1 绝对值与根式(学生版)
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(2)如果a,b都是正数,就称 a b 为a,b的算术平均,
2
a b 为a,b的几何平均.于是,基本不等式可表述为: 两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的 几何平均.
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(3)定理2的应用:对两个正实数x,y, ①如果它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P 取得最大值; ②如果它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S 取得最小值.
【素养·探】 基本不等式的实际应用题型,体现了直观想象与数学 建模的核心素养. 某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为 6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总 运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.
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x -2
[(2-x) +24 ]
2-x
≤-2
(
2
-
x
)+42=-2,
2-x
当且仅当2-x= 4 ,得x=0或x=4(舍去),即x=0时,
2-x
等号成立.
所以f(x)=x+ 4 的最大值为-2.
x -2
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(2)因为0<x<1 ,所以1-2x>0.
【习练·破】 1.已知a,b,c是不全相等的正数,求证: a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
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第1讲一元二次方程的根与解法学生版
初中数学联赛体系第1讲 一元二次方程的根与解法【知识要点与基本方法】 一、一元二次方程基本概念1、概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的形式的方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须满足的三大条件 （1）整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数为2 3、一元二次方程的一般形式形如关于x 的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax 的形式，（它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零）二、一元二次方程的根与解法1、一元二次方程的根0x x =是方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的根的充要条件是0020=++c bx ax . 2、直接开平方法解一元二次方程：（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2≥=±a a b x 的形式（2）直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,3、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.【注】、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除以a ，使得二次项系数为1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根. 4、公式法解一元二次方程（1）对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(aacb a b x -=+， ①当042≥-ac b 时，得aacb b x 242-±-=；②当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解.（2）公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法.（3）运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：①必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； ②再计算ac b 42-的值：当04Δ2≥-=ac b 时，方程有实数解，其解为：aacb b x 242-±-=；当04Δ2<-=ac b 时，方程无实数解. 5、因式分解解一元二次方程（1）分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.（2）分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b （3）用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解.6、含字母系数一元二次方程的解法解关于含字母系数的方程，要求对每个参数允许值回答：方程是否有解？若有解，写出解集.特别地，当二次项系数含有字母系数时，如果题目本身没有指明时一元二次方程，则必须对二次项系数讨论是否为零.【例1】 1、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． 2、若方程()112=⋅+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . 【例2】1、用分解因式法解下列方程（1）01032=--x x （2）01762=+-x x （3）0625412=-+x x （4）021)1(4)1(2=----x x ． 2、利用求根公式求解下列方程（1） 0222=--x x （2）010342=+-x x（3）()()()()5211313+-=+-x x x x （4）061054422=--++-p x p px x【对应训练】：1、用公式法解下列方程（1）0232=+-x x （2）2212x x -=- （3）x x 3)1(2-=+（4）1(61)432(2)2x x x x ++-=+ （5）023222=--+-n mn m mx x【例3】解下列方程（1）42200x x --=；（2）06)13(2)32(2=----x x ；（3）.02)23()21(2=++-+x x【例4】解下列方程 （1）4122+-=x x（2）112432--=-+x x x【例5】解关于x 的方程 （1）；0)(222=++-ab x b a abx（2）.)1()1()232(22222b x x ab a x x -=+---【例6】1、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 .2、设b a 、是整数，方程02=++b ax x 有一个根是347-，则=+b a .3、已知02=++c bx ax )0(≠ac 有一个根是3，则方程02=++a bx cx 一定有一个根是 ，方程02=+-a bx cx 一定有一个根是 .4、已知两数积1≠ab ，且03123456789022=++a a ，02123456789032=++b b ，则=ba【例7】已知方程p x x =--)97)(19(有实根21,r r ，试求方程p r x r x -=--))((21的最小实根.【例8】求k 的值，使得两个一元二次方程0)2(,0122=-++=-+k x x kx x 有公共根，并分别求出这两个方程的解集.【例9】对于任意实数,k 方程04)(2)1(2222=++++-+b k k x k a x k 都有实根1，试求另一个根的最大值与最小值.【例10】已知方程)0(2>=++a x c bx ax 的两根21x x 、满足ax x 1021<<<.当10x x <<时，证明：12x c bx ax x <++<.【例11】已知首项系数不相等的两个一元二次方程0)2()2()1(,0)2()2()1(222222=+++--=+++--b b x b x b a a x a x a 有公共根.