2
1. ∵0
3
π. (II)m n ?=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2
A +4k sin A +1,A ∈(0,
3
2π) …
设sin A =t ,则t ∈]1,0(.
则m n ?=-2t 2
+4kt +1=-2(t -k )2
+1+2k 2
,t ∈]1,0(.
∵k >1,∴t =1时,m n ?取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =
2
3. 3 ．在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22
sin 2sin
=++C
B A . I.试判断△AB
C 的形状;
II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.
【解析】:I.)4
2sin(22sin 2cos 2sin
2
sin
ππ+=+=+-C C C C C
￥
2
242π
ππ==+∴
C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2
)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,
此时面积的最大值为()
24632-.
4 ．在ABC ?中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,4
3cos =
A , (1)求
B
C cos ,cos 的值; (2)若2
27
=
?,求边AC 的长? 【解析】:(1)8
1116921cos 22cos cos 2=-?
=-==A A C
4
7
sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由
~
()16
9
814387347cos cos sin sin cos cos =?-?=
-=+-=∴C A C A C A B (2)24,2
27
cos ,227=∴=∴=?ac B ac BC BA ① 又a A a c A C C c A a 2
3cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=6
2516
9
483616cos 2222=?
-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.
5 ．已知在ABC ?中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652
=+-x x 的两个根.
(Ⅰ)求)tan(B A +的值;
》
(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.
【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652
=+-x x 的两根tan 3,
tan 2A B ==.
∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
-23
1123
+==--?
(Ⅱ)∵
180=++C B A ,∴)(180B A C +-=
.
由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,
∵C 为三角形的内角,∴2sin 2
C =
∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴3sin 10
A =
, 由正弦定理得:
sin sin AB BC
C A
=
，
∴53352102
BC =
?=. 6 ．在
ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量
()
2sin ,3m B =-,2cos 2,2cos 12B n B ?
?=- ??
?,且//m n ?
(I)求锐角B 的大小;
(II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值?
【解析】:(1) //m n
2sinB(2cos 2B
2
-1)=-3cos2B
2sinBcosB=-3cos2B tan2B=- 3
∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π
3
(2)由tan2B =- 3
B=π3或5π
6
)
①当B=π
3
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a 2
+c 2
-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=3
4ac ≤3
∴△ABC 的面积最大值为 3
②当B=5π
6
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a 2
+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)
∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14
ac≤ 2-3
>
∴△ABC 的面积最大值为2- 3
7 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.2
12
2
2
ac b c a =
-+ (1)求B C
A 2cos 2
sin 2
++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.
【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=14
2
sin 2
A C ++cos2B= 41
-
(2)由.4
15sin ,41cos ==
B B 得 ∵b =2, a
2
+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤3
8
, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号)
：
故S △ABC 的最大值为
3
15
8 ．已知)1(,tan >=a a α
,求
θθπ
θπ2tan )
2
sin(
)
4sin(
?-+的值? 【解析】
a
a
-12;
9 ．已知()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ?
?-?+?+ ???=????
-?+?- ? ????
?
(I)化简()f
α
(II)若α是第三象限角,且31
cos 25
πα??-=
???,求()f α的值? 【解析】
<
10．已知函数f(x)=sin 2
x+3sinxcosx+2cos 2
x,x ∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到
【解析】:(1)1cos 23
()2(1cos 2)22
x f x x x -=
+++ 313
2cos 2223
sin(2).
62x x x π=
++=++
()f x ∴的最小正周期2.2
T π
π=
= 由题意得222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈ 即 ,.3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ?
?-+∈???
?
？
(2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12
π
个单位长度, 得到sin(2)6y x π
=+
的图象,再把所得图象上所有的点向上平移3
2个单位长度, 就得到3
sin(2)62
y x π=++的图象?
11．已知???
? ??-=23,23a
,)4cos ,4(sin x
x b ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间?
(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3
4
,0[∈x 时,)(x g y =的最大值?
【解析】:(1))3
4sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=
x x x x f
∴当
]22
3,
22
[
3
4ππ
ππ
π
πk k x ++∈-时,)(x f 单调递减 )
解得:]83
22
,8310[
k k x ++∈时,)(x f 单调递减? (2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称
∴???
??
?--=
-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g
??
?
