面面平行的性质定理
线面平行面面平行的性质与判定定理
提问
一、直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
精面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线//面
面//面
由a //, 通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
精选课件
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二、两个平面平行具有如下的一些性质：
⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所 有直线都与另一个平面平行
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交， 那么它也和另一个平面相交
⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等
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证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aα，bβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点， 又因为a，b同在平面γ内， 所以，a∥b
这个结论可做定理用
定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理：
//=a,=ba//b
想一想：这个定理的作用是什么?
答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行
小结：一、直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直
线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和
交线平行。
a// ,
a
a ,
a // b
b
= b
注意：
1、定理三个条件缺一不可。
线面定理性质
线面、面面平行和垂直的定理性质
一、线面平行
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
变形：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：
（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
变形：垂直于同一条直线的两个平面平行
四、面面垂直
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直）
其他：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角，则这两个平面互相垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
线面、面面平行的判定与性质
【线面平行】1.判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表示：ααα//,//,,a b a b a 则⊂⊄.2.直线与平面平行的性质性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的任一平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.符号表示：b a b a a //,,,//则=⋂⊂βαβα3.直线与平面平行的证明方法（1）利用定义：证明直线与平面无公共点.（2）利用直线与平面平行的判定定理：即证明平面外的一条直线与平面内的一条直线平行.（3）利用平面与平面平行的的定义：两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，即若βαβα//,,//l l 则⊂.【例题与变式】例1.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，点M 是BC 的中点．点N 是1AA 的中点．求证：//MN 平面1A CD ；FEDCAP变式2-1.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ==,若E 、F 分别为线段PC 、BD 的中点．求证：直线EF //平面PAD ；变式2-2.已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .变式2-3.如图，在正方体ABCD D C B A 1111-中，（1）求证：1BC ∥平面11D AB ；（2）若E、F 分别为C D 1、BD 的中点，则EF∥平面11A ADD .H G FE D BAC【面面平行】2.平面与平面平行的判定：定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号表示：.//,//,//,,,βαααββ则b a P b a b a =⋂⊂⊂3.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.【例题与变式】例2.已知m、n 是两条直线，βα、是两个平面，有以下命题：①m,n 相交且都在平面βα、外，βαβαβα//,//,//,//,//则n n m m ；②若βαβα//,//,//则m m ；③若βαβα//,//,//,//则n m n m .其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3变式2-1.已知βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定βα//的是（）A.βα、都平行于直线lB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l,m 是α内两条直线，且ββ//,//m l D.l,m 是两条异面直线，且ααββ//,////,//m l m l ，例3.如图，在三棱锥S −ABC 中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A 作AF⊥SB，垂足为F，点E，G 分别是棱SA，SC 的中点.求证：(1)平面EFG∥平面ABC；变式3-1.如图所示，在三棱柱1111D C B A ABCD -中，点D，E 分别是BC 与11C B 的中点.求证：平面EB A 1//平面1ADC .1.如图，已知在正方体''''D C B A ABCD -中，对角线'AB 、'BC 上分别有两点E、F,且FC E B ''=求证：(1)EF∥平面ABCD；(2)平面'ACD ∥平面''BC A .。
立体几何常考定理的总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
平面几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行.符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线.符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
面面平行定理和判定定理
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本店铺将会继续努力、改进、创新，给大家提供更加优质符合大家需求的文档。
感谢支持！(Thank you fordownloading and checking it out!)面面平行定理和判定定理一、面面平行定理面面平行定理的定义：面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之间的平行关系。
具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。
面面平行定理的表述：面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们的交线m也与直线l平行。
面面平行定理的证明方法：面面平行定理的证明通常采用反证法。
首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。
根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。
但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。
因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。
