18-19 第2章第1课等差数列的概念及通项公式
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[提示] 设第 n 排有 an 个座位，由题意可知
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an－an－1＝2(n≥2)． 又 a1＝20，∴an＝20＋(n－1)×2＝2n＋18. ∴a15＝2×15＋18＝48.即第 15 排有 48 个座位．
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差数列问题．(重点)3.等差数列的证明及其应用．(难点)
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[自 主 预 习· 探 新 知]
1．等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等 于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数 叫做等差数列 的 公差，公差通常用 d 表示．
[答案] 3n－2
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3．若{an}是等差数列，且 a1＝2，d＝1，若 an＝7，则 n＝________.
[解析] ∵a1＝2，d＝1， ∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1.
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由 an＝7，即 n＋1＝7，得 n＝6.
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(3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数 列就叫等差数列．( )
(4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数， 这个数列就叫等差数列．( )
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思考 3 已知等差数列{an}的首项 a1 和公差 d 能表示出通项公式 an＝a1 ＋(n－1)d，如果已知第 m 项 am 和公差 d，又如何表示通项公式 an?
[提示] 设等差数列的首项为 a1， 则 am＝a1＋(m－1)d， 变形得 a1＝am－(m－1)d， 则 an＝a1＋(n－1)d ＝am－(m－1)d＋(n－1)d ＝am＋(n－m)d.
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∴{ an}是首项 a1＝1，公差 d＝1 的等差数列． ∴ an＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝n2，∴a5＝52＝25.
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2．某剧场有 20 排座位，第一排有 20 个座位，从第 2 排起，后一排都比 前一排多 2 个座位，则第 15 排有多少个座位？
[答案] 6
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[合 作 探 究· 攻 重 难]
等差数列的判定与证明
判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中，an＝3n＋2；
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(2)在数列{an}中，an＝n2＋n.
[思路探究]
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[基础自测] 1．思考辨析 (1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差 数列．( )
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(2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就 叫等差数列．( )
等差数列的通项公式
已知数列{an}是等差数列，且 a5＝10，a12＝31. 【导学号：57452034】 (1)求{an}的通项公式；
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(2)若 an＝13，求 n 的值．
[思路探究] 建立首项 a1 和 d 的方程组求 an；由 an＝13 解方程得 n.
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的通项公式，并判断－34 是该数列的项吗？
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[解]
a1＋a2＋a3＝18， 依题意得 a1a2a3＝66，
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3a1＋3d＝18， ∴ a1＋d· a1＋2d＝66， a1· a1＝11， 解得 d＝－5 a1＝1， 或 d＝5.
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[跟踪训练] 3x 1．已知函数 f(x)＝ ，数列{xn}的通项由 xn＝f(xn－1)(n≥2 且 x∈N*)确 x＋3 定．
1 (1)求证：数列x 是等差数列； n
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[规律方法] 1．定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为： (1)作差 an＋1－an； (2)对差式进行变形；
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an＝－5n＋16. 令 an＝－34，即－5n＋16＝－34，得 n＝10. ∴－34 是数列{an}的第 10 项.
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等差数列的应用
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[探究问题] 1．若数列{an}满足 an＋1＝ an＋1 且 a1＝1，则 a5 如何求解？
[提示] 由 an＋1＝ an＋1 可知 an＋1－ an＝1.
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1 (2)当 x1＝ 时，求 x2 017. 2
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[解]
3x (1)因为 f(x)＝ ，数列{xn}的通项 xn＝f(xn－1)， x＋3
3xn－1 1 1 1 1 1 1 1 是等差数 所以 xn＝ ，所以 ＝ ＋ ，所以 － ＝ ，所以 x xn xn－1 3 xn xn－1 3 xn－1＋3 n
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[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．
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2．等差数列的通项公式 对于等差数列{an}的第 n 项 an，有 an＝a1＋ (n－1) d＝am＋( n－m )d.
