直角三角形 公开课
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解直角三角形公开课教案
课程目标与要求
01
知识目标
掌握直角三角形的定义、性质 及解法。
02
能力目标
能够运用所学知识解决与直角 三角形相关的问题。
03
情感目标
培养学生对数学的兴趣和热爱 ，提高学生的数学素养。
教学方法与手段
01
教学方法
讲授法、讨论法、练习法。
02
教学手段
多媒体辅助教学、实物展示、板书演示等。
02
直角三角形基础知识回顾
解答：由$sin A = frac{BC}{AB}$得 ，$AB = frac{AC}{sin A} = frac{4}{sin 60^circ} = frac{8sqrt{3}}{3}cm$。又因为$cos A = frac{AC}{AB}$，所以$BC = AB times cos A = frac{8sqrt{3}}{3} times cos 60^circ = frac{4sqrt{3}}{3}cm$。最后，由直 角三角形内角和为$180^circ$得， $angle B = 180^circ - 90^circ 60^circ = 30^circ$。
锐角三角函数等。
解直角三角形的方法
02
掌握利用已知元素求解未知元素的方法，包括使用正弦、余弦
、正切等三角函数。
实际应用
03
了解解直角三角形在实际问题中的应用，如测量、航海、工程
等领域。
学生自我评价报告
知识掌握情况
学生能够准确理解解直角三角形的相关概念和方 法，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
学习态度和习惯
要点二
分析
此题考查了勾股定理和锐角三角函数 的定义。首先利用勾股定理求出AC的 长度，再利用锐角三角函数的定义求 出$angle A$和$angle B$的度数。
直角三角形的射影定理公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
直角三角形射影定理
第1页
直角三角形
• 你知道直角三角形哪些性质? • 1.勾股定理: • 2.斜边上中线=斜边二分之一; • 3.外接圆圆心是斜边中点.
• 尚有什么性质?
第2页
C
A
DB
如图,CD是 RtABC斜边AB高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，
CD是斜边上高
AD是直角边AC在斜边AB上射影, BD是直角边BC在斜边AB上射影。
E
DEAC
CD 2
CE
CA
A
D
B
CDAB DFCE B CCA
CD 2 CF CB
CF
CB CE
CF
CB CA
ECF BCA
CEF ∽ CBA.
第13页
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
第12页
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一:
CDAB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
第5页
直角三角形中,斜边上高线是两条 直角边在斜边上射影百分比中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上射影和斜边百分比中项.
这就是射影定理
第6页
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB百分比中项。
BC是BD,AB百分比中项。
CD是BD,AD百分比中项。
第1页
直角三角形
• 你知道直角三角形哪些性质? • 1.勾股定理: • 2.斜边上中线=斜边二分之一; • 3.外接圆圆心是斜边中点.
• 尚有什么性质?
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C
A
DB
如图,CD是 RtABC斜边AB高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，
CD是斜边上高
AD是直角边AC在斜边AB上射影, BD是直角边BC在斜边AB上射影。
E
DEAC
CD 2
CE
CA
A
D
B
CDAB DFCE B CCA
CD 2 CF CB
CF
CB CE
CF
CB CA
ECF BCA
CEF ∽ CBA.
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F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
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例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一:
CDAB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
第5页
直角三角形中,斜边上高线是两条 直角边在斜边上射影百分比中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上射影和斜边百分比中项.
这就是射影定理
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在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB百分比中项。
BC是BD,AB百分比中项。
CD是BD,AD百分比中项。
解直角三角形的应用仰角与俯角问题公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
A
D xF
30°
C
Ex B
P α β
归纳与提升
P
450
O P
O
45°
B
30°
A C
30°
B
450
45°
O
A
30°60° A
45° 22000米 45°
B
P 45°°
3300°°
202000米
D
O
B
3 450)m.
B
A
4. 两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50米，
从AB旳顶点B测得CD旳顶部D旳仰角β＝300,
测得其底部C旳俯角a＝600, 求两座建筑物AB 及CD旳高.