（1）求证：.2++=b a ab（2）若b a ,为正整数，求ab ab ba b a --++的值. （3）设0x 为公共根，求证：.048403040>++-x x x【课后强化训练】A 组1、下列方程中，是一元二次方程的序号是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ； ⑨22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax2、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0，有共同的根1-，则a = ，b = .3、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 4、在实数范围内分解因式：=--12x x ；=++-223y xy x5、等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形周长为 6、已知042=+-b x x 的一根的相反数为042=-+b x x 的根，则042=-+bx x 的根是 7、已知0132=+-a a ，那么=++--2219294a a a ___________. 8、方程019991997199822=⋅++x x 的解是 . 9、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba. 10、已知方程(2011x)2－2010·2012x －1＝0的较大根为a ，方程x2＋2010x －2011＝0的较小根为b ，则a －b ＝__________．11、方程0672=+-x x ，各根的和是 .12、若31028-是方程02=++b ax x 的一个根（其中b a 、是有理数），则ab 的值是 . 13、用公式法解下列各方程（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x（3）08242=+-x x （4）4)3)(12(=--x x（5）02)82(42=++-y y （6）02322=--x x（7）)3)(21()12(5+-=-x x x14、用因式分解法解下列方程：（1）t (2t －1)＝3(2t －1)； （2）y 2＋7y ＋6＝0；（3）y 2－15＝2y （4）(2x －1)(x －1)＝1．（5）)3)(21()12(5+-=-x x x （6）10x 2－x －3＝015、解下列方程（1）0)34()45(22=---x x ； （2）06)23(2=++-x x ；（3）0154)35(222=----x x ； （4）02)32()347(2=----x x ；（5）629332+=-+++x x x x .16、已知两个二次方程02=++b ax x ，02=++d cx x 有一个公共根1，求证：二次方程0222=++++db xc a x 也有一个根为1.17、求方程072=--kx x 与()0162=+--k x x 的公共根.B 组1、已知c b 、为方程02=++c bx x 的两个根，且0≠c ，c b ≠.则c b 、的值分别是 、2、已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b c ++的值是3、关于x 的方程1)12(62++-=m x m x 有一根α，满足不等式：19981998≤≤-α，且使得α53为整数，则m 可取 个值.4、已知02=++c bx ax 的两根和为1S ，两根平方和为2S ，两根立方根为3S ，则123cS bS aS ++的值是5、已知1=x 是方程02=++c bx ax 的根，0≠abc .则)111(32333222cb ac b a c b a +++++++的值是 .6、（2012湖北随州）设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab ，52213⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 .7、解下列关于x 的方程（1）03222=-+m x m x ； （2）0))()((=+++++++abc b a x a c x c b x ；（3）)0(0)(33442≠=++-ab b a x b a abx ；（4）0)3(2)1(2=+--+m x m x m ；（5）02)5(522=--+-x m x m ）（.8、已知下面三个方程有公共根.02=++c bx ax ，02=++a cx bx ， 02=++b ax cx .求证：abc c b a 3333=++.9、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a 的取值范围.10、若21q q 、是方程02=++b ax x 的两个实根，且0,21≠≠b q q .又21c c 、是任意两个实数，则n n n q c q c x 2211+=是方程021=++--n n n bx ax x 的解.11、设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .初中数学联赛体系第2讲 可化为一元二次方程的方程（组）模块一、特殊高次方程的解法次数超过2的整式方程称为高次方程.一般地高次方程没有统一的求解方法.对于一些特殊的高次方程，可通过降次，转化为一元二次方程或一元一次方程求解.转化的方法有因式分解法、换元法、变换主元法等.【例1】解下列方程（1）13322)132(222+-=+-x x x x（2）222222)143()352()2(+-=+-+-+x x x x x x（3）.3123=--x x x（4）.022224223=-+++x x x（5）062536506650362562345678=+-+-+-+-x x x x x x x x【例2】解方程.02)65(2)11(2102234=++++---a a x a x a x x 其中a 是常数.【例3】方程02=++b ax x 有两个不同的实数根.求证：方程01)2(234=+--++ax x b ax x 有4个不同的实数根.模块二、特殊分式方程的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程，求解分式方程总的原则是通过去分母或换元，时期转化为整式方程，然后再求解.在这个过程中离不开分式的恒等变形，如通分、约分及降低分子的次数等等，这就有可能使未知数的范围扩大（或缩小），从而使方程产生增根（或遗根），因此，当未知数的范围扩大时，需验根。
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二次根式一、本章知识提练整理二、典型例题 例1. 如果2y =，则2x y +=_______.例2. 已知数a ，b －a ，则 ( ) A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b例3. =a 的取值范围是___________.例4. 若|1|a b -+互为相反数，则=+2004)b a (_______。
例5. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. B. C. D. 例6. 在实数范围内分解因式。
（1）3x 42-；（2）4y 94-例7. 比较下列数值的大小。
（1） 3.4554与；（2）225103++与例8. 6的整数部分是_________，小数部分是________。
例9. 计算：（1）10)21()2006(|3|12-+---+；（2）3|3|)15(201--+-+-；（3）2818)212(2--+⨯；（4）02)36(|221|8)3(----+--； （5）计算：)13(8121-+-+；（6）计算：21122-++（7）计算：)3223)(3223(1313+---+；（8）计算：211)223(23822+--+⨯-（9）计算：11322572767311145+-----++-（10）计算：32a a 9a3a--+例10. 观察下列各式及其验证过程：=验证：====；= ====.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例11. 已知15a21231321211-=+++++++，则a =_________例12. 2.三、同步练习21.1 二次根式：1. 使式子有意义的条件是 。
2. 当__________3. 若11m +有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 时，是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
