二次根式与勾股定理
二次根式于勾股定理结合类型
二次根式于勾股定理结合类型
二次根式和勾股定理是高中数学中常见的两个概念，它们之间没有直接的结合类型。
但是在解决一些具体的几何问题时，可能会涉及到同时使用二次根式和勾股定理。
二次根式是指形如√a的数，其中a为正实数。
二次根式在几何中常用于表示长方形或正方形的边长、三角形的边长和高度等。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边长度的平方和。
即在一个直角三角形ABC中，若AB为直角边，AC和BC为其它两边，则有：AB² = AC² + BC²。
结合二次根式与勾股定理的应用通常是通过勾股定理解决直角三角形问题时，其中出现的边长或高度可能包含二次根式，需要对其进行计算。
举例来说，假设在一个直角三角形ABC中，AC = 2√3，BC = √6，求AB的长度。
根据勾股定理，有AB² = AC² + BC²，代入数值得到AB² = (2√3)² + (√6)² = 12 + 6 = 18，因此AB = √18 =
3√2。
在这个例子中，二次根式和勾股定理结合使用，通过勾股定理得到了AB的长度。
二次根式与勾股定理
图5
例 7 如图 6，在 △ABC 中， AB AC 2 ， BC 边上有 100 个不同的点 P1，P2，…，P100 ，
记 mi APi 2 BPi PiC(i 1,2,，100），求 m1 m2 … m100 的值．
A
B Pi D
C
图6
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二次根式
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5、勾股定理及其逆定理的应用（重点）
①用于求线段的长；②用于求角的度数；③用于求面积；④用于判定三角
C
形的形状；⑤用于证明两线段垂直；⑥用于证明几条线段间的等量关系；
⑦用于求值 B
6、“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图
DA
形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角
例 5 如图 4，正方形 ABCD中， AE BE，AF 1 AD ，求证： CE EF ． 4
AF
D
E
B
C
图4
用于证明几条线段间的等量关系 例 6 如图 5，在△ABC 中， BAC 90，AB AC ， D 是 BC 上的点． 求证： BD2 CD2 2AD2 ．
A
用于求值
B
E
D
C
60
2
D
1 30
B
C
E
图3
用于判定三角形的形状
例 4 若 三 角 形 的 三 条 边 a，b，c 满 足 关 系 式 a4 b2c2 a2c2 b4 0 ， 则 此 三 角 形 形 状
是
．
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变式：若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。
二次根式,勾股定理,四边形,一次函数.doc
二次根式，勾股定理，四边形，一次函数知识点：二次根式1、二次根式二次根式必须满足：含有二次根号，被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
第十七章勾股定理知识点：直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余，2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，4、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，知识点：直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
知识点：锐角三角函数的概念1、在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，2、锐角三角函数的概念------锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数，3、各锐角三角函数之间的关系:（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)，（2）倒数关系tanAtan(90°—A)=14、锐角三角函数的增减性:当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），知识点：解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
小学数学教学备课教案二次根式与勾股定理的应用与证明
小学数学教学备课教案二次根式与勾股定理的应用与证明一、二次根式的引入与概念在小学数学教学中，二次根式是一个重要的概念，它与勾股定理有着密切的关系。
在本次备课教案中，我们将重点讨论二次根式的应用与证明。
首先，我们需要引入二次根式的概念。
二次根式是指形如√a的表达式，其中a是非负实数。
它表示的是满足b^2=a的非负实数b。
例如，√9=3，√16=4。
在小学数学教学中，我们通常以一些生动有趣的例子来引入二次根式的概念，使学生能够更好地理解。
二、二次根式的应用（段落内容自行发挥）三、勾股定理的引入与概念经过引入二次根式的概念后，我们将进一步引入勾股定理的概念及其应用。
勾股定理是三角形中最为重要的定理之一，它能够帮助我们求解各种与三角形有关的问题。
勾股定理的概念是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边上的各自长度的平方和。
即在一个直角三角形ABC中，如果AB是直角边，AC和BC是两条其他的边，那么有AB^2=AC^2+BC^2。
这个定理在数学中应用广泛，并且有着许多的证明方法。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明是数学中的一个重要环节。
通过证明勾股定理，我们可以帮助学生理解和掌握这个定理的本质，并且培养他们的证明能力。
在小学数学教学中，我们可以通过几何证明、代数证明等不同的方法来证明勾股定理。
例如，几何证明可以利用平行线、相似三角形等几何性质来证明；代数证明可以利用二次根式的概念、代数运算等方法来证明。
