定积分习题及答案教学内容

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定积分习题与答案

第五章定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==与横轴所围成的图形的面积。

2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： 3．估计下列各积分的值4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x⎰10)2与⎰+10)1(dx x5．计算下列各导数 6．计算下列极限7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？8．计算下列各积分⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： 10.计算下列定积分11.利用函数的奇偶性计算下列积分12．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx x x14．计算下列定积分15.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。

1）⎰∞+14xdx2）⎰+∞-0dx e ax ()0>a3）dx ee x x ⎰∞+-+014）⎰+∞->>0)0,0(sin ωωp tdt e pt5）⎰-121x xdx 6）⎰-211x xdx7）⎰∞+∞-++222x x dx8）()⎰-e x x dx 12ln 1 (B)1．填空： 1）________)12111(lim =++++++∞→nn n n n 。

2）估计定积分的值：_____sin 1____342≤+≤⎰ππx dx。

3）运用积分中值定理可得：⎰-→xa a x x f dt t f a x )(()(1lim 是连续函数）＝________，______)0(sin lim =>⎰+∞→a dx xxa n n n 。

17定积分与微积分基本定理(含答案)

17定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1 b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个□01常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝lim n →∞ ∑ni ＝1b －an f (ξi )．其中f (x )称为□02被积函数，a 称为积分□03下限，b 称为积分□04上限． 2.定积分的几何意义性质1：⎠⎛a b kf (x )d x ＝□01k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．性质2：⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝□02⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a b g (x )d x . 性质3：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋□03⎠⎛c b f (x )d x . 4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝□01F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛abf (x )d x ＝F (x )b a ＝□02F (b )－F (a )． 5．定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S . (1)S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；(2)S ＝□01－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)S ＝□02⎠⎛ac f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ； (4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x . 6．定积分与函数奇偶性的关系函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0.练习1.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( ) A.8ln 3 B ．8 C.9ln 3D ．9答案 A解析设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点E (2,9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023x d x ＝＝8ln 3. 2.已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0 到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20 答案 B 解析3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在答案 C 解析＝＝13x 310＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2－12×22－⎝⎛⎭⎪⎫2－12＝13＋4－2－2＋12＝56. 4. ＝( )A ．7 B.223 C.113 D ．4答案 C 解析＝＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －x 3310＝4－13＝113.5. 的值为________．答案 2(e －1) 解析＝2⎠⎛01e x d x ＝2·e x 10＝2(e －1)．6．若f (x )＝3＋2x －x 2，则＝________.答案 π解析令y ＝3＋2x －x 2，则(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，所以函数f (x )的图象是以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x 轴上方(包括x 轴)的部分，所以＝14×π×22＝π7．如图，已知点A (0,1)，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上移动，过P 点作PB垂直x 轴于点B ，若图中阴影部分的面积是四边形AOBP 面积的13，则P 点的坐标为________．答案 (1,1)解析由题意，点P (x 0，y 0)，则梯形AOBP 的面积为12(1＋y 0)x 0＝12(1＋x 20)x 0，且阴影部分的面积为又阴影部分的面积是梯形AOBP 面积的13，∴13x 30＝13×12(1＋x 20)x 0，解得x 0＝0或x 0＝±1；取x 0＝1，则y 0＝1，∴P 点的坐标为(1,1)．8.如图，矩形OABC 中曲线的方程分别是y ＝sin x ，y ＝cos x .A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.43－1πB.42－1πC ．4(3－1)πD ．4(2－1)π答案 B解析由题可知图中阴影部分的面积故选C.9．如图，点M 在曲线y ＝x 上，若由曲线y ＝x 与直线OM 所围成的阴影部分的面积为16，则实数a 等于( )A.12B.13C ．1D ．2答案 C解析由题意，M (a ，a )，直线OM 的方程为y ＝xa，故所求图形的面积为得a ＝1，故选C.10．若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(A >0，ω>0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．答案2－32解析由图可知，A ＝1，T 2＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，T ＝2π，∴ω＝1，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴图中的阴影部分的面积为＝1－32＝2－32. 11．一物体做变速直线运动，其 v t 曲线如图所示，则该物体在12～6 s 间的运动路程为________ m.答案 494解析由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 0≤t <1，21≤t ≤3，13t ＋13<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得所以物体在12～6 s 间的运动路程是494m.12．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g答案 C解析由题意知电视塔高为＝2g －12g ＝32g .13.若则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1 答案 B 解析因为所以，S 2<S 1<S 3.14．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．5 3 C.323D.353答案 C解析联立⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝3－x 2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－6，由图可知，阴影部分的面积可表示为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×－3－13×－33－－32＝323. 15．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5000B ．6667C ．7500D ．7854答案 B解析图中阴影部分的面积为⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 310＝23，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为10000×23≈6667，故选B.16．若＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 ∵(x 2)′＝2x ，(ln x )′＝1x ，∴⎠⎛1a⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝＝(a 2－1)＋ln a ，由＝3＋ln 2(a>1)，所以(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2，所以a ＝2.17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．－2答案 C解析由f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ，得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝0是原函数的一个极值点，∴f ′(0)＝b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，⎠⎛a 0(x 3－ax 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－13ax 30a＝0－a 44＋a 43＝a 412＝112，∴a ＝±1.函数f (x )与x 轴的交点横坐标一个为0，另一个为a ，根据图形可知a <0，得a ＝－1.18．如图，由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积为________．答案4 3解析令y＝－1得到A(－2，－1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(2，－1)．设围成的图形的面积为S，因为y轴两边的阴影部分关于y轴对称，所以。