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[解]
(1)设{an}的首项为 a1，公差为 d，则由题意
a1＝－2， 解得 d＝3，
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a1＋4d＝10， 可知 a1＋11d＝31，
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∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
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列．
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n＋5 1 1 1 1 3 (2)x1＝ 时， ＝2， 所以 ＝2＋ (n－1)＝ ， 所以 xn＝ ， 所以 x2 017 2 x1 xn 3 3 n＋5 3 ＝ . 2 022
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第2章
数列
2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念 2.2.2 等差数列的通项公式 第1课时 等差数列的概念及通项公式
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学习目标：1.理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等 差关系．(重点)2.会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等
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∵数列{an}是递减等差数列， ∴d<0.故取 a1＝11，d＝－5. ∴an＝11＋(n－1)· (－5)＝－5n＋16， 即等差数列{an}的通项公式为
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(3)当 an＋1－an 是一个与 n 无关的常数时，数列{an}是等差数列；当 an＋1 －an 不是常数，是与 n 有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． 2．应注意等差数列的公差 d 是一个定值，它不随 n 的改变而改变．
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提醒： 当 n≥2 时， an＋1－an＝d(d 为常数)， 无法说明数列{an}是等差数列， 因为 a2－a1 不一定等于 d.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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2．若{an}是等差数列，且 a1＝1，公差 d＝3，则 an＝________. [解析] ∵a1＝1，d＝3，∴an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
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作差an＋1－an ―→ 代数运算 ―→ 利用等差数列定义判断
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[解]
(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由 n 的任意性知，
人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1(第1课时)等差数列的概念及通项公式【课件】
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1， 在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究
高考数学必修五 第二章 2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式
§2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念.知识点一 等差数列的概念 思考 给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？答案 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.梳理 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二 等差中项的概念思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案 插入的数分别为3,2,0，a ＋b2.梳理 如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式思考 对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 答案 n －1梳理 若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明.1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)2.任意两个实数都有等差中项.(√)3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(√)4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n＋1－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数.跟踪训练1数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析∵a n＋1－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{a n}是公差为2的等差数列.类型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列. 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思与感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项. 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.类型三 等差数列通项公式的求法及应用 命题角度1 基本量(a 1，d )的计算例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{a n}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项.命题角度2等差数列的实际应用例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{a n}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.即需要支付车费23.2元.反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.跟踪训练4在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解用{a n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴a n＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.1.下列数列不是等差数列的是( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D.－3，－2，－1,1,2考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用 答案 D2.已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3.已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A.52 B.62 C.－62D.－52考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝－5＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A.92B.47C.46D.45考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1.若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A.公差为1的等差数列 B.公差为13的等差数列C.公差为－13的等差数列D.不是等差数列 考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列.2.在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A.52 B.51 C.50 D.49 考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d＝2＋100×12＝52.3.若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A.b －a B.b －a 2C.b －a 3D.b －a 4考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 C解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ， 所以d ＝b －a3.4.已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7 D.29考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项D.第10项考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.6.若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项. ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.7.一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x 2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，得⎩⎨⎧a 1＝－174，d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.二、填空题9.若一个等差数列的前三项为a ，2a －1，3－a ，则这个数列的通项公式为________. 考点 等差数列的通项公式题点 求通项公式答案 a n ＝n 4＋1，n ∈N * 解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1，n ∈N *. 10.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题答案 6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________.考点 等差数列的通项公式题点 通项公式的综合应用答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 三、解答题12.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，设b n ＝a n 2n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点 等差数列的概念题点 等差数列概念的理解运用(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝n ，又b n ＝a n 2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n －1. 13.已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由；(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由. 考点 等差数列的通项公式题点 通项公式的综合应用解 由题意可知，a 1＝3，d ＝4，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项.令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项.(2)∵a p ，a q 是数列{a n }中的项，∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1.∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1，其中2p ＋3q －1∈N *，∴2a p ＋3a q 是数列{a n }的第2p ＋3q －1项.四、探究与拓展14.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 10＝________. 考点 等差数列的概念题点 等差数列概念的理解运用答案 110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110. 15.已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.考点 等差数列的通项公式 题点 求通项公式解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列. 当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数). 当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2 ＝7－2k .∴a n ＝7－n (n 为偶数).∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。
等差数列的概念及通项公式第一课时高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d) (x∈R)
当x＝n， (n∈N*)时的函数值，即an＝f式
问题7 等差数列{an}的图象
与一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)
的图象有什么关系?
f(x)
f(x)＝dx＋(a1－d)
解得15.6≤d≤17.1 .
课堂小结
等差数列
等差数列
的概念
等差数列的通
项公式
等差数列
的判断与
证明
等差数列
通项公式
的应用
令－3n＋11＝－289，得n＝100，
所以－289是该数列中的第100项.
典例精析
题型二：等差数列通项公式的应用
反思与感悟
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等
差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an ＝a1 ＋(n－1)d中共含有四个
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
典例精析
题型五：等差数列通项公式实际应用
例5 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某
一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求
2 km，4 km,8 km高度的气温.
典例精析
题型二：等差数列通项公式的应用
例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式an和第20项，并判断
－289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解 由已知条件，得d＝5－8＝－3.
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，
【课件】第1课时等差数列的概念与通项公式说课课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（ ），9
2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68
4）8，（ ），8，8，8
创设学生比较感兴趣的情景，可以激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏
中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点。同时培养学生观察、
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
巩固练习： 在等差数列中,已知 = , = ,求 .