第1课时：《二次根式》知识点总结复习(学生版)
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。
2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
初高中衔接教材教案第3讲绝对值与二次根式
绝对值与二次根式一、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1、（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.例2、下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±例3、化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．例4（关键在于如何去掉绝对值符号）解法1：利用绝对值的定义解法2：利用平方法解法3：利用绝对值的性质①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<；练习：解不等式1） 2(3－|x|)≥|x|＋2）|x ＋1|＞2－x ．解法4：零点分区间讨论 练习：解不等式1）|x －5|－|2x ＋3|＜1解法5：图象法 例5 解不等式：13x x -+-＞4．练习：解不等式 235x x -+->练习：（1）|8－3x|＞0（2）|2x －1|＜2m －1(m ∈R)（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x（4）125x x +++<；二、二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而21x +，22x y + 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式， 一般地与，b 与b 互为有理化因式．2．二次根式a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1、将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．例3 试比较下列各组数的大小：（1）； （2.解： （11===，1===，又>∴．（2）∵1=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴例4 化简：（1（21)x <<．解：（1）原式===2=2=． （2）原式1x x =-， ∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-． 练 习1．（1）＝__ ___；（2）若(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若2x ==______ __．（5）1819(2(2+＝________；（62=，则a 的取值范围是________；（7）++=_______2．等式= （） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若b =a b +的值．4．比较大小：2．5．已知：1,2x =的值．6.计算 （） （A ） （B （C ） （D ）。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
绝对值与二次根式-
第二讲 绝对值与二次根式【基础知识】 一、绝对值1、绝对值代数定义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。
有时也可以记为：(0)(___0)||(0)(___0)a a a a a a a a a ≥⎧⎧=⎨⎨-<-⎩⎩或者 2、绝对值几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作|a|.如：|-2|表示-2的点到原点的距离；|x|则是在数轴上表示x 的点到原点的距离。
那么|x-1|表示在数轴上(x-1)的点到原点的距离.显然绝对值是非负数，即||0a ≥ 3、绝对值的基本性质：(1)任何一个数的绝对值一定是非负数，即 |a|≥0；(2)若干个非负数的和为零，则每个非负数为零；|a|+|b|+|c|=0，则a=0且b=0且c=0 (3)互为相反数的绝对值相等，即|a|=|-a|(4)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥ a ；|x||-2||x-1|1O-1-2x-1x(5)任何一个数都有唯一的绝对值； (6)绝对值最小的数是零；(7)两个互为相反数的数的绝对值相等，即 |a|=|-a|；(8)绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数。
绝对值为零的数只有一个零；(9)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.即||||0a b a b a b =⇒=+=或二、二次根式1、二次根式的定义：式子(0)a a ≥叫做二次根式。
2、二次根式的性质： (1)2(0)||(0)a a a a a a≥⎧==⎨-<⎩ (2)0a ≥(3)2()(0)a a a =≥(4)(0,0)ab a b a b =≥≥；(0,0)a a a b b b=≥> (5)0a b a b >⇔>≥ 【典型例题】 一、化简求值例1计算下列各式的值:①|3|π-；②02(1sin 60)-；③2|1|x x -+;解: ①∵3<π,即3-π<0,∴|3|π-=π-3;②02(1sin 60)-=033|1sin 60||1|122-=-=-.③22131()44x x x x -+=-++213()024x =-+> 所以22|1|1x x x x -+=-+注: ①化简主要是去绝对值符号, 要去绝对值符号,就得讨论绝对值里面的数或式是正还是负.②对于含有字母的代数式不一定要分类讨论,二次三项式往往采用“配方法”来判断是不是一个非负数. “配方法”是一种重要的数学方法. 例2 化简2||2x x +-解:当x<0时, 2||2x x +-=22x x -- 当x>0时, 2||2x x +-=22x x +-所以2222(0)||22(0)x x x x x x x x ⎧--<+-=⎨+-≥⎩注:x 的符号可“+”可“-”，还可以为“0”，因此，应该对x 进行分类讨论；最后应该有小结，就是把两种结果写在一起，使书写规范.例3 化简222692144x x x x x x +++-++-+ 解:原式=222(3)(1)(2)x x x +++--|3||1||2|x x x =++-+-以下利用零点区间讨论法,显然零值点有-3，1，2三点. 当x ≤-3时,原式=(-x-3)+(1-x)+(2-x)=-3x 当-3<x ≤1时, 原式=(x+3)+(1-x)+(2-x)=-x+6当1<x ≤2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(2-x)=x+4 当x>2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x综上所述，原式= 3(3)6(31)4(12)3(2)x x x x x x x x -≤-⎧⎪-+-<≤⎪⎨+<≤⎪⎪>⎩注: 零点区间讨论法是一种重要的数学方法.例4 化简 ||x-1|-2|+|x+1|解:先找零点：|1|01 |1|201|1|01x xx xx x-==⎧⎧⎪⎪--=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩或3所以零值点有－1，1，3三点，因此，我们应将数轴分成4部分．当x<-1时，原式=|-(x-1)-2|+[-(x+1)]=|-x-1|-x-1=-x-1-x-1=-2x-2当-1≤x≤1时,原式=|-(x-1)-2|+x+1=|-x-1|+x+1=x+1+x+1=2x+2当1≤ｘ＜3时，原式=||x-1|-2|+x+1=|x-3|+ x+1=3-x+x+1=4 当ｘ≥3时，原式=|x-1-2|+x+1=|x-3|+x+1=x-3+x+1=2x-2综上所述，原式＝22(1) 22(11) 4(13) 22(3)x xx xxx x--<-⎧⎪+-≤<⎪⎨≤<⎪⎪-≥⎩注: ①本题条件没有给出绝对值符号内的代数式的正负性，应采用零点区间讨论法．须注意的是本题含双重绝对值，应注意考虑||x-1|-2|的零点．②“分类讨论”是一种非常重要的数学思想, 绝对值问题经常采用这种数学思想.二、条件化简求值例5 化简2(3)|4|(34) x x x-+-<<解：因为3<x<4,所以x-3>0,x-4<0,所以原式= x-3+4-x=1.