30° 60°
50米
（第 2 题）
合作与探究
变题2：如图，直升飞机在高为200米旳大楼AB
左侧P点处，测得大楼旳顶部仰角为45°,测得
大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间旳水
平距离.
A
答案: (300 100 3) 米
P 45°
30°
O
200米 D
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米旳大楼AB上 方P点处，从大楼旳顶部和底部测得飞机旳仰 角为30°和45°，求飞机旳高度PO .
P
答案: (100 3 300) 米
O
=300 1.20
图3019.4.4
2、建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m旳D 处观察旗杆顶部A旳仰角为60°,观察底部B旳仰 角为45°,求旗杆旳高度
A
B
D 40 C
1、在山脚C处测得山顶A旳仰角为45°。问 题如下： 1）沿着水平地面对前300米到达D点，在D点 测得山顶A旳仰角为600 , 求山高AB。
D xF
30°
C
Ex B
P α β
归纳与提升
P
450
O P
O
45°
B
30°
A C
30°
B
450
45°
O
A
30°60° A
45° 22000米 45°
B
P 45°°
3300°°
202000米
D
O
B
3 450)m.
B
A
4. 两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50米，
从AB旳顶点B测得CD旳顶部D旳仰角β＝300,
测得其底部C旳俯角a＝600, 求两座建筑物AB 及CD旳高.
30° 60°
50米
（第 2 题）
合作与探究
变题2：如图，直升飞机在高为200米旳大楼AB
左侧P点处，测得大楼旳顶部仰角为45°,测得
大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间旳水
平距离.
A
答案: (300 100 3) 米
P 45°
30°
O
200米 D
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米旳大楼AB上 方P点处，从大楼旳顶部和底部测得飞机旳仰 角为30°和45°，求飞机旳高度PO .
P
答案: (100 3 300) 米
O
=300 1.20
图3019.4.4
2、建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m旳D 处观察旗杆顶部A旳仰角为60°,观察底部B旳仰 角为45°,求旗杆旳高度
A
B
D 40 C
1、在山脚C处测得山顶A旳仰角为45°。问 题如下： 1）沿着水平地面对前300米到达D点，在D点 测得山顶A旳仰角为600 , 求山高AB。
新湘教版八年级数学下册第直角三角形的性质和判定名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
BD
=
AD
∴ △ABC是直角三角形
A D
(三角形一边上旳中线等于这条边
旳二分之一旳三角形是直角三角形)
C
B
练习
1.在Rt△ABC中，斜边上旳中线CD=2.5cm，则斜边AB旳长是多少？
解：AB=2CD=5cm
2.如图，AB//CD，∠CAB和∠ACD旳平分线相交于H点，E为AC旳中
点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为何？若是，求出AC旳长。
即∠A+∠B+∠1+∠2=180°
∴ 2(∠A+∠B)=180° ∴ ∠A+∠B =90°
∴△ABC是直角三角形
( 有两个角互余旳三角形是直角三角形 )
结论 直角三角形旳鉴定定理3：
在一种三角形中，假如一边上旳中线等于这 条边旳二分之一，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言表达：
∵
CD
1 2
AB
=
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D是斜边AB旳中
点，连结CD, 求证：CD 1 AB
C
2 ∴△ACD≌ △BED（SAS）
∴AC=EB，
∴∠ACD=∠DEB， ∴AC//EB，
A D
∵∠ACB=900， ∴∠CBE=900， 在△ACB和 △EBC中:
B BC=BC，
把原直角三角形提成 面积相等旳两个等腰三角形.
例1：如图，已知：CD是△ABC旳AB边上旳中线，
且CD=
1 2
AB，求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵
CD
1 2
AB
=
BD
=
AD
∴ ∠1=∠A
∠2=∠B （ 等边对等角 ）
中学优质公开课教学课件精选直角三角形的性质与判定
∵AC2+BC2=AB2 (已知),
A′C′=AC,B′C′=BC (作图),
B′
∴ AB2=A′B′2 ∴ AB=A′B′
(等式性质). (等式性质).
c a
∴ △ABC≌ △A′B′C′ (SSS).