通过多种证明方法的引入，可以让学生在不同的思维方式中灵活运用，提高他们的数学思维能力。
五、二次根式与勾股定理的应用与证明实例在教学中，我们可以选取一些实际问题来应用和证明二次根式与勾股定理。
例如，可以选择一道题目：“甲乘以2的二次根式等于乙，乙的平方加上5等于丙，求丙的值。
”让学生运用二次根式和勾股定理的知识来解答这道问题，并进行证明过程的讲解。
通过这样的实例训练，可以帮助学生将二次根式与勾股定理应用于实际问题中，培养他们的问题解决能力和数学思维能力。
二次根式及勾股定理的知识点总结
二次根式的知识点知识点一：二次根式的概念形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，√(x－1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。
知识点三：二次根式√a(a≥0)的非负性√a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，√a(a≥0)是一个非负数，即√a≥0(a≥0)。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数，即√a≥0(a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若√a＋√b=0，则a=0,b=0；若√a＋|b|=0，则a=0,b=0；若√a＋b2=0，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（√a）的性质(√a)2=a(a≥0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式(√a)2=a(a≥0)是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a≥0，则a=(√a)2，如：2=(√2)2，1/2=(√1/2)2.知识点五：二次根式的性质√a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简√a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即√a2=|a|=a (a≥0)；若a是负数，则等于a的相反数-a,即√a2=|a|=－a (a﹤0)；2、√a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，√a2一定有意义；3、化简√a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。
新人教版八年级下册二次根式及勾股定理测试题
二次根式与勾股定理测试题一、选择题1. 若为二次根式, 则m 的取值为 （ ）A. m ≤3B. m ＜3C. m ≥3D. m ＞32. 下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个3．当有意义时, a 的取值范围（ ）A ．a ≥2 B ．a ＞2 C ．a ≠2 D ．a ≠－24. 下列计算正确的是 （ ） ①69494=-⋅-=--))((；②69494=⋅=--))((； ③145454522=-⋅+=-；④145452222=-=-；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 5．对于二次根式, 以下说法不正确的是 （ ） A. 它是一个正数 B. 是一个无理数C. 是最简二次根式 D. 它的最小值是3 6. 把分母有理化后得（ ）A. B. C. D. 7．下列二次根式中, 最简二次根式是（ ）A ． B ． C ． D ． 8. 化简二次根式得（ ）A. B. C. D. 309.下列几组数中, 不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A.1.5, 2, 2.5 B.3, 4, 5 C.5, 12, 13 D.20, 30, 4010、如图, 在Rt△ABC中, ∠B＝90°, BC＝15, AC＝17, 以AB为直径作半圆, 则此半圆的面积为（）. A. 16π B. 12π C. 10π D. 8π11.已知直角三角形两边的长为3和4, 则此三角形的周长为（）．A. 12B. 7＋C. 12或7＋D. 以上都不对12.如图, 梯子AB靠在墙上, 梯子的底端A到墙根O的距离为2m, 梯子的顶端B到地面的距离为7m, 现将梯子的底端A向外移动到A′, 使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m. 同时梯子的顶端B下降至B′, 则BB′（）. A. 小于1m B. 大于1m C. 等于1m D. 小于或等于1m 13.将一根24cm的筷子, 置于底面直径为15cm, 高8cm的圆柱形水杯中, 如图所示, 设筷子露在杯子外面的长度为hcm, 则h的取值范围是（）．A. h≤17cmB. h≥8cmC. 15cm≤h≤16cmD. 7cm≤h≤16cm14. 、如图, , 且, , , 则线段AE的长为（）；A. B、 C、 D、（第14题）15.如图, 一块直角三角形的纸片, 两直角边AC=6㎝, BC=8㎝, 现将直角边AC沿直线AD折叠, 使它落在斜边AB上, 且与AE重合, 则CD等于（）；A.2㎝B.3㎝C.4㎝D.5㎝16、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）...A 、6cm2 B 、8cm2C 、10cm2D 、12cm2二、填空题1. 当x___________时, 在实数范围内有意义. 当x 时,式子有意义2. 比较大小: ______;3. ____________；__________.4. 当a=时, 则______;5. 若成立, 则x 满足___________. 6、如图, 矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图, △ABC 中, AC ＝6, AB ＝BC ＝5, 则BC 边上的高AD ＝______. 7.已知: , 则 。
初二数学二次根式与勾股定理
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二次根式【知识要点】1. 二次根式的有关概念（1）二次根式：形如 （ a ≥0 )的式子叫做二次根式。
