样条曲线 c2连续
三次周期B样条曲线的算法
（2）的矩阵的形式：p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
（3）的矩阵的形式：p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性
基于三次B样条曲线拟合的智能车轨迹跟踪算法
D O I：10.11772/j .issn.1001-9081.2017102563
基于三次B 样条曲线拟合的智能车轨迹跟踪算法
张永华、杜 煜 2' 潘 峰 2, 魏 岳 3 ( 1 .北京联合大学智慧城市学院，北 京 100101; 2 . 北京联合大学机器人学院，北 京 100101;
3 . 保定学院物理与电子工程系，河 北 保 定 071000) ( * 通信作者电子邮箱duyu@ buu. edu. cn)
关键词 ：智能车；轨迹跟踪算法; 三 次 B 样条曲线拟合;切向角
中图分类号：TP301.6 文献标志码:A
Intelligent vehicle path tracking algorithm based on cubic B-spline curve fltting
ZHANG Yonghua1, DU Yu2% PAN Feng2, WEI Yue3
摘 要 :针对传统几何轨迹跟踪算法切向角获取依赖高精度惯导设备的问题，提 出 了 基 于 三 次 B 样条曲线拟合
的轨迹跟踪算法。首 先 ，通过对先验地图中的离散轨迹点进行拟合生成平滑轨迹线；然 后 ，根据轨迹方程通过插值法
重新生成离散路点，并计算各个路点处的切向角，从 而 实 现 了 对 多 传 感 器 融 合 轨 迹 的 优 化 与 跟 踪 。在真实的智能车 实验平台上，用所提算法对20 k m /h 低 速 绕 圈 和 60 k m /h 较高速度直道两种典型场景进行了在真实道路下的跟踪测 试 。在低速大曲率和较高速度直道两种典型场景下，所提算法轨迹跟踪的最大横向误差均保持在0.3 m 以内。 实验 结 果 表 明 ，该 算 法 有 效 解 决 了 传 统 几 何 轨 迹 跟 踪 算 法 对 惯 导 设 备 依 赖 的 问 题 ，同 时 保 持 了 较 好 的 跟 踪 性 能 。
一种C 2连续的三次样条插值方法
２ 三 次 样 条 插值 的构 造
对于 区间 ［ ，］ 的一个 划 分 Ａ ： — 。 ｎ ６上 ａ ＜
＜ …＜ 一６ 在 每 个节 点 ， 给 定 相 应 的 函数 ， 上
定义
次 多项式
设 － ） 区 间 ［ ， ］ 有 定 义 ， ｎ 厂 （ 在 ｎ６上 称
Ａ Ｃ Ｃｕ ｉ ｐｌｎｅ Ｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｂ ｃ Ｓ ｉ ｎ ｅ ｐ ｌ ｎｔ
ＺＨＯＵ ｉｑ ａ ， Ｕ ｏ ｇ ｙ ｎ 。 Ｚｈ — ｉｎｇ Ｗ Ｈ ｎ — ｉｇ
（ ｐ ｒ ｍ ｅ ｆ Ｍ ａ ｈ ｍａ ｉｓ １ Ｄｅ ａ ｔ ｎｔｏ ｔ ｅ ｔｃ ，Ｈ ｕ ｉ ａ Ｃｏｌｅ ａ ｈｕ ｌ ｇｅ， ｕ ｉ ａ， ｕ ａ ８ ８； Ｈ ａ ｈｕ Ｈ ｎ ｎ ４１ ００
差 上 界 的估 计 ． 传 统 算 法 比 较 。 开 了 求解 方 程 组 的 困难 ． 与 避
关 键 词 ： ｅｎ ｔｉ Ｂ ｒ ｓｅ ｎ多项 式 ； 次 样 条插 值 ； 致 收 敛 三 一 中 图分 类 号 ： ７ ． １ ０１ ４ ４ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ０ ９ １ ３ （ ０ ７ ０ —０ ３ —０ １０ — ４ ２ ２０ ）２ ０ ５ ３
值 ｆ（ 一 厂 ， 一０ １ … 川． Ｓ ） ２ ｎ ｂ ｘ ） ＪＪ ， ， 设 （ ∈Ｃ ［ ，－ ］
是节 点函数 ， 则
它应 该 满足 如下条 件［ ］ 】 ：
Ｂ （ ， 一 ｆ ａ ｉ ） ／ ６ ｎ ” （ ） － ） 厂 （ ＋ ｈ ｐ （ （一 ） ） １
１ Ｂ ｒ ｓｅｎ多 项 式 及 其 性 质 ｅｎ ｔｉ