C′
b
∴ ∠C=∠C′＝ 90° (全等三角形的对应角角形 (直角三角形意义).
A
A′
观察刚才两个命题, 它们的条件与结论 之间有怎样的关系? 与同伴交流.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那 么这个三角形是直角三角形.
再观察下面三组命题:
如果两个角是对顶角, 那么它们相等, 如果两个角相等, 那么它们是对顶角;
如果小明患了肺炎, 那么他一定会发烧, 如果小明发烧, 那么他一定患了肺炎;
观察这两个定理你能分别 指出它的条件和结论吗？ （积分抢答）
（性质）定理：直角三角形的两个锐角互余.
（判定）定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
这是从角的角度研究直角三角形的性质 和判定，那从边的角度研究都有哪些定 理呢？
直角三角形中的勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c， 那么a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理
（pythagoras theorem）.
c a
弦 勾
b
股
你能分别指出它的条件和结论吗？
你会证明勾股定理吗？回忆一下都有 哪些方法？条件作为已知，结论作为 求证。
勾股定理的证明有很多方法，例如拼图计算、 割补法、赵爽的弦图、总统证法、青朱出入图、 折纸法、拼图计算等，下面我们来回忆其中一个 的“总统证法”.
直角三角形的性质和判定公开课获奖课件
鉴定定理2: 一边上中线等于这一边二 分之一三角形是直角三角形。
第3页
鉴定定理: 一边上中线等于这一边二分 之一三角形是直角三角形。
∵点D为边AB中点
且CD= 1 AB
A
2
∴ △ABC是直角三角形
D
∵CD=AD=BD
∴ △ABC是直角三角形 C 且∠ACB=90o
B
第4页
第5页
=90º，若∠A=30º 那么BC与斜边AB有什么关系呢？
第19页
第1页
我所掌握知识:
直角三角形性质定理1:
直角三角形两个锐角互余。
C
性质定理2:
在直角三角形中，
A
B
斜边上中线等于斜边二分之一。 D
直角三角形鉴定定理1:
有两个锐角互余三角形是直角三角形。
第2页
例题：如图，已知CD是△ABC AB边上中线，且CD＝ 1AB
2A
求证： △ABC是直角三角形
D
2
B
1C
DB
第13页
知识应用
解: 航行过程中，假如与A岛距离一直不小于20海 里，就没有触礁危险.
过A作AD⊥OB，垂足为D.
在Rt△AOD中，AO= 30 3 海里，∠AOD=30º.
则 AD = 1 AO
西
2
= 1×30 3 2
≈25.98＞20
A
30 3
60º
东
因此, 没有触礁危险.
O
DB
第14页
练一练
取线段AB中点D，连接CD，
即CD是Rt△ABC斜边上中线.
则CD=AD=BD.
C
又∠A+∠B=90º，且∠A=30º，
解直角三角形公开课ppt课件
综合应用举例
具体步骤
根据实际问题建立直角三角形模型，确定已知条件和所求量。然后选择合适的解 法（如已知两边求角、已知两角求边等）进行计算，得出结果并进行检验。
注意事项
在综合应用过程中，需要注意实际问题的背景和限制条件，以及计算结果的合理 性和准确性。同时，还需要掌握多种解法，以便灵活应对不同的问题和情况。
已知两角求边
具体步骤
设已知的两个锐角为α和β，其中α为与已知边相邻的角，β为另一个锐角。则 可以利用正弦函数sin(α) = a/c或余弦函数cos(α) = b/c求解边长a或b，其中c 为斜边。
注意事项
在求解过程中，需要注意角度的单位和范围，以及正弦和余弦函数在不同象限 的正负性。同时，还需要注意已知边与所求边之间的关系，避免出错。
直角三角形两直角边互相 垂直，且斜边是直角边的 平方和的平方根。
直角三角形的元素
包括直角边、斜边和两个 锐角。
解直角三角形的意义
解决实际问题
解直角三角形可以帮助我们解决很多 实际问题，如测量、航海、建筑等。
培养数学思维
为后续学习打下基础
解直角三角形是学习数学的基础，对 于后续学习三角函数、解析几何等具 有重要意义。
力学问题中的解直角三角形
力的分解与合成
在力学中，经常需要将一个力分解为两个或多个分力，或 将多个分力合成为一个力，这时可以利用直角三角形的性 质和三角函数进行计算。
运动学中的问题
在研究物体的运动轨迹、速度、加速度等问题时，可以利 用直角三角形的性质进行求解，如抛物线运动、圆周运动 等。
动力学中的问题