例6已知x＜-3，化简：|3+|2-|1+x|||．解 :原式=｜3+｜2+(1+x)|| (因为1+x＜0)=｜3+｜3+x||=｜3-(3+x)｜ (因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．注: ①这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号；②充分利用已知条件,是解决例5例6的关键,正确运用绝对值的概念是解决例5例6根本.例7 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜.解：观察数轴得：a<0,b<0,c>0且|a|>|b|>|c|, 所以b-a>0,a+c<0,c-b>0 故｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜ =(b-a)+(-a-c)+(c-b) =-2a注:解决本题充分利用了“数”与“形”的结合.“数形结合”又是数学中的重要数学思想. 例8 已知24|34|0:x x y x y -+-+=，求值.解:由非负数的意义得:2402:1:13402x x x y x y y -==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨-+==⎩⎩.例9 已知212005|1|04x y x ++-+=，求2008200520052y x +⨯的值. 解: 212005|1|04x y x ++-+=20051()2005|1|02x y ⇒-++=10210x y ⎧-=⎪⇒⎨⎪+=⎩ 121x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=-⎩20082005200520082005200512(1)2()1122y x ⇒+⨯=-+⨯=+=注:非负数的和为0，那么每个非负数都应为0，你能证明吗？初中常见的非负数有哪些？例10 方程|||1|0xy x y +-+=的图象是（ ）（A ）三条直线：x=0，y=0，x-y+1=0 （B ）两条直线： x=0，x-y+1=0 （C ）一点和一条直线：(0,0)，x-y+1=0 （D ）两个点：(0,1)，(-1,0)Ob ac解:由已知，根据非负数的性质，得010xy x y =⎧⎨-+=⎩即010x x y =⎧⎨-+=⎩或010y x y =⎧⎨-+=⎩解之得：01x y =⎧⎨=⎩或10x y =-⎧⎨=⎩故原方程的图象为两个点：(0,1)，(-1,0).注:利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决.例11 实数a 满足||01a a a +=≠-，， 那么||1|1|a a -=+ .解:由||01a a a +=≠-，， 可得 0a ≤且1a ≠- 当1a <- 时，||111|1|(1)a a a a ---==+-+；当10a -<≤ 时，||111|1|1a a a a ---==-++.所以1(1)||11(10)|1|a a a a <-⎧-=⎨--<≤+⎩注: ①有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论.②若|a|=a ，则a 0；若|a|=-a,则a 0；如果2(2)2x x -=-，则x 0. ③在解决有关数学问题时，经常采用“逆向思维”. 三、求最大（小）值例12 式子|1||2||3|x x x ++-+-的最小值是_________。
二次根式的化简及计算(学生基础版)教案
二次根式的化简及计算(学生基础版)教案第一章：二次根式的概念与性质1.1 引入二次根式的概念，让学生了解二次根式是由二次方程的根演变而来的数学表达式。
1.2 解释二次根式的性质，包括：a) 二次根式中的被开方数必须是非负数；b) 二次根式具有非负性、非负数的乘除法性质；c) 二次根式可以进行乘除运算，乘除运算规则与整数相同。
第二章：二次根式的化简2.1 介绍二次根式化简的方法和步骤：a) 提取二次根式中的最大公因数；b) 将二次根式中的括号展开；c) 合并同类项。
2.2 进行几个简单的例子，让学生熟悉化简方法。
第三章：二次根式的加减法运算3.1 讲解二次根式加减法的运算规则：a) 确保二次根式中的被开方数相同；b) 将同类二次根式相加减；c) 化简结果，确保最简二次根式形式。
3.2 进行几个具体的例子，让学生掌握二次根式的加减法运算。
第四章：二次根式的乘除法运算4.1 讲解二次根式乘除法的运算规则：a) 将二次根式相乘除，确保被开方数相乘除；b) 化简结果，确保最简二次根式形式。
4.2 进行几个具体的例子，让学生掌握二次根式的乘除法运算。
第五章：二次根式的实际应用5.1 引入二次根式在实际问题中的应用，例如：计算物体的体积、面积等。
5.2 进行几个具体的实际应用例子，让学生了解二次根式在实际问题中的应用方法和步骤。
第六章：含绝对值的二次根式6.1 引入绝对值的概念，并解释绝对值与二次根式的关系。
6.2 讲解如何处理含绝对值的二次根式，包括：a) 分析绝对值内的表达式正负，确定二次根式的性质；b) 利用绝对值的性质进行化简和运算。
6.3 进行几个例子，让学生掌握处理含绝对值的二次根式的方法。
第七章：含指数的二次根式7.1 引入指数的概念，并解释指数与二次根式的关系。
7.2 讲解如何处理含指数的二次根式，包括：a) 将指数形式转换为根式形式；b) 利用指数的性质进行化简和运算。
7.3 进行几个例子，让学生掌握处理含指数的二次根式的方法。
初二数学：及其运算3绝对值学习指导素材北师大版
《绝对值》学习指导一、学习要点学习目标1.借助数轴，理解相反数和绝对值的概念.2.知道a的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系.3.能求一个数的绝对值和相反数，会利用绝对值比较两个负数的大小.4.通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.难点：a的含义，负数的大小比较.考点：本节是中考命题特点：（1）相反数的概念；（2）利用绝对值的意义求一个数的绝对值；（3）绝对值非负数性的应用；（4）利用绝对值比较两个负数的大小.相关知识链接数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大，正数大于0，负数小于0，正数大于负数.二、学习引导概念探讨3与-3,5与-5，32与32-,0.6与-0.6找出共同点。
如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数（opposite number），也称为这两个数互为相反数.特别地，0的相反数是0.将上面四组数用数轴上的点表示出来.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值（absolute value）.即有+2=2，2=2-.知识应用例1 求下列各数的绝对值：-21，49，0，-7.8,21解：由例题可以得出：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即任何一个数的绝对值都是非负数.动手做一做：在数轴上表示出下列各数，并比较大小：-1.5，-3，-1，-5由“数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大”得出：上面各数的绝对值的大小为： .我们得出：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.例2 比较下列每组数的大小：（1）-1和-5； （2）56-和-2.7. 解：（1）（2）三、预习检测1.下列判断正确的是（ ）A.符号不同的两个数是相反数B.相反数是两个不相等的数C.积为1的两个数互为相反数D.和为零的两个数互为相反数2.若3x =，则x= ；若2x -=，则x= ；若22x -=则x= .3.绝对值最小的有理数是 ，绝对值等于它本身的数是 ，绝对值等于它的相反数的数是 .4.用“>”“<”号填空（1）-5 -4；（2）-（-4）5--；（3）78-89-；（4）π- -3.14.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列各式中，正确的是（ ）A ．32x x x ÷=B ．325x x x +=C ．326x x x ⋅=D ．222(x y)x y +=+ 【答案】A【解析】根据同底数幂的除法、合并同类项法则、同底数幂的乘法及完全平方公式逐一计算可得【详解】解：A 、x 3÷x 2=x ，正确；B 、x 3与x 2不是同类项，不能合并，错误；C 、x 3•x 2=x 5，错误；D 、（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、合并同类项法则、同底数幂的乘法及完全平方公式．