定积分典型例题20例标准答案

定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x nD =，然后把2111n n n =×的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim (2)n n n n n ®¥+++=333112lim ()n n n n nn ®¥+++=13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³) 与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp --ò=22021sin cos t tdt p-ò=2202cos tdt pò=2p例3 （1）若22()x t x f x e dt -=ò，则()f x ¢=___；（2）若0()()xf x xf t dt =ò，求()f x ¢=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ¢¢=-ò．解（1）()f x ¢=422x x xee---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x-=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)xF x dt x t =->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x ¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求．例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0tf g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例8 求 22sin lim(sin )x x x tdt t t t dt®-òò；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则．解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt ®-òò=2202(sin )lim(1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)lim sin x x x®-×=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．x (,0)-¥(0,1)1 (1,)+¥()f x ¢-＋－例9 试求正数a 与b ，使等式2021lim1sin xx t dt x b x a t®=-+ò成立．成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由 2012lim11cos x x xaa®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求．例10 设sin 20()sin xf x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x g x x x ®®×=+ 2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x x x ®®=×+ 22011lim 33x x x ®==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f xg x x x x ®®®-+-+===++．例11 计算21||x dx -ò．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例12 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()baf x dx ò是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x xdx x-++-ò．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解2112211x x dx x -++-ò=211112221111xxdx dx x x--++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211xx +-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是 2112211x xdx x-++-ò=212411x dx x+-ò=2212(11)4x x dx x--ò=11200441dx x dx --òò由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例14 计算22()x d tf x t dt dx -ò，其中()f x 连续．连续．分析要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以22()x tf x t dt -ò=201()()2xf u du -ò=21()2x f u du ò，故220()x d tf x t dt dx -ò=201[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ．错误解答 22()x d tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元．例15 计算3sin x xdx pò．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解 3s i n x x d x pò3(c o s )x d x p=-ò330[(c o s )](co s )x x x d x pp=×---ò 30cos 6xdx pp=-+ò326p=-．例16 计算1200ln(1)(3)x dx x +-ò．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò 11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx pò．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin xe xdx pò20sin xxde p=ò220[sin ]cos xxe x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（1）而2cos xe xdx pò20cos xxde p=ò2200[cos ](sin )xxe x e x dx p p=-×-ò 2sin 1xe xdx p=-ò，（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]xe e xdx p p=--ò,故20sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例18 计算10arcsin x xdx ò．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò．（1）令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t tp =-ò220sin cos cos t tdt tp=×ò220sin tdt p=ò 201cos 22t dt p-==ò20sin 2[]24t t p-4p =．（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例19设()f x [0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cos f x f x xdx p ¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x p p¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp¢¢¢=-++òò()(0)2f f p ¢¢=--=．故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例20 计算2043dx x x +¥++ò．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+ =ln 32．。

定积分典型例题及习题答案

04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这些点的近似值，然后将这些近似值进行求和，最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。

定积分题目及答案

定积分题目及答案定积分（DefiniteIntegral）是求解一定范围内函数值的积分，也就是说获得一定范围內函数的总和。

定积分可以用于计算曲线围成的面积，这就是经典地定积分公式，即：∫a b f(x)dx = F(b) - F(a)这里F(x)表示从x = a 到 x = b 的函数f(x)在任意取值时f(x)的积分，从数学上讲就是函数F(x)的反函数，叫做反积分，是微积分领域里最重要的概念之一。