问1：还有没有其他做法？
师根据学生回答适时给出公式： = + ( − )
问2：从结果来看 , , , 之间有怎样的关系？
中项。
问1：等差中项A与a、b之间又怎样的关系？
问2：下列两个数的等差中项分别是什么？
（1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0
问3：是不是任意两数都存在等差中项？存在几个？
师点评：任意两数的等差中项即为两数的平均值。
问4：等差数列{ }中， 与− , + 之间有怎样的关系？为什么？
（4）-8，-6，-4.
学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对
等差数列概念的理解，看清“等差”的本质特征，培养学生抽象概括
能力和严密的数学学习态度。
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
2、等差中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
教学目标：通过数字规律小游戏情境引入，经历观察，分析，
归纳，推理论证，理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列
等差数列(课时1 等差数列的概念及通项公式)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
情境设置
问题2：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
[答案] 由于 ，故 是函数 当 时的函数值，即 ，点 则是函数 图象上的均匀分布的孤立的点，而 是直线 的斜率，记为 ，实际上，如果已知直线上任意两点 ， ，由斜率的公式可知 ，公差 的符号决定了数列的单调性，当 时，数列 为递增数列，当 时，数列 为常数列，当 时，数列 为递减数列．
已知数列 中, , ．
（1） 证明：数列 是等差数列.
[解析] 由已知得, , , 所以数列 是以2为首项,2为公差的等差数列.
（2） 求数列 的通项公式．
[解析] 由（1）知, ,所以 ．
巩固训练
1.若数列 满足 ，则数列 是( ).A.公差为1的等差数列 B.公差为 的等差数列C.公差为 的等差数列 D.不是等差数列
2.熟练掌握等差数列是关于 的一次函数这一结构特征，并且公差 是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，当 时，数列 为递增数列，当 时，数列 为常数列，当 时，数列 为递减数列．
1.设 是等差数列，下列结论中正确的是( ).A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则
情境设置
问题2：问题1的结论可给我们什么样的启示？
[答案] 可以用等差中项的定义来证明一个数列是等差数列，即证明： .
问题3：若数列 的通项公式 ，则该数列是等差数列吗？
[答案] 是．因为 ，所以数列 是等差数列．
新知生成
等差数列的判定方法有以下三种：
（1）定义法： 为等差数列.
问题4：由等差数列的定义可知，如果 ， , 这三个数是等差数列，你能求出 的值吗？
[答案] 由定义可知 ，即 ，解得 .
新知生成
课件1：4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式
[跟进训练] 1．在等差数列{an}中， (1)已知 a1＝6，d＝3，求 a8； (2)已知 a4＝10，a10＝4，求 a7 和 d； (3)已知 a2＝12，an＝－20，d＝－2，求 n： (4)已知 a7＝12，d＝－2，求 a1. [解] (1)∵a1＝6，d＝3， ∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3. ∴a8＝3×8＋3＝27.
4．在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 等于________．
60° [因为三内角 A，B，C 成等差数列， 所以 2B＝A＋C，又因为 A＋B＋C＝180°， 所以 3B＝180°，所以 B＝60°.] 5．已知数列{an}的首项 a1＝13，且满足an1＋1＝a1n＋5(n∈N*)， 则 a6＝________.
【规律方法】 等差数列的三种判定方法 1定义法：an＋1－an＝d常数n∈N*⇔{an}为等差数列； 2等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N*⇔{an}为等差数列； 3通项公式法：an＝an＋ba，b 是常数，n∈N*⇔{an}为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习目标
核心素养
1.理解等差数列的概念(难点). 1.通过学习等差中项及等差数列
2.掌握等差数列的通项公式及 通项公式的应用，体现了数学运
应用(重点、难点).
算素养.
3.掌握等差数列的判定方法 2.借助等差数列的判断与证明，
(重点).
培养学生的逻辑推理素养.