2．如果点M 在y 轴的左侧，且在x 轴的上侧，到两坐标轴的距离都是1，则点M 的坐标为( ) A ．(－1,2)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)【答案】C【解析】点M 在y 轴的左侧，且在x 轴的上侧，所以点M 在第二象限，再根据到两坐标轴的距离都是1即可写出坐标.【详解】因为点M 在y 轴的左侧，且在x 轴的上侧，所以点M 在第二象限，因为点M 到两坐标轴的距离都是1，所以点M 的横坐标为－1，纵坐标为1，所以点M 的坐标为(－1,1)．故答案为C【点睛】此题主要考查直角坐标系的点，解题的关键是确定点所在的象限.3．下列事件中，最适合采用全面调查的是（ ）A ．对全国中学生节水意识的调查B ．对某批次灯泡的使用寿命的调查C ．对某个班级全体学生出生日期的调查D．对春节联欢晚会收视率的调查【答案】C【解析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．【详解】A．对全国中学生节水意识的调查适合抽样调查，故此选项不符合题意；B．对某批次灯泡的使用寿命的调查适合抽样调查，故此选项不符合题意；C．对某个班级全体学生出生日期的调查适合普查，故此选项符合题意；D．对春节联欢晚会收视率的调查，范围广适合抽样调查，故此选项不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．小亮每天从家去学校上学行走的路程为900m，某天他从家上学时以每分钟30m的速度行走了一半的路程，为了不迟到，他加快了速度，以每分钟45m的速度走完剩下的路程，则小亮距离学校的路程(m)与他行走的时间(min)之间的函数图象表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据行程，按照路程的一半分段，先慢后快，图象先平后陡．【详解】小亮距离学校的路程(米)应随他行走的时间t(分)的增大而减小，因而选项A.B一定错误；他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，所用时间应是15分钟，因而选项C错误；行走了450米，为了不迟到，他加快了速度，后面一段图象陡一些，选项D正确.故选:D.【点睛】考查函数的图象，解决问题的关键是理解函数图象反应的是哪两个变量之间的关系以及因变量是随着自变量的增大如何变化的.5312的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【答案】C【解析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36−2的范围即可．【详解】解：∵25<31<36,<，即∴5－，即故选:C.【点睛】6．下列说法中正确的是( )A．9的平方根是3 B．4平方根是2±C 4 D．-8的立方根是2±【答案】B【解析】根据算术平方根的定义、平方根的定义、立方根的定义即可作出判断．【详解】解：A、9的平方根是±3，故选项错误；B、4的平方根是±2，故选项正确；C2，故选项错误；D、-8的立方根是-2，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作a≥0）；也考查了立方根的定义．7．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查B．对七里花园社区每天丢弃塑料袋数量的调查C．对宜城市辖区内汉江流域水质情况的调查D．对宜城电视台“宜城记忆”栏目收视率的调查【答案】A【解析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可【详解】A. 对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查，适合普查，，故A符合题意；B. 对七里花园社区每天丢弃塑料袋数量的调查调查范围广适合抽样调查，故B不符合题意；C. 对宜城市辖区内汉江流域水质情况的调查无法普查，故C不符合题意；D. 对宜城电视台“宜城记忆”栏目收视率的调查调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意；故选：A【点睛】此题考查全面调查与抽样调查，解题关键在于掌握其性质8．一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为7,如果这个两位数加上45则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是（）A．61 B．16 C．52 D．25【答案】B【解析】先设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x，7-x，根据“如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数”列出方程，求出这个两位数．【详解】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为7−x，由题意列方程得,10x+7−x+45=10(7−x)+x，解得x=1，则7−x=7−1=6，故这个两位数为16.故选B.【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程.9小的数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】判断二次根式的大小，先平方得6，在找到相近的平方数，的取值范围，即可解题.【详解】∵26=，469＜＜，∴23 ，小的数是2，故选：A ．【点睛】求二次根式的取值范围可利用平方后找到相近的平方数，再将平方数开方即可.10．计算（a 2）3，正确结果是（ ）A ．a 5B ．a 6C ．a 8D ．a 9【答案】B【解析】由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a 2）3=a 2×3=a 1．故选B ．二、填空题题11．=_____________.【答案】0【解析】先化简得到，再进行有理数的加减运算即可得到答案.【详解】==0.【点睛】本题考查绝对值和二次根式的加减，解题的关键是掌握绝对值的化简和二次根式的加减运算法则. 12．已知二元一次方程25x y +=-，当x 满足______，y 的值是大于-1的负数.【答案】53x -<<- 【解析】先求出52xy +=-，然后根据y 的值是大于-1的负数，列不等式求解．【详解】解：由x+2y=-5得，52xy +=- 由题意得，5102x+-<-<解得：-5＜x ＜-1．故答案为：-5＜x ＜-1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（1）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．13．若x＝1是方程ax+2x＝3的解，则a的值是_____．【答案】1【解析】把x＝1代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程即可求解．【详解】解：把x＝1代入方程，得：a+2＝3，解得：a＝1．故答案是：1．【点睛】考核知识点：解一元一次方程.掌握方程一般解法是关键.14．某商品的标价比进价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足__________．【答案】100100m nm ≤+【解析】设进价为a元，由题意可得：a（1+m%）（1-n%）-a≥0，则（1+m%）（1-n%）-1≥0，整理得：100n+mn≤100m，所以，n≤100100mm+．点睛：本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等关系，列出不等式是解题的关键．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM⊥AB于M，若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是_____．【答案】90【解析】由三角形内角平分线的性质，可得点O到三边的距离都等于OM的长，将△ABC 面积看作3个三角形面积之和，即可得到△ABC的周长.【详解】解：∵点O是三角形三条角平分线的交点，OM⊥AB于点M，∴点O到三边的距离等于OM的长，∵S△ABC＝180，∴12（AB+BC+CA）•OM＝180即12（AB+BC+CA）×4＝180∴AB+BC+CA＝90故答案为90【点睛】本题综合考查三角形内角平分线的性质和三角形的面积计算公式.16．