（2）最简二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 练习:化简：（1)= ；（2)= ;（3)= ；(4）= .（5) 下列的根式中，属最简二次根式的是（A B 。
D 。
（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.若最简二次根式与是同类二次根式，则m = 。
2.； ⑵ （≥0） ⑶； ⑷ （）; ⑸ （） 3. 分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理化。
练习：化简:；1. 中，字母a的取值范围是__________．2.________．3. 当时，在实数范围内有意义．4. 的倒数是 ；的绝对值是 ．5.的有理化因式是，的有理化因式是 ．6.7.当时，化简的结果是_________．8.化成最简二次根式，结果是___________．9. ，则___________．a 121824482)9(+x 3m 2()=2a a =2a =ab 0,0≥≥b a=b a0,0>≥b a =⨯⨯=333131()()()=-+-⨯=+1212121121x 12x <<1x -+(a b -ab =10.,且＜，化简：。
二次根式勾股定理知识点复习优秀版
二次根式勾股定理知识点复习优秀版第十六章：二次根式一、二次根式的意义及性质：题组1：（二次根式的识别：式子a （0a ≥），叫做二次根式）1．下列各式中，是二次根式的有_________________________。
（填序号） ①7； ②9； ③2a ； ④22x +； ⑤3-； ⑥()25-；⑦221x --； ⑧221n +； ⑨21x +； ⑩39； 题组2：（二次根式有意义的条件a （0a ≥））1．当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）32x -______；（2）121x -______；（3）421xx -+_________；（4）23x +_______；（5）a -______。
（6）；（745++x x2．已知225y x x --，则2x y -的值是_______________。
题组3：0a ） 1．若|2|30x y +-3x y-的值是_________；题组4：（二次根式的性质：2(0)a a a =≥，2||a a =）1．计算：23=_____；(232=_______；(20.2-=______；223⎛ ⎝=_______；2．在实数范围内因式分解：（1）22x -=_______________；（2）49x -=________________。
320.3；223⎛⎫- ⎪⎝⎭210-()23.14π-。
4．若()21221x x --，则x 的取值范围是____________。
题组5：（最简二次根式和同类二次根式）1．在根式①22b a + ②5x ③xy x -2④ abc 27中，最简二次根式是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 2．下列二次根式中，可以合并的是 （ ） A ．23a a a 和B ．232a a 和C ．aa a a 132和 D ．2423a a 和 二、二次根式的运算：题组6：a b ab （0a ≥，0b ≥）a abb ⇔0a ≥，0b >）） 1. 12；242331538a b ； 21820758151354273-．1240.568- 4、1486274÷．(3513224a a a -()233223327.先化简，再求值：11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x ．第十七章：勾股定理一、知识点1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
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A．m＞﹣1 B． m≥﹣1 C． m ＞﹣1且m≠1 D． m≥﹣1且m≠1
（2014•上海，第1题4分）
计算的结果
是（
）
A． B． C． D． 3 （2014•山东烟台，第14题3分）在函数 中， 自变量x的取值范围是_________ ．
2．（2014•湖北荆门,第18题4分）（1）计
第18题图
（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m,楼梯底端C到墙角D的 距离CD是多少米？ （2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小 于 20cm，每个台阶宽要大于20cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？ 为什么？
20、 （2006•安徽） 老师在黑板上写出三个算式： 5 2 一 3 2 = 8× 2， 9 2 -7 2 =8×4， 15 2 -3 2 =8 ×27， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11
∠A=30°，∠B=45°，AC= 长．
，求AB的
13
．（2006•安徽）如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C 到直线 L 的距离 分别是 1 和 2 , 则正方形的边长是 _______
18 ．
（2006•安徽）汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新
居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角 F 到楼梯的竖直距离 FG为 1 . 75m ．他量得客厅高 AB = 2 . 8m，楼梯洞口宽AF=2m., 阁楼阳台宽 EF = 3m ．请你帮助 汪老师解决下列问题：
A． B．
C． 4
D． 5
16． （8 分）(2014 年安徽省)观察下列关于自然数的等式： 32﹣4×12=5 ① 52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：92﹣4× ________________ 4 2= 17 ； （2）写出你猜想的第 n 个等式（用含 n 的式子表示） ，并验证其正确性．
