高中数学向量数量积的坐标运算与度量公式

向量数量积的坐标运算与度量公式

教学目标：

⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示

⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 教学重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 教学过程

一、复习引入：

1．平面向量数量积（内积）的定义

2．向量的数量积的几何意义

3．两个向量的数量积的性质

4． 平面向量数量积的运算律

二、讲解新课：

1、平面两向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量),(11y x a = ，)

,(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a

⋅

设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么

j y i x a 11+=，j y i x b

22+=

所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x

+⋅+⋅+=

又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i

所以b a ⋅2121y y x x +=

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

即b a ⋅2121y y x x +=

2、向量垂直的判定

设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x

3. 向量的长度、距离和夹角公式

（1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或22||y x a += (长度公式)

（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么2

21221)()(||y y x x a -+-= (距离公式)

(3) co s θ =||||b a b a ⋅⋅ 22

2221212

121y x y x y y x x +++=

（πθ≤≤0）(夹角公式)

4、例子

例1 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b

例2 已知a (1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形

例3 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x

例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?

例5 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值

小结：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 课堂练习：第122页练习A 、B

课后作业：第123页A 4、5、6