??+=??????--=34cos 3342sin 3πππππx x
∵]3
4,0[∈x ∴
??????∈+
32,334
πππ
πx
∴]21,21[34cos -∈???
??+ππx ∴0=x 时,2
3
)(max =
x g 12．已知cos 2sin α
α=-,求下列各式的值; (1)2sin cos sin 3cos αααα
-+;
；
(2)2
sin 2sin cos ααα+
【解析】:
1
cos 2sin ,tan 2
ααα=-∴=-
(1)
121
2sin cos 2tan 1421sin 3cos tan 3532αααααα???-- ?--??===-++-+
(2)22
22
sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos ααα
ααααα
++=+ 2
2
2
2112tan 2tan 322tan 15112ααα????-+?- ? ?+????===-+??
-+ ???
13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数
()()f x a a b =?+
(I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3
()2
f x ≥
成立的x 的取值集合?
#
【解析】
14．已知向量)1,32(cos --
=α,)1,(sin α=n ,与为共线向量,且]0,2
[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求
α
αα
cos sin 2sin -的值.?【解析】:(Ⅰ) m 与n 为共线向量, 0sin )1(1)3
2
(cos =?--?-
∴αα, 即3
2cos sin =
+αα (Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12
=
+=+ααα ,9
72sin -=∴α [
2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,
9
16
)32(
2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[π
α-
∈ ,0cos sin <-∴αα,34
cos sin -=-αα 因此,
12
7
cos sin 2sin =-ααα 15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座
灯塔的塔顶?测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,0
30,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为0
60,AC=0.1km ?试探究图中B,D
间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果精确到0.01km,2≈,6≈
【解析】:在ACD ?中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°,
所以CD=AC=
又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,
<
故CB 是CAD ?底边AD 的中垂线,所以BD=BA 在ABC ?中,
ABC
AC
BCA AB ∠=
∠sin sin , 即AB=
20
6
2351sin 60sin +=??AC
因此,km 33.020
6
23≈+=
BD
故 B ．D 的距离约为0.33km ?
16．已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈(其中0,0,02
A π
ω
?>><<
)的图象与x 轴的交点中,相邻两
个交点之间的距离为
2
π
,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.
(Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122x ππ
∈,求()f x 的值域.
【解析】： (1)由最低点为2(,2)3
M π
-得A=2.
！
由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为
2π得2T =2
π
,即T π=,222T ππωπ===
由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππ
???+=-+=-即sin(
故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126
k π?π∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππ
??∈∴==+故
(2)7[,],2[,]122636x x πππππ
∈∴+∈
当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+=
即2
x π
=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]
17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知
50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深
110CF m =,求∠DEF 的余弦值?
。
【解析】:作//DM AC 交BE 于N ,交CF 于M .
22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=,
2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=
在DEF ?中,由余弦定理,
2222221301501029816
cos 2213015065
DE EF DF DEF DE EF +-+-?∠===???
18．已知51cos sin =
+θθ
，),2
(ππ
θ∈， 求（1）sin cos θθ-（2）3
3sin
cos θθ-（3）44sin cos θθ+
，
【解析】：（1）3344791337
sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625
θ
θθθθθ-=-=+=
19．已知函数)sin(?ω+=x A y （0>A ， 0ω>，π?<||）的一段图象
如图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间。
，
【解析】：（1）由图象可知： 322288T T ππππω????=--=?== ??????
?；()2222A --== ∴()2sin 2y x ?=+ ，又∵28π??
-
???
，为“五点画法”中的第二点 ∴32824πππ?????-+=?= ??? ∴所求函数解析式为：32sin 24y x π??=+ ??
? （2）∵当()3222422x k k k Z πππππ??+∈-++∈ ???
，时，()f x 单调递增
∴()552224488x k k x k k k Z ππππππππ????∈-
+-+?∈-+-+∈ ? ?????
，， 20．已知ABC ?的内角A ． B ．C 所对边分别为a 、b 、c ，设向量
)2
cos
),cos(1(B
A B A m -+-=， )2cos ,85(B A n -=，且8
9
=?n m .
^
（Ⅰ）求B A tan tan ?的值；
（Ⅱ）求
2
22sin c b a C
ab -+的最大值.