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a． ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=½ （b2+ab） 又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=½ 【c2+a（b﹣a）】 ∴b2+ab=c2+a（b﹣a） ∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
2
5
2
=8×12，15 -7 =8×22，……
2
2
(1)请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； (2)用文字写出反映上述算式的规律； (3 )证明这个规律的正确性．
10．（2014年山东泰安，第12题3分）如
图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°， BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的 点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE 折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处， 如图③，则折痕DE的长为（ ）
10．（2012•安徽）在一张直角三角形纸片的两 直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的 连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的 直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直 角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10
B．
C．10或
D．10或
19．（2012•安徽）如图，在△ABC中，
3．（2014•新疆，第14题5分）如图，
Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分 AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3， BC=4，则AD的长为 ．
4.（2014•邵阳，第17题3分）如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点， DE⊥AC于点E．∠A=30°，AB=8，则DE 的长度是 ________．
算
× ﹣4× ×（1﹣ ）0；
（2）（2014•湖北荆门,第8题4分）先化简，
再求（ + ）÷ 满足 +|b﹣|=0．
，其中a，b
8．（4分）(2014年安徽省)如图，
Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°， 将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合， 折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
5．安徽（2013）
如果 x -1有意义，那么 字母x的取值范围是（ ） B．x＞1 C．x≤1
A．x≥1
D．x＜1
（2014•黔南州，第17题5分）实数a在数轴
上的位置如图，化简
+a=_____,
14．在数学中，为了简便，记
＝
1+2+3+· · · +(n－1)+ n． 1！＝1，2！＝2×1，3！＝3×2×1，· · · ， n！＝n×(n－1)×(n－2)×· · · ×3×2×1．则
6.（4分）(2014年安徽 省)设n为正整数，且n＜ ＜n+1，
则n的值为（ ） A． 5 B． 6 D． 8
C． 7
（2014•襄阳，第18题5分）已知：x=1﹣，
y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值． （2014•四川巴中，第4题3分）要使式子 有意义，则m的取值范围是（ ）
考点：
三角形中位线定理；含30度角的直 角三角形．
5.（2014· 云南昆明，第10题3分）如图，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm， 点D为AC的中点，则BD=
A D C B
第10题图
1. （2014•湘潭，第19题）如图，修公路遇到一座山，于 是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧 同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上， 设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的 旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°， BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？ （≈1.414，精确到1米）
（2014•泰州，第23题，10分）如图，BD 是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、 AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF； （2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形
ADEF的面积．
（2014•温州，第22题8分）勾股定理神秘而美妙，它的证 法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以 灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或 图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利 用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中 ∠DAB=90°，求证： a 2 b2 c2