解定积分问题，就要先根据函数的特性和定积分区间确定积分的类型，然后用定积分的几何形式和数学形式来求解。

一、几何形式法几何形式法在求由直线交织而成的函数的积分时特别有用，常见的几何形式有落圆式，锐角式，三角式，折线式，对称折线式等。

求几何形式法的定积分可以根据公式：∫a b f(x)dx = (b-a)hf(i)公式中，i表示定积分区间的分割点，h表示该分割点的步长，即f(i)表示该分割点处的函数值。

二、数学形式法将定积分的问题转化成数学形式，然后求得结果，就是用数学形式法求定积分。

数学形式法主要分三步：1）先要得到积分函数函数原函数 F（x）的易解形式；2）再利用这个易解形式，求出F（x）在指定范围内的积分 F（b）-F（a）；3）最后返回结果。

例题1：求函数f ( x )=3x3-2x2-x+（1）在区间［2,6］内的定积分解：F(x)=x^4-x^3-0.5*x^2+CF(6)-F(2)=1093/2-21+C∫2 6f ( x )dx=1093/2-21+C例题2：求函数 f ( x )=2x2-3x2+（1）在区间［0,1］内的定积分解：F(x)=-x^3+x^2+CF(1)-F(0)=-1+C∫0 1f ( x )dx=-1+C。

定积分试题及答案详解

定积分试题及答案详解1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

答案：首先，我们需要找到被积函数 $x^2$ 的原函数。

原函数为$\frac{1}{3}x^3$。

接下来，我们计算定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} - 0 =\frac{1}{3}\]所以，定积分的值为 $\frac{1}{3}$。

2. 求定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。

答案：对于被积函数 $\frac{1}{x}$，其原函数为 $\ln|x|$。

计算定积分：\[\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{2} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\]因此，定积分的值为 $\ln(2)$。

3. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$。

答案：被积函数 $\sin(x)$ 的原函数是 $-\cos(x)$。

计算定积分：\[\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2\]所以，定积分的值为 2。

4. 求定积分 $\int_{0}^{1} (2x + 3) dx$。

答案：被积函数 $2x + 3$ 的原函数为 $x^2 + 3x$。

计算定积分：\[\int_{0}^{1} (2x + 3) dx = [x^2 + 3x]_{0}^{1} = (1^2 + 3\cdot 1) - (0^2 + 3 \cdot 0) = 1 + 3 - 0 = 4\]因此，定积分的值为 4。

定积分习题及讲解

定积分习题及讲解第四部分定积分[选择题]容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。

1．积分中值定理⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ,其中( ）。

(A ） ξ是],[b a 内任一点；（B ）。

ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C ）. ξ是],[b a 内唯一的某一点；（D ）。

ξ是],[b a 的中点.答B2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x，其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续,则=c （）。

（A).0=c ; (B)。

1=c ; (C ）.c 不存在；（D)。

1-=c . 答A3．a dx x x I an nn (,1sin lim ⎰=+∞→为常数）由积分中值定理得⎰=+a n n a dx xx ξξ1sin 1sin ,则=I （）。

(A ）aa a a an 1sin1sinlim 1sinlim 2==→∞→ξξξξξ；定积分习题及讲解（B ）。

01sinlim 0=→ξξa ；(C)。

a a =∞→ξξξ1sinlim ;(D ）.∞=∞→ξξξ1sinlim a .答C4．设)(x f 在],[b a 连续，⎰=x a dt t f x )()(ϕ，则( ）。

(A).)(x ϕ是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B)。

)(x f 是)(x ϕ的一个原函数； (C). )(x ϕ是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D)。

)(x f 是)(x ϕ在],[b a 上唯一的原函数.答A5．设0)(=⎰b a dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ).(A).0)(≡x f ;(B ）。