【解析】（Ⅰ）由89=?n m ，得8
92cos )]cos(1[852=-++-B A B A 即 892)cos(1)]cos(1[85=-+++-B A B A
也即 )cos(5)cos(4B A B A +=-
∴B A B A B A B A sin sin 5cos cos 5sin sin 4cos cos 4-=+ ∴B A B A cos cos sin sin 9= ∴9
1tan tan =
B A 21．已知函数
)]4
2sin(21)[tan 1()(π
+
+-=x x x f ，求：
；
（1）函数)(x f 的定义域和值域； （2）写出函数)(x f 的单调递增区间。
【解析】:??
?
??++??? ?
?-
=4sin 2cos 24cos 2sin 21cos sin 1)(ππx x x x x f ()
x x x x x 2
cos 2cos sin 2cos sin 1+??
? ??-=()()x x x x sin cos sin cos 2+-= )sin (cos 222x x -=x 2cos 2=
（Ⅰ）函数的定义域 ?
???
??∈+
≠∈Z k k x R x x ,2,|π
π Z k k x ∈+≠,22ππ ,22cos 2-≠∴x
函数)(x f 的值域为(]2,2-
（Ⅱ）令)(,222Z k k x k ∈≤<-πππ得)(2
Z k k x k ∈≤<-
ππ
π
（
∴函数)(x f 的单调递增区间是)(,2Z k k k ∈??
?
?
?
-
ππ
π 22．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距
离为0.8m ，60秒转动一圈．途中OA 与地面垂直．以OA 为始边，逆时针
转动θ角到OB ．设B 点与地面距离为h ． （1）求h 与θ的函数解析式；
（2）设从OA 开始转动，经过80秒到达OB ，求h .
【解析】：（1）∵0.80.8 4.8sin 5.6 4.8sin(90)h OA BC OB αθ=++=++=+-?，
@
∴ 5.6 4.8cos (0)h θθ=-≥ （2）∵26030ππ
ω=
=，t 30πθ=
，∴388030ππθ=?=，83
8cos 8.46.5=-=∴πh (m) 23．设函数).2sin 3,(cos ),1,cos 2(,)(m x x x x f +==?=b a b a 其中向量
（1）求函数],0[)(π的最小正周期和在x f 上的单调递增区间； （2）当m x f x 求实数恒成立时,4)(4,]6
,
0[<<-∈π
的取值范围。
【解析】：（1）1)6
2sin(22sin 3cos 2)(2
+++
=++=m x m x x x f π
，
分
上单调递增区间为在分的最小正周期函数6].,3
2[],6,0[],0[4.2
2)( ππ
ππππ
==
∴T x f
（2）当3)(,6
,)(,]6
,
0[max +==
∴∈m x f x x f x 时当递增时π
π
，
\
分
得解之分
由题设知分时当12.16,10,
42,
438,2)(,0min <<-???->+<++==m m m m x f x
24．
已知函数2
π()2sin 24f x x x ??=+
???，ππ42x ??∈????
，． （1）求)(x f 的最大值和最小值；
（2）2)(<-m x f 在ππ42
x ??
∈????
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ??
??=-+=+
???????
∵ π12sin 23x ?
?=+- ??
?．
又ππ42x ??∈????，∵，ππ2π
2633x -∴≤≤，
即π212sin 233x ?
?
+-
??
?
≤≤， ?
max min ()3()2f x f x ==，∴．
（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -
x ??∈????
，，
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(1
4)，． 25．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(2
2
2
bc A a c b =
-+
(I)求角A;
(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值?
【解析】:(I)由已知得2
3
sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ?=?-+
￥
又在锐角△ABC 中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC 中,扣1分] (II)因为a=2,A=60°所以bc A bc S bc c b 4
3
sin 21,42
2
==+=+ 而42422
2
≤?≥+?≥+bc bc bc bc c b 又344
3
43sin 21=?≤==
bc A bc S 所以△ABC 面积S 的最大值等于3
26．甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为
152浬/小时,在甲船从A 岛出发的同时,乙船从A 岛正南40浬处的B 岛出发,朝北偏东θ()2
1arctg =θ的方向作匀速直线航
行,速度为10 5浬/小时.(如图所示) (Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少浬
）
(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近最近距离为多少浬
【解析】:以A 为原点,BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面
直角坐标系.
