2021版新高考数学人教B版一轮课件：11.1 基本计数原理
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高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 11.1计数原理
高考一轮复习热点难点精讲精析：11.1计数原理一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理※相关链接※1．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；2．在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
※例题解析※〖例〗在1到20这20个整数中，任取两个相加，使其和大于20，共有几种取法？思路解析：采用列举法分类，先确定一个加法，再利用“和大于20”确定另一个加数。
解答：当一个加数是1时，另一个加数只能是20，1种取法。
当一个加数是2时，另一个加数可以是19，20，2种取法。
当一个加数是3时，另一个加数可以是18，19，20，3种取法。
……当一个加数是10时，另一个加数可以是11，12，……，20，10种取法。
当一个加数是11时，另一个加数可以是12，13，……，20，9种取法。
……当一个加数是19时，另一个加数是20，1种取法。
由分类加法计数原理可得共有1+2+3+……+10+9+8+……=100各取法。
（二）分步乘法计数原理的应用※相关链接※1．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。
2．解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取※例题解析※〖例〗某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。
某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。
2025届高中数学一轮复习课件《计数原理》ppt
高考一轮总复习•数学
第20页
解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 23＝ 8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22＝ 4(种)．所以 2 名教师和 3 名学生进入校园的方式共有 8×4＝32(种)．故选 D．
A．12 种 B．24 种 C．72 种 D．216 种
高考一轮总复习•数学
第15页
(2)设 I＝{1,2,3,4}，A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若
将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，
按其中一个子集中元素个数分类23个个；； 4个.
即十位数字最小． 称该数为“驼峰数”．比如 102,546 为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 构成的无重复数字 的“驼峰数”有________个．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可有重复数字) 的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有 重复数字的三位数的个数为 900－648＝252.故选 B．
(2)根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围是区 间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C18＝8(种)；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14， 有 2×C16＝12(种)；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C14＝8(种)；④当公差 d＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C12＝4(种)．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数 法．
最新-2021版高考数学理一轮总复习课件：第十一章计数原理和概率 111 精品
(2)5名学生争夺3项比赛的冠军，获得冠军的可能情况种数 有多少？
【解析】 每个冠军只能有一个获得，而每人可获得多个冠 军，所以“冠军”相当于“客”，“学生”相当于店，3人住5间 店，共有53种可能的情况．
【答案】 125种
(3)三封信投入到4个不同的信箱中，共有多少种不同的投 法．
【解析】 方法一：只要三封信都投进了信箱，这件事就算完 成，故分三步：
④若位置二与三相同，则信息为1 111； ⑤若位置二与四相同，则信息为1 100； ⑥若位置三与四相同，则信息为1 010.共6个． 故与信息0 110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个 数为1＋4＋6＝11.
方法二：若0个相同，共有1个； 若1个相同，共有C41＝4(个)； 若2个相同，共有C42＝6(个)． 故共有1＋4＋6＝11(个)． 【答案】 11个
答案 B 解析 由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层 到四层有2种选择，∴由分步计数原理可知走法种数为23＝8.
2．已知{1，2}⊆X⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的
集合 X 共有( )
A．2 个
B．6 个
C．4 个
D．8 个
答案 D
解析 由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，从3，4，5
6．(2017·衡水中学调研卷)为了应对美欧等国的经济制裁， 俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求 甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为 ________．
答案 182 解析 甲、乙中裁一人的方案有C21C83种，甲、乙都不裁的方 案有C84种，故不同的裁员方案共有C21C83＋C84＝182种．
课前自助餐
分类计数原理的推广 完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的 方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布：离散型随机变量及其分布列pptx课件人教B版
【解析】选B.由分布列的性质知2q2+ 11 -3q+ 1 =1,解得q=1或q= 1 ,
6
6
2
又因为2q2<1,0< 11 3q <1,所以舍去q=1,
6
所以q= 1 .
2
3.(选修2-3 P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
则P(|X-3|=1)=________.