定义、性质、三角函数定义和应用的理解程度等。
学习困难与问题反馈
02
鼓励学生反馈在学习过程中遇到的困难和问题，以便教师及时
数学八年级下册直角三角形说课稿市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
今天学习了线段的垂直平分线性质、判断定理， 你能由此联想到前面学过的什么知识与这类似吗？
角平分线
线段的垂直平分线
M P
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等。
定理2 到一种角的两边的距离相等 的点，在这个角的平分线上。
１、线段垂直平分线的性质定理 和逆定理
２、与角平分线的性质比较
鉴定定理 和一条线段两个端点距离
相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。
角的平分线是到角的两边距离 线段的垂直平分线能够看作是和线段
相等的全部点的集合
两个端点距离相等的全部点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
例２、如图ＡＢ＝ＡＣ，ＭＢ＝ＭＣ，直
线ＡＭ是线段ＢＣ的垂直平分线吗？如果是， 请证明你的结论？
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离 相等
和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直 平分线上
PA=PB
三、 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线能够看作是和线段两个
端点距离相等的全部点的集合
鉴定定理
和一条线段两个端 点距离相等的点,在 这条线段的垂直平 分线上.
2、如图Ｐ是∠ＡＯＢ平分线上一点，ＰＣ⊥ＯＡ， ＰＤ⊥ＯＢ，垂足分别为Ｃ，Ｄ （１）∠ＰＣＤ＝∠ＰＤＣ吗？为什么？ （２）ＯＰ是ＣＤ的垂直平分线吗？为什么？
如图,已知:AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到AOB两边的 距离相等,并且满足PM=PN.
A
.N
. .M P 点P为所求
作的点
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M
QP
N
(1)可得比例式__MP MN_, 等积式_MP2=MN×N_P
5 -1
3- 5
(2)若MN=1, 则MP=_ 2__ , NP= __2__
PQ=_ 5__2_
(3)若MN=10cm, 则MP= (5 5 - 5 )cm , NP= (15 - 5 5) cm_ (4)若MN=a, 则 MP=__5_2-_1_a_,NP=_3_-2__5_a_.
定义
短长 长全
一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,
如果
BP AP
=
AP AB
，那么称线段AB被点P黄金分割,
点P叫做线段AB的黄金分割点. A
P
B
AP与AB的比叫做黄金比.
好好想一想 黄金比是多少？你是怎样得到的？
看谁答的对
如图,点P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP),
●●
NP MP
-160
A
D
B
C
布置作业
必做题： 1.助学104-105页自主评价 2.设计一双最适合妈妈身高的高跟鞋.
选做题：课本95页读一读部分.
艺术大师罗丹说过: 到处都是美，对于我们的眼睛，不是缺
少美，而是缺少发现。
古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：
“凡是美的东西，都具有共同的特征， 这就是部分与部分以及部分与整体之间的 协调一致.”
4.4 探索三角形相似的条件 —— 黄金分割
学习目标 1.掌握黄金分割的定义和黄金比值，会用一 条线段的黄金分割来解决一些实际问题. 2.了解黄金分割的意义，认识数学与人类生 活的密切联系及对人类历史发展的作用，建 立健康良好的审美观.
一起来分析
借助课本96页想一想的内容，解决相应问题.
巴台农神庙
A
E
B
D
F
C一起来分析A NhomakorabeaBCA
E
B
证明黄金分割点的方法：
D
F
C
短长
长 全 或 长²=全×短
长 全
5 -1 2
用心说一说 本节课你有哪些收获和体会呢？
达标检测 1. C 2. A 3.（30﹣10 )m 4. 40 -40， 80