样 条插值 方 法 在 优 化 计 算 中 占 有重 要 的 地 位 ． 典 的三 次样 条插值 需要 求解 三对 角方 程组 ， 经 这给优 化计算 带来 不便 ． 以下 利 用 三 次 Ｂ ｒ ｓｅ ｅｎ ｔｉ ｎ 多项式 构造 一种 Ｃ 连 续 的三次 样条插值 ， 证 明 ２ 并 其存 在唯一 性与 一 致 收敛 性． 该方 法 避 开 求 解方
C_2连续的4次插值样条曲线
C 2连续的4次插值样条曲线韩旭里,陈仕河,王文涛(中南大学应用数学与应用软件系,湖南长沙 410083)摘要:通过引入1组新的插值样条基函数:B 0(t )=-λt +3λt 2-3λt 3+λt 4,B 1(t )=1+(2λ-1)t -3t 2+5(1-λ)t 3+(3λ-2)t 4,B 2(t )=(1-λ)t +3(1-λ)t 2+(7λ-4)t 3+(1-3λ)t 4,B 3(t )=(λ-1)t 3+(1-λ)t 4,构造了4次插值样条函数,讨论了可调参数对曲线段端点切矢的影响和曲线的拐点性质.结果表明:这些曲线是整体C 2连续的,是局部可修改和可调的.关键词:计算机辅助几何设计;曲线设计;插值样条曲线中图分类号:O241.3文献标识码:A文章编号:100529792(2001)0320328203 曲线设计是计算机辅助几何设计(C AG D )领域中的主要内容[123]],其曲线主要有B ézier 曲线、B 样条曲线以及有理B 样条曲线,这些曲线各有优点.为了解决插值问题,一些研究人员提出了不少以这些曲线为基础的解决方法[428].常用的方法有:解线性方程组反算;通过构造辅助线进行分段曲线拼接;选择一定条件下的参数使分段曲线光滑连接,等等.这些方法不具有局部可调性,且增加了计算量.为此,作者引入1组4次多项式基函数来构造1种插值样条曲线.引入的样条基函数含有1个可变参量,构造出来的插值样条曲线不但插值于所有型值点,而且具有C 2连续、局部可修改和可调的性质.1 插值样条曲线111 样条基函数定义1 设t ∈[0,1],称B 0(t )=-λt +3λt 2-3λt 3+λt 4,B 1(t )=1+(2λ-1)t -3t 2+5(1-λ)t 3+(3λ-2)t 4,B 2(t )=(1-λ)t +3(1-λ)t 2+(7λ-4)t 3+(1-3λ)t 4,B 3(t )=(λ-1)t 3+(1-λ)t 4为样条函数.因为λ可变,所以,λ取不同值时,就可得到不同的具体基函数.容易证明,基函数满足B 0(t )+B 1(t )+B 2(t )+B 3(t )≡1.112 插值样条曲线定义2 给定型值点组b i (i =0,1,…,n +1),定义曲线段P i (t )=63j =0b i +j B j (t ), 0≤t ≤1.曲线P (t )由曲线段P i (t )(0≤t ≤1,i =0,1,…,n -2)组成.定理1 曲线P (t )插值于型值点组b i (i =1,…,n ),并且P (t )∈C 2.证明 由P (t )的定义可知,P (t )由n -1段曲线组成,第i 段曲线为P i (t ).由B i (t )(i =0,1,2,3)的定义,可得:P i (0)=b i +1;P i (1)=b i +2;P i ′(0)=-λb i +(2λ-1)b i +1+(1-λ)b i +2;P i ′(1)=-λb i +1+(2λ-1)b i +2+(1-λ)b i +3;P i ″(0)=6λb i -6b i +1+6(1-λ)b i +2;P i ″(1)=6λb i +1-6b i +2+6(1-λ)b i +3.则P i (t )插值于点b i +1和b i +2.当i 由0到n -2变化时,得P (t )插值所有型值点P i (i =1,…,n ).因此,第i 段曲线P i (t )和第i +1段曲线P i +1(t )有下面的连接关系:P i (1)=P i +1(0)=b i +1,P i ′(1)=P i +1′(0),P i ″(1)=P i +1″(0).即P (t )插值所有型值点组P i (i =1,2,…,n ),并且P (t )∈C 2.证毕.显然,改变第i 个型值点b i ,至多使P i -2(t ),收稿日期:2000-08-03作者简介:韩旭里(1957-),男,湖南武冈人,中南大学教授,博士,主要从事计算数学研究.