准差26.79593标准差16.80838方差1101.5方差718.0217方差282.5217 4）第四章常见的概率分布一、最佳选择题1.D2.D3.B4.D5.B6.E7.E8.C9.D10.C11.C三、计算分析题P73-41120124.4 1.15793.8u -==-2125124.40.1578953.8u -==查标准正态分布表得1()( 1.1579)( 1.16)0.123u Φ=Φ-≅Φ-=2()(0.15795)(0.16)1(0.16)10.43640.5636u Φ=Φ≅Φ=-Φ-=-=21()()0.56360.1230.4406u u Φ-Φ=-=该地身高界于120cm 到125cm 范围内的8岁男童比例为44.06%。
20044.06%89()⨯≈人200名8岁男童中身高界于120~125cm 范围的人数约为89人。
P73-5Poisson 0.99967Binominal 0.9998P73-6解：（1）由题意可知，随机误差变量X 服从正态分布，其中μ=2，σ=4。
要求测量误差的绝对值不超过3的概率，即求P P ≤≤≤（X 3）=（-3X 3），作标准化变化132 1.254u --==-2320.254u -==1()( 1.25)0.1056u Φ=Φ-=2()(0.25)1(0.25)10.40130.5987u Φ=Φ-Φ-=-=21()()0.59870.10560.4931u u Φ-Φ=-=即测量误差的绝对值不超过3的概率为0.4931。
（2）根据题意，以Y 表示测量误差的绝对值不超过3，则Y 服从二项分布，其中n=3,0.4931π=,根据题意，至少有1次误差的绝对值不超过3的概率为003033(1)1(0)1(1)10.50690.86975P Y P Y C ππ-≥=-==--=-=P73-7解：根据医学知识可知健康成人血清总胆固醇值过高或过低为异常，故应制定双侧医学参考值范围因为已经假定血清总胆固醇值服从正态分布，故可用正态分布法求该指标的95%医学参考值范围，即 1.96μσ±。
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图3-1 162例健康成年男性血清总胆固醇频数分布图
P24
二、计数资料和等级资料的频数分布
1. 频数分布表 频数分布图
二、计数资料和等级资料的频数分布
1. 频数分布表 2. 频数分布图
计数资料编制频数分布表方法：
(4)计算各组段频数(frequency)
(5)计算各组段频率(percent) (6)计算累计频数(cumulative frequency) 和累计频率(cumulative percent)
从表3-1频数分布表可以看出： 中间五个组段内集中了较多的观察
值，而两端组段含有较少的观察值。
2. 计量资料的频数分布图
(3)确定组段的上下限： 第一组段必须包括Min，最后一组段 必须包括Max。前一组的上限是后一 组的下限。等距。
仅最后一组段包含下限和上限，其余 各组段只包含下限，不包含上限。
表3-1 162例成年男性血清总胆固醇(mmol/L)频数分布表 组段(mmol/L) (1) 2.70~ 3.05~ 3.40~ 3.75~ 4.10~ 4.45~ 4.80~ 5.15~ 5.50~ 5.85~ 6.20~6.55 合计 频数 (2) 2 3 8 16 27 45 29 18 9 4 1 162 频率(%) (3) 1.23 1.85 4.94 9.88 16.67 27.78 17.90 11.11 5.56 2.47 0.62 100.00 累计频数 (4) 2 5 13 29 56 101 130 148 157 161 162 — 累计频率(%) (5) 1.23 3.09 8.02 17.90 34.57 62.35 80.25 91.36 96.91 99.38 100.00 —
如果类别数较多，先按观察值的顺序 合并成较少的组，再按上法制表。
例3-2 对某地35名大学生作了心理抑郁状况检 査，其检测评分结果分别为：5，5，5，5，4， 4， 4， 3 ， 3 ， 3， 3， 3 ， 2， 2， 2， 2， 2， 2 ， 2， 2， 2， 2 ， 1， 1， 1 ， 1， 1， 1， 1， 0， 0， 0， 0，0。试绘制这 35 名大学生心理抑郁状况的 频数分布表。
计量资料频数分布表编制步骤：
(1)计算全距 (range, R)
R=Max-Min=6.34-2.72=3.62(mmol/L)