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机 变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④
2.若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1=
1 2
p2,则p1等于
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加
n
pi
=1.
i1
2.常见的两类分布列 (1)两点分布： 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
_1_-_p_
p
其中p= _P_(_X_=_1_)_称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，
CnN
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
【解析】选C.因为P(X=1)= 1 ，所以A，B不正确；
计数原理-完整版课件
解析： ∵C06＋C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝26＝64， ∴C16＋C26＋C36＋C46＋C56＝64－2＝62. 答案： 62
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
2021高考人教B版数学一轮复习课件：第11章第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
解析
(3)现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，
每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班
表共有________种不同的排法．
答案 1280 解析 完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数
原理，分步进行：
第一天有 5 种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有 4
A．40
B．16
C．13
D．10
解析 分两类情况讨论：
第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第
2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面．根据分类
加法计数原理知，共可以确定 8＋5＝13 个不同的平面．
解析 答案
5．高三某班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条祝福语，那 么全班共写了________条祝福语．(用数字作答)
解析 答案
考向二 分步乘法计数原理
例 2 (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与 小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年 公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24
B．18
C．12
D．9
答案
解析 分两步，第一步，从 E→F，有 6 条可以选择的最短路径；第二 步，从 F→G，有 3 条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有 6×3 ＝18 条可以选择的最短路径．故选 B.
() A．56
B．54
C．53
D．52
解析 在 8 个数字中任取 2 个不同的数字共可产生 8×7＝56 个对数值，
在这 56 个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94， 则满足条件的对数值共有 56－4＝52 个．
(3)现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，
每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班
表共有________种不同的排法．
答案 1280 解析 完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数
原理，分步进行：
第一天有 5 种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有 4
A．40
B．16
C．13
D．10
解析 分两类情况讨论：
第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第
2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面．根据分类
加法计数原理知，共可以确定 8＋5＝13 个不同的平面．
解析 答案
5．高三某班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条祝福语，那 么全班共写了________条祝福语．(用数字作答)
解析 答案
考向二 分步乘法计数原理
例 2 (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与 小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年 公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24
B．18
C．12
D．9
答案
解析 分两步，第一步，从 E→F，有 6 条可以选择的最短路径；第二 步，从 F→G，有 3 条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有 6×3 ＝18 条可以选择的最短路径．故选 B.
() A．56
B．54
C．53
D．52
解析 在 8 个数字中任取 2 个不同的数字共可产生 8×7＝56 个对数值，
在这 56 个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94， 则满足条件的对数值共有 56－4＝52 个．
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
9
机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【易错点索引】
序号 1 2 3 4
5
6
易错警示 分类时重复计数 分类时遗漏计数 分步时步骤不全 分步时计算出错 两个计数原理分类 与分步混淆 两个计数原理计算失误
典题索引 考点一、T2，3 考点一、T1 考点二、T1 考点二、T2，3
D.45
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
11
机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【解析】选A.方法一:因为十位数字只能从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中选取,
所以按照十位数字分类,要使得个位数字大于十位数字,所以分为8类,
当十位数字为8时,个位数字是9,只有1种,
D.5种
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
18
机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【解析】选D.从5类元素中任选2类元素, 它们相生的选取有:火土,土金,金水,水 木,木火,共5种.
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
19
机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
2021/4/17
6
机变量及其分布111基本计数原理课件新人教B版
【常用结论】 应用两个计数原理的三个注意点 (1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步. (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准. (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连.
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
高考数学人教版理科第一轮复习：第十一章 计数原理 pptx89
(1)C (2)A
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
关闭
答11 案
考点1
考点2
考点3
解析 (1)由于(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展开式的通项为
Tr+1=C5������ (x2+x)5-ryr(r=0,1,2,…,5),因此只有当 r=2 时,T3=C52(x2+x)3y2 中才能含有 x5y2 项.设(x2+x)3 的展开式的通项 为 Ti+1=C3������ (x2)3-i·xi=C3������ x6-i(i=0,1,2,3),令 6-i=5,得 i=1,则(x2+x)3 的 展开式中 x5 项的系数是C31=3,故(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系 数是C52 ·3=10×3=30.
当 n 为奇数时,中间的两项 得最大值
������-1
C������2
和 ������+1 取
C������ 2
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
3
知识梳理 双基自测
123
3.常用结论
(1)C���0��� + C���1��� + C���2��� +…+C������������ = 2n . (2)C���0��� + C���2��� + C���4��� +…=C���1��� + C���3��� + C���5��� +…= 2n-1 . (3)C���1��� +2C���2��� +3C���3��� +…+nC������������ =n2n-1.