第32卷第3期2001年6月 中南工业大学学报J.CE NT.S OUTH UNI V.TECH NO L.V ol.32 N o.3June 2001P i-1(t),P i(t),P i+1(t)4段曲线受到影响,故P(t)具有局部性.而P(t)中含有可变参数λ,改变λ,可改变曲线P(t)的形状,因此,上述曲线可方便地用于插值曲线设计.113 参数λ对曲线P i(t)端点切矢的影响及拐点的性质由于P i′(0)=-λb i+(2λ-1)b i+1+(1-λ)b i+2=λ(bi+1-b i)+(1-λ)(b i+2-b i+1),因此,若b i,b i+1,b i+23点共线,则点P i(0)的切线就是b i b i+2;若b i,b i+1,b i+23点不共线,则3点构成三角形,并且当0<λ<1时,P i′(0)的方向范围在由射线b i+1b i+2与b i b i+1所围成的区域内.定理2 若b i b i+1×b i+1b i+2与b i+1b i+2×b i+2b i+3反向,则曲线段P i(t)在0≤t≤1内至少有1个拐点.证明 设k i(t)(0≤t≤1)为曲线段P i(t)的曲率矢,则P i′(0)=-λb i+(2λ-1)b i+1+(1-λ)b i+2=λ(bib i+1)+(1-λ)(b i+1b i+2),P i″(0)=6λb i-6b i+1+6(1-λ)b i+2=6λb i+2b i+6b i+1b i+2,k i(0)=P i′(0)×P i″(0) |P i′(0)|3=[6λ2b i b i+1×b i+2b i+6λb i b i+1×b i+1b i+2+6λ(1-λ)b i+1b i+2×b i+2b i]/|P i′(0)|3=λ(1-λ)Δi |P i′(0)|.其中:Δi=12b i b i+1×b i+1b i+2.同理可得:k i(1)=λ(1-λ)Δi |P i′(0)|3.其中:Δi+1=12b i+1b i+2×b i+2b i+3.由于P i(t)(0≤t≤1)是曲率矢连续的,则当k i(0)・k i(1)<0时,P i(t)在0≤t≤1内至少有1个拐点.可见,k i(0)・k i(1)的正负取决于Δi・Δi+1的正负,与λ无关,不能对其进行调节.由Δi与Δi+1的定义可知,若b i b i+1×b i+1b i+2与b i+1b i+2×b i+2b i+3同向,则Δi・Δi+1为正,若反向则为负.证毕.2 闭曲线和开曲线的构造插值曲线P(t),b0和b n+1可自由选取.在此,选取b0和b n+1以得到曲线端点行为.构造以b i(i=1,…n)为型值点的插值闭曲线, b1与b n相连,令b0=b n,b n+1=b1,则曲线段P i(t)(i=0,1,…,n-1)构成闭曲线.边界点b0和b n+1不影响曲线P(t)在b1和b n 处的位置,但它们分别对曲线P(t)在b1和b n处的切矢和曲率有影响.若构造以b1和b n为端点的开曲线,则在没有特殊要求的情况下,可取b0=b1, b n+1=b n,这样,P0′(0)=(1-λ)(b2-b1),P n-2′(1)=λ(b n-b n-1).即曲线P(t)在b1和b n处的切线分别为b1b2和b n-1b n.图1～3是λ分别为011,015,019时的“人头”插图1 λ=011时的插值曲线图2 λ=015时的插值曲线图3 λ=019量的插值曲线923第3期 韩旭里,等:C2连续的4次插值样条曲线值曲线.其中,圆点为插值点,b0=b1,b n+1=b n.可见:调整λ的取值,可以得到不同的图形;λ增大时,曲线逐渐光滑.参考文献:[1] Bohmetal W.A survey of curve and surface methods in CAG D[J].CAG D,1984,(1):1260.[2] T g oodman T N,Ong B H.Shape preserving interpolation by spacecurve[J].CAG D,1997,15:1217.[3] 施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].北京:北京航空航天大学出版社,1994.[4] 王天军.