(2)确定组段数与组距：
样本量在100左右时，取8 ~15组为宜。
组距 ≈ R / 组段数 本例：R= 3.62，如果取组段数=10， 则组距=3.62/10 =0.362≈0. 35。 实际得到11个不重叠的组段。
P24
图3-4 右偏态分布、左偏态分布示意图
对计量资料来说，频数分布表的作用：
1. 揭示计量资料的分布特征。 2. 描述计量资料分布的集中趋势和离散趋势。 3. 易于发现数据中远离群体数据的离群值。
四、频数分布图的作用 比频数分布表更直观地 揭示数据分布类型。
数据的分布类型： 对称分布 (symmetric distribution)、 偏态分布(skewed distribution)。
第三章 统计描述
第一节 频数分布
一、计量资料的频数分布 1. 频数分布表 2. 频数分布图
例3-1 某医生收集某区162例健康成年男性血清总胆固醇 (mmol/L)资料，测定结果如下，试编制频数分布表。 5.53 4.34 5.60 3.55 4.13 3.93 4.20 4.35 4.31 4.81 5.80 4.08 4.90 4.92 3.94 6.34 4.89 4.16 3.05 4.50 4.48 3.62 4.52 3.97 4.11 4.37 5.26 4.98 2.72 5.39 3.75 3.70 4.94 3.90 6.10 4.56 4.39 4.09 3.76 4.82 4.69 4.02 4.54 3.78 5.33 4.44 4.53 4.50 3.79 4.28 4.53 4.55 5.20 4.49 5.57 4.21 4.88 4.44 4.96 4.70 4.57 4.45 4.33 3.53 4.84 4.10 3.84 5.11 4.45 5.65 4.47 5.01 4.21 4.56 3.89 4.73 4.86 5.10 4.67 5.40 3.22 4.98 3.52 4.11 3.82 3.59 5.02 4.66 5.23 5.05 4.23 4.68 4.90 5.00 4.75 2.96 4.74 4.35 4.71 4.85 5.25 4.25 5.14 4.29 3.39 4.72 3.43 5.08 5.17 4.96 5.21 4.27 6.12 4.91 5.43 4.93 4.87 4.46 4.26 4.76 4.69 4.79 5.22 4.61 4.78 4.24 4.51 4.71 4.56 3.86 4.45 5.29 4.50 4.72 4.00 4.54 4.20 5.30 5.18 5.73 4.97 4.66 5.49 4.37 5.34 4.68 3.66 4.38 5.41 4.53 5.07 4.78 4.69 4.71 5.03 5.37 5.68 5.83 5.93 4.62 6.01 5.77
2. 计数资料和等级资料的频数分布图 条图 (bar chart)
图3-2 120名大学生性别的频数分布图
P25
图3-3 35名大学生心理抑郁状况的频数分布图
P25
三、频数分布表的作用
对计数资料和等级资料来说，频数分布 表淸楚地显示了各分类观察值出现的频 率大小，为资料的描述提供了数据基本 特征，便于作进一步的统计推断分析。
解：表3-3给出的是35名大学生心理抑郁状况 的频数分布表。
表3-3 35名大学生心理抑郁状况的频数分布表
心理抑郁状况分组 正常组(0或1) 临界值(2或3) 抑郁组(4或5) 合计 频数 12 15 8 35 频率(%) 34.28 42.86 22.86 100.00 累计频数 12 27 35 — 累计频率(%) 34.28 77.14 100.00 —
偏态分布： 右偏态分布(right-skewed distribution) 、 正偏态分布(positive-skewed distribution)； 左偏态分布(left-skewed distribution)、 负偏态分布(negative-skewed distribution)。
图3-1 162例健康成年男性血清总胆固醇频数分布图
直接计算各观察值的频数、频率、
累计频数和累计频率，列于表中。
表3-2 120名大学生性别的频数分布表
性别 男 女 合计 频数 50 70 120 频率(%) 41.67 58.33 100.00 累计频数 50 120 — 累计频率(%) 41.67 100.00 —
等级资料：
如果类别数不多，按计数资料频数分 布表的方法编制，再按照取值的顺序 列在一个表中。