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提示：(1)×.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，如果方 法相同，则是同一类. (2)√.根据分步乘法计数原理的概念可知此结论正确. (3)×.在分步乘法计数原理中，任何一步都不能单独完成这件事. (4)×.分类加法计数原理和分步乘法计数原理可能单独使用，也可能交叉使用.
【易错点索引】
同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.
由分类加法计数原理知,共有3+3=6(种)传递方法.
3.渐升数由小到大排列,形如
的渐升数共有6+5+4+3+2+1
=21(个).
形如
的此时共有21+5+4=30(个).
因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1 359. 答案:1 359
2.(选修2-3P7习题1-1BT1改编)设集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8},a∈A,b∈B,
则直线ax+by=2 021有______条. ( )
A.4
B.5
C.20
D.9
【解析】选C.分两个步骤:第一步确定a,有5种方法,第二步确定b,有4种方法,所 以由分步乘法计数原理得直线有5×4=20(条).
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步 乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了 才算完成这件事.
【常用结论】 应用两个计数原理的三个注意点 (1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步. (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准. (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连.
第十一章 计数原理、 概率、随机变量及其分布 第一节 基本计数原理
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办 法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件 事共有N=____m_1_+_m_2+_…__+_m_n__种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二 个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这 件事共有N=____m_1_×__m_2×__…__×__m_n__种不同的方法.
D.5种
【解析】选D.从5类元素中任选2类元素, 它们相生的选取有:火土,土金,金水,水 木,木火,共5种.
考点一 分类加法计数原理及其应用
【题组练透】
1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取
法的种数有 ( )
A.30
B.20
C.10
D.6
2.甲、乙、丙三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4
3.(选修2-3P7习题1-1AT1改编)五行学说是华夏民族创造的哲学思想,是华夏文 明重要组成部分.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如 图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中 任选2类元素,则2类元素相生的选取方案共有( )
A.10种 B.15种 C.4种
序号 1 2 3 4
5
6
易错警示 分类时重复计数 分类时遗漏计数 分步时步骤不全 分步时计算出错 两个计数原理分类 与分步混淆 两个计数原理计算失误
典题索引 考点一、T2，3 考点一、T1 考点二、T1 考点二、T2，3
考点三、角度1
考点三、角度2，3
【教材·基础自测】
1.(选修2-3P8习题1-1BT3改编)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两
【知识点辨析】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同. ( ) (2)在分步乘法计数原理中，不同的步骤中完成各自步骤的方法是各不相同的. () (3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都 能完成这件事. ( ) (4)在计算完成一件事的所有方法时，分类加法计数原理和分步乘法计数原理不 能同时使用.( )
次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方法共有
()
A.4种
B.6种
C.10种
D.16种
3.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458),若把四位
“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个“渐升数”是________. 世纪
金榜导学号
【解析】1.选D.可分两类:一类两个数都为奇数:1,3;1,5;3,5,共3种方法;另一类 两个数都为偶数:0,2;0,4;2,4,共3种方法,所以共有3+3=6种取法. 2.选B.分两类:甲第一次踢给乙时, 满足条件有3种方法(如图),
位数有______个 ( )
A.36
B.90
C.72
D.45
【解析】选A.方法一:因为十位数字只能从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中选取, 所以按照十位数字分类,要使得个位数字大于十位数字,所以分为8类, 当十位数字为8时,个位数字是9,只有1种, 当十位数字为7时,个位数字是8,9,有2种, 当十位数字为6时,个位数字是7,8,9,有3种, 当十位数字为5时,个位数字是6,7,8,9,有4种, 当十位数字为4时,个位数字是5,6,7,8,9,有5种, 当十位数字为3时,个位数字是4,5,6,7,8,9,有6种,
当十位数字为2时,个位数字是3,4,5,6,7,8,9,有7种, 当十位数字为1时,个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9,有8种, 所以共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(种).
方法二:所有的两位数从10,到99共90个,按照个位数字与十位数字的大小分为三 类: (1)个位数字等于十位数字,这样的两位数有9个, (2)个位数字大于十位数字,设这样的两位数为x个, (3)个位数字小于十位数字,其中个位数字为0的两位数有9个,个位数字不是0的两 位数有x个, 所以列得方程9+x+9+x=90,解得x=36.