一个反求Bézier曲面控制点的算法[J].计算机辅助几何设计与图形学学报,1992,4(3):36240.[5] 王苏勤.B2S pline曲线顶点的反算[J].工程图形学学报,1993,(2):32239.[6] 叶 林,许 虹.交互式保凸离散插值曲线[J].计算机辅助几何设计与图形学学报,1992,4(1):41246.[7] 丁有栋,华宣积.光滑曲线生成的一类保凸插值细分方法及其性质[J].计算机辅助几何设计与图形学学报,2000,12(7):4922 501.[8] 张之元,蒋方炎.空间曲线的圆弧样条插值[J].中国图象图形学报,1999,4(8):7022705.C2quartic interpolation spline curveH AN Xu2li,CHE N Shi2he,W ANG Wen2tao(Department of Applied Mathematics and Applied S oftware,Central S outh University,Changsha410083,China)Abstract:A group of new basic functions is given,i.e.,B0(t)=-λt+3λt2-3λt3+λt4,B1(t)=1+(2λ-1)t-3t2+5(1-λ)t3+(3λ-2)t4,B2(t)=(1-λ)t+3(1-λ)t2+(7λ-4)t3+(1-3λ)t4,B3(t)=(λ-1)t3+ (1-λ)t4.An interpolation spline curve by using these basic functions is defined.S ome effects of the variable parameter on the spline curvature and end point tangent are als o discussed.The results show that the interpolation spline curve is C2continuous,local m odification and can be adjusted.K ey words:C AG D;curve design;interpolant spline curve033中南工业大学学报 第32卷。
有理三次三角Hermite插值样条曲线及其应用
π 2 （4），得：TH（i t）=
a
3
cos
π
2
t，a
3
sin
π
2
t
，它表示星形线，如图 5
所示，图中实线对应 t∈[0，1]，虚线对应 t∈[1，4]。
（4）令 qi=qi+1=（0，0），qi+2=（πa，0），qi+3=（0，-πa）（a≠0）及
摘 要：给出一种有理三次三角 Hermite 插值样条曲线，具有三次 Hermite 插值样条相似的性质。该样条含有三角函数和形状参
2
数，利用形状参数的不同取值可以调控插值曲线的形状，甚至不用解方程组，就能使曲线达到 C 连续。此外，选择合适的控制点和 形状参数，这种样条可以精确表示星形线和四叶玫瑰线等超越曲线。 关键词：三次插值样条；有理三次三角插值样条；超越曲线；星形线；四叶玫瑰线 DOI：10.3778/j.issn.1002-8331.2010.05.003 文章编号：1002－8331（2010）05-0007-03 文献标识码：A 中图分类号：TP391
π 2 （2）令 qi=qi+2=（a，a），qi+1=（0，0），qi+3=
-
πa 2
，0
（a≠0），及
π 2 μi=μi+1，代入式（4），得 TH（i t）=
a cos π 2
t，a
3
cos
π
2
t
，它表示一
条三次抛物线，如图 4 所示。
图 3 椭;2=（a，0），qi+1=qi+3=（0，a）（a≠0）及 μi=μi+1，代入式
XIE Jin，TAN Jie-qing，LI Sheng-feng，et al.Rational cubic trigonometric Hermite interpolation spline curves and appli－ puter Engineering and Applications，2010，46（5）：7-9.