设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x 1, y 1) Q (x 2,y 2). ,
5
5
sin ,552cos ,212151545cos 21511
1===???====θθθ可得由分
则arctg t x y t t x 分
5402040cos 51010sin 51022 -=-===t t y t
t x θθ
(I)令3=t ,P 、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
345850)2045()3045(||22==-+-=PQ .
即两船出发后3小时时,相距345锂
|
(II)由(I)的解法过程易知:
2
20800)4(5016004005010)154020()1510()()(||2222212212≥+-=+-=--+-=-+-=t t t t t t t y y x x PQ 分
∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20 2
即两船出发4小时时,相距20 2海里为两船最近距离.
27．在锐角ABC ?中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan
B ．
(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2
，求A ． B ．C 的大小；
(2)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(cosB ，sinB)，求｜3m －2n
｜的取值范围． 【解析】 |
28．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C ．小区的两个出入口设置在点A
及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为
120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用
了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．
【解析】解法一：设该扇形的半径为r 米. 由题意，得
CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=0
60
在CDO ?中，2202
2cos 60,CD OD CD OD OC +-???= 即()()2
2
21
5003002500300,2
r r r +--??-?
= 解得4900
44511
r =
≈（米） 解法二：连接AC ，作OH⊥AC ，交A C 于H
由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0
120CDA ∠=
2220
2
2
2
,2cos12015003002500300700,
2
ACD AC CD AD CD AD ?=+-???=++???=在中 1200
C
A
D
H
1200
C
A
Ｄ
∴ AC =700（米）
22211
cos .214
AC AD CD CAD AC AD +-∠==??
在直角11
,350,cos 0,14
HAO AH HA ?=∠=中（米） ∴ 4900
445cos 11
AH OA HAO =
=≈∠（米）
29．已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点(P -.
(1)求tan α的值; (2)定义行列式运算
a b
c d ad bc =-,求行列式
sin tan 1cos αα
α
的值; (3)若函数cos()sin ()sin()cos x f x x αα
αα
+-=+(x ∈R ),
求函数2(
2)2()2
y x f x π
=-+的最大值,并指出取到最大值时x 的值
【解析】:(1)∵ 角α终边经过点(P -,
∴tan α=.
(2)1
sin 2
α=,cos 2α=.
sin tan sin cos tan 1cos α
ααααα=-=+= . (3)()cos()cos sin()sin cos f x x x x αααα=+++= (x ∈R ), ∴函数23cos(
2)2cos 2
y x x π
=-+
21cos2x x ++2sin(2)16
x π
=+
+(x ∈R ),
∴max 3y =, 此时()6
x k k π
π=+
∈Z .
30．已知函数2
()(sin cos )+cos2f x x x x =+.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)当0,2x π??
∈????
时,求函数()f x 的最大值,并写出x 相应的取值.
【解析】:(Ⅰ)因为222()(sin cos )+cos2sin 2sin cos cos cos2 f x x x x x x x x x =+=+++
1sin2cos2 x x =++ ( ))4
x π
+
所以,22
T π
π=
=,即函数()f x 的最小正周期为π
(Ⅱ)因为02
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524
4
4
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所以,函数()f x 的最大值为1 此时,因为
524
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,所以,242x ππ+=,即8
x π
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三角函数,反三角函数公式大全
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223. 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得33，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235
上海高一反三角函数典型例题
反三角函数典型例题 例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。 （1）（2）arcsin 4 π ；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。 点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。 例2：求下列反正弦函数值 （1）= 解：3 π （2）arcsin 0= 解：0 （3）1arcsin()2-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2 π 点评：熟练记忆：0，1 2 ±、，，1±的反正弦值。 思考：1sin(arcsin )24 π +该如何求？ 例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x ＝ 变式：x [,]2 π ∈π? 解：x [,]2π ∈π时，π－x [0,]2 π∈，sin(π－x)＝sinx ∴π－x ＝，则x ＝π－ 变式：x [0,]∈π? 解：x ＝x ＝π－(2)1sin x 4=-，x [,]22ππ∈- 解：1 x arcsin 4 =- 变式：1 sin x 4=-，3x [,2]2π∈π 解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2 π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝1 4 ∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1 4 点评：当x [,]22ππ ∈-时，x arcsin a =；而当x [,]22ππ?-，可以将角转化到区间[,]22 ππ-上，
再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。 练习： (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x 3π= (2)sin x =，x [0,]∈π 解：x arcsin =x =π-(3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3 x arcsin 5 =π+ 例4：求函数y 2arcsin(52x)=-的定义域和值域。 解：由152x 1-≤-≤，则x [2,3]∈，arcsin(52x)[,]22ππ-∈-，则y [,]∈-ππ。 变式：y sin x arcsin x =+ 解：x [1,1]∈-，y [sin1,sin1]22 ππ ∈--+ 思考：当3x [,]44 ππ ∈-时，求函数y arcsin(cos x)=的值域。 解：当3x [, ]44ππ∈-时t cos x [=∈，而y arcsin t =为增函数，则y [,]42 ππ∈-。 例5：求下列函数的反函数 (1) y sin x =，x [,]2 π∈π 解：y [0,1]∈，x [,0]2 π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-，则x arcsin(y)-π=-， 则x arcsin y =π-，则反函数是1f (x)arcsin x -=π-，x [0,1]∈。 (2) y arcsin x =，x [0,1]∈ 解：y [0,]2π∈，x sin y =，则反函数是1f (x)sin x -=，x [0,]2 π∈。
高中数学常用反三角函数公式
反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) = .