同理，可以证明平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。
这样，面面平行定理得证。
二、判定定理面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线线平行定理、线面平行定理和面面平行定理。
这些定理在空间几何图形的判定和空间几何问题的求解中具有广泛的应用。
判定定理的种类线线平行定理是指，如果两条直线在同一平面内，且它们的交线与第三条直线平行，则这两条直线平行。
线面平行定理是指，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的所有点都与这个平面平行。
面面平行定理是指，如果两个平面上的对应线段平行，则这两个平面平行。
证明面面平行的判定定理
证明面面平行的判定定理
面面平行是立体几何学中一个非常重要的概念。
在三维空间中，
如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
而面面平行的判定
定理可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行。
本文将详细介绍面
面平行的判定定理，包括定义、性质和应用。
一、定义
在三维空间中，两个平面是平行的，当且仅当它们的法线向量平行。
因此，要判断两个平面是否平行，我们只需要比较它们的法线向
量是否平行即可。
二、性质
1. 如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
2. 两个平面的法线向量分别为n和m，如果n和m平行，那么这
两个平面是平行的。
3. 如果两个平面是平行的，那么它们的法线向量长度相等。
三、应用
在求解立体几何学问题时，面面平行的判定定理是非常有用的。
比如，在计算两个平面之间的距离时，我们可以先判断它们是否平行，再利用向量的知识求解距离。
又比如，在求解两个平面的夹角时，我
们也可以利用这个定理来进行计算。
另外，在工程和建筑设计中，面面平行的判定定理也有着广泛的应用。
比如，在设计房屋或者建筑物时，我们需要保证墙壁之间是平行的，才能保证建筑物的稳定性和美观性。
此外，在工程测量中，面面平行的判定定理也可以用来判断不同建筑物的墙面是否平行，从而帮助我们得出准确的测量结果。
综上所述，面面平行的判定定理是立体几何学中一个非常重要的定理，它可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行，并在工程、建筑设计和测量方面有着广泛的应用。
因此，学好面面平行的判定定理对我们的学习和工作都是非常有帮助的。
《面面平行的判定》课件
直接应用定义进行判定
详细描述
根据面面平行的定义，如果两个平面没有公共点，则它们平行。因此，通过检 查两个平面内所有对应点来确定它们是否平行。
反证法
总结词
通过假设相反情况来进行证明
详细描述
首先假设两个平面不平行，然后 根据假设推导出矛盾，从而证明 假设不成立，即两个平面平行。
平行四边形法
总结词
判定定理的应用
总结词：实际应用
详细描述：面面平行的判定定理在几何学中有着广泛的应用。例如，在建筑设计、机械工程和空间科 学等领域中，经常需要判断两个平面是否平行。通过应用面面平行的判定定理，可以准确地判断出两 个平面是否平行，从而为实际问题的解决提供重要的理论依据。
02
面面平行的判定方法
定义法
利用平行四边形的性质进行判定
详细描述
如果两个平面都与第三个平面平行， 并且它们之间的距离相等，则这两个 平面平行。这是基于平行四边形的性 质得出的结论。
03
面面平行的判定实例
实例一：长方体中的面面平行
总结词
直观易懂，易于理解
详细描述
长方体是三维空间中最简单的几何体之一，其六个面均为矩 形。通过观察长方体的结构，可以清晰地理解面面平行的概 念。在长方体中，相对的两个面是平行的，即它们永远不会 相交。
题目1
在一个长方体中，给出三个平 面的交线，判断这三个平面是
否平行，并说明理由。
题目2
在一个三棱锥中，给出四个平 面，判断它们之间的位置关系
，并说明理由。
题目3
根据给定的条件，判断两个平 面是否平行，并说明理由。
综合练习题
总结词
难度较大，考察综合运用和推 理能力
题目1
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A
C
D
// ,
面AD 面 AC ，面AD 面 BD AC // BD
∴四边形ABDC是平行四边形
∴ AB=CD
---G.2005、11、15
例3 如图:在棱长为a的正方体ABCD-A’B’C’D’中, E 、F、P、Q分别是BC,C’D’,AD’,BD的中点 （1）求证:PQ//平面DCC’D’ (2)求PQ的长 (3)求证:EF//平面BB’D’D
直线AB， CD的位置关系是（ D ）
A．异面 B． 平行
C． 相交
D． 以上情况都有可能
---G.2005、11、15
a 2． , b, c 是三条不重合的直线， , , 是 三个不重合的平面，现有以下六个命题： ① a // c, b // c a // b ② a // , b // a // b ③ c // , c // // ④ // , // // ⑤ a // c, c // a // ⑥ a // , // a // 其中正确的是（ D ） A．① 、③、④ B． ①、④、⑤ C． ①、②、④ D．①、④
§2.2.4
平面与平面平行的性质
---G.2005、11、15
教学目标：
1．理解掌握直线与平面平行的性质、
平面与平面平行的性质；
2．能够运用这两个性质定理来解决相关问题。
重点、难点：
会运用已学过的性质定理进行简单的证明。
---G.2005、11、15
一、复习：
1．直线与平面平行的判定定理：
D’ A’ P D Q A B
---G.2005、11、15
F B’
C’
C E
练习：
1、若a、b两直线都平行于平面 ，
则a、 b的位置关系（ D ） A、平行 B、相交 C、异面
D、以上三种情况都有可能 2、过直线外的一点与这条直线平行的直线 有 一 条，过直线外的一点与这条直线平行 的平面有 无数 个。
---G.2005、11、15
例4 如图,正方体ABCD-A’B’C’D’,点E在AB’上,点F 在BD上,且B’E=BF,求证;EF//平面 BB’C’C.
D F A B C
D’
E
C’ B’
A’
---G.2005、11、15
1、如果平面 // 平面 ，且夹在两个平面
， 间的线段AB，CD的长相等，那么
---G.2005、11、15
3．如果ΔABC的三个顶点到平面的距离
都相等，则平面ABC与平面的位置关系
（
B ）
B．平行或相交
A． 平行
C． 异面
D．相交
---G.2005、11、15
本节课主要是学习了两平
行平面的性质定理，本定理实质 上是判定定理的“逆用”，即 注意是交线平行。
---G.2005、11、15
C′ A′ B′
D A B
C
---G.2005、11、15
例1
如图:已知平面 , , 满足 ,
a, b, 求证 : a b
b
a
---G.2005、11、15
2、平面与平面平行的性质定理：
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线平行
a
b
线线平行，则线面平行 a α , b α, a∥b
2．平面与平面平行的判定定理：
a∥α
p a b
线面平行，则面面平行 a β,b a∩ b =p β, α∥β
a∥ α ,b ∥ α
---G.2005、11、15
3、直线与平面平行的性质定理：
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直
简记:
面面平行 α∥β
线线平行
b a
图形语言：
α∩γ＝a
符号语言：
a∥b
β ∩γ＝b
---G.2005、11、15
相互转化:
线线平行 线面平行
面面平行
---G.2005、11、15
例2：夹在两平行平面间的两条平行线段相等.
已知： // ， AB ∥ CD,且Ａ∈α，Ｃ∈α，
Ｂ∈β，Ｄ∈β． 求证：AB=CD 证明： AB // CD ∴AB，CD确定一个平面ABDC
线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
Hale Waihona Puke 简记:线面平行线线平行
a
图形语言：
α
a∥ α a β α∩ β = b
b
符号语言：
a∥b
---G.2005、11、15
直线与平面平行:
线线平行
判定定理
性质定理
线面平行
---G.2005、11、15
思考?
如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与
另一个平面内的直线具有什么位置关系? 平面AC内哪些直线与B′D′平行呢?如何找到它 们呢? D′
“面面平行”推出“线线平行”，
书P.61
练习
作业：A本
---G.2005、11、15