03PROe曲面建模做到G3连续之做到曲率连续的方法
PRO/e曲面建模G3连续（3）3在PRO/E里做到曲率连续的方法上一次介绍了曲线或曲面几种几何连续的定义和检测方法，在工业设计中做到曲率连续才能满足设计需求和对曲面的顺滑要求，这里再介绍怎样利用命令来做到曲率连续3.1 样条曲线（spline）约束曲率相等样条曲线的端点与直线或弧线相切后，可以约束曲率相等。
这个方法只能让样条曲线和直线或弧线的连接处曲率相等，约束后样条曲线只能编辑插值点的方法调整线条形状而不能用控制点。
用这种方法约束曲率相等后，再调整曲线的形状并联合曲率检测把曲线的曲率调到G3连续的状态。
a画一条样条曲线与直线相接 b约束样条曲线与直线相切，显现相切标识Tc 曲率检测接点处的曲率垂直且有高度d 约束曲率相等（先点击草绘再选取直线，然后选取样条曲线，显现曲率相接标识Ce 曲率检测连接处的曲率为0，与直线的曲率相等。
3.2 样条曲线（spline）多边形控制样条曲线在控制多边形模式时，约束控制多边形的线段做到曲率相接。
在包括端点的三个控制点成一线时，端点的曲率是0，利用直线的曲率是0，让样条曲线的与直线相接的两条控制多边形线段同直线成一条线，这样样条曲线与直线就是曲率相接了。
后面调整控制多边形的尺寸来调整曲线的形状来达到曲率连续。
a 四条线段的控制多边形样条曲线b 约束靠端点的两条多边形线段在一条直线上c 曲率检测可以看出端点的曲率是03.3 样条曲线（spline）标注端点的半径曲率就是半径的导数。
通过标注两条相接的样条曲线端点的半径，然后修改数值相等来达到曲率相等的结果。
实际应用中可能是两条样条曲线不是同时在一个草绘里，可以先检测出第一个样条曲线端点的半径，再草绘第二条样条曲线时标注端点的半径并约束等于前面测得的数。
在PRO/E里样条曲线标注端点半径的方法：注意必须是相切端点才能标示出来。
1画两条曲条相接约束相切，见下图2左键点击标注命令，再左键点击一条曲线的端点然后中键点击旁边空白处，则标注出第一条曲线的端点半径，见下图3同样方法标注出另一条曲线的端点的半径。
11分析曲面曲率
可从以下几个方面控制曲率图形：
• • •
质量 - 控制图形中的波峰密度。 比例 - 控制图形中的波峰高度。 图形样式 - 控制波峰的显示和连接方式。 可采用平滑方式和线性方式显示和连接波峰， 或只显示和连接波峰， 这表示波峰之间没有直线连接。
在图 1 中，曲率图形在其中心有间隙。此曲线具有“自由”连续性。
使用前曲面作为方向的截面曲率分析与在两个方向表示曲面曲率的高斯曲率显示类似截面曲率根据参考方向每次显示一个方向的曲面曲率
分析曲面曲率
模块概述:
使用曲面特征设计产品时，曲面间的过渡扮演着重要的角色。曲面边的曲率连续性条件确定这些过渡的平滑程度。
在此模块中，您将学习如何分析曲面的曲率以及如何使用基于双向曲率的图形和着色曲率图形来确定曲面是否具有曲率连续性。此外，您将学习曲率 连续曲面的创建方法。
1.
任务 1. 在零件模型中分析三种类型的曲率条件。
禁用所有“基准显示”(Datum Display) 类型。 从模型树中选择 CURVE_1、CURVE_2 和 CURVE_3 以便在模型中找出它们的位置。 取消选择所有几何。 在功能区中，选择“分析”(Analysis) 选项卡。
1. 2. 3. 4.
请注意样条和弧的曲率并不相等，因而在曲率图形中出现了“台阶”。
• o o o
“曲率”(或 C2) 连续性在“图 3”中显示。请考虑位于以下几何区域的曲率： 对于样条，曲率图形随曲率的变化而变化。 第二条样条曲线在相反的方向，是使用拐点连接的。 对于弧，曲率等于常数。
请注意，样条和弧的曲率现在相等，因而在曲率图形中平稳过渡。
过程设置：