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于E ，D 两点，EC=4，△ABC 的周长为23，则△ABD 的周长为____.【答案】2【解析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC ，AE=CE=4，求出AC=1，AB +BC=2，求出△ABD 的周长为AB +BC ，代入求出即可．【详解】∵AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于E ，D 两点，∴AD=DC ，AE=CE=4，∴AC=1．∵△ABC 的周长为23，∴AB +BC +AC=23，∴AB +BC=23﹣1=2，∴△ABD 的周长为AB +BD +AD=AB +BD +CD=AB +BC=2．故答案为2．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解答此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．17．对于X 、Y 定义一种新运算“¤”:¤X Y aX bY =+,其中a 、b 为常数,等式右边是通常的加法和乘法的运算.已知:1¤16=,2 ()¤19-=,那么2¤3=_____________. 【答案】1【解析】先根据题意列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值，代入代数式进行计算即可．【详解】∵¤X Y aX bY =+，1¤16=,2 ()¤19-=,∴629a b a b +=⎧⎨-=⎩①②，①＋②得，3a ＝15，解得a ＝5；把a ＝5代入①得，5＋b ＝6，解得b ＝1， ∴2¤325+31=⨯⨯＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法是解答此题的关键．三、解答题18．已知关于x、y的二元一次方程y=kx+b的解为21xy=⎧⎨=⎩和13xy=-⎧⎨=⎩，求k，b的值，以及当x=6时，y的值.【答案】2373kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；当x=6时，53y=-【解析】将已知两组解代入二元一次方程中得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值；由k与b的值确定出二元一次方程，将x=6代入即可求出对应y的值．【详解】解：∵二元一次方程y=kx+b的解为21xy=⎧⎨=⎩和13xy=-⎧⎨=⎩∴123k bk b =+⎧⎨=-+⎩解得2373 kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2733 y x=-+当x=6时，53 y=-【点睛】此题考查了二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．19．如图是小明根据全班同学喜爱四类电视节目的人数而绘制的两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，求出喜爱“体育”节目的人数．【答案】10【解析】根据喜爱新闻类电视节目的人数和所占的百分比，即可求出总人数；根据总人数和喜爱动画类电视节目所占的百分比，求出喜爱动画类电视节目的人数，进一步利用减法可求喜爱“体育”节目的人数．【详解】∵喜欢新闻的有5人，占10%，∴总人数为5÷10%=50（人），∴喜欢娱乐的20人应该占40%，∴喜欢体育的人数为50×（1-10%-30%-40%）=50×20%=10（人）【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．20．[(38)(2)(4)(4)](2)x x x x x -+--+÷-．【答案】-x+1【解析】运用多项式乘多项式、多项式除单项式的法则和按运算顺序依次计算即可.【详解】()()()()()382442x x x x x ⎡⎤-+--+÷-⎣⎦()()()2236816162x x x x x ⎡⎤=+----÷-⎣⎦ ()()223216162x x x x =---+÷-()()2222x x x =-÷- 1x =-+．【点睛】考查了多项式乘多项式、多项式除单项式的法则，解题关键是熟记并运用其运算法则(①多项式乘以多项式的法则：用一个多项式里的每一项分别乘以另一个多项式中的每一项,再把所得的积相加;②多项式除以单项式:先把这个多项式分别除以这个单项式,再把所得的商相加).21．某学校开展了“好读书、读好书”的课外阅读活动，为了解同学们的读书情况，从全校随机抽取了50名学生，并统计它们平均每天的课外阅读时间（单位：min ），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表.课外阅读时间频数分布表3050t≤<816%5070t≤<a40%7090t≤<16b90110t≤<24%合计50100%请根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）填空：a=__________，b=__________；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）若全校有1800名学生，估计该校有多少名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？【答案】 (1)20，32%;(2)见解析;(3)1368名【解析】（1）利用百分比=所占人数总人数，计算即可；（2）根据a的值即可补全图形；（3）用一般估计总体的思想思考问题即可．【详解】（1））∵总人数=50人，∴a=50×40%=20，b=1650×100%=32%，故答案为20，32%．【注：b要写成百分数的形式】（2）频数分布直方图，如图所示．（3）201621800136850++⨯=（名），（或1800(0.40.320.04)1368⨯++=名） 答：估计该校有1368名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min【点睛】本题考查表示频数分布直方图、频数分布表、总体、个体、百分比之间的关系等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型．22．解不等式与方程（1）()31,21216.x x x x +⎧≥+⎪⎨⎪--<-⎩（2）21133x x x -=---. 【答案】（1）31-<≤x ；（2）2x =【解析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；【详解】（1）解：()3121216x x x x +⎧≥+⎪⎨⎪--<-⎩①②解：解不等式①得：1x ≤，解不等式②得：3x >-，∴原不等式组的解集为：31-<≤x .（2）解：21133x x x-=--- 去分母得：()213x x -=---，解得：2x =，经检验2x =是原分式方程的解.【点睛】此题考查了解一元一次不等式组以及解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．23．如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，BEF ∠的平分线交CD 于点G ，若72EFG ∠=，求EGF∠的度数．【答案】54【解析】利用平行线的性质和角平分线的定义进行求解即可．【详解】解：∵AB//CD，∠EFG=72° (已知) ，∴∠BEF=180°-∠EFG=108°(两直线平行，同旁内角互补) ，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=12∠BEF=54° (角平分线定义) ，∵AB//CD，∴∠EGF=∠BEG=54°(两直线平行，内错角相等)．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键. 24．陈老师为学校购买了运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了”．（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已经模糊不清，只能辨认应为小于5的整数，笔记本的单价可能为多少元？【答案】（1）陈老师搞错了．（1）笔记本的单价为1元．