反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)： ，该点切线斜率为－1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率 为1 拐点： ，该点切线斜率为－1 渐近线： 渐近线： .
名称 反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围 反正弦若，则 反余弦若，则 反正切若，则 反余切若，则 反正割若，则 反余割若，则 式中n为任意整数. .
反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞= -1 And x < -0.5 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) - 2 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcSin = Atn(x / Sqr(1 - x * x)) If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function .
初三锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围 】 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． 第1题图 ①斜边)(sin = A ＝______， 斜边)(sin = B ＝______； ②斜边 ) (cos =A ＝______， 斜边 ) (cos =B ＝______； ③的邻边A A ∠= ) (tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠= ＝______． 例2. 锐角三角函数求值： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ． 典型例题： 类型一：直角三角形求值
1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．
反三角函数典型例题
精品文档 5 5 (1) sin x 解: (2) sin x [0,] 解: (3) sin x 处］ 解: 3 ?胚或 arcs in 或 x 3 .3 arcsin .3 arcsin - 3 反三角函数典型例题 例2:求下列反正弦函数值 1 sin( arcs in )该如何求? 2 4 用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 变式：x ［一，］? 2 解: x [2,] 时，n —x 【°,2]， sin( n — x) =sinx = ￡ ? n — x = arcsin —3 ，贝U x = n — arcsin — 3 5 5 解: x = arcsin — 3 或 x = n — arcsin —3 5 例1:在下列四个式子中，有意义的为 解：（4）有意 义。 (1) arcs in . 2 ； (2) arcsin _ ； (3) 点评：arcsinx 4 1,1]。 sin( arcs in 2) ； ( 4) arcsin(sin2)。 (1) arcsin - 2 (2) arcsin0 解：0 (3) arcsin(-) 2 点评: 1 熟练记忆：0,- 2 解：- 6 2， (4) arcs ini 1的反正弦值。 思考: (1)sinx ￡，x [ -,^] 解: .43 x = arcs in 5 变式：x ［0, ]? ⑵ sin x - 4 变式：si nx 2 2 x [—,2 ] 2 解: .1 arcs in 4 3 解：x [ ,2 2 ]时，2 - x [0,2]， 1 sin( 2 n — x) = — sinx =— 4 2 n — x = 1 山 arcs in ，贝U x = 2 n — arcs in — 点评：当 x ［ 2, 2 ］ 时， x arcsina ；而当 处理对应角之三角比值即可。 ［舊］，可以将角转化到区间［ 形］上，再用诱导公式 练习:
反三角函数公式(完整)
反三角函数 分类 反正弦 反余弦 余弦函数x y cos =在]0[π，上的反函数，叫做反余弦函数。记作x cos arc ，表示一个 余弦值为x 的角，该角的范围在]0[π，区间内。定义域]11[， - ， 值域]0[π，。 反正切 反余切 余切函数y=cot x 在)0(π，上的反函数，叫做反余切函数。记作x arc cot ，表示一个余切值为x 的角，该角的范围在)0(π，区间内。定义域R ，值域)0(π，。
反正割 反余割 运算公式 余角关系 2 arccos sin arc π = +x x 2 cot tan arc π =+x arc x 2 csc ec a π = +x arc x rcs 负数关系 x x sin arc )sin(arc -=- x x rc arccos )cos(a -=-π x x tan arc )tan(arc -=- x rc x c cot a )(ot arc -=-π
x rc x sec a )(arcsec -=-π x arc x c sec )(sc arc -=- 倒数关系 x arc x csc )1 arcsin(= x arc x sec )1 arccos(= x arc x arc x cot 2cot )1arctan(-==π x x x arc arctan 23arctan )1cot(-=+=ππ x x arc arccos )1 sec(= x x arc arcsin )1 csc(= 三角函数关系
加减法公式 1. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+<<-+---=+>+>>-+--=+≤+≤-+-=+y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 2. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+><-----=->+<>----=-≤+≥---=-y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 3. ) 0() 11arccos(2arccos arccos ) 0() 11arccos(arccos arccos 2 2 22<+----=+≥+---=+y x x y xy y x y x x y xy y x π 4. ) () 11arccos(arccos arccos ) () 11arccos(arccos arccos 2 2 22y x x y xy y x y x x y xy y x <--+=-≥--+-=- 5. ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1(1arctan arctan arctan ><-++-=+>>-++=+<-+=+xy x xy y x y x xy x xy y x y x xy xy y x y x ππ