必存在x 使0)(=x f ;（C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D ）。

不一定存在点x 使 0)(=x f 。

第6章定积分的应用习题集及答案

第六章习题定积分的应用一．选择题1．曲线x y ln =、a y ln =、b y ln =（b a <<0）和y 轴所围图形的面积为（ C ）（A ）⎰ba xdx ln ln ln ；（B ）⎰be a e xdx e ；（C ）⎰ba ydy e ln ln ；（D ）⎰ae b e xdx ln ．2．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方和y 轴右方所围图形的面积为（a ）（A ）⎰-10)(dx ex e x ；（B ）⎰-edy y y y 1)ln (ln ；（C ）⎰-e x x dx x e e 1)(；（D ）⎰-10)ln (ln dy y y y ．3．摆线)sin (t t a x -=、)cos 1(t a y -=（0>a ）的一拱（π20≤≤t ）与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为（ D ）（A ）⎰-ππ2022)cos 1(dt t a ；（B ）⎰--at t a d t a ππ2022)]sin ([)cos 1(；（C ）⎰-a dt t a ππ2022)cos 1(；（D ）⎰--ππ2022)]sin ([)cos 1(t t a d t a ． 4．曲线θρcos 2a =(0>a )所围图形的面积为（ D ）（A ）⎰22)cos 2(21πθθd a ；（B ）⎰-ππθθd a 2)cos 2(21；（C ）⎰πθθ202)cos 2(21d a ；（D ）⎰202)cos 2(212πθθd a ．5．连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =（b a <≤0）及x 轴围成的图形绕y 轴旋转一周生成的旋转体体积为（ B ）（A ）⎰ba dx x xf )(2π；（B ）⎰ba dx x f x )(2π；（C ）⎰ba dx x xf )(22π；（D ）⎰ba dx x f x )(22π． 6．半径为R 的半球形水池已装满水．要将水全部吸出水池，需做功的为（ C ）（A ）⎰-Rdy y R 022)(π；（B ）⎰Rdy y 02π；（C ）⎰-Rdy y R y 022)(π；（D ）⎰Rdy y 03π．二．计算题1．求曲线221x y =与822=+y x 所围图形（上半平面部分）的面积．解：易知：曲线221x y =与822=+y x 的交点为(2,2)±。

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定积分习题及答案第五章定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ； 13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。

(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。

4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。

6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。

8．()2221limn n n n n +++∞→Λ。

9．求∑=∞→+nk nk n k n nen e12lim 。

10．设()x f 是连续函数，且()()⎰+=12dt t f x x f ，求()x f 。

11．若⎰=-2ln 261xte dt π，求x 。

12．证明：⎰---<<212121222dx e ex 。

13．已知⎰∞+-+∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a xxx dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。

14．设()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0,0,12x e x x x f x，求()⎰-312dx x f 。

15．设()x f 有一个原函数为x 2sin 1+，求()⎰'202πdx x f x 。

16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()⎰31dxx f 最小。

17．已知()2x ex f -=，求()()⎰'''1dx x f x f 。

18．设()()()⎰⎰+-=1222dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。

19．()()[]⎰'-π2sin cos cos cos dx x x f x x f 。

20．设0→x 时，()()()dt t f t x x F x ''-=⎰022的导数与2x 是等价无穷小，试求()0f ''。

(C 层次)1．设()x f 是任意的二次多项式，()x g 是某个二次多项式，已知()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰12140611f f f dx x f ，求()dx xg b a ⎰。

2．设函数()x f 在闭区间[]b a ,上具有连续的二阶导数，则在()b a ,内存在ξ，使得()()()()ξf a b b a f a b dx x f ba''-+⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰32412。

3．()x f 在[]b a ,上二次可微，且()0>'x f ，()0>''x f 。

试证()()()()()()2a fb f a b dx x f a f a b ba +-<<-⎰。

4．设函数()x f 在[]b a ,上连续，()x f '在[]b a ,上存在且可积，()()0==b f a f ，试证()()dx x f x f ba⎰'≤21(b x a <<)。

5．设()x f 在[]1,0上连续，()01=⎰dx x f ，()11=⎰dx x xf ，求证存在一点x ，10≤≤x ，使()4>x f 。

6．设()x f 可微，()00=f ，()10='f ，()()d t t x tf x F x⎰-=022，求()4limx x F x →。

7．设()x f 在[]b a ,上连续可微，若()()0==b f a f ，则()()()x f dx x f a b bx a ba'≤-≤≤⎰max 42。

8．设()x f 在[]B A ,上连续，B b a A <<<，求证()()dx kx f k x f b ak ⎰-+→0lim()()a f b f -=。

()()()dt t f t x x F x⎰-=03，证明：(1)()x F 为奇函数；(2)()x F 在[)+∞,0上单调减少。

10．设()x f 可微且积分()()[]dt xt xf x f ⎰+10的结果与x 无关，试求()x f 。

11．若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：()()[]⎰=''+π3sin xdx x f x f 。