【解析】（1）设陈老师购买单价为8元的图书x本，购买单价为11元的图书y本，根据陈老师花了（1500﹣418）元购买了两种书共105本，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，由该值不为正整数可得出陈老师搞错了；（1）设陈老师购买单价为8元的图书m本，则购买单价为11元的图书（105﹣m）本，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的正整数，将其代入1500﹣418﹣8m﹣11（105﹣m）中即可求出结论．【详解】解：（1）设王老师购买单价为8元的图书x本，购买单价为11元的图书y本，根据题意得：105 8121500418x yx y+=⎧⎨+=-⎩，解得：8921212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵x ，y 均为正整数，∴陈老师搞错了．（1）设王老师购买单价为8元的图书m 本，则购买单价为11元的图书（105﹣m ）本，根据题意得：812105m 15004185812105m 1500418m m +->--⎧⎨+-<-⎩， 解得：892＜m ＜1834． ∵m 为正整数，∴m ＝45，∴1500﹣418﹣8m ﹣11（105﹣m ）＝1．答：笔记本的单价为1元．故答案为（1）陈老师搞错了．（1）笔记本的单价为1元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．25．ABC ∆与'''A B C ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示, '''A B C ∆是由ABC ∆经过平移得到的.(1)分别写出点',','A B C 的坐标;；(2)说明'''A B C ∆是由ABC ∆经过怎样的平移得到的?(3)若点(,)P a b 是ABC ∆内的一点,则平移后'''A B C ∆内的对应点为P',写出点P'的坐标.【答案】（1）'(3,1),'(2,2),'(1,1)A B C -----；（2）详见解析；（3）点P'的坐标为(4,2)a b --.【解析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）根据对应点A 、A′的变化写出平移方法即可；（3）根据平移规律逆向写出点P′的坐标.【详解】解：（1）'(3,1),'(2,2),'(1,1)A B C -----（2）ABC ∆先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到'''A B C ∆或ABC ∆先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到'''A B C ∆（3）点P'的坐标为(4,2)a b --.【点睛】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，根据对应点的坐标确定出平移的方法是解题的关键．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知a b <，下列不等式中，变形正确的是( )A ．a 3b 3->-B ．3a 13b 1->-C ．3a 3b ->-D ．a b 33>【答案】C【解析】根据不等式的性质解答即可．【详解】解：A 、不等式a b <的两边同时减去3，不等式仍成立，即33a b -<-，故本选项错误； B 、不等式a b <的两边同时乘以3再减去1，不等式仍成立，即3131a b -<-，故本选项错误； C 、不等式a b <的两边同时乘以3-，不等式的符号方向改变，即33a b ->-，故本选项正确； D 、不等式a b <的两边同时除以3，不等式仍成立，即33ab<，故本选项错误；故选C ．【点睛】本题考查了不等式的性质.注意：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．2．如图，如果AB//EF ，CD//EF ，下列各式正确的是 ( )A ．12-3180︒∠+∠∠=B ．1-2390︒∠∠+∠=C ．12390︒∠+∠+∠=D ．23-1180︒∠+∠∠=【答案】D【解析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE 和∠COF ，再由平角的定义可找到关系式．【详解】试题分析：∵AB ∥EF ，∴∠2+∠BOE=180°，∴∠BOE=180°﹣∠2，同理可得∠COF=180°﹣∠3，∵O 在EF 上，∴∠BOE+∠1+∠COF=180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3=180°，即∠2+∠3﹣∠1=180°，故选D．3．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．4．下列图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据轴对称图形的意义判定图形由几条对称轴即可解答【详解】A是对称图形且只有一条对称轴;B是对称图形,有两条对称轴;C不是对称图形D．是对称图形,有三条对称轴故选A【点睛】此题考查轴对称图形，难度不大5．如果点P（m﹣1，4﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＞2 C．2＞m＞1 D．m＜2【答案】B【解析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：∵点P（m﹣1，4﹣1m）在第四象限，∴10420mm-⎧⎨-⎩＞①＜②，解不等式①得，m＞1，解不等式②得，m＞1，所以不等式组的解集是：m＞1，所以m的取值范围是：m＞1．故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．6．某校初二（1）班组建了班级篮球队和足球队，已知篮球数量比足球数量的2倍少3个，且篮球数量与足球数量比是3：2，求篮球和足球各有多少个？若设篮球有x个，足球有y个，则下列正确的方程组是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意，列出关系式即可.【详解】解：根据题意，则可得故答案为B.【点睛】此题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据题意，列出关系式即可.7．甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少了20千米．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意，下列方程正确的是（）A ．2001801452x x =⋅+B ．2002201452x x =⋅+C ．2001801452x x =⋅- D ．2002201452x x =⋅-【答案】B【解析】试题分析：设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x 千米/时，根据题意得2002201452x x =⋅+．故选B ．考点：由实际问题抽象出分式方程．8．如图，下列结论中不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则【答案】A【解析】根据平行线的性质和判定逐个分析即可.【详解】A. 根据“两直线平行，内错角相等”，若，则，本选项错误；B. 根据“内错角相等，两直线平行”，若，则，本选项正确；C. 根据“同位角相等，两直线平行”， 若，则，本选项正确；D. 根据“两直线平行，同旁内角互补”，若，则故选A【点睛】掌握平行线的判定和性质定理.9．把多项式a²－4a 分解因式，结果正确的是（ ）A ．a (a-4)B ．(a+2)(a-2)C ．a(a+2)( a-2)D ．(a －2 ) ²－4【答案】A【解析】直接提取公因式a即可：a2－4a=a（a－4）．故选A10．在直角坐标系中，第四象限的点M到横轴的距离为18，到纵轴的距离为20，则点M的坐标为（）A．（20，﹣18）B．（20，18）C．（18，﹣20）D．（18，20）【答案】A【解析】根据题意在直角坐标系中画出点M，即可求解.【详解】解：如图，可知M的坐标为（20，﹣18），故选：A.【点睛】本题考查了直角坐标系，正确理解题意画出图形是解题关键.二、填空题题11．如图，∠1+∠1=180°，则l1_____l1．（填∥、⊥）【答案】∥．【解析】先利用对顶角相等得到∠1=∠3，则∠1+∠3=180°，然后根据平行线的判定方法判断两直线平行．【详解】如图所示：∵∠1+∠1=180°，而∠1=∠3，∴∠1+∠3=180°，∴l 1∥l 1．