常用反三角函数公式表
反三角函数公式
反三角函数图像与特征 1 ：
反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数.
反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞= -1 And x < -0.5 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) - 2 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcSin = Atn(x / Sqr(1 - x * x))
If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function
人教中考数学锐角三角函数-经典压轴题附详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
(完整word版)反三角函数典型例题.docx
反三角函数典型例题 例 1：在下列四个式子中，有意义的为 __________： 解：（ 4）有意义。 （ 1） arcsin 2 ；（ 2） arcsin ；（ 3） sin(arcsin 2) ；（ 4） arcsin(sin 2) 。 4 点评： arcsin x —— x [ 1,1]。 例 2：求下列反正弦函数值 （ 1） arcsin 3 解： （ 2） arcsin0 解： 0 2 3 （ 3） arcsin( 1) 解： （4） arcsin1 解： 2 6 2 点评：熟练记忆： 0， 1 2 3 、 ， ， 的反正弦值。 2 2 2 1 思考： sin(arcsin 1 4) 该如何求？ 2 例 3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 x (1) sin x 3 ， x [ , ] 3 5 解： x ＝ arcsin 2 2 5 变式： x [ , ] ? 2 解： x [ , ] 时， π－ x [0, 3 ] ， sin(π－ x)＝ sinx ＝ 2 2 5 ∴ π－ x ＝ arcsin 3 ，则 x ＝π－ arcsin 3 5 5 变式： x [0, ] ? 解： x ＝arcsin 3 或 x ＝ π－arcsin 3 5 5 (2) sin x 1 ， x [ , ] 解： x arcsin 1 4 2 2 4 变式： sin x 1 ， x [ 3 ,2 ] 4 2 解： x [ 3 ] 时， 2π－ x [0, ] ， sin(2π－ x)＝－ sinx ＝ 1 ,2 4 2 2 ∴ 2π－ x ＝ arcsin 1 ，则 x ＝2π－ arcsin 1 4 4 点评： 当 x [ , ] 时， x arcsina ；而当 x [ , ] ，可以将角转化到区间 [ , ] 上，再用诱导公式 2 2 2 2 2 2 处理对应角之三角比值即可。 练习： (1) sin x 3 [ , ] 解： x ， x 3 2 2 2 (2) sin x 3 [0, ] 解： x arcsin 3 3 ， x 或 x arcsin 3 3 3 (3) sin x 3 ， x [ , 3 ] 解： x arcsin 3
三角函数_反三角函数_积分公式_求导公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) = a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式
反三角函数及最简三角方程.docx
标准实用 反三角函数及最简三角方程 一、知识回顾： 1、反三角函数： 概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作 22 y arcsin x . y sin x( x R) ，不存在反函数. 含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x . 22 反余弦、反正切函数同理，性质如下表. 名称函数式定义域值域奇偶性单调性 反正弦函数y arcsin x1,1 增, 2奇函数增函数 2 y arccosx arccos( x)arccosx 反余弦函数1,1 减0,减函数 非奇非偶 反正切函数y arctanx R增, 2奇函数增函数 2 y arc cot x arc cot( x)arc cot x 反余切函数R减0,减函数 非奇非偶 其中： （）．符号 arcsin x 可以理解为－， ] 上的一个角弧度，也可以理解为 1[ 2 () 2 区间[－ ， ] 上的一个实数；同样符号 arccos x 可以理解为 [0 ，π 上的一个角2 ] 2
(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y 22 ＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ R arcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0, 22 π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件； 22 （4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。 22 2、最简单的三角方程 方程方程的解集 a1x | x2k arcsin a, k Z sin x a a1x | x k 1 k arcsin a, k Z a1x | x2k arccos a, k Z cos x a a1x | x2k arccos a, k Z tan x a x | x k arctana, k Z cot x a x | x k arc cot a, k Z 其中： （1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三 角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的
角函数反三角函数积分公式求导公式
1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=tanAtanB -1tanB tanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A=A tan 12tanA 2-Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sinasin(2π+a)=cosacos(2 π+a)=-sina sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa tgA=tanA=a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a)=a sin 1sec(a)=a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx
完整版锐角三角函数练习题及答案.doc
锐角三角函数 1 ．把 Rt △ABC 各边的长度都扩大 3 倍得 Rt △A′B′C′，那么锐角 A ， A ′的余弦值的关系为（） A ．cosA=cosA ′B． cosA=3cosA ′C． 3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2 ．如图 1 ，已知 P 是射线 OB 上的任意一点， PM ⊥ OA 于 M ，且 PM ：OM= 3 ： 4 ，则 cos α的值等于（） A ．3 B． 4 C． 4 D ． 3 4 3 5 5 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 3 ．在△ABC 中，∠C=90 °，∠A ，∠B，∠C 的对边分别是a， b ， c，则下列各项中正确的是（） A ．a=c ·sin B B． a=c ·cosB C．a=c ·tanB D．以上均不正确 4 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，cosA= 2 ，则 tanB 等于（）3 A ．3 B． 5 C． 2 5 D ． 5 5 3 5 2 5 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=5 ，AB=13 ，则 sinA=______ ， cosA=______ ， ?tanA=_______ ． 6 ．如图 2 ，在△ABC 中，∠C=90 °，BC： AC=1 ： 2 ，则 sinA=_______ ，cosA=______ ， tanB=______ ． 7 ．如图 3 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，b=20 ， c=20 2 ，则∠B 的度数为 _______． 8 ．如图 4 ，在△CDE 中，∠E=90 °，DE=6 ， CD=10 ，求∠D 的三个三角函数值． 9 7 ．已知：α是锐角， tan α=，则sinα=_____，cosα=_______． 24 10 ．在 Rt △ABC 中，两边的长分别为 3 和 4 ，求最小角的正弦值为 10 ．如图 5 ，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上， ?另一边经过点 P（ 2 ，2 3），求角α的三个三角 函数值． 12 ．如图，在△ ABC 中，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC 于 D，∠CBD= α，AB=3 ，?BC=4 ，?求 sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 3 1．已知 cosA=，且∠B=900-∠A，则sinB=__________． 2
人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案解析
人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4B = ，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则AE AD 的值（ ） A ．35 B ．34 C ．45 D ．67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝37 AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝ 12AB ，进而可求得AE AD 的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠， ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等， 设点E 到ACB ∠的两边距离位h ， 则S △ACE ＝12AC·h ，S △BCE ＝12 BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝ 12AC·h ：12 BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ， ∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4B = ， ∴AC ：BC ＝3:4， ∴AE ：BE ＝3:4 ∴AE ＝37 AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝12 AB ，
∴3 6 7 17 2 AB AE AD AB ==， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE：BE＝AC：BC 是解决本题的关键． 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC上找一点B，取145 ABD ∠=o，500 BD m =，55 D ∠=o，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（） A．500sin55m o B．500cos55m o C．500tan55m o D． 500 cos55 m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt△BDE中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD?cosD=500cos55°． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．3．在半径为1的O e中，弦AB、AC32，则BAC ∠为（）度．A．75B．15或30C．75或15D．15或45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知： 32 AE．
(完整版)反三角函数公式大全
反三角函数公式大全 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=∏－arccotx arcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x 当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=x x∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=x x∈(0，∏),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C