1. 为避免命名冲突，建议您先保存您的工作，然后单击“文件”(File) > “关闭”(Close) 直到不显示任何模型，再单击“文件”(File) > “管理会 话”(Manage Session) > “拭除未显示的”(Erase Not Displayed)。 2. 单击“文件”(File) > “管理会话”(Manage Session) > “设置工作目录”(Set Working Directory) ，然后导航到 PTCU\CreoParametric1\Analysis\Curvature_Curve 文件夹并单击“确定”(OK) 3. 单击“文件”(File) > “打开”(Open) 然后双击 CURVATURE_CURVE.PRT。
带形状参数的C~2连续类三次三角样条曲线
１ 引言
在计算机辅助几何设计（ Ａ Ｄ） Ｂ样条曲线 Ｃ Ｇ 中， 由于能 简洁完 美地表 示 自由曲线而受 到广 泛的应 用 。但Ｂ样条 曲线也存在不足 ， 一方面 ， 当给定控制 顶点时 ， Ｂ样条曲线的形状无法调整 ； 另一方面 ， 样 Ｂ 条曲线无法精确表示工业设计 中经常遇到的 圆 、 椭 圆、 抛物 线等二 次 曲线 。作为 Ｂ样条 曲线 的发展 ， Ｎ ＲＳ Ｕ Ｂ 曲线虽然能满足形状调整及表示某些圆锥 曲 线的要求 ， Ｎ Ｒ 的每个控制顶点都需要一个权 但 Ｕ ＢＳ 因子 ， 在定义 曲线曲面时需要较多的存储空间 ， 而且 其权 因子与参数化问题 至今仍未完全解决 。另外 ， 由于 Ｎ Ｒ 方法采用有理形式表示曲线 曲面 ， Ｕ ＢＳ 因此
Ｂ ｓｌ ｅｃ ｒｅ ａｄｔｅｓ ａ ｅｃｎｂ ｄｕ ｔｄｂ ｓ ｇｔｅｓａ ｅ ａａ ｔｒ ｈ ｎｔｅｃｎｒ ｌ ｏｎｓ ｒ ｘ ｄ Ｆ ｒ —ｐｉ ｕｖ ， ｎ ｈ ｐ ａ ｅａｊ ｓ ｙｕｉ ｈ ｐ ｒｍｅ ｅ ｏ ｔ ｉｔ ａｅｆ ｅ ． ｕ 。 ｎ ｈ ｅ ｎ ｈ ｐ ｅｗ ｈ ｏｐ ｉ
Ｋｅ ｏ ｄ ｙ ｗ ｒ ｓ：ｔｉ ｏ ｍ ｅｒｃｆ ｃ ｉ ｎｓ ｓ ｉ ｕｒ ； ｈ ｐ ｒ ｍ ｅｅ ｒｇ ｎｏ ｔｉ ｕｎ ｔｏ ； ｐｌ ｎｅｃ ｖｅ ｓ ａ ｅｐａ ａ ｔ ｒ
摘
要： 传统的三次均 匀Ｂ 样条曲线在给定控制顶点时其形状不能调整 ， 以及不能精确表示圆锥曲线。针对三次
均 匀Ｂ 样条曲线的不足 ， 出了一种带形状参数的 ｃ 连续的类三次三角样条曲线。该曲线不仅与三次均匀Ｂ 提 ０ 样 条曲线具有相似的性质， 而且在控制顶点保持 不变时其形状可通过形状参数 的取值进行调整 。在适 当条件下， 类
三次三角样条曲线比三次均匀Ｂ 样条曲线更能逼近于控制多边形， 且能精确表示圆、 椭圆、 抛物线等圆锥曲线。 关键 词 ： 角 函数 ； 条 曲线 ； 三 样 形状 参数 文 章编 号 ：０ ２８ ３ （ ０ ２ ３ —２ １ ４ 文 献标 识码 ： １ ０ ．３ １２ １ ） ００ ０ ． ０ Ａ 中 图分类 号 ： Ｐ ９ Ｔ ３１
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样条曲线 c2连续
样条曲线是一种常用于数学建模和计算机图形学中的曲线类型。
C2连续是指样条曲线在连接点处连续到二阶导数。
这意味着在连接
点处，曲线不仅在位置上连续，而且在斜率和曲率上也是连续的。
从数学角度来看，C2连续要求样条曲线在连接点处的二阶导数
相等，这样可以确保曲线在连接点处没有突变或拐点，使得曲线在
视觉上更加平滑和自然。
从应用角度来看，C2连续的样条曲线常常用于设计工程、计算
机辅助设计（CAD）、动画制作等领域。
在这些领域中，C2连续的
曲线能够更好地模拟真实世界中的曲线和表面，提高设计的真实感
和逼真度。
此外，C2连续的样条曲线还在工程制图、航空航天领域以及医
学图像处理等领域有着广泛的应用。
在这些领域中，C2连续的曲线
可以更准确地描述复杂的曲线轮廓，为工程设计和科学研究提供了
重要的数学工具。
总之，C2连续的样条曲线在数学建模和工程应用中扮演着重要
的角色，其平滑性和连续性使得它成为了许多领域中不可或缺的工具。
通过对C2连续样条曲线的深入理解和应用，我们可以更好地处理和表达复杂的曲线和曲面，推动科学技术的发展和应用。