12．求曲线()()⎰--=xdt t t y 021在点(0,0)处的切线方程。

13．设()x f 为连续函数，对任意实数a 有()⎰+-=aadx x xf ππ0sin ，求证()()x f x f =-π2。

14．设方程()⎰-=--yx tdt y x tg x 02sec 2，求22dxyd 。

15．设()x f 在[]b a ,上连续，求证：()()[]()()a f x f dt t f h t f hxa h -=-+⎰+→1lim 0(b x a <<) 16．当0≥x 时，()x f 连续，且满足()()x dt t f x x =⎰+102，求()2f 。

17．设()x f 在[]1,0连续且递减，证明()()⎰⎰≤λλ010dx x f dx x f ，其中()1,0∈λ。

18．设()x f '连续，()()()dt t a f t f x F x-'=⎰20，()00=f ，()1=a f ，试证：()()122=-a F a F 。

19．设()x g 是[]b a ,上的连续函数，()()dt t g x f xa⎰=，试证在()b a ,内方程()()0=--ab b f x g 至少有一个根。

20．设()x f 在[]b a ,连续，且()0>x f ，又()()()dt t f dt t f x F xbxa⎰⎰+=1，证明：21．设()x f 在[]a 2,0上连续，则()()()[]⎰⎰-+=aa dx x a f x f dx x f 0202。

22．设()x f 是以π为周期的连续函数，证明：()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x 。

23．设()x f 在[]b a ,上正值，连续，则在[)b a ,内至少存在一点ξ，使()()()⎰⎰⎰==ba badx x f dx x f dx x f 21ξξ。

24．证明()()()()⎰⎰⎰++=+1001ln 1lnln du u f du u f u f dt t x f x 。

25．设()x f 在[]b a ,上连续且严格单调增加，则()()()⎰⎰<+ba b a dx x xf dx x f b a 2。

26．设()x f 在[]b a ,上可导，且()M x f ≤'，()0=a f ，则()()22a b Mdx x f b a-≤⎰。

27．设()x f 处处二阶可导，且()0≥''x f ，又()t u 为任一连续函数，则()()()⎪⎭⎫⎝⎛≥⎰⎰a a dt t u a f dt t u f a 0011，()0>a 。

28．设()x f 在[]b a ,上二阶可导，且()0<''x f ，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤⎰2b a f a b dx x f b a。

29．设()x f 在[]b a ,上连续，且()0≥x f ，()0≤⎰badx x f ，证明在[]b a ,上必有()0≡x f 。

30．()x f 在[]b a ,上连续，且对任何区间[][]b a ,,⊂βα有不等式()δβααβ+-≤⎰1M dx x f (M ，δ为正常数)，试证在[]b a ,上()0≡x f 。