【课堂小结】
1．在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后 项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项” 也满足条件． 2．由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可以看出，只要知道首 项 a1 和公差 d，就可以求出通项公式，反过来，在 a1，d，n，an 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量． 3．等差数列的单调性 d＞0⇔等差数列是递增数列． d＜0⇔等差数列是递减数列． d＝0⇔等差数列是常数列．
【数学】人教A版选择性必修第二册 等差数列 等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式课件
知识点 3 等差数列的通项公式 首项为 a1，公差为 d 的等差数列{an}的通项公式 an＝ a1＋(n－1)d ．
4．由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪 几个条件？
[提示] 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1 ＋(n－1)d即可．
在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，a7＝________． 28 [a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28．]
类型2 等差中项的应用 【例2】 (1)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是 10，则m和n的等差中项是________．
6 [由题意得m2m＋＋2nn＝ ＝81× 0×2＝ 2＝162， 0， ∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12， ∴m＋2 n＝6．]
(2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数 列，求此数列．
[跟进训练] 2．若等差数列的前三项分别为a,2a－1,3－a，求其第2 022项．
[解] 由等差中项公式可得2(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝54，所
以首项为
5 4
，公差为
2×54－1
－
5 4
＝
1 4
，所以数列的通项公式为an＝
5 4
＋(n－1)×14＝14n＋1，故其第2 022项为a2 022＝14×2 022＋1＝1 0213．
文字语言 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表 示
符号语言 an＋1－an＝d(d 为常数，n∈N*)
1．等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？ [提示] 第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的 差”相吻合．
2．在数列{an}中，若an＝2n＋3，该数列是等差数列吗？
【课件】等差数列的概念及通项公式课件-2022-2023学年高二下人教A(2019)选择性必修第二册
n= +(n-1)·
4
4
4
1
a2 020=4×2
020+1=506.
=
1
n+1,故其第
4
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为
d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
×)
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列an 的首项为 a1 ，公差为 d ，则由定义可得：
an 1 an d
学习新知
追问1
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
an 1 an d
a2 a1 d
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等
差数列.
( √ )
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
-1+7
b= 2 =3.同理,a
是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所以
-1+
3+7
a= 2 =1,c= 2 =5.故
高中数学第二章 第一课时 等差数列的概念及通项公式教学设计
等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式预习课本，思考并完成以下问题(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？(3)等差中项的定义是什么？课堂引入：1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．[点睛](1)“从第2项起〞是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差〞相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差〞这一运算要求是指“相邻且后项减去前项〞，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数〞是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝a＋b 2.3．等差数列的通项公式等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式[点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．例题点拨1．判断以下命题是否正确．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)假设一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( )(4)假设三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．假设这些常数都相等，则这个数列是等差数列；假设这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．(3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．假设a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( )A ．4－2nB ．2n －4C ．6－2nD ．2n －6解析：选C ∵a 1＝4，d ＝－2，∴a n ＝4＋(n －1)×(－2)＝6－2n .3．在等差数列{a n }中，假设a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( )A ．1B ．－1C ．±1D ．±2 解析：选C 由得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(a 1＋2d )＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1. 4．lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是________．解析：lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项为：lg (3＋2)＋lg (3－2)2＝lg[(3＋2)(3－2)]2＝lg 12＝0. 答案：0课堂检测等差数列的通项公式及应用[典例] 在等差数列{a n }中，(1)a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ；(2)a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.[解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d . 由得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a 9＝2×9－1＝17.在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最根本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．[活学活用]1．2 018是等差数列4,6,8，…的( )A ．第1 006项B ．第1 007项C ．第1 008项D ．第1 009项 解析：选C ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 018＝2n ＋2，∴n ＝1 008.2．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项. 等差中项的应用[典例] 等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，a 4＝11.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如假设证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)．[活学活用]1．数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________. 解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝________. 解析：由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列． ∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21.答案：21等差数列的判定与证明[典例] 数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列． 证明：[法一 定义法]∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2)， ∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12，为常数(n ∈N *)． 又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． [法二 等差中项法]∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2). ∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n2⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2(a n －2)＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)，∴数列{b n }是等差数列．等差数列判定的常用的2种方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．[活学活用]1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c， ∴2b ＝a ＋c ac ，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2. ∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．。
高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念与通项公式 新人教A版必修5
• [解析] ∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)， • ∴{an}是等差数列，其首项a1＝6×1－1＝5，公差为6.
命题方向2 ⇨等差数列的证明
列．
例题 2 已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，c＋b a，a＋c b也成等差数
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第二章
数列 2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念与通项公式
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载，大意如下：在平地
上立八尺高的土圭，日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3
尺5寸，以后每一节气影长递减9寸9
• 『规律总结』 定义法是判定数列{an}是等差数列的基本 方法，其步骤为：
• (1)作差an＋1－an； • (2)对差式进行变形； • (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数
列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列 {an}不是等差数列．
• 〔跟踪练习1〕
a＋b ___2___.
1．下列数列是等差数列的是 A．13，15，17，19 C．1，－1,1，－1
B．1， 3， 5， 7 D．0,0,0,0
(D )
[解析] ∵15－13≠17－15，故排除A；∵ 3－1≠ 5－ 3，故排除B； ∵－1－1≠1－(－1)，故排除C，∴选向3 ⇨等差数列的通项公式
• 例题 3 在等差数列{an}中： • (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； • (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. • [分析] 根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，由条