故答案是：∥．【点睛】考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．12．若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -⎧⎨+⎩＜＞有解，则m 的取值范围为__________． 【答案】m 23＞． 【解析】首先解不等式，利用m 表示出两个不等式的解集，根据不等式组有解即可得到关于m 的不等式，从而求解．【详解】202x m x m -⎧⎨+⎩＜①＞②， 解①得：x ＜2m ，解②得：x ＞2﹣m ，根据题意得：2m ＞2﹣m ，解得：m 23＞． 故答案为：m 23＞． 【点睛】本题考查了解不等式组，解决本题的关键是熟记确定不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．13．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，50B ∠=︒，点M 是线段AB 上的一个动点，连接CM ，当BCM ∠是_________度时，BCM ∆是等腰三角形．【答案】50︒或65︒【解析】根据等腰三角形的特点分类讨论即可求解．【详解】∵BCM ∆是等腰三角形，①B 是底角时，则BCM ∠=50B ∠=︒；②B 是顶角时，则BCM ∠=18050652；故答案为：50︒或65︒．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．14．将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为________________ ________________．【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【解析】试题考查知识点：命题改写思路分析：每一个命题都是基于条件的一个判断，只要把条件部分和判断部分分开即可具体解答过程：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等试题点评：这是关于命题的基本题型。
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新高一暑假数学讲义 “绝对值与根式” 学生姓名
授课日期 教师姓名
授课时长 知识定位 本讲内容：去绝对值的方法，根式与分式的化简 掌握目标：复习初中的绝对值与根式的化简，补充和完善脱节的知识点，更加适应高中数学的一种节奏。
考试分析：绝对值不等式以及带绝对值函数一直是高考的重点和难点， 更加涉及到分类讨论，数形结合等重要思想方法，考试题型一般为小题。
知识梳理
知识梳理1. 与绝对值有关的问题的处理方法
（一） 去绝对值
去绝对值得的几种方法
1）从定义入手，判断绝对值内的式子是否大于0；
2）在不使原式变得更为复杂的情况下，通过平方来除去绝对值
3）通过不等式的性质进行讨论，例如：c x >则有c x >或c x <
（二）利用绝对值的几何意义求解
绝对值的几何意义
绝对值往往和数轴上，点与点之间的距离密切相关
（三）绝对值不等式
绝对值不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤-
重要应用-绝对值内插值：b x x a b x x a b a -+-≤-+-=-
知识梳理2. 根式与分式
✧ 值得注意的方根 当n 为奇数时，a a n n =
当n 为偶数时，a a n n =
✧ 根式的分子（母）有理化及根式的裂项技巧。
分子（母）有理化：通过在含根式的分子（母）上乘上一个合适的含根式的式
子，使分子（母）不含根号的过程。
一般地，分子（母）为a 型时，只需乘上a ±；分子（母）为b a ±型时，只需乘上b a . 有理化可将分母或分子中的根号除去，将式子变得更加简单，例如：
132312321211-=-+-=+++
掌握分式的化简及其裂项技巧。
例如：
4341313121211431321211=-+-+-=⨯+⨯+⨯
裂项公式：1）
)
())1((1)2()(1)(1nd a d n a d a d a d a a +⨯⋅-++++⨯+++⨯ )11(1nd a a d +-= 2）))
2)(1(1)1(1(21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 3）
k d k d k k -+=++1
4）b
a a
b b a 11+=+ ； a b b a ab b a +=+22
例题精讲
【试题来源】
【题目】设d c b a <<<，求d x c x b x a x -+-+-+-的最小值
【试题来源】
【题目】求3321-+++-x x x 的最小值
【试题来源】 【题目】求15131-+-+-x x x 的最小值 【试题来源】
【题目】设T=|x -p|+|x -15|+|x -p -15|，其中0＜p ＜15.对于满足p≤x≤15的x 的来说，T 的最小值是多少
【试题来源】
【题目】化简：18211+
【试题来源】
【题目】已知实数b a ,满足153=+b a ，求b
a s 32-=的取值范围
【试题来源】
【题目】若28
181221-+=
a ，求a 2+14++a a 的值
【试题来源】
【题目】已知a,b 为实数，且满足11122=-+-a b b a ，求a 2+b 2的值
【试题来源】
【题目】化简：352725213+++
【试题来源】
【题目】实数x 满足x x x =-+-20152014，求22014-x 的值
习题演练
【试题来源】2014•上海
【题目】计算：﹣﹣+||．
【试题来源】2010•上海
【题目】方程=x 的根是 。
【试题来源】2010•上海
【题目】计算：
．
【试题来源】2011•上海
【题目】计算：
【试题来源】
【题目】（1）设72
15614213012011216121+++++++=S ，求S . （2）求证：2
1)2(1531311<+⨯++⨯+⨯=
n n T ，*N n ∈
【试题来源】 【题目】设a 、b 是实数，证明： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
【试题来源】
【题目】三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc
bc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=，则 123+++cx bx ax 的值是_______
【试题来源】
【题目】已知,,a b c 满足2112024
a b b c c c -+-+=，求(b c)a +的值
【试题来源】
【题目】已知a,b,c 是非零实数，M=|
abc |abc |bc |bc |ac |ac |ab |ab |c |c |b |b |a |a ++++++，求M 的值
【试题来源】
【题目】知m,n 互为相反数，a,b 互为倒数，x 的绝对值是3，则x 3-(1+m+n+ab)x 2+(m+n)2009+(-ab)2010的值等于___________
【试题来源】
【题目】已知x,y 是有理数，且满足0320
2949123412331=---++y x ）（）（，求x,y 的值
【试题来源】
【题目】已知|x+2|+|1-x|=9-|y -5|+|1+y|，求x+y 的最大值与最小值
【试题来源】 【题目】设等式y a a x )a y (a )a x (a ---=-+-在实数范围内成立，其中a,x,y 是两两不等的实数，则
222
23y xy x y xy x +--+的值是（ ）
【试题来源】 【题目】,b,c 为有理数，且等式a+62532+=+c b 成立，则2a+999b+1001c 的值是（ ）
【试题来源】
【题目】对于正整数n ，有1
11111+-=+++n n n n n n ）（，若某个正整数k 满足2
1111433413223121121=++++++++++k k k k ）（ ，求k 的值
【试题来源】
【题目】设x=
121-,a 是x 的小数部分，b 是-x 的小数部分，则a 3+b 3+3ab=_______
【试题来源】
【题目】设a=
11716+，求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a -17的值
【试题来源】 【题目】设实数x,y 满足11122=++++））（（y y x x ，求x+y 的值
【试题来源】
【题目】设a,b 是正有理数，且满足(a 3+2)a+(b 3-2)b -2-253=0,求a,b 的值.
【试题来源】
【题目】求和：1）()n n ⨯-++⨯+⨯13221 2）n n n )1)(2(432321--++⨯⨯+⨯⨯。