第五章定积分(A)1．⎰203cos sin πxdx x解：原式41cos 41cos 204203=-=-=⎰ππx xdx2．⎰-adx x a x 0222解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2π=t原式⎰⋅⋅=2022cos cos sin πtdt a t a t a()⎰⎰-==20420244cos 182sin 4ππdt t a tdt a42044164sin 41828a t a a πππ=-=3．⎰+31221xxdx解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为4π，3π原式θθθθππd tg ⎰=3422sec sec()⎰-=342sin sin ππθθd3322-= 4．⎰--1145xxdx解：令u x =-45，则24145u x -=，udu dx 21-= 当1-=x ，1时，1,3=u原式()61581132=-=⎰du u 5．⎰+411x dx解：令t x =，tdt dx 2=当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=⎰⎰⎰2121211212t dt dt t tdt ()[]32ln221ln 22121+=+-=t t 6．⎰--14311x dx解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43=x 时0,21=u 原式2ln 21111212210021-=-+-=--=⎰⎰du u u du u u7．⎰+21ln 1e xx dx解：原式()⎰⎰++=+=2211ln 1ln 11ln ln 11e e x d xx d x232ln 1221-=+=e x8．⎰-++02222x x dx解：原式()()⎰--+=++=0222111x arctg x dx()24411πππ=+=--=arctg arctg9．dx x ⎰+π2cos 1解：原式⎰⎰==ππ2cos 2cos 2dx x dx x()⎰⎰-+=πππ220cos 2cos 2dx x xdx22sin sin 2220=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππx x 10．dx x x ⎰-ππsin 4解：∵x x sin 4为奇函数∴⎰-=ππ0sin 4xdx x11．dx x ⎰-224cos 4ππ解：原式()⎰⎰=⋅=222204cos 22cos 24ππdx x xdx()()⎰⎰++=+=2022022cos 2cos 2122cos 12ππdx x x dx x()⎰⎰+++=2020204cos 12cos 22πππdx x xdx x⎰+++=202044cos 4122sin 2ππππx xd x πππ234sin 412320=+=x 12．⎰-++55242312sin dx x x xx 解：∵12sin 2423++x x xx 为奇函数 ∴012sin 552423=++⎰-dx x x xx 13．⎰342sin ππdx x x解：原式⎰-=34ππxdctgx⎰+-=3434ππππctgxdx xctgx34sin ln 9341πππx +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22ln 23ln 9341-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 23ln 219341+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 14．⎰41ln dx xx解：原式⎰=41ln 2x xd⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4141ln ln 2x d x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4112ln 42dx x x⎰--=412122ln 8dx x42ln 8-= 15．⎰10xarctgxdx解：原式⎰=10221arctgxdx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰1022102121dx x x arctgx x ⎰⎰++-=10210121218x dxdx π101021218arctgx x +-=π214-=π16．⎰202cos πxdx e x解：原式⎰=202sin πx d e x⎰⋅-=2022022sin sin ππdx e x xe x x⎰+=202cos 2ππx d e e x⎰⋅-+=2022022cos 2cos 2πππdx e x xe e x x⎰--=202cos 42ππxdx e e x故()251cos 202-=⎰ππe xdx e x 17．()dx x x ⎰π2sin 解：原式()⎰⎰-==ππ020222cos 1sin dx xx dx x x ⎰⎰-=ππ02022cos 2121xdx x dx x⎰-=ππ232sin 4161x d x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--=⎰πππ002322sin 2sin 416xdx x x x⎰-=ππ032cos 416x xd 462cos 2cos 4163003πππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰xdx x x 18．()dx x e⎰1ln sin解：原式()()⎰⋅-=e edx xx x x x 111ln cos ln sin()⎰-=edx x e 1ln cos 1sin()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=⎰e e dx x x x x x e 111ln sin ln cos 1sin()⎰-+-=edx x e e 1ln sin 11cos 1sin故()()11cos 1sin 2ln sin 1+-=⎰edx x e19．⎰--243cos cos ππdx x x解：原式()⎰--=242cos 1cos ππdx x x()⎰⎰+-=-2004sin cos sin cos ππxdx x dx x x()()223423cos 32cos 32ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-x x32344-=20．⎰+4sin 1sin πdx xx解：原式()⎰--=42sin 1sin 1sin πdx xx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4022cos sin πdx x tg x x ()⎰⎰---=402421sec cos cos ππdx x xxd ()242cos 14040-+=--=πππx tgx x21．dx xxx ⎰+π02cos 1sin解：令t x -=2π，则原式⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2222cos 12sin 2πππππdt t t t⎰-+-+-=2222sin 1cos sin 1cos 2πππdt t t t t t()4sin sin 1cos 220202πππππ==+=⎰t arctg dt tt 22．⎰-+2111lndx xxx 解：原式⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2102211ln x d x x ()()()⎰--+--⋅+-⋅--+=210222102111111211ln 2dx x x x x x x x x x ⎰-+=210221ln 3ln 81dx x x ⎰⎰-++=210221013ln 81x dxdx21011ln 21213ln 81+-++=x x3ln 8321-=23．⎰∞+∞-++dx x x 4211 解：原式⎰⎰∞+∞+++=++=0222042111211dx x xx dx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+x x d x x 1211202π221220=-=+∞+x x arctg24．⎰20sin ln πxdx解：原式()⎰⎰++⎪⎭⎫ ⎝⎛-==40220cos ln sin ln 2ln 22cos 2sin 2ln ππdt t t dx x x t x 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰4040cos ln sin ln 22ln 2πππtdt tdt⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰⎰-=24402sin ln sin ln 22ln 2πππππudu tdt ut⎰+=20sin ln 22ln 2ππtdt故2ln 2sin ln 20ππ-=⎰xdx25．()()⎰∞+++0211αx x dx()0≥α解：令t x 1=，则dt tdx 21-=原式()()⎰⎰∞+∞+++=+⋅+-=020********ααααt t dt t tt t t dt t ∴()()()()()()⎰⎰⎰∞+∞+∞++++++=++0202021111112ααααxx dxx x x dx x x dx 21102π==+=∞+∞+⎰arctgx dx x故()()41102πα=++⎰∞+xx dx(B)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyt tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy。