新高考总复习 数学 第一章 第3节 相等关系与不等式关系

多维层次练3[A 级 基础巩固]1．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式为( )A ．v <40 km/hB ．v >40 km/hC ．v ≠40 km/hD ．v ≤40 km/h解析：由汽车的速度v 不超过40 km/h ，即小于等于40 km/h ， 即v ≤40 km/h. 答案：D2．(2020·厦门期末检测)实数x ，y 满足x >y ，则下列不等式成立的是( )A.yx<1 B ．2－x <2－y C ．lg(x －y )>0D ．x 2>y 2解析：由x >y ，得－x <－y . 由y ＝2t 是增函数，得2－x <2－y . 答案：B3．(2020·衡水第十三中学质检)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中不一定成立的是( )A ．a 12<b 12B.1a －c >1b －cC.a ＋2b ＋2>a bD ．ac 2<bc 2解析：因为y ＝x 12在(0，＋∞)上递增，且b >a >0.所以a 12<b 12，A 成立．由y ＝1x －c 在(0，＋∞)上递减，得1b －c <1a －c ，B 成立．因为a ＋2b ＋2－a b ＝2（b －a ）（b ＋2）b >0，所以a ＋2b ＋2>a b ，C 成立．当c ＝0时，ac 2＝bc 2，D 不成立． 答案：D4．(多选题)已知1a <1b <0，给出下列四个结论：①a <b ；②a ＋b <ab ；③|a |>|b |；④ab <b 2 其中正确结论的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由1a <1b <0，得b <a <0，所以a ＋b <0<ab ，|b |>|a |，b 2>ab . 因此②④正确，①③不正确． 答案：BD5．(多选题)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则在a ，a 2＋b 2，2ab ，b 四个数中，下列选项正确的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a <12C ．b <12D ．b >a 2＋b 2解析：由0<a<b且a＋b＝1，所以0<a<12<b，B正确，C错误．由b>a>0，得a2＋b2>2ab，A正确．又a2＋b2－b＝(a＋b)2－2ab－b＝1－2ab－b＝a－2ab＝a(1－2b)<0，所以b>a2＋b2，因此D正确．答案：ABD6．(2020·济南调研)已知a>b>0，x＝a＋b e b，y＝b＋a e a，z＝b＋a e b，则()A．x<z<y B．z<x<yC．z<y<x D．y<z<x解析：法一由题意，令a＝2，b＝1，则x＝2＋e，y＝1＋2e2，z＝1＋2e，显然有1＋2e2>1＋2e>2＋e，即x<z<y.法二a>b>0时，e a>e b，所以a e a>a e b>b e b，所以b＋a e a>b＋a e b>b ＋b e b，所以y>z，因为z－x＝(b－a)＋(a－b)e b＝(a－b)(e b－1)>0，所以z>x.所以x<z<y.答案：A7．(2020·南宁联考)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．解析：因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，所以－4<－|β|≤0，所以－3<α－|β|<3. 答案：(－3，3)8．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －aa 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. 因为a ＋b >0，(a －b )2≥0， 所以（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0.所以a b 2＋b a 2≥1a ＋1b .答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b9．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >bc；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．解析：由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．答案：①10．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd ；(2)已知1<a <4，2<b <8，试求a －b 与ab的取值范围．(1)证明：因为bc ≥ad ，bd >0，所以c d ≥ab ，所以c d ＋1≥ab ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋d d .(2)解：因为1<a <4，2<b <8， 所以－8<－b <－2. 所以1－8<a －b <4－2， 即－7<a －b <2. 又因为18<1b <12，所以18<a b <42＝2，即18<a b<2.[B 级 能力提升]11．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A ．log 2a >0B ．2a －b <12C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．2a b ＋ba <12解析：由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，0<b <1，所以－1<－b <0，又a <b ，所以－1<a －b <0，所以12<2a －b <1，B 错误；因为0<a <b ，所以a b ＋ba>2a b ·ba＝2，所以2a b ＋b a >22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确．答案：C12．爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度，现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v 1，下山(原路返回)的速度为v 2(v 1≠v 2)，乙上下山的速度都是12(v 1＋v 2)(两人途中不停歇)，则甲、乙两人上下山所用时间之比为________；甲、乙两人上下山所用时间之和最少的是________(填甲或乙)．解析：设上山的路程为s ，则甲上下山所用时间t 1＝s v 1＋sv 2，乙上下山所用时间t 2＝2s v 1＋v 22＝4sv 1＋v 2， 所以t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫s v 1＋s v 2÷4sv 1＋v 2＝（v 1＋v 2）24v 1v 2.因为v 1≠v 2且v 1>0，v 2>0，所以（v 1＋v 2）24v 1v 2＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v 2>4v 1v 24v 1v 2＝1，故t 1t 2>1，则t 1>t 2，乙用时较少． 答案：（v 1＋v 2）24v 1v 2乙13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求ca 的取值范围．解：因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0， 所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0， 所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >ca .所以⎩⎪⎨⎪⎧2c a <－1，ca >－2，解得－2<ca <－12.故ca 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. [C 级 素养升华]14．(多选题)(2020·山东重点中学联考)若p >1，0<m <n <1，则下列不等式不正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p>1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －pD ．log m p >log n p解析：A 项：由0<m <n <1，得0<mn<1，又p >1，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p<1，A 不正确．B 项：由题设p －m >p －n >0，mn <1，所以p －m p －n >1，故p －m p －n <m n 不成立．C 项，由p >1，知－p <0，所以y ＝x －p 在(0，＋∞)上是减函数． 由0<m <n ，得m －p >n －p ，C 不正确．D项：由p>1知log p m<log p n<0.所以1log m p<1log n p<0，从而log m p>log n p，D正确．答案：ABC。